Tổng hợp các đề thi và đáp án thi chọn học sinh giỏi toán lớp 9 có đáp án chi tiết

113 776 1
Tổng hợp các đề thi và đáp án thi chọn học sinh giỏi toán lớp 9 có đáp án chi tiết

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) UBND HUYỆN PHÒNG GD-ĐT Bài 1: (3đ) x x + x − 12 x− x −6 a Cho P = Rút gọn P Tìm giá trị nhỏ P b Tính giá trị A A= − 2( x − 3) x +2 + x +3 3− x x − x + ( x − 1) x − x − 3x − ( x − 1) x − + 2 x = 1995 Bài (2đ) Giải phương trình + x − = x + 2x − x x x 1) x − 12 x + 16 − y − y + 13 = 2) Bài 3: (1,5đ) a Tìm số nguyên x, y thoả mãn phương trình: x2 +xy+y2 = x2y2 b Cho số dương x, y, z thoả mãn x+y+z =3 Tìm giá trị lớn biểu thức x y z + + P= x + y + z x + y + z x + y + z Bài 4: (3đ) Cho điểm A, B, C cố định nằm đường thẳng d (B nằm A C) Vẽ đường tròn (0) cố định qua B C ( không nằm đường thẳng d) Kẻ AM, AN tiếp tuyến với (0) M, N Gọi I trung điểm BC, OA cắt MN H cắt (0) P Q ( P nằm A 0) BC cắt MN K a Chứng minh điểm 0, M, N, I nằm đường tròn b Chứng minh điểm K cố định c Gọi D trung điểm HQ Từ H kẻ đường thẳng vng góc MD cắt MP E CMR: P trung điểm ME Câu 5: (0,5đ)Tìm tất tam giác vng có cạnh số ngun có diện tích chu vi ĐÁP ÁN Bài Bài (3đ) Nội dung a) 1, Rút gọn P x x + x − 12 P= x− x −6 − 2( x − 3) x +3 − x đk: x ≥ , x ≠ x x + x − 12 2( x − 3) x +3 − − ( x − 3)( x + 2) x +2 x −3 = x x + x − 12 − (2 x − 6)( x − − ( x + 3)( x + 2) = x +2 + Điểm 2đ 1đ ( x − 3)( x + 2) 0,25 0,25 x x + x − 12 − x + x + x − 18 − x − x − ( x − 3)( x + 2) = x x − 3x + 12 x − 36 0,25 ( x + 2)( x − 3) = 0,5 1đ ( x − 3)( x + 12) = ( x + 2)( x − 3) x + 12 0,5 = x + Kết luận 2, Tìm giá trị nhỏ P x + 12 P= x − + 16 x +2= x +2+ P= Vì x ≥ -> x + Áp dụng BĐT cô si = x −2+ x +2 16 −4 x +2 16 x +2 0,25 0,25 >0 16 x +2+ ≥ 16 = x +2 P ≥ − = -> Min P = -> x=4 b) Tính giá trị A A3=x3-3x+3A 0,25 1đ A3 = x3 -3x +3A A3 - 3A - x3 + 3x = (A-x)(A2 + Ax + x2) - 3(A-x)=0 (A-x)(A2 + Ax + x2-3)=0 A3 + Ax + x2 - > -> A - x = -> A = x Vậy A = Bài (2) 1995 Giải phương trình + x − = x + 2x − x x 1) x ≠ 0, x − ≥ 0, x − ≥ x x đk: x a−b a− b= a+ b áp dụng => x− = x − − 2x − x x x −x x x − + 2x − x− x x x= 0, 0,25 1đ 0,25 0,25 0,25 4 −x0 => x * Nếu => mâu thuẫn VT>0, VP 0 x x * Nếu => mâu thuẫn x− x =0 => x2 =4 Vậy x− => x=2 (thoả mãn) => x=-2 VT ≥ Mà VT=Vp=5 x − = x =   y − = =>  y = => Dấu "=" Xảy =>  Bài (1,5đ) a Tìm số nguyên x, y thoả mãn phương trình: x2 + xy + y2 = x2y2 Nhân vế với 4x2 + 4xy + 4y2 = 4x2y2 (2x+2y)2=(2xy +1)2 -1 (2xy +1 +2x+2y)(2xy+1 -2x-2y)=1 2xy +1 +2x+2y=2xy+1-2x-2y -> x+y=0 x =  x =  x = −1    y =  y = −1 ;  y = Thay vào pt đầu có  0,75đ 0,25 0,25 0,25 0,75đ b)Tìm giá trị lớn biểu thức x y z + + P= x + y + z x + y + z x + y + z 0,25 x y z 1− +1− +1− 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z P= 1 + + = 3- (x+y+z)( x + y + z x + y + z x + y + z 0,25 =3 -  [ (2 x + y + z ) + ( x + y + z )( x + y + z )] x + +   2x + y + z x + y + z x + y + 2z     Áp dụng BĐT cô si  [ (2 x + y + z ) + ( x + y + z )( x + y + z )]   1 ≥9 + +   2x + y + z x + y + z x + y + 2z  => P Bài (3đ) hình ≤ 3 => Max P= => x=y=z=1 M 0,25 Q P A B N C d E a Chứng minh điểm 0, M, N, I nằm đường tròn I trung điểm BC ( dây BC không qua 0) => OI ⊥ BC => OIA = 900 Ta có AMO = 900 (do AM tiếp tuyến (O)) ANO = 900 (do AN tiếp tuyến (O)) Suy điểm O,M,N,I thuộc đường trịn đường kính OA b Chứng minh điểm K cố định 1đ 0,25 0,25 