Đang tải... (xem toàn văn)
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẢNGCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẢNGCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẢNGCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẢNGCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẢNGCHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẢNG
THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Phương trình đường thẳng MỤC LỤC Loại Các dạng phương trình đường thẳng .2 Loại Các toán tam giác 14 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại Các dạng phương trình đường thẳng A Tóm tắt lý thuyết Phương trình tổng qt * Định nghĩa: Phương trình: : ax by c , với a b PTTQ đường thẳng nhận n a;b làm vectơ pháp tuyến * Các dạng đặc biệt phương trình đường thẳng: +) : ax c , ( a ) song song trùng với Oy +) : by c , ( b ) song song trùng với Ox +) : ax by , ( a b ) qua gốc tọa độ +) PTĐT dạng đoạn chắn: : x y qua A a;0 B 0;b ( ab ) a b +) PTĐT dạng hệ số góc: : y kx m , ( k gọi hệ số góc ) * Chú ý: +) Ý nghĩa hình học hệ số góc: Nếu k đặt M Ox , gọi Mt nửa đường thẳng phía Ox Khi y t k tan xMt (Hình 1) +) Điều kiện để PTĐT quy dạng hệ số góc: PTĐT ax by c đưa dạng hệ số góc O M x b Như vậy, đường thẳng có phương thẳng đứng ( b ) khơng có dạng hệ số Hình góc Phương trình tham số phương trình tắc x x0 at * Phương trình tham số: Hệ , ( a b ) PTTS đường thẳng qua y y bt x0 ;y nhận u a;b làm véc-tơ phương, với t tham số THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 * Chú ý: +) Ý nghĩa PTTS: - Thay t vào PTTS, ta điểm M x; y - Điểm M x; y có số t cho x , y thỏa mãn hệ +) Một đường thẳng ln có vơ số PTTS * Phương trình tắc: x x0 y y a b ( ab ) PTCT đường thẳng qua M x0 ;y nhận u a;b vectơ phương * Phương trình đường thẳng qua hai điểm: Xét A x A ;y A , B xB ;y B x xB x xA y yA +) A đường thẳng AB có PTCT AB : xB x A y B y A y A yB +) x A xB AB : x x A +) y A y B AB : y y A Một số toán Bài toán Viết PTĐT biết vectơ pháp tuyến điểm thuộc đường thẳng qua M x0 ;y : a x x0 b y y n a;b Bài toán Viết PTĐT biết vectơ phương điểm thuộc đường thẳng qua M x0 ;y qua M x0 ;y : b x x0 a y y / / u a;b n b; a Bài toán Viết PTĐT qua điểm song song với đường thẳng qua M x0 ;y qua M x0 ;y : a x x0 b y y , ( M ) / / ' : ax by c n a;b Bài toán Viết PTĐT qua điểm vng góc với đường thẳng qua M x0 ;y qua M x0 ;y : b x x0 a y y ' : ax by c n b; a Bài tốn Viết PTĐT qua điểm có hệ số góc cho trước qua M x0 ;y : y k x x0 y có hệ số góc k THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Bài toán Viết PTĐT qua hai điểm Đường thẳng qua hai điểm A B đường thẳng qua A nhận vectơ AB làm vectơ phương (Bài toán 2) Bài tốn Viết phương trình đường trung trực đoạn thẳng Quy Bài toán 1: trung trực đoạn thẳng AB đường thẳng qua trung điểm I đoạn thẳng nhận AB làm vectơ pháp tuyến Bài toán Viết PTĐT qua điểm tạo với Ox góc cho trước : y k x x0 y qua M x0 ;y tạo với Ox góc ( 0o 90o ) k tan Bài tốn Tìm hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng Giả sử cần tìm hình chiếu H điểm M lên đường