CÁC BÀI HÌNH TỔNG HỢP RẤT HAY DÙNG ÔN THI LỚP 10 Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB<AC nội tiếp trong đường tròn tâm O.Kẻ đường cao AD và đường kính AA’.Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’. 1. C/m AEDB nội tiếp. 2. C/m DB.A’A=AD.A’C 3. C/m:DE ⊥ AC. 4. Gọi M là trung điểm BC.Chứng minh MD=ME=MF. 4) •Gọi N là trung điểm AB.Nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE. Do M;N là trung điểm BC và AB ⇒MN//AC(Tính chất đường trung bình) Do DE⊥AC ⇒MN⊥DE (Đường kính đi qua trung điểm một dây…)⇒MN là đường trung trực của DE ⇒ME=MD. • Gọi I là trung điểm AC⇒MI//AB(tính chất đường trung bình) ⇒ · · A'BC A 'AC= (Cùng chắn cung A’C). Do ADFC nội tiếp ⇒ · · FAC FDC= (Cùng chắn cung FC) ⇒ · · A'BC FDC= hay DF//BA’ Mà · ABA ' 1v= ⇒MI⊥DF.Đường kính MI⊥dây cung DF⇒MI là đường trung trực của DF⇒MD=MF. Vậy MD=ME=MF. Bài 2: Cho ∆ ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC.Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến BC và AC.P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE. 1/C/m MFEC nội tiếp. 2/C/m BM.EF=BA.EM 3/C/M ∆ AMP∽ ∆ FMQ. 4/C/m góc PQM=90 o . 4/C/m góc:PQM=90 o . Do góc AMP=FMQ ⇒PMQ=AMF ⇒∆PQM∽∆AFM ⇒góc MQP=AFM Mà góc AFM=1v⇒MQP=1v(đcm). Bài 3: Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC.Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB=AD.Dựng hình vuông ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G. 1. C/m BGDC nội tiếp.Xác định tâm I của đường tròn này. 2. C/m ∆ BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ BCD. 3. C/m GEFB nội tiếp. 4. Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp ∆ BCD.Có nhận xét gì về I và F 4/ C/m• C;F;G thẳng hàng:Do GEFB nội tiếp ⇒Góc BFG=BEG mà BEG=1v⇒BFG=1v.Do ∆BFG vuông cân ở F⇒Góc BFC=1v.⇒Góc BFG+CFB=2v⇒G;F;C thẳng hàng. C/m G cũng nằm trên… :Do GBC=GDC=1v⇒tâm đường tròn ngt tứ giác BGDC là F⇒G nằn trên đường tròn ngoại tiếp ∆BCD. •Dễ dàng c/m được I≡ F. Bài 4: Cho ∆ ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O).Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở E và F,cắt AC ở I(E nằm trên cung nhỏ BC). 1. C/m BDCO nội tiếp. 2. C/m: DC 2 =DE.DF. 3. C/m:DOIC nội tiếp. 4. Chứng tỏ I là trung điểm FE. 3) Ta có: sđgóc BAC= 2 1 sđcung BC(Góc nội tiếp) (1) Sđ góc BOC=sđcung BC(Góc ở tâm); OB=OC;DB=DC(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);OD chung ⇒∆BOD=∆COD⇒Góc BOD=COD ⇒2sđ gócDOC=sđ cung BC ⇒sđgóc DOC= 2 1 sđcungBC (2) Từ (1)và (2)⇒Góc DOC=BAC. Do DF//AB⇒góc BAC=DIC(Đồng vị) ⇒Góc DOC=DIC⇒ Hai điểm O và I cùng làm với hai đầu đoạn thẳng Dc những góc bằng nhau…⇒đpcm 4/Chứng tỏ I là trung điểm EF: Do DOIC nội tiếp ⇒ góc OID=OCD(cùng chắn cung OD) Mà Góc OCD=1v(tính chất tiếp tuyến)⇒Góc OID=1v hay OI⊥ID ⇒OI⊥FE.Bán kính OI vuông góc với dây cung EF⇒I là trung điểmEF. Bài 5: Trên hai cạnh góc vuông xOy lấy hai điểm A và B sao cho OA=OB. Một đường thẳng qua A cắt OB tại M(M nằm trên đoạn OB).Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H,cắt AO kéo dài tại I. 1.C/m OMHI nội tiếp. 2.Tính góc OMI. 3.Từ O vẽ đường vuông góc với BI tại K.C/m OK=KH 4.Khi M thay đổi trên OB thì K di chuyển trên đường nào? Tìm giới hạn hình mà K di chuyển?. Bài 6: Cho (O) đường kính AB=2R;xy là tiếp tuyến với (O) tại B. CD là 1 đường kính bất kỳ.Gọi giao điểm của AC;AD với xy theo thứ tự là M;N. 1. Cmr:Bốn điểm M, D, C, N cùng thuộc một đường tròn. 2. Chứng tỏ:AC.AM=AD.AN 3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm MN.Cmr:AOIH là hình bình hành. 4. Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường nào? 3/C/m AOIH là hình bình hành. Xác định I:I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN ⇒I là giao điểm dường trung trực của CD và MN ⇒IH⊥MN là IO⊥CD.Do AB⊥MN;IH⊥MN⇒AO//IH. Vậy cách dựng I:Từ O dựng đường vuông góc với CD. Từ trung điểm H của MN dựng đường vuông góc với MN. Hai đường này cắt nhau ở I. •Do H là trung điểm MN⇒AH là trung tuyến của ∆vuông AMN ⇒ANM=NAH.Mà ANM=BAM=ACD(cmt)⇒DAH=ACD. Gọi K là giao điểm AH và DO do ADC+ACD=1v⇒DAK+ADK=1v hay ∆AKD vuông ở K⇒AH⊥CD mà OI⊥CD⇒OI//AH vậy AHIO là hình bình hành. 4/Quỹ tích điểm I: Do AOIH là hình bình hành ⇒IH=AO=R không đổi ⇒CD quay xung quanh O thì I nằm trên đường thẳng // với xy và cách xy một khoảng bằng R Bài 7: Cho tam giác ABC có A=1v;AB<AC.Gọi I là trung điểm BC;qua I kẻ IK ⊥ BC(K nằm trên AC).Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho MA=AK. 1. Chứng minh:ABIK nội tiếp được trong đường tròn tâm O. 2. C/m góc BMC=2ACB 3. Chứng tỏ BC 2 =2AC.KC 4. AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N.Chứng minh AC=BN 5. C/m: NMIC nội tiếp. 4/C/m AC=BN Do AIB=IAC+ICA(góc ngoài ∆IAC) và ∆IAC Cân ở I ⇒IAC=ICA ⇒AIB=2IAC(1). Ta lại có BKM=BMK và BKM=AIB(cùng chắn cung AB-tứ giác AKIB nội tiếp) ⇒AIB=BMK(2) mà BMK=MNA+MAN (góc ngoài tam giác MNA) Do ∆MNA cân ở M(gt) ⇒MAN=MNA⇒BMK=2MNA(3) Từ (1);(2);(3)⇒IAC=MNA và MAN=IAC(đ đ)⇒… Bài 8: Trên đường tròn tâm O lần lượt lấy bốn điểm A;B;C;D sao cho AB=DB.AB và CD cắt nhau ở E.BC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn(O) ở Q;DB cắt AC tại K. 1. Cm: CB là phân giác của góc ACE. 2. c/m:AQEC nội tiếp. 3. C/m:KA.KC=KB.KD 4. C/m:QE//AD. Sử dụng cặp góc so le trong bằng nhau QEA bằng EAD Bài 9: Cho (O) và tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB=BC.Kẻ cát tuyến BEF với đường tròn.CE và CF cắt (O) lần lượt ở M và N.Dựng hình bình hành AECD. 1.C/m:D nằm trên đường thẳng BF. 2.C/m ADCF nội tiếp. 3.C/m: CF.CN=CE.CM 4.C/m:MN//AC. 5.Gọi giao điểm của AF với MN là I.Cmr:DF đi qua trung điểm của NI. 4. Chứng minh cặp góc so le trong bằng nhau( · · ACM CMN= ) 5. Sử dụng hệ quả talet Bài 10: Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC.Gọi a là một điểm bất kỳ trên nửa đường tròn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy ở F.Gọi D là điểm chính giữa cung AC;DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy tại E. 1. C/m BD là phân giác của góc ABC và OD//AB. 2. C/m ADEF nội tiếp. 3. Gọi I là giao điểm BD và AC.Chứng tỏ CI=CE và IA.IC=ID.IB. 3) Chứng minh tam giác ICE có đường cao CD vừa là phân giác Bài 11: Cho nửa đtròn (O);đường kính AD.Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C sao cho cung AB<AC.AC cắt BD ở E.Kẻ EF ⊥ AD tại F. 1. C/m:ABEF nt. 2. Chứng tỏ DE.DB=DF.DA. 3. C/m: E là tâm đường tròn nội tiếp ∆ BCF. 4. Gọi M là trung điểm của ED. C/m tứ giác BCMF nội tiếp Ta chứng minh góc BCF bằng BMF(Bằng 2 lần hai góc bằng nhau BCA và góc BDA) Bài 12: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy điểm M, Trên AB lấy điểm C sao cho AC<CB. Gọi Ax; By là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với MC cắt Ax ở P; đường thẳng qua C và vuông góc với CP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của CP với AM; E là giao điểm của CQ với BM. 1/cm: ACMP nội tiếp. 2/Chứng tỏ AB//DE 3/C/m: M; P; Q thẳng hàng. 3/C/m M;P;Q thẳng hàng: Do MPC+MCP=1v(tổng hai góc nhọn của tam giác vuông PMC) và PCM+MCQ=1v ⇒MPC=MCQ. Ta lại có ∆PCQ vuông ở C⇒MPC+PQC=1v⇒MCQ+CQP=1v hay CMQ=1v⇒PMC+CMQ=2v⇒P;M;Q thẳng hàng. Bài 13: Cho ∆ ABC có A=1v;Kẻ AH ⊥ BC.Qua H dựng đường thẳng thứ nhất cắt cạnh AB ở E và cắt đường thẳng AC tại G.Đường thẳng thứ hai vuông góc với đường thẳng thứ nhất và cắt cạnh AC ở F,cắt đường thẳng AB tại D. 1. C/m:AEHF nội tiếp. 2. Chứng tỏ:HG.HA=HD.HC 3. Chứng minh EF ⊥ DG và FHC=AFE. 4. Tìm điều kiện của hai đường thẳng HE và HF để EF ngắn nhất 2/Cm: Ta đi chứng minh ∆HCA~∆HGD⇒đpcm. 3/•C/m:EF⊥DG:Sử dụng E là trực tâm tam giác GFD • C/m:FHC=AFE: Do AEHF nội tiếp ⇒AFE=AHE(cùng chắn cung AE). Mà AHE+AHF=1v và AHF+FHC=1v⇒AFE=FHC. 4/ Tìm điều kiện của hai đường thẳng HE và HF để EF ngắn nhất: Do AEHF nội tiếp trong đường tròn có tâm là trung điểm EF .Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiêp tứ giác AEHF⇒IA=IH⇒Để EF ngắn nhất thì I;H;A thẳng hàng hay AEHF là hình chữ nhật ⇒HE//AC và HF//AB. x y E F D C M O A B N x K I D F E M O B A C Bài 14: Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường tròn. Gọi M là điểm chính giữa cung AB và N là một điểm bất kỳ trên đoạn AO. Đường thẳng vuông góc với MN tại M lần lượt cắt Ax và By ở D và C. 1. C/m AMN=BMC. 2. C/m ∆ ANM= ∆ BMC. 3. DN cắt AM tại E và CN cắt MB ở F.C/m FE ⊥ Ax. 4. Chứng tỏ M cũng là trung điểm DC. Bài 15: Từ một điểm M nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn. Trên cung nhỏ AB lấy điểm C và kẻ CD ⊥ AB; CE ⊥ MA; CF ⊥ MB. Gọi I và K là giao điểm của AC với DE và của BC với DF. 1. C/m AECD nt. 2. C/m:CD 2 =CE.CF 3. Cmr: Tia đối của tia CD là phân giác của góc FCE. 4. C/m IK//AB. 5. Tìm vị trí của C trên cung AB để AC 2 + BC 2 đạt nhỏ nhất 4/C/m: IK//AB. Ta có CBF=FDC=DAC(cmt) Do ADCE nt⇒CDE=CAE(cùng chắn cung CE) ABC+CAE(góc nt và góc giữa tt… cùng chắn 1 cung) ⇒CBA=CDI.trong ∆CBA có BCA+CBA+CAD=2v hay KCI+KDI=2v⇒DKCI nội tiếp⇒ KDC=KIC (cùng chắn cung CK) ⇒KIC=BAC⇒KI//AB. 5. Gọi N là trung điểm của AB khi đó tính được 2 2 2 2 AB AC BC CN 2 + = + . Vì AB không đổi nên AC 2 +BC 2 nhỏ nhất khi CN nhỏ nhất nên C là điểm chính giữa cung AB Bài 16: Cho tam giác ABC ( · 0 45BAC < ) nội tiếp trong nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C và gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến tiếp tuyến đó. AH cắt đường tròn (O) tại M ( M ≠ A) . Đường vuông góc với AC kẻ từ M cắt AC tại K và AB tại P. a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp . b) Chứng minh ∆ MAP cân . c) Tìm điều kiện của ∆ ABC để ba điểm M, K, O thẳng hàng. O P K M H A C B N O K I M H