0,25 0,25 1đ AM, AN hai tiếp tuyến (O) cắt A nên OA tia phân giác MON mà ∆ OMN cân O 0,25 OA ⊥ MN ∆ AHK đồng dạng với ∆ AIO ( AHK = AIO = 900 OAI chung) AH AK AH AO 0,5 = => AI AK = AH AO => AK = AO AI => AI Ta có A,B,C cố định nên I cố định suy AK cố định mà A cố định, K giao điểm dây BC dây MN nên K thuộc tia AB suy K cố định c)CMR: P trung điểm ME Ta có góc PMQ = 900 Xét ∆ MHE ∆ QDM có gócMEH = gócDMQ( phụ với DMP) ME MH = DQ EMH = MQD ( phụ với MPO) => MQ 0,25 1đ 0,5 ∆ PMH đồng dạng với ∆ MQH MP MH MH = = MQ DQ => MQ MP ME = MQ MQ => 0,5 => ME = 2MP => P trung điểm ME Bài (0,5đ) Gọi cạnh tam giác vuông x, y, z (x,y,z z>x, z>y ∈ z* ) x + y = z  xy = 2( x + y + z ) có  x2 + y2 = z2 => (x+y)2 - 2xy = z2 (x+y)2 - 4(x+y) - 4z - z2 = (x+y-2)2 = (z+2)2 => x+y -2 = z+2 => z = x + y -4 (*) Thay (*) vào (2) có (x-4)(y-4)=8 => x − =  y − = =>  0,25 x − =  y − = 0,25 x = x =   y = 12  y = =>  Vậy cạnh ∆ vuông cần tìm 5;12;13 6;8;10 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang)  x −2 x +  x2 − 2x +1 −   x − x + x + ÷ ÷  Bài 1: (3 điểm) Cho A =  a) Rút gọn A b) Tìm x để A > c) Tìm giá trị lớn A Bài 2: (6 điểm) a) a) Giải phương trình: x − x − x − x − = 18 b) Giải bất phương trình: |2x-7| < x2 + 2x + 2 2  ( x + y )( x − y ) = 45  ( x − y )( x + y ) = 85  c) Giải hệ phương trình: Bài : (4 điểm) a) Cho a + b + c = , tính giá trị biểu thức: a) P= 1 + 2 + 2 2 b +c −a a + c − b a + b2 − c2 b) Tìm số tự nhiên n cho A = n + n + số phương Bài : (5 điểm) a) Từ điểm A nằm (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N ∈ (O;R)) Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M N Tiếp tuyến P cắt AM B, cắt AN C Cho A cố định AO = a Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi P di động cung nhỏ MN Tính giá trị khơng đổi theo a R b) Cho tam giác ABC có diện tích 36 (đơn vị diện tích) Trên cạnh BC cạnh CA lấy điểm D E cho DC = 3DB EA = 2EC; AD cắt BE I Tính diện tích tam giác BID Bài 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q=  x 10 y 10  + 2  y2 x   16  + ( x + y 16 ) − (1 + x y )   Hết HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Môn thi: Toán Bài ý a Đáp án hướng dẫn chấm Điểm 0.25đ 0.75đ ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ A = − x ( x − 1) 0.25đ A > ⇔ − x ( x − 1) > ⇔ x ( x − 1) < b  x >0  ⇔ ⇔ < x x −1) 1 1 A = − x ( x − 1) = − x + x − + = −( x − ) + ≤ 4 4 c ⇒ A≤ 1 x = ⇔ x = (t / m) Vậy GTLN A = 0.75đ 0.75đ 0.25đ x − x − x − x − = 18 ⇔ 2( x − x − 8) − x − x − − = 0.25đ Đặt x − x − = y, y ≥ ta phương trình: 2 y − 3y − = ⇔ y + y − y − = y = ⇔ ( y − 2)(2 y + 1) = ⇔  y = − a  − y = 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 2 x − < x + x +   2  Nên: |2x-7| < x + 2x + 2 x − > − x − x − 2 0.5đ 0.25đ 0.25đ x + >     x + x − > 0.5đ 0.25đ x2+4x+4>9 (x+2)2 >9 |x+2| >3 x + > x >  x + < −3 ⇔  x < −5   Kết luận nghiệm bất phương trình ( x + y )( x − y ) = 45 ( x − y )( x + y ) = 45 (1)   ⇔  2 2   Biến đổi ( x − y )( x + y ) = 85 ( x − y )( x + y ) = 85 (2) Từ hệ ta có x – y > Nhân hai vế (1) với 17 nhân hai vế (2) với đồng sau nhân ta được: 17(x – y)(x + y)2 = 9(x - y)(x2 +y2) ⇔ 4x2 + 17xy + 4y2 = c Nếu y = x = => không thỏa mãn hệ Nếu y ≠ , chia hai vế 4x2 + 17xy + 4y2 = cho y2 đặt t = x/y được: 4t2 +17t + = (t+4)(4t+1) = t = - hoặc t = - 1/4 x = -4y hoặc y = - 4x thay vào hệ phương trình nghiệm phương trình cho là: (x ; y) ∈ {(4;-1);(1;-4)} 1 + 2 + 2 2 b +c −a a + c − b a + b2 − c 1 a = b + c − (b + c)2 + a + c − (a + c)2 + a + b2 − (a + b)2 1 a+b+c = + + = =0 (voi : abc ≠ 0) −2bc −2ac −2ab −2abc P= 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ A = n + n + số phương nên A có dạng A = n + n + = k (k ∈ N * ) ⇔ 4n + 4n + 24 = 4k ⇔ (2 k ) − (2n + 1) = 23 2k + 2n + = 23 ⇔ (2k + 2n + 1)(2k − 2n − 1) = 23 ⇔  b  2k − 2n − = (dk : abc ≠ 0) 1đ 1đ 0.5đ 0.5đ (Vì 23 số nguyên tố 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) 2k + 2n + = 23 k = ⇔ ⇔  2k − n − = n = 0.75đ Vậy với n = A số phương 0.25đ a C ∆ABC = AB+BC+CA = AB+BP+PC+CA = (AB+BM)+(CN+CA) (t/c tt cắt nhau) = AM + AN = 2AM (t/c tt cắt nhau) 2 2 = OA − OM = a − R 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ Vì A cố định nên OA=a không đổi vậy P di chuyển cung nhỏ MN chu vi tam giác ABC không đổi 0.25đ 0.25đ C ∆ABC = a − R Ghi chú: - Khơng có điểm vẽ hình - Chứng minh mà khơng có hình vẽ hình vẽ sai khơng cơng nhận (khơng có điểm) (Các đường nét đứt vẽ thêm để gợi ý chứng minh chấm, học sinh phải trình bày kẻ thêm đường phụ chứng minh - cần) Trình bày c/m: Trình bày c/m: S ∆BIC = S ∆BIA S ∆BID = 0.5đ S ∆BIC 1.0đ 1 S ∆BIA = S ∆ABD b => S ∆ABD = S ∆ABC Trình bày c/m: 36 S ∆BID S ∆ABC = =1 36 36 => S ∆BID = 0.5đ 0.5đ 0.5đ Ghi chú: - Khơng có điểm vẽ hình - Chứng minh mà khơng có hình vẽ hình vẽ sai khơng cơng nhận (khơng có điểm) ĐK: x≠0, y≠0  x 10 y 10  16  +  + ( x + y 16 ) − (1 + x y ) 2 y x    10 10  y 1x =  + + + 1 + ( x 16 + y 16 + + 1) − (1 + x y ) − y  2 x  Q= 0.5đ Áp dụng bắt đẳng thức Cơ-si cho bốn số dương ta có:   x 10 y 10  + + + 1 ≥ x y y  2 x  16 ( x + y 16 + + 1) ≥ x y 4 Q ≥ 2x y + x y − − 2x y − x y − 0.25đ 0.25đ =− 2 => Vậy giá trị nhỏ Q Q = – 5/2 x2 = y2 = Chú ý: HS giải theo cách khác, vẫn cho điểm tối đa 0.5đ 0.5đ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP MÔN THI: TỐN (Đề thi có bài, gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm)  x+2 x  x −1 P=  x x − + x + x + + − x ÷: ÷   Cho biểu thức: a Rút gọn biểu thức P P= b Tìm x để c So sánh: P2 2P Bài 2: (4,0 điểm) A = 7−4 + 4−2 a Tính giá trị biểu thức: b Chứng minh a, b, c ba số thỏa mãn a + b + c = 2013 1 1 + + = a b c 2013 Bài 3: (4,0 điểm) ba số a, b, c phải có số 2013 a Giải phương trình: x − x = x + − 30 b Cho a, b, c > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ( a + b + c )3 P= + abc a + b2 + c2 ab + bc + ca Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, AH ⊥ BC, HE ⊥ AB, HF ⊥ AC ( H ∈ BC, E ∈ AB, F ∈ AC) a Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC; BH = BC.cos2B AB3 b Chứng minh rằng: AC 3 = BE CF 3 2 c Chứng minh rằng: BC = CF + BE d Cho BC = 2a Tìm giá trị lớn diện tích tứ giác AEHF Bài 5: (2,0 điểm) Chứng minh với k số ngun 2016k + khơng phải lập phương số ngun Hết Giám thị khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN THI HỌC SINH GIỎI LỚP Bài Nội dung cần đạt Điểm a (2,0đ)Ta có:  x + + x − x − x − x −1  x −1 P=  ( x − 1)( x + x + 1) ÷: ÷   = x − x +1 2 = ( x − 1)( x + x + 1) x − x + x + 1,0đ 1,0đ b.