thẳng , ta làm sau * Lập phương trình đường thẳng ' qua M , vng góc với (Bài tốn 4) * H hình chiếu vng góc M lên H ' Bài tốn 10 Tìm điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng Giả sử cần tìm điểm M ' đối xứng với điểm M qua đường thẳng , ta làm sau * Tìm hình chiếu H điểm M lên đường thẳng (Bài toán 9) * M ' đối xứng với M qua ' M ' đối xứng với M qua H THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 B Một số ví dụ Ví dụ Đưa PTĐT sau dạng tổng quát 1) : x 2) : x 3) : y x x 2t 5) : y 5t x 2t 6) : y 2 y y2 4) : x 1 Giải 1) : x : x y 2) : x : 3x 2y 3) : y x : x 2y 14 y2 4) : x 1 : 5x 7y 19 x 2t y2 5) : : x 1 : 5x 2y y 5t x 2t 6) : : y 2 : y y 2 Ví dụ Lập PTĐT trường hợp sau 1) qua M 2; 1 nhận n 3; 1 làm vectơ pháp tuyến 2) qua M ;3 nhận u 2;0 làm vectơ phương 3) qua M 1;4 song song với đường thẳng ' : x 2y 12 4) qua M 1; vng góc với đường thẳng ' : x 3y 12 5) qua M 1;4 có hệ số góc 6) qua hai điểm A 2;4 B 2; 1 7) qua hai điểm A 3;0 B 0; 1 8) trung trực đoạn thẳng với hai đầu mút A 1;7 B 2; 4 9) qua M 3; tạo với Ox góc 30o Giải THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 qua M 2; 1 1) : x y 1 : 3x y n 3; 1 qua M ;3 2) / /u 2;0 qua M ;3 n 0;1 : x 1 y 3 :y qua M 1;4 qua M 1;4 3) / / ' : x 2y 12 n 1; : x 1 y : x 2y qua M 1; qua M 1; 4 4) ' : x 3y 12 n 3;1 : x 1 y : 3x y 15 qua M 1;4 5) : y x 1 : y 5x có hệ số góc 6) Ta thấy x A xB : x qua A 3;0 7) qua hai điểm A 3;0 B 0; 1 / / AB 3; 1 qua A 3;0 AB 1; 3 : 1 x 3 y 0 : x 3y THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 x x A xB I 2 8) I trung điểm AB I 1;3 2 y A yB yI 3 2 qua I ; 2 trung trực đoạn thẳng AB AB 3; 11 : x 11 y 2 : 3x 11y 15 9) tạo với Ox góc 30 M 3; qua : y k x 3 k tan 30 3 : y x 3 3 : y x 3 : y x 3 x : y 3 Ví dụ Lập phương trình cạnh ABC biết M 2; 3 , N ;0 , P 7;4 trung điểm cạnh AB , BC , CA tam giác Giải AB qua M 2; 13 AB / /NP ;4 / / 13; 8 AB qua M 2; 3 AB 8;13 AB : x 13 y AB : 8x 13y 10 BC qua N ;0 BC / /PM 9; 7 BC qua N ;0 BC / /PM 7;9 BC : x y BC : 7x 9y THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 CA qua P 7;4 CA / /MN ;3 / / 5; 6 CA qua P 7;4 CA 6;5 CA : x x CA : 6x 5y 22 x 2t Ví dụ Cho : y 1 t 1) Tìm điểm M cho MA với A 1; 5 2) Điểm N 2;7 có thuộc không? Giải 1) M tọa độ M có dạng M 2t; 1 t 2 Ta có MA 2t 2;t MA 2t t 5t 20 Do M 3; MA MA 25 5t 20 25 t t M 1;0 t 2 2t t Vậy N 2) Ta có 1 t t 8 Ví dụ Cho A 1;2 B 3;7 Tìm điểm C thuộc đường thẳng d : y x cho 1) ABC vuông C 2) ABC cân C Giải 1) C d tọa độ C có dạng C c;c CA c 1; c Ta có CB c 3; c CACB c 1 c c c 2c c 2c 3c C 3;7 c Do ABC vuông C CACB 2c 3c c3 C ; 2 2 2) Ta có CA c 1 c 2c2 6c , CB c 2c 12c 18 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 CA CB CA CB 2c2 6c 2c 12c 18 Do ABC cân C c 13 C 13 ; 85 18 18 18 x 2t y Ví dụ Cho hai đường thẳng : x : Hãy tìm điểm A 1 1 y t 2 B 1 cho đoạn thẳng AB nhận I 13 ;1 làm trung điểm Giải x 3s 1 có PTTS là: ( s tham số) y s A 1 , B 1 tọa độ A , B có dạng A 3s; s , B 2t;t x A xB x 3s 2t 13 I 2 y A yB s t yI AB nhận I trung điểm A 5; 1 3s 2t s s t 2 t B 8; Chú ý: Trong toán, đồng thời sử