ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN          LÊ KHÁNH LUẬN SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01 Phản biện 1: GS. TSKH. ĐỖ CÔNG KHANH Phản biện 2: GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Phản biện 3: PGS. TS. PHẠM HỮU ANH NGỌC Phản biện độc lập 1: GS. TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN Phản biện độc lập 2: TS. NGUYỄN VĂN NHÂN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. TS. NGUYỄN THÀNH LONG 2. TS. TRẦN MINH THUYẾT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2013 Mục lục Danh sách ký hiệu 1 Mở đầu 2 1 Sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính và khai triển tiệm cận cho bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 14 1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 Các ký hiệu và giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Sự tồn tại dãy xấp xỉ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.5 Khai triển tiệm cận của nghiệm theo hai tham số bé. . . . . . . . . 35 Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2 Sử dụng phương pháp Galerkin kết hợp phương pháp compact và khai triển tiệm cận cho phương trình sóng phi tuyến li ên kết với bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường 50 2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi  1 ! 0 + . . . . . . . . . . . . . . 68 2.4 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3 Sử dụng phương pháp Galerkin kết hợp phương pháp compact và khai triển tiệm cận cho phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên không thuần nhất dạng chứa tích chập 85 iii Mục lục iv 3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.3 Sự ổn định của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.4 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu theo hai tham số bé K,  . . 106 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Kết luận 118 Danh mục công trình của tác giả 121 Tài liệu tham khảo 122 Danh sách ký hiệu Ký hiệu tập hợp N Tập hợp các số tự nhiên Z Tập hợp các số nguyên R Tập hợp các số thực Z + Tập hợp các số nguyên không âm R + = [0; 1) Tập hợp các số thực không âm  = (0; 1) Q T =   (0; T ), với T > 0 Ký hiệu về đa chỉ số jj =  1 +  2 + ::: +  N Bậc của đa chỉ số  = ( 1 ;  2 ; :::;  N ) 2 Z N + ! =  1 ! 2 !::: N ! x  = x  1 1 x  2 2 :::x  N N Đơn thức bậc jj theo N biến, với x = (x 1 ; x 2 ; :::; x N ) Ký hiệu đạo hàm u (t) = u (x; t) _u (t)  u t (t) = u 0 (t) = @u @t (x; t) •u (t)  u tt (t) = u 00 (t) = @ 2 u @t 2 (x; t) u x (t)  ru (t) = @u @x (x; t) u xx (t)  u (t) = @ 2 u @x 2 (x; t) D k i f = @ k f @x k i D  f = @ jj f @x  1 1 @x  2 2 :::@x  N N , với  = ( 1 ;  2 ; :::;  N ) 2 Z N + 1 Mở đầu Lý thuyết các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng có mối liên hệ trực tiếp với các bài toán xuất phát từ thực tiễn. Vào giữa thế kỷ XVIII, các công trình của những nhà toán học như L. Euler (1707-1783), D’Alembert (1717-1783), Lagrange (1736-1813) và Laplace (1749 -1827) đã đặt nền móng cho việc xây dựng phương trình đạo hàm riêng như là một công cụ quan trọng để mô tả các mô hình của vật lý và cơ học. Từ đó đến nay, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đã phát triển không ngừng và đóng một vai trò quan trọng trong lĩnh vực toán