(1,5đ) P= ⇔ ( 2 ⇔ = ⇔ x+ x −6= x + x +1 ) 0,5đ 0,25đ x − ( x + 3) = ⇔ x = ( x + > ) ⇔ x = ( Thỏa mãn điều kiện) Vậy x = c (0,5đ) 0.25đ 0,25đ 0.25đ 1   x+ ÷ + >0 2 * Do x + x + =  nên P > * Với x > x + x > nên x + x + > 1 MK // CN ∆ ABH (1) 0,25đ hình bỡnh hnh MC BH đ ờng cao Mặt khác ME // AB mà AB ⊥ BC nªn ME ⊥ BC hay ME đường cao tam Tam giác BMC có BH giác BMC Như N trực tâm tam giác MBC Do CN ⊥ BM ˆ Từ (1) (2) suy MK ⊥ BM M hay BMK = 90 Chú ý:Học sinh có cách giải khác vẫn cho đủ điểm (2) 0,25đ 0,25đ UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT Năm học : 2014 - 2015 Mơn thi: Tốn – Lớp Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) Bài 1: (2,5điểm)  x+2 x  x −1 P= + +  x x − x + x + 1 − x ÷: ÷   Cho biểu thức: Với x ≥ 0, x ≠ Rút gọn biểu thức P P= Tìm x để So sánh: P2 2P Bài 2: (1,5điểm) Tính giá trị biểu thức a) b) A= 7−4 + 4−2 B=x 2012 + 2x 2013 + 3x 2014 x= với 5+2 + +1 5−2 − 3− 2 Bài 3: (2,5điểm) a) Giải phương trình: x − x = x + − 30 b) Cho x > 0, y > thỏa mãn x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= + + xy x +y xy Bài 4: (1điểm) Chứng minh a, b, c ba số thỏa mãn a + b + c = 2015 1 1 + + = a b c 2015 ba số a, b, c phải có số 2015 Bài 5: (2,5điểm) Cho tam giác ABC vuông A, AH ⊥ BC, HE ⊥ AB, HF ⊥ AC ( H ∈ BC, E ∈ AB, F ∈ AC) a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC; BH = BC.cos2B AB3 b) Chứng minh rằng: AC = BE CF c) Cho BC = 2a Tìm giá trị lớn diện tích tứ giác AEHF .Hết (Đề thi gồm có trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu.Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: Tốn – Lớp UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài Nội dung đáp án Điểm ≥ 0, x ≠ x + + x − x − x − x −1 a) ĐKXĐ: Với x Bài (2,5điểm) P= = ( x − 1)( x + x + 1) x − x +1 ( x − 1)( x + x + 1) ( x − 1) = ( x − 1)( x + x + 1) = x + x +1 : x −1 2 0,25đ x −1 0,25đ 2 ⇔ = x + x +1 0.25đ ⇔ x+ x −6 = ⇔ ( 0,25đ 0,25đ x −1 b) Ta có: P= 0,25đ 0,25đ ) x − ( x + 3) = 0.25đ ⇔ x = ( x + > ) ⇔ x = ( Thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy x = ≥ x + x ≥ nên x + x + ≥ 1 ≤1⇒ P = ≤2 x + x +1 suy ra: P > x + x + Do đó: < P ≤ nên P.(P – 2) ≤ ⇒ P2 ≤ 2P c) Với x Bài (1,5điểm) a) A = (2 − 3) + (1 − 3)2 0,25đ 0,25đ 0,25 đ = − + 1− 0.25đ = (2 − 3) + ( − 1) =1 5+2+ b) −2 +1 Đặt =m 3− 2 = n 2 Tính m ta m = nên m = Tính n ta n = − Từ ta tính x = Thay x = vào biểu thức A ta Bài (2,5điểm) a) ĐKXĐ: x − x = x + − 30 ⇔ (x2 – 8x + 16) + (x + - x + + 9) = ⇔ ( x – 4)2 + ( x + - 3)2 = Vậy x = b) Ta có: 0,5đ A = 12011 + 2.12012 + 3.12013 = x ≥ −5 ⇔ 0,5đ x − =  ⇔ x=4   x+5 −3=  (thỏa mãn ĐKXĐ) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ     + + xy =  + + xy ÷+ ÷+  2 x +y xy xy   xy x +y  xy 1 + ≥ 0,25đ a, b > a b a + b Dấu xảy ⇔ a = b vào Áp dụng BĐT với A= toán ta có: 0,25đ 1 + ≥ =4 x +y xy ( x + y ) 2 (1) Áp dụng BĐT Cơ Si ta có : 0,25đ 0,25đ + xy ≥ xy ( x − y) ≥ ⇒ ( x + y ) ≥ xy ⇒ Vì (3) 0,25đ (2) 1 ≥ ⇒ ≥5 xy ( x + y ) xy ⇒ A ≥ + + = 11 MinA = 11 ⇔ x = y = Vậy Từ (1),(2) (3) Từ giả thiết suy ra: Bài (1 điểm) 1 1 1 1 + + = ⇔ ( + )+( − )=0 a b c a+b+c a b c a +b+c ⇔ a+b a+b + =0 ab c(a + b + c) ⇔ (a + b)(b + c)(c + a ) = a + b = ⇔ b + c =  c + a =  0,25đ 0,25đ 0.25đ 0,25đ Từ suy điều phải chứng minh a) ∆AHB vng H, có HE ⊥ AB nên AH2 = AB.AE (1) Bài Tương tự: AH2 = AC.AF (2) (2,5điểm) Từ (1) (2) suy ra: AB.AE = AC.AF Mà BH = AB.cosB; AB = BC.cosB Suy BH = BC.cos2B b) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông: AB2 = BC.BH; AC2 = BC.CH; BH2 = AB.BE; CH2 = AC.CF AB Do đó: AC = BH AB BH AB.BE ⇒ = = CH AC CH AC.CF AB3 BE ⇒ = CF AC 0.25đ 0.25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ c) Ta có: SAEHF = AE.AF Mặt khác: AE = AH AB 