C B A A B O O' M D E P Q c) Ta có M; K; P thẳng hàng. Do đó M; K; O thẳng hàng nếu P ≡ O hay AP = PM Kết hợp với câu b tam giác MAP cân ở A suy ra tam giác MAP đều. Do đó · 0 30CAB = . Đảo lại: · 0 30CAB = ta chứng minh P ≡ O : Khi · 0 30CAB = ⇒ · 0 60MAB = (do AC là phân giác của · MAB ) Tam giác MAO cân tại O có · 0 60MAO = nên ∆ MAO đều. Do đó: AO = AM. Mà AM = AP(do ∆ MAP cân ở A) nên AO = AP. Vậy P ≡ O . Trả lời: Tam giác ABC cho trước có · 0 30CAB = thì ba điểm M; K; O thẳng hàng. Bài 17: Cho tam giác đều ABC, đường cao AH. M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC. Gọi O là trung điểm của AM. a) Chứng minh 5 điểm A, I, M, H, K cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh tứ giác OIHK là hình thoi. c) Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để IK có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị đó, biết AB = a. c) + Gọi N là giao điểm của OH và IK => OH ⊥ IK tại N và IK = 2IN Do đó IK min ⇔ IN min. + Mà IN = OI.sinION = OI. 3 2 = AM 3 4 => IN min ⇔ AM min ⇔ M trùng H + Khi đó IK = 2. AM 3 4 = a 3. 3 3a 2. 4.2 4 = (Vì AH = AB 3 2 ) Bài 18: Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) với R > R’ cắt nhau tại A và B. Kẻ tiếp tuyến chung DE của hai đường tròn với D ∈ (O) và E ∈ (O’) sao cho điểm B gần tiếp tuyến đó hơn so với điểm A. a) Chứng minh rằng · · DAB BDE= . b) Tia AB cắt DE tại M. Chứng minh 2 .MD MA MB = và M là trung điểm của DE. c) Đường thẳng EB cắt DA tại P, đường thẳng DB cắt AE tại Q. Chứng minh rằng PQ song song với DE. c) Ta có · · DAB BDM= , · · EAB BEM= (chứng minh trên) ⇒ · · PAQ PBQ + = · · · · · · 0 180DAB EAB PBQ BDM BEM DBE + + = + + = (tổng 3 góc) ⇒ tứ giác APBQ nội tiếp ⇒ · · PQB PAB = Bài 19: H N E K B O C D M Cho nửa đường tròn (O), đường kính BC. Gọi D là điểm cố định thuộc đoạn thẳng OC (D khác O và C). Dựng đường thẳng d vuông góc với BC tại điểm D, cắt nửa đường tròn (O) tại điểm A. Trên cung AC lấy điểm M bất kỳ (M khác A và C), tia BM cắt đường thẳng d tại điểm K, tia CM cắt đường thẳng d tại điểm E. Đường thẳng BE cắt nửa đường tròn (O) tại điểm N (N khác B). a. Chứng minh tứ giác CDNE nội tiếp. b.Chứng minh ba điểm C, K và N thẳng hàng. c. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BKE. Chứng minh rằng điểm I luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi điểm M thay đổi. c) Lấy H đối xứng với C qua D, Do C,D cố định nên H cố định. tam giác HKC cân tại K nên ¼ ¼ KHC KCH = Mà ¼ ¼ BED KCH = (cùng phụ góc EBC) Vậy ¼ ¼ KHC BED = nên tứ giác BEKH nội tiếp suy ra đường tròn ngoại tiếp tức giác BKE đi qua B và H cố định nên I thuộc đường trung trực của BH. Bài 20. Cho tam giác ABC có góc A tù. Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và (O’) đường kính AC. Đường thẳng AB cắt (O’) tại điểm thứ hai là D; đường thẳng AC cắt (O) tại điểm thứ hai là E. a) Chứng minh: Tứ giác BCDE nội tiếp. b) Gọi F là giao điểm của (O) và (O’) (F khác A). Chứng minh B, F, C thẳng hàng và FA là phân giác của góc EFD. c) Gọi H là giao điểm của EF và AB. Chứng minh: BH.AD = AH.BD c) ta có FA là phân giác của góc HFD AH HF AD FD ⇒ = .