học lý thuyết cũng như trong lĩnh vực toán học ứng dụng, đồng thời thúc đẩy sự phát triển các ý tưởng toán học trong nhiều lĩnh vực. Sự phát triển của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có tác động qua lại với sự phát triển của giải tích thực, giải tích hàm và các lĩnh vực nghiên cứu hiện đại khác của toán học. Chính nhu cầu ng hiên cứu một cách chặt chẽ các phương trình đạo hàm riêng đã làm nảy sinh nhiều phương pháp hữu hiệu như phương pháp Fourier, phương pháp Galerkin và các phương pháp khác của giải tích phi tuyến. Thực tế cho thấy rằng, có rất nhiều dạng bài toán biên cho phương trình sóng nói riêng và phương trình đạo hàm riêng nói chung, và không tồn tại một phương pháp chung nào để giải tất cả các bài toán đó. Còn nhiều dạng bài toán vẫn là "bài toán mở" - cầ n tiếp tục khảo sát. Do các yếu tố phi tuyến xuất hiện trong bài toán biên, bài toán sẽ trở nên phức tạp và đòi hỏi phải lựa chọn các công cụ toán học thích hợp kèm theo một số kỹ thuật tính toán để thu được các thông tin về nghiệm càng nhiều càng tốt, như sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất, tính trơn, tính ổn định hoặc khai triển tiệm cận nghiệm. Chính vì vậy, chúng tôi có cơ sở để chọn đề tài nghiên cứu của luận án là "Sử dụng các phương pháp của giải tích phi tuyến vào một số bài toán biên phi tuyến". Các phương pháp của giải tích phi tuyến cùng các kiến thức cơ bản khác hỗ trợ cho việc giải các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng có thể được tìm thấy 2 Mở đầu 3 trong rất nhiều tài liệu, có thể kể đến các tài liệu như: [3] Haim Brezis (2010), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer New York Dordrecht Heidelberg London; [28] J. L. Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites nonlinéaires, Dunod; Gauthier – Villars, Paris; [25] Lakshmikantham V, Leela S (1969), Differential and Integral Inequalities, Vol.1. Academic Press, NewYork; [18] K. Deimling (1985), Nonlinear Functional Analysis, Springer, NewYork; [75] R. E. Showalter (1994), Hilbert space methods for partial differential equations, Electronic J. Differential Equations, Monograph 01. Tiếp nối các công trình đã có cho phương trình sóng, luận án tập trung khảo sát một số bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến cụ thể thuộc dạng u tt  @ @x [ (x; t; u; u x ) u x ] = f(x; t; u; u x ; u t ); 0 < x < 1; 0 < t < T; liên kết với điều kiện biên cụ thể và điều kiện đầu u(x; 0) = ~u 0 (x); u t (x; 0) = ~u 1 (x); trong đó ; f; ~u 0 ; ~u 1 là các hàm số cho trước. Để giải các bài toán biên cụ thể này, bên cạnh phương pháp xấp xỉ tuyến tính với một sơ đồ lặp được xây dựng bằng phép quy nạp, luận án đã sử dụng phương pháp Galerkin liên hệ với các định lý điểm bất động, các đánh giá tiên nghiệm và các lý luận về tính compact. Trong đó, công cụ chính là phương pháp Galerkin hay còn gọi là xấp xỉ Faedo - Galerkin. Phép giải xấp xỉ này thường được sử dụng để tìm nghiệm u(x; t) của bài toán giá trị biên - ban đầu cho các phương trình đạo hàm riêng. Ý tưởng cơ bản ở đây là chọn một cơ sở phù hợp fe i g trong một không gian hàm nào đó và rồi đi tìm kiếm nghiệm dạng u(x; t) = P i>1 u i (t)e i (x) của bài toán biên ban đầu. Từ đó, dẫn đến bài toán giá trị biên ban đầu cho một hệ vô hạn