Trường ĐH Bách khoa tp Hồ Chí Minh Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ mơn Tốn ứng dụng Đại số tuyến tính Chương 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ (tt) • Giảng viên TS. Đặng Văn Vinh Nội dung I – Toạ độ của véctơ. II – Không gian con. III - Tổng và giao của hai không gian con. I. Toạ độ của véctơ Cho E ={e 1 , e 2 , …, e n } là cơ sở sắp thứ tự của K-kgvt V Định nghĩa toạ độ của véctơ 1 1 2 2      n n x x e x e x e 1 2 [ ] E n x x x x               x V   Bộ số được gọi là tọa độ của véctơ x trong cơ sở E. 1 2 ( , , , ) n x x x I. Toùa ủoọ cuỷa veựctụ 2 2 2 Cho { 1; 2 1; 2} E x x x x x x Vớ d Tỡm vộct p(x), bit to trong c s E l 3 [ ( )] 5 2 E p x l c s ca khụng gian 2 [x] P 3 [ ( )] 5 2 E p x 2 2 2 ( ) 3( 1) 5( 2 1) 2( 2) p x x x x x x x ( ) 5 2 p x x I. Toùa ủoọ cuỷa veựctụ Cho {(1,1,1);(1,0,1);(1,1,0)} E Vớ d l mt vộct ca R 3 . Tỡm to ca vộct x trong c s E. l c s ca R 3 v x = (3,1,-2) Gi s 1 2 3 [ ] E x x x x 1 1 2 2 3 3 x x e x e x e 1 2 3 (3,1, 2) (1,1,1) (1,0,1) (1,1,0) x x x 1 2 3 1 3 1 2 3 1 2 x x x x x x x 4 [ ] 2 5 E x I. Tọa độ của véctơ 2 2 Cho { 1; 1;2 1} là cơ sở [ ]. E x x x x P x      Ví dụ Tìm toạ độ của véctơ p(x) = 3x 2 +4x-1 trong cơ sở E. Giả sử [ ( )]            E a p x b c 1 2 3 ( ) . . .     p x a e b e c e 2 2 3 4 1 ( 1) ( 1) (2 1)           x x a x x b x c x 3 2 4 1              a a b c a b c 3 [ ( )] 9 5              E p x I. Toùa ủoọ cuỷa veựctụ 1 1 2 2 2. [ ] E n n x y x y x y x y 1 1 2 2 1. n n x y x y x y x y 1 2 [ ] E n y y y y Tớnh cht ca ta vộct 1 2 [ ] E n x x x x 1 2 3. [ ] E n x x x x I. Tọa độ của véctơ Ý nghĩa của toạ độ véctơ. Trong khơng gian n chiều V cho một cơ sở E ={e 1 , e 2 , …, e n }. Tất cả các vectơ của V đều biễu diễn qua E dưới dạng tọa độ. Hai phép tốn cơ bản: cộng hai vectơ và nhân vectơ với một số, và sự bằng nhau trong V có thể phức tạp. Theo tính chất của tọa độ, ta thấy các phép tốn này giống hồn tồn trong R n . Suy ra cấu trúc của khơng gian vectơ V hồn tồn giống R n . Chứng minh được V và R n đồng cấu với nhau, vậy nên trong nghiên cứu ta đồng nhất V và R n . Tất cả các khơng gian n chiều đều coi là R n . I. Tọa độ của véctơ 2 2 2 2 { 1;3 2 1;2 } [ ]. Cho là tập con của       M x x x x x x P x Ví dụ Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính. Chọn cơ sở chính tắc của P 2 [x] là . 2 , ,1 { } E x x  2 1 1 1 1 E [ ]x x              2 3 2 1 2 1 E [3 ]x x              2 2 1 0 E [2 ]x x             Hạng của M = hạng của họ vectơ của M ở dạng toạ độ. 1 3 2 1 2 1 1 1 0 A            ( ) 2 r A   Vậy M phụ thuộc tuyến tính Tập con F II. Khoâng gian con V là K-kgvt Tập con F 2 phép toán trong V K- kgvt F Kg con F [...]