0,25đ 0,25đ AH AF = AC Tương tự: 0,25đ AH AH AH AO3 a3 a S AEHF = = = ≤ = = AB AC BC AH BC BC 2a Do đó: a2 Max SAEHF = ⇔ ∆ABC vuông cân A 0,25đ Chú ý:Học sinh có cách giải khác vẫn cho đủ điểm UBND HUYỆN PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT NĂM HỌC 2014 - 2015 Mơn: Tốn – Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1.5 điểm) Thực tính: 2x + x − x − + x + với x = + Bài 2: (2.5 điểm) Giải phương trình: a x + x − b x + x + = −2 x − 3x + + x + = x − + x + x − Bài 3: (2.0 điểm) a Chứng minh phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = ln có nghiệm hữu tỉ với số n ngun b Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2009x + = x3, x4 nghiệm phương trình x2 + 2010x + = Tính giá trị biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) Bài 4: ( 3.0 điểm) Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) M Trên cung nhỏ MC (O) lấy điểm D AD cắt (O) điểm thứ hai E I trung điểm DE Đường thẳng qua D vng góc với BO cắt BC H cắt BE K a Chứng minh bốn điểm B, O, I, C thuộc đường tròn b Chứng minh ICB = IDK c Chứng minh H trung điểm DK Bài 5: ( 1.0 điểm) Cho A(n) = n2(n4 - 1) Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với số tự nhiên n -HẾT (Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh : …………………………………………; Số báo danh : ……………… UBND HUYỆN PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT NĂM HỌC 2014 - 2015 Mơn: Tốn – Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (1.5 điểm) Thực tính: 2x + x − x − + x + với x = + = x + + x − + ( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) + x + Thay x = + vào được: +2+3 = = ( x + + x − 2) x + 2( x − + x + 2) ( + 2)2 = 3+ = x+2 = 3− 0,75 0,75 Bài 2: (2.5 điểm) Giải phương trình: a x + x − x + x + = −2 x + 5x + − x + 5x + = Đặt y = x + x + (y 0) được: y2 - y - = 0,50 Giải phương trình được: y1 = -1 (loại); y2 = 0,25 Với y = giải x + x + = x1 = 0; x2 = -5 Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm Ghi chú: Có thể đặt y = x2 + 5x Lúc cần đặt điều kiện bình phương hai vế 0,25 b 0,25 x − 3x + + x + = x − + x + x − ( x − 1)( x − 2) + x + = x − + ( x − 1)( x + 3) x − 1( x − − x + ) − x − + x + = ( x − − x + )( x − − 1) = x − − x + = vô nghiệm; 0,25 0,50 x − − = x = 0,25 Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm Bài 3: (2.0 điểm) a.Chứng minh Phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = ln có nghiệm hữu tỉ với số n ngun 0,25 n =-1: Phương trình có nghiệm Với n -1 n+10 ’= 1+ n(n+2)(n+3)(n+1) = 1+ (n2 + 3n)(n2+3n+2) = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + =(n2 + 3n + 1)2 ’ nên phương trình ln có nghiệm ’ phương, hệ số số nguyên nên nghiệm phương trình số hữu tỉ b Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2009x + = x3, x4 nghiệm phương trình x2 + 2010x + = Tính giá trị biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) 0,50 0,25 0,25 Giải: Chứng tỏ hai phương trình có nghiệm Có: x1x2 = x3x4 = x1+x2 = -2009 x3 + x4 = -2010 Biến đổi kết hợp thay: x1x2 = 1; x3x4 = (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) = (x1x2 + x2x3 - x1x4 -x3x4 )(x1x2+x1x3-x2x4-x3x4) = (x2x3 - x1x4 )(x1x3-x2x4 ) = x1x2x32 - x3x4x22 - x3x4x12+x1x2x42 = x32 - x22 - x12 + x42 = (x3 + x4 )2 - 2x3x4 -( x2+ x1)2 + 2x1x2 = (x3 + x4 ) -( x2+ x1)2 Thay x1+x2 = -2009; x3 + x4 = -2010 : 20102 - 20092 =2010+2009 =4019 Ghi chú: Có thể nhân theo nhóm [(x1+x3)(x2 + x3)].