các phương trình vi phân thường với ẩn hàm là u i (t); bài toán sẽ được giải bằng việc tìm "nghiệm xấp xỉ" u n (x; t) = P n i=1 u ni (t)e i (x) thoả mãn hệ phương trình "cắt ngắn" tương ứng. Cuối cùng, ta chỉ ra dãy nghiệm xấp xỉ fu n (x; t)g hội tụ về nghiệm u(x; t): Quá trình chứng minh tồn tại nghiệm theo phương pháp này rất cần đến các kỹ thuật của giải tích phi tuyến, mà trước hết là vận dụng các định lý điểm bất động như Schauder hay định lý ánh xạ co để chứng minh sự tồn tại nghiệm xấp xỉ; Mở đầu 4 sử dụng các bất đẳng thức và đặc biệt là bổ đề Gronwall để thu được các ước lượng sai số hay các đánh giá tiên nghiệm, ngoài ra bổ đề Gronwall cũng đóng một vai trò quan trọng trong việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm. Cuối cùng là việc sử dụng các định lý nhúng compact để trích ra được các dãy con hội tụ về nghiệm cần tìm của bài toán. Nội dung chính của luận án gồm ba chương. Sau đây là phần giới thiệu về các bài toán được nghiên cứu trong các chương. Chương 1 đề cập đến việc sử dụng các phương pháp của giải tích phi tuyến cho bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến 8 > > > < > > > : u tt  @ @x ((x; t; u)u x ) = f(x; t; u; u x ; u t ); 0 < x < 1; 0 < t < T; u x (0; t) = g 0 (t); u(1; t) = g 1 (t); u(x; 0) = ~u 0 (x); u t (x; 0) = ~u 1 (x); (1) trong đó ~u 0 ; ~u 1 ; ; f; g 0 ; g 1 là các hàm số cho trước. Đây là bài toán được chú ý khảo sá t bởi nhiều tác giả, chẳng hạn như [1 ], [2], [4] – [9], [10] – [17], [19] – [24], [26], [27], [29] – [74], [76] – [79]. Trong các trường hợp đặc biệt, khi các hàm (x; t; u) độc lập với u như: (x; t; u)  1; hoặc (x; t; u) = (x; t); và số hạng phi tuyến f có các dạng đơn giản, bài toán (1), với các điều kiện biên- ban đầu khác nhau, đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả, chẳng hạn như, Ortiz, Định [62], Định [19], Long, Định [20], [21], Long, Diễm [36], Long, Định, Diễm [32], [33], [34], Long, Trường [39], [40], Ngọc, Hằng, Long [55] và các tài liệu tham khảo trong đó. Trong [23], Ficken và Fleishman đã thiết lập sự tồn tại duy nhất toàn cục và sự ổn định của nghiệm cho phương trình u xx  u tt  2u t  u = "u 3 + ; " > 0: (2) Rabinowitz [70] đã chứng minh sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn cho u xx  u tt  2u t = "f(x; t; u; u x ; u t ); (3) trong đó " là một tham số bé và f là hàm tuần hoàn theo thời gian. Trong một bài báo của Caughey và Ellison [10], đã hợp nhất các xấp xỉ của các trường hợp trước đó để khảo sát sự tồn tại, duy nhất và ổn định tiệm cận các nghiệm cổ điển Mở đầu 5 cho một lớp các hệ động lực phi tuyến liên tục. Trong [33], Lo ng, Định và Diễm đã nghiên cứu thuật giải qui nạp tuyến tính và khai triển tiệm cận cho phương trình sóng phi tuyến u tt  u xx = f(x; t; u; u x ; u t ) + "g(x; t; u; u x ; u t ); (4) với các điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất 8 < : u x (0; t)  h 0 u(0; t) = g 0 (t); u x (1; t) + h 1 u(1; t) = g 1 (t): (5) Ngoài ra, một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu u " đến cấp N + 1 theo " cũng được nghiên cứu ứng với g 0 ; g 1 2 C 3 (R + ); f 2 C N+1 ([0; 1] R + R 3 ); g 2 C N ([0; 1] R + R 3 ) và một số điều kiện khác, xem [3 3]. Trong trường hợp (x; t; u) phụ thuộc vào u hay số hạng phi tuyến f có dạng