dụng PTTS nhiều đường thẳng ký hiệu tham số đường thẳng khác bắt buộc phải khác Trong Ví dụ 6, hai tham số hai đường thẳng 1 s t Ví dụ Cho hai đường thẳng 1 : mx y m : m x my Biện luận theo m vị trí tương đối hai đường thẳng nói Giải mx y m Xét hệ gồm hai phương trình 1 1 : 1 m x my mx y m Ta có 1 m x my D m 2m m Dx m2 m , m2 1 m3 m , m THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Dy m m2 m 2m 3m 2m Do m * D0 : Hệ có nghiệm hai đường thẳng cắt m 2 * m D Dx Dy : Hệ có vơ số nghiệm hai đường thẳng trùng D * m 2 : Hệ có vơ nghiệm hai đường thẳng song song Dx 10 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 C Bài tập Bài Viết phương trình tổng quát 1) Đường thẳng Ox 2) Đường thẳng Oy 3) Đường thẳng qua M x0 ;y song song với Ox 4) Đường thẳng qua M x0 ;y song song với Oy 5) Đường thẳng OM với M x0 ;y khác O Bài Lập phương trình tổng quát đường thẳng trường hợp sau 1) qua M 1;2 nhận n 1;3 làm vectơ pháp tuyến 2) qua M 3; nhận u 0; 1 làm vectơ phương 3) qua M 4;1 song song với đường thẳng ' : 2x y 12 4) qua M ;2 vng góc với đường thẳng ' : x 2y 12 5) qua M 1;4 có hệ số góc 6) qua hai điểm A 2;4 B 2; 1 7) qua hai điểm A 3;0 B 0; 1 8) trung trực đoạn thẳng với hai đầu mút A 1;7 B 2; 4 9) qua M 3; tạo với Ox góc 30o Bài Tìm tọa độ điểm A trường hợp sau 1) A giao điểm đường thẳng : 3x 4y ' : 10x 4y 10 2) A giao điểm đường thẳng : x 2y ' : 4x 5y 14 3) A hình chiếu vng góc B 3; 1 lên đường thẳng : x 3y 4) A đối xứng với B 1; qua đường thẳng : x 2y Bài Viết phương trình cạnh ABC biết trung điểm cạnh M 2;1 , N 5;3 , P 3; 11 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Bài Cho A 3;5 B 2;3 Tìm điểm C thuộc đường thẳng d : x 3y 10 cho ABC cân C Bài [ĐH11B11Chuẩn] Cho : x y d : 2x y Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d cho đường thẳng ON cắt đường thẳng điểm M thỏa mãn OM.ON Bài Tìm tọa độ đỉnh A tam giác cân ABC biết B 3; 2 , C 5;2 A nằm đường thẳng d : x 2y ĐS: A 1;4 Bài Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau tìm giao điểm (nếu có) chúng 1) d1 : 2x 5y d : 5x 2y 2) d1 : x 3y d : 0, 5x 1, 5y 3) d1 : 10x 2y d : 5x y 1, Bài Biện luận theo m vị trí tương đối cặp đường thẳng d1 : mx y , d1 : x my m 12 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 13 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại Các tốn tam giác A Tóm tắt lý thuyết Cho ABC Ta có Trực tâm tam giác giao điểm ba đường cao Trọng tâm tam giác giao điểm ba đường trung tuyến Cách xác định tọa độ trọng tâm theo tọa độ đỉnh: x x A x B xC G G trọng tâm ABC y A y B yC yG Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác giao điểm ba đường trung trực T tâm đường tròn ngoại tiếp ABC IA IB IC Đường tròn ngoại tiếp tam giác đường tròn tâm T , bán kính R IA IB IC Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm ba đường phân giác I tâm đường trịn nội tiếp ABC I nằm phía tam giác d I, AB d I, BC d I,CA Đường tròn ngoại tiếp tam giác đường tròn tâm I , bán kính r d I, AB d I, BC d I,CA 14 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 B Một số ví dụ Ví dụ Cho ABC có A 2; 5 , B 