February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com Bất đẳng thức trong đề đại học Câu 1: (Diễn đàn Toán phổ thông) Cho ,a b và c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 2 ( )( ) 4 ( ) a b c ab bc ca bc P abc b c        Hướng đi: (Nhiệm vụ của hướng đi là giúp bạn hướng tư duy và dự đoán dấu bằng) Việc đầu tiên ta sẽ dự đoán dấu bằng của nó. Đối với bài này, thông thường dấu = xảy ra khi b c . Khi đó 2 2 ( 2 )( ) ( 2 )( 2 ) 1 1 2 5 1 a b ab b ab a b b a a b P ab ab b a                    Đến đây ta có thể dự đoán a b (theo Cauchy). Từ đây ta sẽ biết được a b c  Giải:   2 2 ( )( ) 4 1 1 1 4 ( ) ( ) a b c ab bc ca bc bc P a b c abc b c a b c b c                     Ta dùng Bất đẳng thức phụ: ( )( ) a b x y ax by     ( )( ) 2 2 a b x y ax by abxy ay bx abxy          (luôn đúng theo Cauchy). Dấu = xảy ra khi a x b y  . Tiếp theo ta sẽ lồng biểu thức   1 1 1 a b c a b c           vào BĐT phụ trên, và điều ưu tiên là ta sẽ khử đi ẩn a .   1 1 1 1 1 1 . ( ) 1 b c a b c a b c a b c a b c bc                        Đến đây ta kiểm tra, dấu = xảy ra khi 2 1 1 1 ( ) a a bc a a bc b c b c a b c b c          . Điều này đi đúng với hướng đã vạch ra là a b c  . February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com ( Ở bước này ta có thể làm như sau       2 2 1 1 1 ( ) 1 1 2 1 b c b c a b c b c b c b c a b c a b c bc bc a bc bc bc                          )   2 2 4 1 1 1 1 4 ( ), 0; 2 b c bc bc P t f t t t b c bc b c                    3 3 2 2 2 1 8. 1 1 8 1 2 '( ) 8 0 ( ) 1 2 t f t t f t t t         nghịch biến trên 1 0; 2       1 ( ) 4 2 f t f          . Dấu = khi 1 2 t a b c    Vậy 4 MinP  khi a b c  . Câu 2: (nguoithay.vn) Cho ,a b và c là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2 ( ) 4 4 a b c a b c      . Tim giá trị lớn nhất của     2 2 1 a b c b a c P a c b c c        . Hướng đi: Với đề bài như thế này, ta sẽ mập mờ đoán ra a b . Khi đó, giả thiết sẽ là 2 2 2 2 a ac c        2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 ( ) 4 4 4 4 1 2 2 a a c a a c P a a c c c a c a c c c c c c                         (cauchy 3 số) Dấu = khi 1 , 1 2 c a b    Giải: Chìa khóa bài này chính là bất đẳng thức phụ   2 2 2 x y x y a b a b     Đây là bất đẳng thức đầu tiên mà bạn nên học nếu muốn chinh phục 10 điểm đề thi THPT Quốc gia. Nó có rất nhiều tên gọi, một trong số đó là Schwarz. Cách chứng minh BĐT này đã có rất nhiều trên mạng, các bạn có thể lên google search. Vì là đất nước trên con đường hội nhập nên cách bạn hãy tự trang bị cho mình các kĩ năng, và một trong đó là kĩ năng tìm kiếm thông tin. Tôi chỉ xin nói ra dấu bằng của nó. Dấu = xảy ra khi x y a b  February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com Từ đây ta sẽ có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ( ) 4 4 4 4 1 2 2 b a P a c b c a b c a b c c a b c c c c c                                     Dấu bằng xảy ra khi 1 , 1 2 c a b    Câu 3: (diendantoanhoc.net) Cho ,x y và z thực dương thỏa mãn 2 2 2 6 4 ( )x y z z x y    . Tim giá trị nhỏ nhất của     2 2 3 3 2 2 x y x y P z y x z x y z       Hướng đi: Qua hai câu trên, chắc chắn các bạn đã dự đoán được x y Từ giả thiết suy ra ( )( 3 ) 0 x z x z    . Đến đây ta sẽ thử 2 trường hợp x y z  và 3x y z  lần lượt vào P. Thấy khi x y z  thì P có giá trị nhỏ hơn. Vậy dấu bằng khi x y z  Giải: Để ý thấy đây là BĐT là thuần nhất (có nghĩa là đồng bậc) nên ta sẽ sử dụng phép đặt như sau: Đặt , x y a b z z   (từ đây hướng đi của chúng ta đều quy về 1 a b   )   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4( ) 6 6 4 4 6 4 ( ) 6 0 2 4( ) 2 6 a b a b a b x y x y x y z z x y z z z z a b ab                           2 a b    và 2( ) 3 a b ab            2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 x y x y a b P a b z y x z x y z b a a b             Đến đây, ta thấy sự tương quan giữa   3 2 1 a b a  và   3 2 1 b a b  . Nhiệm vụ bây giờ của chúng ta là khử mẫu hoặc làm cho chúng cùng chung mẫu số. Bây giờ ta 2 chia ra hai hướng. Hướng 1: Khử mẫu. Ta thấy ở tử là bậc ba, điều đó liên tưởng cho ta cauchy 3 số. Và ta có thể khử theo hai cách như sau: Cách 1.1: Ta có   3 2 1 3 8 8 4 1 a a ab b a b a       (lưu ý khi 1 a b   thì   3 2 1 1 8 8 4 1 a a ab b b a       nên ta chọn như thế). February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com Tương tự   3 2 1 3 8 8 4 1 b b ab a b a b             3 3 2 2 2( ) 2( ) 3 1 2( ) 1 1 4 4 2 1 1 a b a b a b a b ab b a a b                Suy ra 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 a b P a b         Cách 1.2: Ta có     3 2 2 3 2 2 2 1 3 ; 4 16 4 1 2 1 3 4 16 4 1 a b a a a b a b a b b b a b                     3 3 2 2 2 2 3 1 1 3 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 4 4 6 ( ) 8 16 8 8 16 8 8 4 2 1 1 a b a b a b a b a b a b b a a b                    Suy ra 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 a b P a b         Hướng 2: Làm cho chúng cùng chung mẫu số     3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 54( ) 27( ) 2 ( 1)( 1) 2 (b 1)(b 1) (2 2 2) 4( 1) 1 1 a b a b a b a b b a a a a b a b b a a b                  Mặt khác: 3 3 3 2( ) 27 a b a b    (BĐT này rất dễ dàng chứng minh bằng tương đương, nhưng bạn hãy thử chứng minh theo hướng khác nhé, mọi bài toán lớn đều cần 1 bài toán nhỏ thế này)     3 3 3 3 3 3 2 1 (3 3 ) (2 2 2) 4 4.27 27.4 27 a b a b a b a b a b             Từ đó ta suy ra         3 3 3 2 2 3 2 1 27. 1 27 2 1 1 4 1 a b a b b a a b a b          Suy ra 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 a b P a b         February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com Câu 4: (Boxmath) Cho ,a b và c là các số thực dương thỏa 3 ( ) a a b c bc   . Tìm GTNN của b c P a   Hướng đi: Ta dự đoán b c . Khi đó,   2 3 ( 2 ) 3 2 3a a b b b a      Vậy dấu bằng khi   3 2 3b c a    Giải: Ta thấy đây là BĐT thuần nhất. Đặt ; b c x y a a   (từ đây ta sẽ xoay quanh 3 2 3 x y   ) Theo giả thiết:   2 3 3( ) 6 4 3 4 x y x y xy x y          6 4 3 P x y    Dấu = khi   3 2 3 3 2 3x y b c a        Câu 5: (THTT) Cho các số thực dương , ,x y z thỏa 2 2 2 1 x y z    .Tìm GTNN của 2 2 1 1 2 3 1 P z x xy y xy       Hướng đi: Ta dự đoán dấu 2 2 2 1 x y x z    .Thay vào P ta được 2 2 2 3 1 1 P z z     Giải: Theo giả thiết   0;1 z       2 2 2 2 2 2 2 4 4 1 1 2 3 2 2 3 2 1 1 2 4 P z z x xy y xy x xy y xy x xy y                 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 ( ) 1 1 1 1 2 f z x y z z z z x y                    2 2 2 2 2 3 2 3 '( ) . 