(t/c đường phân giác) lại có BF vuông góc với AF nên BF là phân giác góc ngoài tam giác HFD BH HF BD FD ⇒ = (Tính chất phân giác ngoài tại F) do đó AH BH AH.BD BH.AD AD BD = ⇒ = Câu 21: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. M là một điểm trên đường tròn (M khác A, B), kẻ MH vuông góc với AB tại H. Đường tròn tâm M bán kính MH cắt (O) tại C và D. Đoạn thẳng CD cắt MH tại I. Vẽ đường kính MN của (O), MN cắt CD tại K. 1) Chứng minh tứ giác OKIH nội tiếp 2) Chứng minh: MC 2 = MK.AB 3) Chứng minh: I là trung điểm của MH. Chứng minh MC 2 = MK.MN = 2MK.MO = 2MI.MH = MH 2 => MH = 2MI => đpcm Câu 22. Cho tam giác ABC vuông tại A, Trên cạnh AC lấy điểm D. Vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với BC tại F. Từ B kẻ tiếp tuyến thứ hai BE tới (D) (E là tiếp điểm). Trung tuyến AM của tam giác ABC cắt BE tại I. Chứng minh: a) 5 điểm A, E, D, F, B cùng thuộc 1 đường tròn b) · · · AEI ACB CBD= + c) AEI∆ cân. c) Theo câu b) ta có · · · AEB DCB CBD= + (3) Lại có · · EAD EBD= (hai góc nội tiếp cùng chắn » ED ) · · DAI DCB= (AM là đường trung tuyến trong tam giác vuông) · · DBC EBD= t/c tiếp tuyến cắt nhau) · · · · EAD DAI DBC DCB⇒ + = + Hay · · · EAI DBC DCB= + (4) Từ (3) và (4) · · EAI AEI⇒ = nên tam giác AIE cân tại I Câu 23: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và C là một điểm nằm trên đường tròn sao cho CA > CB. Gọi I là trung điểm của OA. Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại I, cắt tia BC tại M và cắt đoạn AC tại P; AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K. 1) Chứng minh tứ giác BCPI nội tiếp được trong một đường tròn. 2) Chứng minh ba điểm B, P, K thẳng hàng. [...]... hàng 4 Ta có MO là phân giác góc EOH (t/c tiếp tuyến cắt nhau); ON là phân giác của góc HOF (tc tiếp tuyến cắt nhau) mà góc EOH và góc HOF kề bù suy ra OM vuông góc ON nên tam giác MON vuông tại O Lại có OM vuông góc với EH, AB vuông góc với EH suy ra OM // AB, mà OE = OF suy ra MO là đường trung bình tam giác HAB suy ra OM = ½ AB = 1 2 10 = 10 (cm) 2 1 1 5 6 (cm2) 15 (cm) do đó SMON = OM.ON = 10 15 =... F c) Ta có: SABC = H C M E D Bài 41 b)Cách 1 Kẻ đường cao BK, kẻ MI vuông góc với BK Ta có tứ giác IMQK là hình chữ nhật suy ra IK = MQ Lại có IM//AC nên góc IMB = góc ACB = góc PBM suy ra tam giác BPM = tam giác IMB ( cạnh huyền – góc nhọn) suy ra BI = MP Do đó MQ + MP = IK + BI = BK = AH (do tam giác ABC đều) 1 1 1 AB.MP + AC.MQ = BC.AH 2 2 2 Do AB = AC = BC suy ra MP + MQ = AH Cách 2 Ta có SAMB... NH//BC, chứng minh tương tự ta có tứ giác BCHM là hình bình hành nên MH // BC suy ra qua điểm H có 2 đường thẳng là NH và MH cùng song song với BC nên M, H, N thẳng hàng Bài 39 c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ADO có: OI.OD = OA2 = R2 (R là bán kính (O)) OH OM = OM OC OH OM = Xét tam giác OHM và tam giác OMC có góc HOM chung và nên tam giác OM OC Theo câu b) ta có OH.OC=OI.OD nên OH.OC = R2... vuông góc Ax nên OA vuông góc DE Cách 2 Vẽ đường kính AJ của (O) cắt DE tại K ta có góc AJC = góc ABC = góc ADE suy ra tam giác AKD đồng dạng với tam giác ACJ suy ra góc AKD = ẠC = 900 Bài 38 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao AA’ và BB’ cắt nhau tại H AO cắt đường tròn tại D a) Chứng minh tứ giác ABA’B’ nội tiếp được đường tròn b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình. .. thuộc một đường tròn · 4) Chứng minh rằng số đo MEN không phụ thuộc vị trí của đường thẳng a A B I C M D N a E b) Ta có: AB = BD (=bk(B)) CA = CD (=bk(C)) Suy ra: BC là trung trực của AD hay BC ⊥ AD ⇒AI⊥B Ta lại có: BC ⊥ AD tại I ⇒ IA = ID (đlí) Xét ∆ABC vuông tại A (gt) có: AI⊥BC, suy ra: AI2 = BI.CI hay: AD 2 = BI CI ⇒ AD 2 = 4 BI CI 4 · · c) Ta có: DME = DAM (hệ quả t/c góc tạo bởi tia tuyến và dây... giác KAM suy ra KM.KN = KA2 không đổi d) góc KNP = góc CNM = góc CDM = góc ABM = góc MKA suy ra MP//KQ, tương tự NQ // KP suy ra tứ giác NPKQ là hình bình hành, lại có góc QNP = góc CND = 900 nên tứ giác NPKQ là hình chữ nhật 2 ( NP + NQ ) = AK 2 (Vì NQ = AQ) do AK không đổi nên SNPKQ SNPKQ = NQ.NP ≤ 4 4 không đổi 2 SNPKQ = AK = 4 ( 2R 4 ) 2 R2 = 2 Bài 53 Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A, đường cao AH... trung tuyến => E là trung điểm của HK (6) Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường) 5 (HD) Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FK hay IA // FK => tứ giác AKFI là hình thang Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn thì AKFI phải là hình thang cân AKFI là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB Thật vậy: M là trung điểm... đó ta có góc OHM = góc OMC nên góc OMC = 90 0 do đó CM là tiếp tuyến (O) d) Ta có góc OIC = góc OMC = 900 suy ra tứ giác OIMC nội tiếp do đó đường tròn ngoại tiếp tứ giác OIMC là đường tròn ngoại tiếp tam giác OIM Có góc OFC = góc OFD = 900 nên 3 điểm D, F, C thẳng hàng Suy ra OF vuông góc với DC Xét tam giác ODC có CI và DH là đường cao nên E là trực tâm suy ra OE vuông góc DC Do đó qua điểm O có hai... dạng với tam giác OCJ (g – g) suy ra OL OQ = suy ra OL.OJ = OQ.OC Theo OC OJ hệ thức lượng trong tam giác vuông OMJ ta có OL.OJ = OM2 = R2 (R là bán kính (O)) suy R2 ra OQ.OC = R suy ra OQ = do O, C cố định R không đổi suy ra OQ không đổi suy ra OC 2 Q cố định vậy MN đi qua Q Bài 37 Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, hai đường cao BD và CE cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại... Ta có tam giác APM và tam giác AHM là tam giác vuông nên PO và HO là đường trung tuyến ứng cạnh huyền do đó PO = HO Lại có góc POM = 2 góc MAB(góc ngoài tam giác), góc HOM = 2 góc HAM nên góc POH = 2(góc MAB + góc HAM) = 2 gocsBAH = 60 0 Suy ra tam giác POH đều Tương tự tam giác OHQ đều suy ra OP = PH = OH = OQ = HQ do đó tứ giác OPHQ là hình thoi suy ra OH vuông góc PQ Bài 42 Cho tam giác ABC vuông . CÁC BÀI HÌNH TỔNG HỢP RẤT HAY DÙNG ÔN THI LỚP 10 Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB<AC nội tiếp trong đường tròn tâm O.Kẻ. MPC+MCP=1v (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông PMC) và PCM+MCQ=1v ⇒MPC=MCQ. Ta lại có ∆PCQ vuông ở C⇒MPC+PQC=1v⇒MCQ+CQP=1v hay CMQ=1v⇒PMC+CMQ=2v⇒P;M;Q thẳng hàng. Bài 13: Cho ∆ ABC có A=1v;Kẻ. trí so le nên MA//BC b)Ta có AH//OB ( cùng vuông góc với MB); BH//OA ( cùng vuông góc với MA) nên AHBO là hình bình hành có OA=OB nên là hình thoi suy ra AH=AO=R ( không đổi) A cố định nên H