0;7 , C 1;2 1) Hãy lập phương trình cạnh, đường cao, trung tuyến, trung trực tam giác 2) Hãy xác định tọa độ trọng tâm, trực tâm, tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác Ví dụ Cho ABC có A 1; 2 Đường cao kẻ B , C có phương trình d1 : 3x 5y 11 , d : x 3y Lập phương trình cạnh tam giác Giải AB qua A 1; 2 AB d : x 3y AB qua A 1; 2 AB 3; 1 AB : x y AB : 3x y AC qua A 1; AC qua A 1; 2 AC d1 : 3x 5y 11 AC 5;3 AC : x 1 y AC : 5x 3y 3x y B AB d1 B : B 3;4 3x 5y 11 5x 3y C AC d C : C 2;3 x 3y BC : x 5 y 4 1 BC : x 5y 17 Vậy AB : 3x y , AC : 5x 3y , BC : x 5y 17 Ví dụ Cho ABC có AB : 4x 3y , trung tuyến qua A d : x 4y Tìm tọa độ đỉnh tam giác, biết AC cắt Ox điểm I có hoành độ I trung điểm AC Giải 4x 3y A AB d1 A : A 1;1 x 4y Dễ thấy I ;0 AC qua A 1;1 I ;0 2 y 1 AC : x 1 1 5 AC : 2x 5y 15 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 xC 2xI x A 4 I trung điểm AC C 4; 1 y C 2y I y A 1 B AB tọa độ B có dạng B b; 4b x y B yC J J b ; 2b J trung điểm BC y J xB xC J d b 2b b 2 B 2;5 Vậy A 1;1 , B 2;5 , C 4; 1 Ví dụ Cho ABC có A 3;4 , đường cao qua B , trung tuyến qua C trung trực BC d1 : 2x 5y 13 , d : x d : y x Tìm tọa độ đỉnh B , C tam giác Giải AC qua A 3;4 * AC : x y AC : 5x 2y AC d1 : 2x 5y 13 C AC tọa độ C có dạng C c; 5c * Gọi M trung điểm AB tọa độ M có dạng M 1;m (vì M d ) xB 2x M x A 1 M trung điểm AB B 1;2m y B 2y M y A 2m * Gọi N trung điểm BC N c ; 5c 4m 15 N d 5c 4m 15 c 1 c m 1 4 * Ta có BC c 1; 5c 4m 1 , d : x 2y n 1; 2 Vì BC / /n nên 2 c 1 5c 4m 9c 4m 5 2 c B 1;3 * Giải hệ 1 , ta C 1; 1 m Vậy B 1; , C 1; 1 Ví dụ [ĐHA02] Cho tam giác ABC vng A , BC : 3x y , A B thuộc trục hoành , bán kính đường trịn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC 16 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Giải 3x y B 1;0 B BC Ox B : y C C BC tọa độ C có dạng C c; c 1 Ta thấy A hình chiếu C lên Ox A c;0 AB c 1;0 AB c O B A x AC 0; c 1 AC c ABC vuông A BC AB AC2 c Do đó: nửa chu vi tam giác p AB CB CA c , diện tích tam giác 2 c 1 S AB.AC c 1 bán kính đường trịn nội tiếp r S 2 Giả thiết p p c 1 1 c 1 A c C c 2 A C 1 3;0 3;6 2 1;0 2 1; 6 1 c c 2 6 G ; G ; 6 Vậy G ; G 13 ; 63 17 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 C Bài tập Bài Cho tam giác ABC với A 1;2 , B 1; , C 3; 3 Hãy lập phương trình tổng quát cạnh đường cao tam giác ĐS: AB : 2x y , BC : x 4y , CA : 5x 2y Gọi d A , dB , dC đường cao qua A , B , C , ta có d A : 4x y , dB : 2x 5y , dC : x 2y Bài Viết phương trình tổng quát đường trung trực ABC biết trung điểm cạnh M 1; 1 , N 1;9 , P 9;1 Bài Cho ABC có AB : 5x 3y đường cao qua A , B có phương trình d1 : 4x 3y d : 7x 2y 22 Lập phương trình hai cạnh cịn lại đường cao lại tam giác ĐS: AC : 2x 7y , BC : 3x 4y 22 , đường cao lại: 3x 5y 149 Bài [ĐHB04] Cho hai điểm A 0;2 B 3, 1 Tìm tọa độ trực tâm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Bài ĐS: Trực tâm H 3; 1 , tâm đường tròn ngoại tiếp I 3;1 Bài Viết phương trình cạnh ABC biết B 4; 5 phương trình hai đường cao: d1 : 5x 3y d : 3x 8y 13 Bài [ĐHB03] Cho tam giác ABC có AB AC , BAC 90 Biết M 1; 1 trung