0 (1 ) 1 1 1 1 1 1 1 z z f z z z z z z z z z                          3 2 2 3 2 1 1 1 3 3 3 1 3 3 (2 1)(2 3 3) 0 2 z z z z z z z z z z z z z                   February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com Bảng biến thiên: Z 0 1 2 1 Theo bảng biến thiên, 8 3 3 MinP  . Dấu bằng xảy ra khi 3 1 , 2 2 x y z    f’(z) 0 f(z) 2 2 3   8 3 3 Lưu ý rằng sẽ nhiều bạn gặp khó khăn khi tìm 2 1 2 2 3 lim 1 1 x z z             . Để làm tốt đề thi THPT Quốc Gia, tôi biết các bạn sẽ phải chọn lọc những thứ cần học, và dĩ nhiên phần giới hạn lớp 11 sẽ bị bỏ qua, nên gặp những trường hợp thế này, các bạn cứ làm theo cảm tính, cứ tưởng tượng, z càng tiến tới 1 thì 2 2 1 z càng lớn. Nên ta cứ tự tin mà cho 2 1 2 2 3 lim 1 1 x z z               Câu 6: Cho các số thực không âm , ,a b c thỏa 1a b c   và không có hai số nào đồng thời bằng 0. Tìm GTNN:      1 1 1 3 ( )( ) (c ) P c a b a b b c a a b           Hướng đi: Ta dự đoán dấu = khi a b khi đó 2 1a c  Khi đó              2 2 1 1 4 4 1 2 3 1 4 3 4 2 2 1 1 1 P c a c c c c a a c a a c c c c                   Giải: Theo giả thiết   0;1 c     1 1 1 1 4 ( ) (c ) P c c a b b c a               (thêm 1 lần nữa, ta thấy được sức mạnh của Schwarz) 2 2 1 4 1 4 . 3 4 . 3 4 1 2 1 1 c c c c c a b c c c              2 2 4 3 4 ( ) 1 c c f c c               2 2 8 ' 2 1 1 0 0;1 1 c f c c c c         Suy ra hàm số nghịch biến trên       0;1 0 8 f c f    February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com Vậy 8 MinP  khi 1 , 0 2 a b c    Câu 7: (nguoithay.vn) Cho các số thực dương , ,x y z thỏa 2 2 2 5( ) 9( 2 )x y z xy yz zx      . Tìm GTLN của   3 2 2 1x P y z x y z      Hướng đi: Dự đoán y z . Khi đó     2 2 2 5 2 18 4x y xy y x y      Do đó 3 2 1 216. P y y   . Khảo sát hàm số này ta thấy Pmax khi 1 12 y  Vậy dấu = khi 1 1 , 3 12 x y z    Giải: Từ giả thiết, ta sẽ hướng đến các đại lượng đối xứng ( yz hoặc y z hoặc 2 2 y z )       2 2 2 2 2 2 2 5( ) 9( 2 ) 9 5 5 18 2 x y z xy yz zx x y z x y z yz y z                 2 2 2 9 ( ) 5 0 y z x y z x       (đây là bất phương trình đẳng cấp)   2 y z x   Đó là những gì ta có được từ giả thiết, và ta không thể quy về ẩn x để khảo sát hàm số. Do đó ta sẽ quy về 1 ẩn khác. Và chìa khóa chính là ẩn y z           3 3 2 3 3 2 2 2 1 1 4 1 1 4 ( ), 0 27 27 27 2 y z x t P t f t t y z y z y z x y z y z y z y z                     2 '( ) 4 0 6 9 t f t t     Bảng biến thiên T 0 6  Theo bảng biến thiên, 16 MaxP  . Dấu bằng xảy ra khi 1 1 , 12 3 y z x    f’(t) 0 f(t) 0  16 February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com Câu 8: (toanhoc24h) Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn   2 4 ac b a b c     . Tìm GTNN của     2 2 2 2 8 8 1 1 a c b b P a c a b c          Thoạt nhìn biểu thức của P thật phức tạp, nhưng hãy nhìn kĩ, các biểu thức sẽ phân ra 2 phần, 1 phần đối xứng gồm (a,c). Và 1 phần không đối xứng gồm b. Nên các bạn đừng quá lo lắng. Cốt lõi bài toán sẽ nằm ở những thứ đó. Hướng đi: Ta tiếp tục dự đoán như những bài trên a c . Và các bạn hãy làm thử các bước tiếp theo. Tôi tin tới đây các bạn đã có thể vạch ra hướng đi trong đầu mà không cần ghi ra hướng đi trên nháp. Giải:       2 2 2 2 2 ( ) 4 2( ) 1 a b c b b a c a c ac b a c b b a c                 (bước này tương tự các câu trên, ta sẽ quy các biểu thức về ac hoặc a c hoặc 2 2 a c . Và bạn đừng ngại, cứ thử hết 3 cái đó, thế nào cũng có cái gọn nhất) Và để ý 1 tí ta sẽ cần thứ này 2( ) 1a b c b    Đến biểu thức P:               2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 8 1 4 1 8 1 1 2 2 2 2 4. 