lời nói đầu Cho K là một tập compact trong C n , ta gọi bao lồi đa thức K của K là tập có dạng: K = {z; z C n , |p(z)| sup K |p| cho mọi đa thức chỉnh hình p}. Cũng vậy ta định nghĩa bao lồi hữu tỷ r(K) của K là tập có dạng: r(K) = {z C n sao cho với mỗi đa thức p mà p(z) = 0 thì {p = 0} K = }. Vấn đề đặt ra là chúng ta cần mô tả cấu trúc của K\K và r(K)\K. Hai tác giả Julien Duval và Nessim Sibony đã mô tả K\K và r(K)\K bởi những dòng dơng đóng song chiều (1,1) T trên C n \K với giá bị chặn và dd c T 0 trên C n \K. Trong luận văn này dòng dơng đóng vai trò trung tâm trong việc nghiên cứu tính lồi đa thức và lồi hữu tỷ . Đầu tiên chúng ta xây dựng những siêu mặt phức không giao với một tập compact cho trớc trong phần bù của giá của một dòng dơng đóng dd c ( là hàm đa điều hoà dới). Sau đó chúng ta cũng nhận đợc một kết quả tơng tự trong không gian Hausdorff metric của giá của một dòng dơng đóng song bậc (1,1) bởi những siêu mặt giải tích. Cụ thể cho T = dd c là một dòng dơng song chiều (n-1,n-1) trong C n với là một hàm đa điều hoà dới. Chúng tôi chứng minh đợc rằng C n \suppT có thể đợc vét cạn bởi những tập compact lồi hữu tỷ. Hơn nữa hàm nói trên là giới hạn của một dãy hàm 1 N k log|f k | trong L 1 loc (B) ở đây B là hình cầu đơn vị trong C n , f k là những hàm chỉnh hình và N k là những số nguyên dơng. Phần tiếp theo chúng tôi xét tính lồi đa thức. Với K là một tập compact cho ở trên, T là một dòng dơng song bậc (1,1) trên C n \K, với giá bị chặn. Nếu dd c T 0 thì suppT K. Ngợc lại cho x K\K bất kỳ thì có một dòng T 0 song bậc (1,1) giá compact sao cho dd c T = à x ở đây à là độ đo xác suất trên K còn x là độ lớn Dirac tại x. Nh thông thờng chúng ta đồng nhất những dòng song bậc (n,n) trên C n với những phân bố. Từ đó suy 1 ra rằng nếu K = K thì K\K là giá của một dòng dơng song bậc (1,1) T với dd c T 0. Cũng trong luận văn chúng tôi đề cập đến khái niệm cặp Runge yếu trong C n và một vài kết quả về cặp Runge yếu đợc đa ra trong [10]. Nh chúng ta đã biết: Nếu hai tập D, D là những tập mở giả lồi của C n sao cho D D và mỗi hàm chỉnh hình trên D có thể xấp xỉ đều trên mỗi tập compact bởi những hàm chỉnh hình trên D thì (D , D) đợc gọi là một cặp Runge. Vấn đề đặt ra là liệu còn có khái niệm nào yếu hơn khái niệm trên nữa không với suy nghĩ đó tác giả đã đa ra khái niệm cặp Runge yếu. Mỗi hàm chỉnh hình trên D có thể đợc xấp xỉ đều trên mỗi tập compact bởi những thơng p/q, ở đó p, q là những hàm chỉnh hình trên D và q = 0 trên D, cặp (D , D) thoả mãn tính chất đó gọi là một cặp Runge yếu. Tác giả đã đa ra điều kiện để nhận biết một cặp Runge yếu đó là Định lý 2.2.4 chơng 2 mà kết quả này đợc lập luận tơng tự nh Định lý 4.3.3 trong [7]. Trong trờng hợp D là tập compact tơng đối trong D thì sử dụng Định lý 2.1.3 chơng 2 trong luận văn và cách chứng minh tơng tự nh một kết quả của Julien Duval và Nessim Sibony: Cho K là một tập compact trong C n . Với mỗi x r(K) có một dạng dơng đóng (1,1) trơn, dơng chặt tại x và triệt tiêu trong một lân cận của r(K). Ngợc lại giả sử x suppS, ở đây S là một dòng dơng đóng song bậc (1, 1) sao cho suppS K = thì x r(K), ta có thể đặc trng hoá cặp Runge yếu trong hệ những dòng dơng đóng trên D mà triệt tiêu trên một tập compact bất kỳ của D và dơng chặt gần D . Kết quả này đợc chúng tôi trình bày trong Định lý 2.2.5 chơng 2 của luận văn. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Quang Diệu. Nhân dịp này, Tôi xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến ngời thầy của mình. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy phản biện 2 đã dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho tôi. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy cô của Bộ môn Lý thuyết hàm trờng Đại học S phạm Hà Nội đã dạy bảo trong suốt những năm tháng tôi học tập tại trờng. Hà nội ngày 30 tháng10 năm 2006. Tác giả luận văn Đỗ Viết Tuân 3 Mục lục Chơng 1. Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1. Khái niệm hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Một số tính chất của hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Hàm chỉnh hình nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Định nghĩa hàm đa điều hòa dới . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5. Một số tính chất của hàm đa điều hòa dới . . . . . . . . . . . 11 1.6. Một số khái niệm về miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7. Một số tính chất của miền giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.8. Độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.9. Phân bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.10. Dòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Chơng 2. Xấp xỉ dòng dơng đóng bởi siêu mặt phức 24 2.1. Xây dựng siêu mặt và xấp xỉ dòng . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Cặp Runge yếu trong C n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Chơng 3. Bao lồi đa thức và dòng dơng đóng 37 3.1. Bao lồi đa thức và dòng dơng đóng . . . . . . . . . . . . . . 37 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4 Chơng 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm f xác định trên miền D C. Xét giới hạn lim z0 f(z + z) f(z) z ; z, z + z D Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó đợc gọi là đạo hàm phức của f tại z, kí hiệu là f (z) hay df dz (z). Nh vậy f (z) = lim z0 f(z + z) f(z) z Định nghĩa 1.1.2. Cho hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác định trong miền D C. Hàm f đợc gọi là R 2 -khả vi tại z = x + iy nếu các hàm u(x, y), v(x, y) khả vi thực tại (x, y). Sau đây chúng tôi xin đa ra điều kiện cần và đủ để một hàm là C khả vi đó là định lý Cauchy-Riemann Định lý 1.1.3. (Điều kiện Cauchy-Riemann) Để hàm f C- khả vi tại z = x + iy D điều kiện cần và đủ là f R 2 - khả vi tại z và điều kiện Cauchy-Riemann thoả mãn tại z 5 u x (x, y) = v y (x, y) u y (x, y) = v x (x, y) (1.1) Nhận xét: Giả sử