tổng quát, theo sự hiểu biết của chúng tôi chưa có nhiều công trình nghiên cứu, vì thực tế các tính toán không dễ dàng. Để giải quyết khó khăn này, phương pháp tuyến tính hóa các số hạng phi tuyến thường được sử dụng. Kỹ thuật này như sau. Đầu tiên, với mỗi v = v(x; t) thuộc một không gian hàm thích hợp X; ta có thể đưa ra một số giả thiết thích hợp để có được một nghiệm duy nhất u 2 X của bài toán đối với  = (x; t; v(x; t)) = ~(x; t) và f = f(x; t; v; v x ; v t ) = ~ f(x; t): Rõ ràng là u phụ thuộc vào v; vì vậy ta có thể giả sử rằng u = A(v): Vì vậy, bài toán trên có thể được đưa về một bài toán điểm bất động của toán tử A : X ! X: Dựa vào ý tưởng này, ta thiết lập được một dãy lặp fu m g sa o cho fu m g hội tụ về nghiệm của bài toán và ta thu được kết quả tồn tại nghiệm; thông thường là xây dựng theo thuật giải lặp u m = A(u m1 ); m = 1; 2; :::; với số hạng đầu u 0 được chọn trước. Trong chương này, trước hết sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phương của bài toán (1) được chứng minh. Vì (x; t; u) phụ thuộc vào u và f có dạng tổng quát, nên như đã nói ở trên, chúng tôi chọn phương pháp xấp xỉ tuyến tính và sử dụng kết hợp với phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đánh giá tiên nghiệm. Tiếp theo, khi Mở đầu 6 các hàm ; f có nhiễu, thay cho ; f là  + " 1  1 và f + " 2 f 1 ; ta có bài toán nhiễu sau 8 > > > > > > < > > > > > > : u tt  @ @x [( (x; t; u) + " 1  1 (x; t; u)) u x ] = f(x; t; u; u x ; u t ) + " 2 f 1 (x; t; u; u x ; u t ); 0 < x < 1; 0 < t < T; u x (0; t) = g 0 (t); u(1; t) = g 1 (t); u(x; 0) = ~u 0 (x); u t (x; 0) = ~u 1 (x): (6) Với tính trơn thích hợp của các hàm ;  1 ; f; f 1 , chương 1 chỉ ra một khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán (6) theo hai tham số bé " 1 ; " 2 : Toàn bộ kết quả thu được cho bài toán (6) đã tổng quát hóa kết quả trong [L1], chứa trường hợp  = (u);  1 =  1 (u); g 1 (t) = 0 như là một trường hợp riêng. Ngoài ra, kết quả của Chương 1 cũng đúng cho bài toán (1) 1;3 liên kết với điều kiện biên u(0; t) = u(1; t) = 0; và đã được công bố trong [L3], trong đó khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm đồng thời thiết lập một khai trển tiệm cận của nghiệm theo p tham số bé " 1 ; :::" p , ứng với các hàm ; f có nhiễu dưới dạng  + P p i=1 " i  i và f + P p i=1 " i f i : Chương 2 tiếp tục sử dụng các phương pháp và công cụ của giải tích phi tuyến để xét bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến có dạng 8 > > > > > > < > > > > > > : u tt  @ @x ((x; t)u x ) + Kjuj p2 u + ju t j q2 u t = F (x; t); 0 < x < 1; 0 < t < T; (0; t)u x (0; t) = P (t); (1; t)u x (1; t) =  1 ju t (1; t)j 2 u t (1; t); u(x; 0) = ~u 0 (x); u t (x; 0) = ~u 1 (x); (7) với K; ;  1 ; ; p; q là các hằng số cho trước và ~u 0 ; ~u 1 ; ; F là các hàm số cho trước thoả một số điều kiện nào đó mà sẽ được chỉ ra sau, ẩn hàm u(x; t) và giá trị biên chưa biết P (t) thỏa một bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường 8 < : P 00 (t) +  1 P 0 (t) +  2 P (t) = (t)u tt (0; t); 0 < t < T; P (0) = ~ P 0 ; P 0 (0) = ~ P 1 ; (8) trong đó (t) là hàm số cho trước và  1 ;  2 ; ~ P 0 ; ~ P 1 là các hằng số cho trước, với  2 1 4 2 < 0: Đây là bài toán được khảo sát bởi nhiều tác giả, như là An [1] cùng các cộng