1 1 1 1 a c b a c b b b b b P a c b b a b c b b                        Đặt 1 1 b t b    (cái này khó mà tìm điều kiện chặt của t, nhưng ta chỉ cần điều kiện t>0 là đủ) 2 2 ( ) 8P f t t t    2 2 1 '( ) 16 0 2 f t t t t      Bảng biến thiên: T 0 1 2  Theo bảng biến thiên, 6 MinP  . Dấu bằng xảy ra khi 1 1 1 , 2 3 6 t b a c      f’(t) 0 f(t)   6 February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com Câu 9: (nguoithay.vn) Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn    2 4a b b c bc    và 3 a c Tìm GTNN của 2 2 2a b P ac   Hướng đi: Như những định hướng ở các bài trước, ta sẽ đoán được b c . Và bài này còn dễ hơn các bài trước là có thêm dữ kiện 3 a c nên ta có thể giữ niềm tin dấu bằng sẽ xảy ra khi 3 a b c  Nhìn vào giả thiết và cả biểu thức P ta đều nghĩ tới phép đặt ẩn phụ , a b x y c c   . Giải: Từ giả thiết ta có 1 3 a c     2 4 2 1 4 2 2 a b c a a b a b b c bc c c b c b c                     Đặt , a b x y c c   1 3 x   Và 2 2 2 1 1 1 2 2 1 3 3 2 x y y x y x y y y                  2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 1 1 2 2 2 ( ) 1 1 1 1 y y y y y y y y y y y y P x f y x y y y y                   Đến đây đạo hàm hơi vất vả.                2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 2 2 2 3 2 3 1 9 4 3 2 3 2 3 1 1 '( ) 0 ; 3 2 1 1 y y y y y y y y y y y y f y y y y                               Vậy ( )f y đồng biến trên 1 1 1 ; ( ) 1 3 2 3 y f y f                 Dấu bằng khi 1 1 3 3 3 c y x a b       Từ đây, ta thấy hướng của ta đã vạch ra là không đúng, đây là một bài toán khá hay, cho ta thấy được sự bất biến của BĐT, bây giờ cũng đề bài trên, các bạn hãy thử tìm GTLN xem! Câu 10: (ĐH Vinh) Cho các số thực dương , ,x y z thỏa   2 2 2 2 3 x y z xy x y z      . Tìm GTNN của 20 20 2 P x y z x z y        February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com Hướng đi: Bài này thực sự là 1 bài khá khó, đây không phải BĐT nửa đối xứng, và ta khó mà đoán được điểm rơi của nó. Nhưng khó chứ không phải là không thể. Để ý kĩ, ta sẽ thấy sự xuất hiện của 2 biểu thức 1 x z và 1 2 y  . Điều này giúp ta liên tưởng đến việc khử mẫu và rất để ý thấy, hệ số của chúng đều là 20, nên rất có thể chúng bằng nhau. Khi chúng bằng nhau thì   2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 0 x z y x y z xy x y z x y x y                 Và 40 2( ) 2 P x z x z      . Khảo sát hàm số này thì hàm số sẽ có GTNN là 26 và 4 x z   2 2 4 2 1; 2; 3 2 1 0 x z x z y x y z x y x y                     Từ đó ta đã biết được điểm rơi của BĐT. Giải:     2 2 2 2 2 3 2 x y z x y z xy x y z         (dễ thấy x y z  nên ta làm tiếp)   2 2 x y z    6 x y z          4 20 20 40 40 2 2 2 2 2 2 P x y z x y z x y z x z y x y z x z y                       Đến đây thì đã đơn giản, có nhiều cách sử lí, và tôi sẽ chọn cách gần gũi với các bạn nhất. Đặt 2 2 2 t x y z       2 40 2 2 P f t t t        3 2 2 40 2 2 40 2 '( ) 2 0 2 2 t f t t t f t t t         nghịch biến trên  2; 2 2   Vậy     2 2 26 f t f   . Vậy 26 MinP  khi 1; 2;z 3 x y    Các bạn hãy làm thử bài này: [...]