f là hàm R 2 - khả vi tại z D C, xét vi phân df = f x dx + f y dy Vì dz = dx+idy và dz = dxidy suy ra dx = 1 2 (dz+dz), dy = 1 2i (dzdz). Vậy ta có df = f x 1 2 (dz + dz) + f y 1 2i (dz dz) = 1 2 ( f x i f y )dz + 1 2 ( f x + i f y )dz Nếu đặt f z = 1 2 ( f x i f y ); f z = 1 2 ( f x + i f y )dz thì df = f z dz + f z dz Bởi vì f z = 1 2 ( f x + i f y )dz = 1 2 [( u x v y ) + i( v x + u y )] nên f thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann nếu và chỉ nếu f z (z) = 0. Nói cách khác hàm R 2 - khả vi f tại z là C- khả vi tại đó nếu và chỉ nếu f z (z) = 0. Định nghĩa 1.1.4. Hàm f xác định trong miền D C với giá trị trong C gọi là chỉnh hình tại z 0 nếu tồn tại r > 0 để f C- khả vi tại mọi z D(z 0 , r) D. Nếu f chỉnh hình tại mọi z 0 D thì ta nói f chỉnh hình trên D. 6 1.2 Một số tính chất của hàm chỉnh hình Định lý 1.2.1. Giả sử D C là một miền và A(D) là tập các hàm chỉnh hình trên D. Khi đó i, A(D) là một không gian véc tơ trên C ii, A(D) là một vành iii, Nếu f A(D) và f(z) = 0, z D thì 1/f A(D) iv, Nếu f A(D) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi. Định lý 1.2.2. (Định lý Taylor) Nếu hàm f(z) chỉnh hình trên hình tròn |z z 0 | < R thì trong hình tròn này f(z) là tổng của chuỗi Taylor của nó tại z 0 . Cụ thể là f(z) = n=0 C n (z z 0 ) n , |z z 0 | < R ở đây các hệ số C n đợc xác định một cách duy nhất theo công thức C n = f n (z 0 ) n! = 1 2i |z 0 |=r f() | z 0 | n+1 d với 0 < r < R Hệ quả 1.2.3. Hàm f(z) xác định trên miền D là chỉnh hình khi và chỉ khi với mọi z 0 D hàm f có thể khai triển đợc thành chuỗi luỹ thừa theo z z 0 mà nó hội tụ tới f(z) với bán kính hội tụ R d(z 0 , D) Định lý 1.2.4. (Định lý duy nhất ) Giả sử f và g là các hàm chỉnh hình trên miền D. Nếu f(z n ) = g(z n ) trên một dãy các điểm khác nhau {z n } D mà nó hội tụ tới một điểm a D, thì f g 7 1.3 Hàm chỉnh hình nhiều biến Định nghĩa 1.3.1. Hàm l : C n C gọi là R - tuyến tính (tơng ứng C- tuyến tính) nếu i, l(z + z) = l(z ) + l(z) z , z C n ii, l(z) = l(z) z C n , R (tơng ứng C). Hiển nhiên hàm l : C n C R- tuyến tính là C-tuyến tính nếu l(iz) = il(z) z C n . Trong trờng hợp l(z) = l(z) ta nói l là C- phản tuyến tính. Định nghĩa 1.3.2. Hàm f : C, là mở trong C n gọi là R- khả vi (tơng ứng C- khả vi) tại z nếu f(z + h) = f(z) + l(h) + 0(h) ở đây l là R- tuyến tính (tơng ứng C- tuyến tính) và 0(h) h 0 khi h 0 Nhận xét: Hàm l (nếu tồn tại là duy nhất) gọi là R- tuyến tính (tơng ứng C- tuyến tính) tại z, ký hiệu là f (z) hay df(z). Bằng cách viết z j = x j + iy j , z j = x j iy j j = 1, . . . , n ta có dz j = dx j + idy j , dz j = dx j idy j suy ra dx j = dz j + dz j 2 , dy j = dz j dz j 2i 8 Do df = n j=1 ( f x j dx j + f y j dy j ) = n j=1 ( f x j dz j + dz j 2 + f y j dz j dz j 2i ) = n j=1 ( 1 2 ( f x j i f y j )dz j + 1 2 ( f x j + i f y j )dz j ) Nếu đặt f z j = 1 2 ( f x j i f y j ), f z j = 1 2 ( f x j + i f y j ) j = 1, . . . , n Ta có df = n j=1 ( f z j dz j + f z j dz j ) Ta kí hiệu f z = n j=1 f z j dz j , f z = n j=1 f z j dz j thì df = f z + f z Định lý 1.3.3. Hàm R - khả vi tại z C n là C - khả vi khi và chỉ khi f z j = 0 f z j = 0 j = 1, . . . , n Định nghĩa 1.3.4. i, Hàm gọi là chỉnh hình tại z C n nếu nó C- khả vi trong một lân cận của z. ii, f : C m với mở trong C n gọi là chỉnh hình tại z nếu f j chỉnh hình tại z với mọi j = 1, . . . , n ở đây f = (f 1 , . . . , f m ) Định lý 1.3.5. Giả sử P = P (a, r) = {z C n : |z a j | < r j j = 9 1, . . . , n} là đa đĩa tâm a bán kính r = (r 1 , . . . , r n ) và = {z C n : |z a j | = r j j = 1 . . . , n}. Giả sử f là hàm liên tục trên P và chỉnh hình trên P, khi đó f(z) = ||=0 C (z a) với C = ( 1 2i ) n f() ( a) +1 d ở đây d = d 1 . . . d n . Định lý 1.3.6. Giả sử là mở trong C n (n > 1) và K là tập compact trong với \K liên thông. Khi đó mọi hàm chỉnh hình f trên \K có thể mở rộng duy nhất tới một hàm chỉnh hình f trên . 1.4 Định nghĩa hàm đa điều hoà dới Định nghĩa 1.4.1. Hàm u : [, ) đợc gọi là nửa liên tục trên nếu lim zz 0 supu(z) u(z 0 ) với mọi z 0 D Một cách tơng đơng tập u 1 ([, a)) là mở với mọi < a < +. Định nghĩa 1.4.2. Cho tập con mở của C và một ánh xạ u : [, ), ánh xạ u đợc gọi là điều hòa dới nếu : i, u là nửa liên tục trên ii, Với mọi x , mọi r > 0 sao cho D(x, r) với 0 < r < d(x,) thì u thỏa mãn bất đẳng thức sau : 10 [...]... ta có định lý sau: Định lý 1.5.4 (Tính trơn của hàm đa điều hòa dới) Giả sử PSH() và (z) = ( )(z) = (z z ) (z )d(z ) Cn khi đó : i, C ( ) P SH( ) ii, là hàm tăng theo và (z) hội tụ tới (z) khi 0 với = {z , d(z, ) > } Định lý 1.5.5 Cho u là hàm đa điều hoà dới trên là một tập con mở của Cn và v là hàm đa điều hoà dới trên V mở của sao cho lim sup v(z) zx với x V thì hàm: 12 u(x)... Định nghĩa 1.5.8 Cho là một tập con mở trong Cn và hàm đa điều hòa dới chặt trên thì tồn tại một hàm dơng chặt f C (; R) sao cho : n j,k=1 n 2 (z0 )j k f (z0 ) |wj |2 zj z k j=1 với mỗi z0 và Cn Định lý 1.5.9 Cho một hàm thực trơn thì những khẳng định sau tơng đơng: i, là hàm đa điều hòa 13 iii, 2 = 0 với mọi j, k = 1, n zj z k Có một hàm chỉnh hình f sao cho = Ref 1.6 một số khái... với c R Chứng minh: Xem chứng minh Định lý 2.6.11 trang 48 trong [7] Định lý 1.7.4 Cho p là hàm đa điều hoà dới chặt lớp C trong sao cho Kc = {z; z , p(z) c} với mọi c R thì với mỗi hàm chỉnh hình trong lân cận của K0 có thể đợc xấp xỉ đều trong chuẩn L2 trên K0 bởi những hàm trong A() Chứng minh: Xem chứng minh Bổ đề 4.3.1 trang 89 trong [7] Định lý 1.7.5 Cho là một miền mở giả lồi trong... hình của K đối với D nghĩa 32 là: rD (K) = {z D : f là hàm chỉnh hình trên D, {f = 0} K = f (z) = 0} thì mọi hàm chỉnh hình trên một lân cận của K có thể đợc xấp xỉ đều trên K bởi những hàm p/q , ở đây p, q là những hàm chỉnh hình trên D Chứng minh: Dùng nguyên lý về tính compact nh trong chứng minh bổ đề 1.7.6 chơng 1, ta có thể tìm thấy những hàm chỉnh hình Pi , 1 i m chỉnh hình trên D và những... đều trên K {z0 } bởi những hàm dạng p/q ở đây p, q chỉnh hình trên D Điều này có nghĩa là có hàm p, q chỉnh hình trên D sao cho p(z0 )/q(z0 ) ||p/q||K Lặp lại lập luận trên dẫn đến mâu thuẫn với z0 rD (K) Do đó rD (K) D D = (b) (a): Cố định một tập con compact K của D , ta chỉ ra những hàm chỉnh hình trên D có thể đợc xấp xỉ đều trên K hàm p/q với p, q là những hàm chỉnh hình trên D và q =... Đặt dc = i( ) và d = + Một hàm : [, ) là đa điều hòa dới nếu và chỉ nếu L1 () và ddc 0 loc Định nghĩa 1.4.5 Một hàm đợc gọi là đa điều hòa trong nếu đa điều hòa dới trong và điều hòa trên mỗi mặt phẳng phức cắt Kí hiệu tập các hàm đa điều hòa trong là PH( ) 1.5 Một số tính chất của hàm đa điều hoà dới Mệnh đề 1.5.1 Cho là một tập mở trong Cn và f là một hàm chỉnh hình trên thì Ref,... Xây dựng siêu mặt và xấp xỉ dòng Bổ đề 2.1.1 Cho hàm là một hàm liên tục, đa điều hoà dới trên một miền giả lồi Cn , cho h là một hàm chỉnh hình trong một tập mở V giả sử K = {z V : |h(z)| e(z) } là tập compact thì mỗi x \K , có một hàm chỉnh hình f trong sao cho f (x) = 0 và {f = 0} K = Chứng minh: Xét hai trờng hợp 1, là miền bị chặn Lấy hàm C0 (), supp V sao cho x supp và = 1 trong... > 0 và X := Ks , cố định x X ta sẽ xây dựng một hàm đa điều hoà dới trong và một hàm h chỉnh hình trong một tập mở V X sao cho K = {|h| e } là tập compact chứa X nhng x V Khi đó áp dụng Bổ đề 2.1.1 ta sẽ xây dựng đợc một siêu mặt qua x và không giao với K Lấy : Cn R+ là hàm trơn của |z| mà supp = B(0, 1) và d = 1 Cn 1 z ( ) thì hàm s = s là hàm trơn, đa điều hoà dới trên 2n s = {x , dist(x,... rằng (D, D ) là một cặp Runge nếu D D và những hàm chỉnh hình trên D có thể đợc xấp xỉ đều trên mỗi tập compact bởi hàm chỉnh hình trên D Định nghĩa 2.2.2 Cho D, D là những tập con giả lồi của Cn , ta nói rằng (D, D ) là một cặp Runge yếu nếu D D và những hàm chỉnh hình trên D có thể đợc xấp xỉ đều trên mỗi tập compact bởi những hàm p/q ở đây p, q là những hàm chỉnh hình trên D Bổ đề 2.2.3 Cho D là một... (z w) w thì là miền giả lồi nếu hàm log(z, ) là đa điều hoà dới trong 1.7 Một số tính chất của miền giả lồi Trong phần này chúng tôi đa ra một số kết quả đợc trình bày trong [7] không chứng minh, đợc sử dụng trong luận văn này Định lý 1.7.1 Nếu là một tập mở trong Cn thì những điều kiện sau là tơng đơng: i, log(z, ) là đa điều hoà dới trong ii, Tồn tại một hàm u đa điều hoà dới trong sao cho . các thầy cô của Bộ môn Lý thuyết hàm trờng Đại học S phạm Hà Nội đã dạy bảo trong suốt những năm tháng tôi học tập tại trờng. Hà nội ngày 30 tháng10 năm 2006. Tác giả luận văn Đỗ Viết Tuân 3 Mục. D . Kết quả này đợc chúng tôi trình bày trong Định lý 2.2.5 chơng 2 của luận văn. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Quang Diệu. Nhân dịp này, Tôi xin đợc bày. là Định lý 2.2.4 chơng 2 mà kết quả này đợc lập luận tơng tự nh Định lý 4.3.3 trong [7]. Trong trờng hợp D là tập compact tơng đối trong D thì sử dụng Định lý 2.1.3 chơng 2 trong luận văn và