... của F Ç G 5 vì E độc lập tuyến tính Þ dim( F Ç G ) = 1 Vậy E là cơ sở III Tổng và giao của hai không gian con Ví dụ Cho F và G là hai khơng gian con của R4, với x1  x2  x3  x4  0  F  ( x1, x2 , x3 , x4 )  2x1  x2  x3  2 x4  0  x1  x2  x3  x4  0  G  ( x1, x2 , x3 , x4 )  3x1  2 x2  2 x3  3 x4  0  1 Tìm cơ sở và chiều... khơng gian con của V 2 dim(L(M)) = Hạng của họ M II Khơng gian con Giả sử dim(V) = n Hạng M = Hạng Ma trận M  {x1 , x2 , , xm } Kgian con x là tổ hợp tt của M hạng M < m M phụ thuộc tt M độc lập tt M là cơ sở của V hạng M = m M tập sinh của V hạng M = dim(V) hạng M = dim(V) = số vectơ trong M hạng M = hạng M thêm vectơ x Chiều kgian... để x thuộc khơng gian con sinh ra bởi M? III Tổng và giao của hai không gian con Cho F và G là hai khơng gian con của K-kgvt V Định nghĩa giao của hai khơng gian con Giao của hai khơng gian con F và G là tập hợp con của V, ký hiệu bởi F  G  { x V | x  F và G} x Định nghĩa tổng của hai khơng gian con Tổng của hai khơng gian con F và G... x 2  3 x  2) Suy ra 2 E  { x  3 x  2} Hiển nhiên E độc lập tuyến tính  dim( F )  1 là tập sinh của F Vậy E là cơ sở của F II Không gian con Ví dụ 1 1  F   A  M 2[ R]| A    0 2 2  1 Chứng tỏ F là khơng gian con M2[R] 2 Tìm cơ sở và chiều của F II Không gian con ... chiều của F II Không gian con Ví dụ  1 1  2 1  3 1  1 0  F   ,  0 1 ,  2 1 ,  2 0   2 1     Tìm cơ sở và chiều của F II Không gian con Ví dụ Cho x  (1, 2,3); M  {(1,1,1);(2,1,0);(3, 1,3)} x có thuộc khơng gian con sinh ra bởi M? II Không gian con ...II Không gian con Định lý Tập con khác rỗng F của K-kgvt V là khơng gian con của V khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây thỏa 1.f , g  F : f  gF 2.f  F ,   K :  f  F II Không gian con Ví dụ F  ( x1 , x2 , x3 )  R3 | x1  2 x2  x3  0 1 Chứng tỏ F là khơng gian. .. Kiểm tra thấy E độc lập tuyến tính Vậy E là cơ sở của F  dim( F )  2 II Không gian con Ví dụ F   p ( x)  P2 [x] | p (1)  0 & p (2)  0 1 Chứng tỏ F là khơng gian con của P2[x] 2 Tìm cơ sở và chiều của F p ( x)  ax 2  bx  c  F  p (1)  0 & p (2)  0 Giải câu 2  a  b  c  0  a   ; b  3 ; c  2   4a  2b  c  0  p (... g III Tổng và giao của hai không gian con Định lý 1 F  G & F  G là hai khơng gian con của V 2 dim(F  G )  dim(F )  dim(G )  dim( F  G ) Kết quả F G  F  F G V F G  G  F G V III Tổng và giao của hai không gian con Các bước để tìm khơng gian con F+G 1 Tìm tập sinh... thêm vectơ x Chiều kgian con M = hạng M II Không gian con Ví dụ Cho F  (1,1,1);(2,1,1);(3,1,1)  Tìm cơ sở và chiều của F II Không gian con Ví dụ Cho F  x 2  x  1, 2 x 2  3 x  1, x 2  2 x  2  Tìm cơ sở và chiều của F II Không gian con ... Tổng và giao của hai không gian con Ví dụ Cho F và G là khơng gian con của R3, với F  (1,0,1);(1,1,1)  G  (1,1,0);(2,1,1)  1 Tìm cơ sở và chiều của F  G 2 Tìm cơ sở và chiều của F  G III Tổng và giao của hai không gian con Ví dụ Cho F và G là hai khơng gian con của P2[x],