[(x1-x4)(x2-x4)] Bài 4: ( 3.0 điểm) OB BA; OC CA ( AB, AC tiếp tuyến) OI IA (I trung điểm dây DE) B, O, I, C thuộc đường trịn đường kính AO ICB = IAB ( Cùng chắn cung IB đường trịn đường kính AO) (1) DK // AB (Cùng vng góc với BO) IDK = IAB (2) Từ (1) (2) được: ICB = IDK ICB = IDK hay ICH = IDH Tứ giác DCIH nội tiếp HID = HCD HCD = BED (Cùng chắn cung DB (O)) HID = BED IH // EB IH đường trung bình DEK H trung điểm DK (Mỗi bước cho 0,25 điểm) Bài 5: ( 1.0 điểm) Chứng minh A(n) = n2(n4 - 1) chia hết cho 60 với số tự nhiên n - A(n) = n.n(n2 - 1)( n2 + 1) = n.n(n - 1)(n+1)( n2 + 1) Do n(n - 1)(n+1) chia hết A(n) chia hết cho với n - A(n) = n2(n4 - 1) = n(n5 - n) Do n5 - n chia hết cho theo phecma nên A(n) chia hết cho với n - Nếu n chẵn n2 chia hết cho A(n) chia hết cho Nếu n lẻ (n-1)(n+1) tích hai số chẵn nên chia hết cho A(n) chia hết cho với n - Ba số 3,4,5 đôi nguyên tố nên A(n) chia hết cho 3.4.5 hay A(n) chia hết cho 60 (Mỗi bước cho 0,25 điểm) 0,25 0,50 0,25 0,75 1.0 1,25 0,25 0,25 0,25 0,25 UBND HUYỆN PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT NĂM HỌC 2014 - 2015 Mơn: Tốn – Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) 1 + ≥ Chứng minh bất đẳng thức: a b a + b Với a; b số dương x + y = Tìm giá trị nhỏ b) Cho x; y hai P = số dương M= + 2 xy ; xy x + y Bài 1: (2.0 điểm) Bài 2: (2.0 điểm)  x + y = 11  Giải hệ phương trình:  x + xy + y = + Bài 3: (2.0 điểm) Hình chữ nhật ABCD có M, N trung điểm cạnh AB, CD Trên tia đối tia CB lấy điểm P DB cắt PN Q cắt MN O Đường thẳng qua O song song vơi AB cắt QM H a Chứng minh HM = HN b Chứng minh MN phân giác góc QMP Bài 4: (3.0 điểm) Cho nửa đường trịn (O, R) đường kính AB EF dây cung di động nửa đường tròn cho E thuộc cung AF EF = R AF cắt BE H AE cắt BF C CH cắt AB I a Tính góc CIF b Chứng minh AE.AC + BF BC không đổi EF di động nửa đường trịn c Tìm vị trí EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn Tính diện tích Bài 5: (1.0 điểm) Tìm ba số nguyên tố mà tích chúng năm lần tổng chúng -HẾT (Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh : …………………………………………; Số báo danh : ……………… UBND HUYỆN PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn: Toán – Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM 1 + ≥ a Chứng minh bất đẳng thức: a b a + b Với a; b số dương x; y hai số dương x + y = Tìm giá trị nhỏ b Cho P= M= + 2 xy ; xy x + y Bài 1: (2.0 điểm) 1 a+b 2 + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ( a + b ) ≥ 4ab ⇔ ( a − b ) ≥ a b a+b ab a+b x+ y 4 P= = ≥ = =2 xy xy 2( x + y ) 2.1 P đạt giá trị nhỏ tại: x = y = 2 xy ≤ x + y ⇔ xy ≤ ( x + y ) ⇔ xy ≤ hoặc: 0,50 0,50 0,25 1 ⇔ ≥4⇔ ≥2 xy xy 4.3 4.3 + ≥ + = + ≥ + 12 = 14 + 2 2 xy x + xy + y xy ( x + y ) xy x + y = xy x + y 1 - xy đạt GTNN x = y = 3 1 + 2 xy x + y đạt GTNN x = y = Nên M đạt GTNN x = y = M= 0,50 0,25 Bài 2: (2.0 điểm)  x + y = 11  Giải hệ phương trình:  x + xy + y = +  S − P = 11  - Đặt S = x + y; P = xy được: S + P = + 2 - ⇒ S + 2S − (17 + ) = S = + ; S = −5 − - S1 = + P = ; S = −5 − P2 = + - Với S1 = + ; P = có x, y hai nghiệm phương trình: - Giải phương trình X − (3 + ) X + = X = 3; X = - Với S = −5 − P2 = + có x, y hai nghiệm phương trình: X + (5 + ) X + + = Phương trình vơ nghiệm - Giải phương trình  x=3  y= 2; - Hệ có hai nghiệm:  x =   y=3 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3: (2.0 điểm) -Chứng