...February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2 2 2 (moon.vn) Cho các số thực dương x, y, z thỏa x  y  z  2 xy  3  x  y  z  Tìm GTNN của P  x yz 54 54  y7 z x5 Câu 11: (Tilado.edu.vn) Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy  yz  zx  0 và x 2  xy  yz  3 zx Tìm GTNN của P  x 16 y 25 z   y z z x x y Hướng đi: Thoạt nhìn, ta thấy đây là bất đăng thức thuần nhất, vì thế... 12  b  1  b 2  4b  1 Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com  1 34 34 (vì 25b 4  138b3  320b 2  710b  265  0b  )  3 3 3 February 22, 2015 Vậy MaxP  BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 34 1 khi b  , a  0  y  0, x  3 z 3 3 Bài toán này đòi hỏi sự biến đổi cẩn thận, các bạn hãy thử theo con đường khảo sát hàm số xem Biết đâu sẽ nhanh hơn Câu 12: (THTT) Cho các số dương... Ta sẽ tìm GTLN của 4a 3 4 12 1 1 1 1      12      2 2 a  bc  7 a(b  c) a  b  c  a  b  c   abc 6 3 3 Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC February 22, 2015 a  b  c a  3   Tới đây, ta đã ép bài toán vào dấu = khi  a  b  c  6  b  2 Giờ ta sẽ đi giải quyết bài toán a 2  b 2  c 2  14 c  1   Giải: Ta có 8a... yz  zx    x  2y 2 Khi x  2 2 25 2 y thì P  2 3 x  x 2 (khảo sát ta thấy ra xấu nên ta cứ cho là nó sai đi :3 ) 5 2 Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC February 22, 2015 Khi x  2 y thì P  2 x  x2 3 1 Khảo sát hàm số này thì được min P  khi x  1; y  z  2 2 2 Giải: 5 x  6 yz  6 x  y  z   5  y  z 2 2 2   5x 2  y  z 6 2 4...  xy  2 xy  xy  4  2 Ta lại có   x  y  1 2 2 2 2 2  x  y  xy  x  y   xy   2 xy  x  y  1  xy  1   4 Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC February 22, 2015 Và P  x   y a b c x y 1 1         1    1  2 2 2 2 2 2 2 bc ac y 1 x 1 a b c x  y 1  y 1   x 1  x  y2 1 4  x  y  1  1 1  4 4  ... smart.mst@gmail.com a2  a  b 2 x2  9 y 2  3z  z 2 xy  1 b c 3a3  a 2  c 2 a 2  b 2  b  c 6 1 2 x  3 xy 2   y2 y xy  1 ab 2 16a 4  2   b  ac   c  a   c  a 4 February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Câu 6: Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn abc  a  b  c   4 Tìm GTNN: P 1  a  b  a  c   8bc bc  b  c 2   8 2 Câu 7: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x  y... 2  2 x 2 y  2 2 y  zx y  z  2 Câu 16: : Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x 2  y 2  z 2  xy  2 z Tìm GTNN Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC February 22, 2015 2  x y  8z3 P 2  2   2 x  z 2   x 2  z 2  y 2  z 2   y z Câu 17: Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn  a  2b  b  c   5bc và 2a  c Tìm GTLN... Câu 25: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x, y , z  1 và x  y  z  6 xy  2  x  y  z  Tìm GTNN Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com February 22, 2015 P BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC x 1 y 1  x y    y  z 1 x  z 1  z  2 Câu 26: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x  y  4 xy  4 xyz Tìm GTLN P xz yz z    z3 2 x  y  z y  x  z  x  y Câu... t  4 t  4    f t   f  4  5 3 Dấu = khi x  y  2  a  b  2c Sau đây là một số bài toán mà tôi thấy hay và đáng làm: (toanhoc24h.blogspot.com) – trích trong đề thi thử của thầy Khải Đây là người thầy mà tôi rất kính trọng Trong thầy tôi thấy được sự đam mê… Câu 1: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x  y  4 z  4 Tìm GTNN: P  2z z x y z    2 y z x y 2 4 2 Câu 2: : Cho... toán này tôi đánh giá rất khó, để tạo ra bài toán này, chắc hẳn tác giả phải tạo ra điểm rơi trước rồi mới nêu lên ý tưởng Còn đối với chúng ta, điểm rơi vẫn còn là dấu chấm hỏi Nhận xét thấy các biểu thức trong P được chia thành hai nhóm là +Nhóm 1: 4a 3  có chứa cả 3 biến a , b, c a  bc  7 a(b  c) +Nhóm 2: 4a  c 5  chỉ chứa 2 biến số 2 a  3c  28  a  b 2 2 2 Ta sẽ xử lý nhóm 1 trước Bây