điểm cạnh BC G ;0 trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh A , B , C ĐS: A 0;2 , B 4;0 , C 2; 2 Bài [CĐ09Chuẩn] Cho tam giác ABC có C 1;2 , đường trung tuyến kẻ từ A đường cao kẻ từ B có phương trình l5x y x 3y Tìm toạ độ đỉnh A B Bài Viết phương trình cạnh ABC biết C 4; 1 , đường cao trung tuyến kẻ từ đỉnh có phương trình d1 : 2x 3y 12 d : 2x 3y ĐS: Giả sử d1 d A AB : 9x 11y , BC : 3x 2y 10 , CA : 3x 7y 18 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Bài 10 Viết phương trình cạnh ABC biết A 1;3 hai trung tuyến có phương trình d1 : x 2y d : y ĐS: Giả sử d1 trung tuyến qua B , d trung tuyến qua C AB : x y , BC : x 4y , CA : x 2y Bài 11 Cho ABC có M 1;1 trung điểm BC , AB : x y , AC : 2x 6y Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác 4 4 4 ĐS: A 15 ; , B ; , C ; 4 Bài 12 Cho ABC có phương trình hai cạnh 5x 2y 4x 7y 21 Viết phương trình cạnh cịn lại tam giác biết gốc tọa độ trực tâm tam giác ĐS: Giả sử AB : 5x 2y , BC : 4x 7y 21 CA : y Bài 13 Cho ABC với A 2; 1 hai phân giác góc B C dB : x 2y dC : x y Lập phương trình cạnh tam giác ĐS: BC : 4x y , AB : 8x 19y , AC : x 4y Bài 14 [ĐHD09] Cho ABC có M 2;0 trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến đường cao qua A có phương trình 7x 2y 6x y Viết phương trình đường thẳng AC ĐS: 3x 4y Bài 15 [ĐHB07] Cho A 2; d1 : x y – , d : x y – Tìm toạ độ điểm B C thuộc d1 d cho tam giác ABC vuông cân A ĐS: B 1; , C 3;5 B 3; 1 , C 5;3 Bài 16 [ĐHB08] Hãy xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vng góc C đường thằng AB H 1; 1 , đường phân giác góc A có phương trình x – y đường cao kẻ từ B có phương trình 4x 3y – ĐS: C 10 ; Bài 17 [ĐHA10NC] Cho tam giác ABC cân A có đỉnh A 6;6 , đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x y Tìm tọa độ đỉnh B C , 19 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 E 1; 3 nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho ĐS: B 0; 4 , C 4;0 B 6;2 , C 2; 6 Bài 18 [ĐHD10Chuẩn] Cho tam giác ABC có đỉnh A 3; , trực tâm H 3; 1 , tâm đường tṛòn ngoại tiếp I 2;0 Xác định toạ độ đỉnh C , biết C có hồnh độ dương ĐS: C 2 65;3 Bài 19 [ĐH11B11NC] Cho tam giác ABC có đỉnh B ;1 Đường trịn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC , CA , AB điểm D , E , F Cho D 3;1 đường thẳng EF có phương trình y Tìm tọa độ đỉnh A , biết A có tung độ dương Bài 20 [ĐHD11Chuẩn] Cho tam giác ABC có B 4;1 , trọng tâm G 1;1 đường thẳng chứa đường phân giác góc A có phương trình x y Tìm tọa độ đỉnh A C ĐS: A 4;3 , C 3; 1 p 20 ... tập Bài Viết phương trình tổng quát 1) Đường thẳng Ox 2) Đường thẳng Oy 3) Đường thẳng qua M x0 ;y song song với Ox 4) Đường thẳng qua M x0 ;y song song với Oy 5) Đường thẳng OM với... Đường thẳng qua hai điểm A B đường thẳng qua A nhận vectơ AB làm vectơ phương (Bài tốn 2) Bài tốn Viết phương trình đường trung trực đoạn thẳng Quy Bài toán 1: trung trực đoạn thẳng AB đường. .. thỏa mãn hệ +) Một đường thẳng có vơ số PTTS * Phương trình tắc: x x0 y y a b ( ab ) PTCT đường thẳng qua M x0 ;y nhận u a;b vectơ phương * Phương trình đường thẳng qua hai điểm: