Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn ứng dụng - Chương 1: Ma trận Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh dangvvinh@hcmut.edu.vn NỘI DUNG - I Định nghĩa ma trận ví dụ II Các phép biến đổi sơ cấp III Các phép toán ma trận IV Hạng ma trận V Ma trận nghịch đảo I Các khái niệm ví dụ Định nghĩa ma trận Ma trận cở mxn bảng số (thực phức) hình chử nhật có m hàng n cột Cột j Ma trận A cở mxn  a11 a1 j     A   ai1 aij     am1 amj  a1n     ain     amn   Hàng i I Các khái niệm ví dụ Ví dụ  1 A   23 Đây ma trận thực cở 2x3 Ma trận A có hàng cột Phần tử A: a11  3; a12  4; a13  1; a21  2; a22  0; a23  Ví dụ 1  i 2 A    i i 22 I Các khái niệm ví dụ Ma trận A có m hàng n cột thường ký hiệu A  aij mn Tập hợp tất ma trận cở mxn trường K ký hiệu Mmxn[K] Định nghĩa ma trận khơng Ma trận có tất phần tử không gọi ma trận không, ký hiệu 0, (aij = với i j)  0 0 A   0 0 I Caùc khái niệm ví dụ Phần tử khác không hàng kể từ bên trái gọi phần tử sở hàng Định nghĩa ma trận dạng bậc thang Hàng khơng có phần tử sở (nếu tồn tại) nằm Phần tử sở hàng nằm bên phải (không cột) so với phần tử sở hàng I Các khái niệm ví dụ Ví dụ 2  0 A 0  0  2   2   0 0  45  1  2   B  0 0  0 0    Không ma trận bậc thang Không ma trận bậc thang I Các khái niệm ví dụ Ví dụ 1  0 A 0  0  2  Là ma trận dạng bậc  thang 0 2   0 0  45   2   B  0  0 0    Là ma trận dạng bậc thang I Các khái niệm ví dụ -Định nghĩa ma trận chuyển vị Chuyển vị A  aij  ma trận AT  aij  cở nXm mn nm thu từ A cách chuyển hàng thành cột Ví dụ  1 3 A    23  4   T A   1   9  32 I Các khái niệm ví dụ -Định nghĩa ma trận vuông Nếu số hàng cột ma trận A n, A gọi ma trận vng cấp n   1 A    22 Tập hợp ma trận vuông cấp n trường số K ký hiệu M n [K] III Các phép toán ma trận Ví dụ  1 A   1 Tính A200  1 1  2   1 A   1   2    1  2A  1      Suy ra: A n  2n 1 A  2199 2199  A 200    2199 2199     IV Hạng ma trận Định nghĩa hạng ma trận Giả sử Amxn tương đương hàng (cột) với ma trận bậc thang E Khi ta gọi hạng ma trận A số hàng khác không ma trận bậc thang r(A) = số hàng khác không ma trận bậc thang E IV Hạng ma trận Ví dụ Tìm hạng ma trận sau 1 1 A   2    4   Giải 1 1 1 1 h2 h2  h1  2    0 0   A h3 h3 3h1      4 0 0 1     1 1 h2  h3   0   r ( A )    0 0 0   IV Hạng ma trận Ví dụ Sử dụng biến đổi sơ cấp, tìm hạng ma trận sau  3 A  2 9    6   Ví dụ Tìm hạng ma trận sau  4 A     2 1 3    IV Hạng ma trận Ví dụ Tìm tất giá trị thực m cho r(A) =3  1 1 A  2     m m  1    1 1  1 1 A  2   0 3       m m  1  1 m  m        1  0 3     0 m 1 m     r(A) = với giá trị m IV Hạng ma trận Ví dụ Tìm tất giá trị thực m cho r(A) =2  m m A  m m   m m    Ví dụ Tìm tất giá trị thực m r(A) =  1 1 A  2     3 m m  1   IV Hạng ma trận Tính chất hạng ma trận r (A) = A=0 A = (aij)m n r(A) x Nếu A BĐSC  min{m, n} B, r (B) = r (A)  2 2  2 2 A   2 2  A   0 0      2 2  0 0      r (A )  V Ma trận nghịch đảo Định nghĩa ma trận nghịch đảo Ma trận vuông A gọi ma trận khả nghịch tồn ma trận I cho AB = I =BA Khi B gọi nghịch đảo A ký hiệu A-1  1 A 22    1 Giả sử B   5 22     1  AB    5         1   BA        5    0 I 1 0 I 1  1 A  1  B 5    V Ma trận nghịch đảo Chú ý Không phải ma trận vng A khả nghịch Có nhiều ma trận vuông không khả nghịch Định nghĩa Ma trận khả nghịch gọi ma trận không suy biến Ma trận không khả nghịch gọi ma trận suy biến V Ma trận nghịch đảo Sự tồn ma trận khả nghịch Cho ma trận vuông A, mệnh đề sau tương đương Tồn A-1 (A không suy biến) r(A) = n AX = suy X = A Tương đương hàng I V Ma trận nghịch đảo Cách tìm A [ A|I ] Bđsc hàng [ I|A-1 ] Ví dụ Tìm nghịch đảo (nếu có) ma trận 1 1   A  1 2  1    1 1 0 1 1 0 [ A | I ]  1 2 0  0 1  1 0     1 0 1 0  1     V Ma trận nghịch đảo 1 1 0 1 1  1  0 1  1 0  0   1       0  1  0  1    1 0    0   1  [ I | A1 ]   0  1     1    1 A     1  1    V Ma trận nghịch đảo -Độ phức tạp thuật tốn tìm A-1 1 Tính Ann phép sơ cấp hàng ma trận [ A|I ] ta cần sử dụng n3 phép nhân chia n3 – 2n2 + n phép cộng trừ Tính chất ma trận nghịch đảo Đối với hai ma trận khả nghịch A B, khẳng định sau (A-1)-1 = A Tích AB hai ma trận khả nghịch (AB)-1 = B-1A-1 (AT)-1 = (A-1)T VI Kết luận Ma trận gì? Ma trận vng ? Ma trận bậc thang Ma trận không? Ma trận chéo? Ma trận chuyển vị? Ma trận đơn vị? Ma trận đối xứng? Các phép toán ma trận: Sự Nhân ma trận với số Phép cộng Nhân hai ma trận với Nâng lên lũy thừa Hạng ma trận gì? Làm để tìm hạng ma trận cho trước? Ma trận khả nghịch gì? Nghịch đảo ma trận A gì? Làm để tìm nghịch đảo ma trận cho trước?