sự, Mở đầu 7 Bergounioux [5] cùng các cộng sự, Cavalcanti ([11] – [16]) cùng các cộng sự, Định [21] cùng các cộng sự, Long ([30], [31], [34], [37], [40]) cùng các cộng sự, Ngọc ([53], [55], [56], [59]) cùng các cộng sự, và các tài liệu tham khảo trong đó. Trong [1], Nguyễn Thúc An và Ng uyễn Đình Triều đã xét bài toán (7) 1;2;4 , và (8) liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất tại x = 1 : u(1; t) = 0; (9) với (x; t)  1; F = ~u 0 = ~u 1 = ~ P 0 =  1 = 0; (t) = ; và f(u; u t ) = Ku + u t ; với ; K  0;   0 là các hằng số cho trước. Trong trường hợp này bài toán (7) 1;2;4 , (8) và (9) là một mô hình toán học mô tả những va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng. Cũng với (x; t)  1; một trường hợp đặc biệt khác của bài toán (7) 1;2;4 , (8) liên kết với một điều kiện biên tuyến tính tại x = 1 đã được khảo sát bởi Bergounioux, Long và Định [5]. Từ (8), biểu diễn P (t) theo  1 ;  2 ; ~ P 0 ; ~ P 1 ; (t); u tt (0; t) và sau đó lấy tích phân từng phần, ta thu được P (t) = g(t) + (t)u(0; t) + Z t 0 k (t; s) u (0; s) ds; (10) g(t) =  ~ P 0  (0)~u 0 (0)  e t cos !t + h  ~ P 0  1  ~ P 1 + (  0 (0)+(0) ! )~u 0 (0)  (0) ! ~u 1 (0) i e t sin !t; (11) k (t; s) = 2([ 0 (s) + (s)] e (ts) cos(!(t s)) + [ 00 (s) + 2 0 (s) + ( 2  ! 2 )(s)] e (ts) sin(!(ts)) ! ; (12) với  = 1 2  1 ; ! = 1 2 p 4 2   2 1 : Bằng cá ch khử P (t); ta thay thế các điều kiện biên (7) 2 bởi (0; t)u x (0; t) = g(t) + (t)u(0; t) + Z t 0 k (t; s) u (0; s) ds: (13) Khi đó, bài toán (7), (8) được dẫn về bài toán (7) 1;3;4 và (13), dạng bài toán này cũng đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Chẳng hạn như, Cavalcanti cùng các cộng sự [11] – [16]; Long, Định và Diễm [34 ]; Ngọc, Hằng và Long [55]; Qin [65], [66]; Rivera [68], [69]; Santos [71] – [74] và các tài liệu tham khảo trong đó. Các công trình này đã có được nhiều kết quả đáng chú ý về sự tồn tại, duy nhất, tính trơn, tính ổn định, khai triển [...]... g1 là các hàm số cho trước Chương nầy gồm hai phần Để tiện ~ ~ theo dõi, chúng tôi sẽ trình bày phần một từ mục 1.1 – 1.4 và phần hai bắt đầu từ mục 1.5 trở đi Trong phần một, chúng tôi sẽ thiết lập một định lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phương của bài toán (1.1.1) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu Phần hai sẽ khảo sát bài toán khai... (0;T ;H 1 ) với CT là hằng số độc lập với 1: + u0 1 PN i=0 1 1 1 khi 1 ! 0+ : Phần còn lại theo tham số bé 1; đến cấp N; sao cho ta có một đánh giá dạng i 0 1 ui L1 (0;T ;L2 ) CT (N +1) 1 2( 1) 1 ; Kết quả trong chương này đã được công bố trong [L2] Cuối cùng, Chương 3 tập trung sử dụng các công cụ của giải tích phi tuyến để xem xét bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến 8 @ > utt > ( (x; t)... tiệm cận của nghiệm hoặc tính tắt dần của nghiệm Kết quả thu được của chương 2 gồm 3 phần sau đây: Phần 1 là kết quả về sự tồn tại toàn cục và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (7) dưới một số điều kiện cho trước Trong phần 2, gọi u mỗi 1 là nghiệm yếu của bài toán (7) ứng với 1 > 0; ta thu được dáng điệu tiệm cận của nghiệm u chỉ ra được một cách khai triển tiệm cận của nghiệm u theo nghĩa là có các hàm... khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán (14) theo 2 tham số bé K; ; tương ứng với f (u; ut ) = Kjujp 2 u + jut jq 2 ut : Một phần kết quả của Chương 3 sẽ đã được gửi đăng trong [L4] Toàn bộ nội dung chính của luận án là nới rộng các kết quả đã được công bố trong các bài báo ([L1] – [L3]) và gửi đăng trong [L4], một phần các kết quả trên đã được báo cáo trong các hội nghị: - Đại hội Toán học Việt Nam... tham số bé mà chi tiết sẽ trình bày bắt đầu từ mục 1.6 của chương này 1.2 Các ký hiệu và giả thiết Trong chương nầy, chúng ta sử dụng không gian hàm V = fv 2 H 1 : v (1) = 0g : 14 15 Chương 1 Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến Ta cũng chú ý rằng V là không gian con đóng của H 1 , do đó V là không gian Hilbert đối với tích vô hướng của H 1 : Mặt khác trên V các chuẩn... 1 :::D5 5 f; =( 1 ; :::; 5) @f ; @x 2 Z5 ; + = k; D(0;:::;0) f = f: Ta trình bày phương pháp xấp xỉ tuyến tính cho bài toán (1.2.4) như sau: Chọn số hạng đầu v0 v0 : ~ Giả sử vm 1 2 W1 (M; T ) : (1.2.8) 17 Chương 1 Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến Tìm vm 2 W1 (M; T ) (m 1) thỏa bài toán biến phân 8 < hv 00 (t) ; wi + h (t) rvm (t) ; rwi = hFm (t) ; wi ; 8w 2 V;... lý 1.3.1 bằng cách sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin, kết hợp với các đánh giá tiên nghiệm và lý luận về tính compact Trong Định lý 1.4.1, ta sẽ chứng minh dãy fvm g hội tụ về nghiệm yếu của bài toán (1.2.2) trong một không gian thích hợp 1.3 Sự tồn tại dãy xấp xỉ tuyến tính Định lý 1.3.1 Giả sử (H1 ) (H3 ) thỏa Khi đó tồn tại các hằng số M > 0 và T > 0 sao cho, với v0 = v0 , tồn tại một dãy qui nạp... là các hằng số cho trước và F; ; ; g0 ; g1 ; k0 ; k1 ; u0 ; u1 là các hàm số cho trước thoả một số điều kiện phù hợp ~ ~ Bài toán (14) cũng đã được nhiều tác giả nghiên cứu, như [1], [2], [4] – [9], [10] – [17], [19] – [24], [26], [27], [29] – [74], [76] – [79] Nói riêng, phương trình (14)1 đã nhận được nhiều sự quan tâm rộng rãi và bài toán được nghiên cứu ở đây có thể xem như là sự tiếp nối của một. .. (0): ~ Ta thiết lập các giả thiết sau: (H1 ) v0 2 V \ H 2 ; v1 2 V; ~ ~ (H2 ) 2 C 2 ([0; 1] ~ (H3 ) f 2 C 1 ([0; 1] R+ R) ; R+ (x; t; z) > 0; 8 (x; t; z) 2 [0; 1] R3 ) : 0 R+ R; Trước hết, để tiện theo dõi, ta sẽ giới thiệu một số ký hiệu cũng như khái niệm nghiệm 16 Chương 1 Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến yếu của bài toán (1.2.2): Ta gọi một hàm v 2 L1 (0; T... p > 1; ja bj 8a; b 2 [ M; M ]; 8M > 0; 8p jbjp 2 b (a b) Cp ja bjp ; 8a; b 2 R: (29) 2; (30) (31) Chương 1 Sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính và khai triển tiệm cận cho bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 1.1 Giới thiệu Trong chương nầy, chúng tôi xét bài toán 8 @ > utt ( (x; t; u) ux ) = f (x; t; u; ux ; ut ) ; 0 < x < 1; 0 < t < T; > > @x < u (0; t) = g0 (t) . đề tài nghiên cứu của luận án là " ;Sử dụng các phương pháp của giải tích phi tuyến vào một số bài toán biên phi tuyến& quot;. Các phương pháp của giải tích phi tuyến cùng các kiến thức cơ bản. NHIÊN          LÊ KHÁNH LUẬN SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01 Phản biện. nhiều phương pháp hữu hiệu như phương pháp Fourier, phương pháp Galerkin và các phương pháp khác của giải tích phi tuyến. Thực tế cho thấy rằng, có rất nhiều dạng bài toán biên cho phương trình