tỏ MBND hình bình hành O trung điểm MN - OH // AB OH MN - HMN cân H (Trung tuyến vừa đường cao) HM = HN HQ OQ = OB - OH // BM được: HM OQ NQ = NP - ON // BP được: OB HQ NQ = HM NP NH//PM 0,75 1,25 HNM = NMP HMN = NMP MN phân giác góc QMP Mỗi bước cho 0,25 điểm Bài 5: (1.0 điểm) Tìm ba số nguyên tố mà tích chúng năm lần tổng chúng Giải: Gọi a,b,c ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c) Tích ba số ngun tố abc chia hết có số Giả sử a = 5bc = 5(5+b+c) bc = 5+b+c bc -b - c + = (b-1)(c-1) = b,c số nguyên dương có vai trị nên ta có hệ: b − = b = b − = b = ⇔ ⇔   c − = c =  c − = c = 0,25 0,50 0,25 Kết luận: Ba số nguyên tố cần tìm 2, 5, Bài 4: (3.0 điểm) O - BE, AF hai đường cao ABC CI đường cao thứ ba hay CIAB - Tứ giác IHFB nội tiếp HIF = HBF hay CIF = EBF - EOF nên EOF = 600 - EF = 600 CIF = EBF = 300 - Chứng minh ACI đồng dạng với ABE AC AI = ⇒ AC AE = AB AI AE - được: AB BC BI = ⇒ BC.BF = BA.BI BF - Tương tự BCI đồng dạng với BAE được: BA - Cộng được: AE.AC + BF BC = AB.AI + AB.BI =AB(AI + IB) = AB2 = const - Chứng minh ABC đồng dạng với FEC 1,0 1.0 1,0 2 S FEC  EF   R  =  =  = ⇒ S ABFE = S ABC S  AB   2R  - ABC S - Để S ABFE lớn ABC lớn CI lớn C chạy cung chứa góc 60 vẽ AB nên CI lớn I O CAB cân EF // AB - Lúc S ABC = 2.R.R 3R = R ⇒ S ABFE = (Mỗi bước cho 0,25 điểm) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang)  x −2 x +  x2 − 2x +   x − − x + x + ÷ ÷  Bài 1: (3 điểm) Cho A =  a) Rút gọn A b) Tìm x để A > c) Tìm giá trị lớn A Bài 2: (6 điểm) 2 a) Giải phương trình: x − x − x − x − = 18 b) Giải bất phương trình: |2x-7| < x2 + 2x + 2  ( x + y )( x − y ) = 45  ( x − y )( x + y ) = 85 c) Giải hệ phương trình:  Bài : (4 điểm) a) Cho a + b + c = , tính giá trị biểu thức: 1 P= 2 + 2 + 2 b +c −a a + c − b a + b2 − c2 b) Tìm số tự nhiên n cho A = n + n + số phương Bài : (5 điểm) a) Từ điểm A nằm (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N ∈ (O;R)) Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M N Tiếp tuyến P cắt AM B, cắt AN C Cho A cố định AO = a Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi P di động cung nhỏ MN Tính giá trị khơng đổi theo a R b) Cho tam giác ABC có diện tích 36 (đơn vị diện tích) Trên cạnh BC cạnh CA lấy điểm D E cho DC = 3DB EA = 2EC; AD cắt BE I Tính diện tích tam giác BID Bài 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:  x 10 y 10  Q =  +  + ( x 16 + y 16 ) − (1 + x y ) 2 y x    Hết HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Mơn thi: Tốn Bài ý a Đáp án hướng dẫn chấm Điểm 0.25đ 0.75đ ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ A = − x ( x − 1) 0.25đ A > ⇔ − x ( x − 1) > ⇔ x ( x − 1) <  x >0  ⇔ ⇔ < x x −1) 0.75đ 0.75đ 4 0.25đ Vậy GTLN A = x= 1 ⇔ x = (t / m) x − x − x − x − = 18 ⇔ 2( x − x − 8) − x − x − − = 0.25đ Đặt x − x − = y, y ≥ ta phương trình: 2 y − 3y − = ⇔ y + y − y − = y = ⇔ ( y − 2)(2 y + 1) = ⇔  y = − a  − y = 0.25đ  2 x − < x + x +   Nên: |2x-7| < x2 + 2x + 2 x − > − x − x − x + >   b x + 4x − >  0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ x2+4x+4>9 (x+2)2 >9 |x+2| >3 0.25đ x + > x >  x + < −3 ⇔  x < −5   0.5đ 0.25đ Kết luận nghiệm bất phương trình ( x + y )( x − y ) = 45 ( x − y )( x + y ) = 45 (1)   ⇔  2 2   Biến đổi ( x − y )( x + y ) = 85 ( x − y )( x + y ) = 85 (2) Từ hệ ta có x – y > Nhân hai vế (1) với 17 nhân hai vế (2) với đồng sau nhân ta được: 17(x – y)(x + y)2 = 9(x - y)(x2 +y2) ⇔ 4x2 + 17xy + 4y2 = c Nếu y = x = => khơng thỏa mãn hệ Nếu y ≠ , chia hai vế 4x2 + 17xy + 4y2 = cho y2 đặt t = x/y được: 4t2 +17t + = (t+4)(4t+1) = t = - hoặc t = - 1/4 x = -4y hoặc y = - 4x thay vào hệ phương trình nghiệm phương trình cho là: (x ; y) ∈ {(4;-1);(1;-4)} 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 1 + 2 + 2 2 b +c −a a + c − b a + b2 − c 1 a = b + c − (b + c)2 + a + c − (a + c)2 + a + b2 − (a + b)2 1 a+b+c = + + = =0 (voi : abc ≠ 0) −2bc −2ac −2ab −2abc P= A = n + n + số phương nên A có dạng A = n + n + = k (k ∈ N * ) ⇔ 4n + 4n + 24 = 4k ⇔ (2 k ) − (2n + 1) = 23 2k + 2n + = 23 ⇔ (2k + 2n + 1)(2k − 2n − 1) = 23 ⇔  b  2k − 2n − = (dk : abc ≠ 0) 1đ 1đ 0.5đ 0.5đ (Vì 23 số nguyên tố 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) 2k + 2n + = 23 k = ⇔ ⇔  2k − n − = n = 0.75đ Vậy với n = A số phương 0.25đ C ∆ABC = AB+BC+CA = AB+BP+PC+CA = (AB+BM)+(CN+CA) (t/c tt cắt nhau) = AM + AN = 2AM (t/c tt cắt nhau) 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 2 2 = OA − OM = a − R a Vì A cố định nên OA=a không đổi vậy P di chuyển cung 0.25đ nhỏ MN chu vi tam giác ABC không đổi 0.25đ C ∆ABC = a − R Ghi chú: - Khơng có điểm vẽ hình - Chứng minh mà khơng có hình vẽ hình vẽ sai khơng cơng nhận (khơng có điểm) b (Các đường nét đứt vẽ thêm để gợi ý chứng minh chấm, học sinh phải trình bày kẻ thêm đường phụ chứng minh - cần) Trình bày c/m: Trình bày c/m: S ∆BIC = S ∆BIA S ∆BID = 0.5đ S ∆BIC 1.0đ 1 S ∆BIA = S ∆ABD => S ∆ABD = S ∆ABC Trình bày c/m: 36 S ∆BID S ∆ABC = =1 36 36 => S ∆BID = 0.5đ 0.5đ 0.5đ Ghi chú: - Khơng có điểm vẽ hình - Chứng minh mà khơng có hình vẽ hình vẽ sai khơng cơng nhận (khơng có điểm) ĐK: x≠0, y≠0  x 10 y 10  16   + ( x + y 16 ) − (1 + x y ) +  y2 x2    10 10  y 1x =  + + + 1 + ( x 16 + y 16 + + 1) − (1 + x y ) − y  2 x  Q= 0.5đ Áp dụng bắt đẳng thức Cơ-si cho bốn số dương ta có:   x 10 y 10  + + + 1 ≥ x y y  2 x  16 ( x + y 16 + + 1) ≥ x y 4 Q ≥ 2x y + x y − − 2x y − x y − 0.25đ 0.25đ =− 2 => Vậy giá trị nhỏ Q Q = – 5/2 x2 = y2 = Chú ý: HS giải theo cách khác, vẫn cho điểm tối đa ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN THI: TỐN (Đề thi có bài, gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm)  x+2 x  x −1 P= + +  x x − x + x + 1 − x ÷: ÷   Cho biểu thức: Rút gọn biểu thức P P= Tìm x để So sánh: P2 2P Bài 2: (4,0 điểm) A = 7−4 + 4−2 Tính giá trị biểu thức: Chứng minh a, b, c ba số thỏa mãn a + b + c = 2013 1 1 + + = a b c 2013 ba số a, b, c phải có số 2013 Bài 3: (4,0 điểm) 0.5đ 0.5đ ... + 20 09 20 19 + 2014 2 2013 − 2011 = > 2013 + 2011 20 19 + 2014 2012 − 20 09 = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Cộng theo vế hai bất đẳng thức ta được: 2012 − 20 09 + 2013 − 2011 > 20 19 + 2014 = 20 19 − 2014... Bài (2.0 đ) (1.0đ) Tính x3 = + 49 49 49 +7+ + 3 49 − x 8 0.25 21 28 + 21x  1 x = 14 + 3 49 1 − ÷.x = 14 + x = 2  8 0.25 2014  28 + 21x  f (x) =  − 21x − 29 ÷   Vậy = ( −1) 2014 =1 0.25... HẾT … ( Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ……………………………… Số báo danh:………………………………… HƯỚNG DẪN CHẤM UBND HUYỆN Mơn thi: Tốn-

Ngày đăng: 21/08/2015, 17:39

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • UBND HUYỆN ..............

  • ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1

  • UBND HUYỆN ..............

  • ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan