Đạo hàm riêng 1 Mục lục 1 Đạo hàm riêng 1 2 Ý nghĩa hình học, tiếp diện và pháp tuyến 5 3 Gradient và đạo hàm theo hướng 6 1 Đạo hàm riêng • Đạo hàm riêng theo biến x, xem y là tham số, cho y = y 0 , thay vào f(x, y) thu được g(x), tính g  . • Đạo hàm riêng theo biến y, tương tự xem x là tham số. • Thực hiện tương tự với hàm n ≥ 3 biến. • Định lí cơ bản của phép tính tích phân: – Cho F (x) = ψ(x)  ϕ(x) f(t)dt, với f(t) là hàm số liên tục. – Khi đó: F  (x) = d dx ψ(x)  ϕ(x) f(t)dt = ψ  (x)f(ψ(x)) − ϕ  (x)f(ϕ(x)) 1. Tính ∂f ∂x và ∂f ∂y của các hàm số được cho sau: (a) f(x, y) = 2x 2 − 3y −4 (b) f(x, y) = x 2 − xy + y 2 (c) f(x, y) = (x 2 − 1)(y + 2) (d) f(x, y) = 5xy −7x 2 − y 2 + 3x − 6y + 2 (e) f(x, y) = (xy −1) 2 (f) f(x, y) = (2x − 3y) 3 (g) f(x, y) =  x 2 + y 2 (h) f(x, y) =  x 3 + y 2  2 3 (i) f(x, y) = 1 x + y Hàm số nhiều biến Vi tích phân A2 2 Đạo hàm riêng (j) f(x, y) = x x 2 + y 2 (k) f(x, y) = x + y xy −1 (l) f(x, y) = arctan y x (m) f(x, y) = e x+y+1 (n) f(x, y) = e −x sin(x + y) (o) f(x, y) = ln(x + y) (p) f(x, y) = e ey ln y (q) f(x, y) = sin 2 (x − 3y) (r) f(x, y) = cos 2 (3x − y 2 ) (s) f(x, y) = x y (t) f(x, y) = log y x (u) f(x, y) = y  x g(t)dt, với g(t) là hàm số liên tục. (v) f(x, y) = ∞  n=0 (xy) n , |xy| < 1 Đáp án: (a) ∂f ∂x = 4x; ∂f ∂y = −3 (b) ∂f ∂x = 2x − y; ∂f ∂y = 2y −x (c) ∂f ∂x = 2x(y + 2); ∂f ∂y = x 2 − 1 (d) ∂f ∂x = 5y −14x + 3; ∂f ∂y = 5x − 2y −6 (e) ∂f ∂x = 2y(xy −1); ∂f ∂y = 2x(xy −1) (f) ∂f ∂x = 6(2x − 3y) 2 ; ∂f ∂y = −9(2x − 3y) 2 (g) ∂f ∂x = x  x 2 + y 2 ; ∂f ∂y = y  x 2 + y 2 (h) ∂f ∂x = 2x 2  x 3 + y 2  −1/3 ; ∂f ∂y = 1 3  x 3 + y 2  −1/3 (i) ∂f ∂x = ∂f ∂y = − 1 (x + y) 2 ; (j) ∂f ∂x = y 2 − x 2 (x 2 + y 2 ) 2 ; ∂f ∂y = − 2xy (x 2 + y 2 ) 2 Vi tích phân A2 Hàm số nhiều biến Đạo hàm riêng 3 (k) ∂f ∂x = − 1 + y 2 (xy −1) 2 ; ∂f ∂y = − 1 + x 2 (xy −1) 2 (l) ∂f ∂x = − y x 2 + y 2 ; ∂f ∂y = x x 2 + y 2 (m) ∂f ∂x = ∂f ∂y = e x+y+1 (n) ∂f ∂x = −e −x sin(x + y) + e −x cos(x + y); ∂f ∂y = e −x cos(x + y) (o) ∂f ∂x = ∂f ∂y = 1 x + y (p) ∂f ∂x = 0; ∂f ∂y = e ey+1 ln y + e ey y (q) ∂f ∂x = sin 2(x − 3y); ∂f ∂y = −3 sin 2(x − 3y) (r) ∂f ∂x = −3 sin 2(3x − y 2 ); ∂f ∂y = 2y sin 2(3x − y 2 ) (s) ∂f ∂x = yx y−1 ; ∂f ∂y = x y ln x (t) ∂f ∂x = 1 x ln y ; ∂f ∂y = − 1 y ln x log 2 x y (u) ∂f ∂x = −g(x); ∂f ∂y = g(y) (v) ∂f ∂x = ∞  1 nx n−1 y n ; ∂f ∂y = ∞  1 ny n−1 x n 2. Tính f  x , f  y , f  z của các hàm số sau: (a) f(x, y, z) = 1 + xy 2 − 2z 2 (b) f(x, y, z) = xy + yz + xz (c) f(x, y, z) = x −  y 2 + z 2 (d) f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) −1/2 (e) f(x, y, z) = arcsin(xyz) (f) f(x, y, z) = ln(x + 2y + 3z) (g) f(x, y, z) = yz ln(xy) (h) f(x, y, z) = e −(x 2 +y 2 +z 2 ) (i) f(x, y, z) = e −xyz Đáp án: (a) f  x = y 2 ; f  y = 2xy; f  z = −4z (b) f  x = y + z; f  y = x + z; f  z = x + y Hàm số nhiều biến Vi tích phân A2 4 Đạo hàm riêng (c) f  x = 1; f  y = − y  y 2 + z 2 ; f  z = − z  y 2 + z 2 (d) f  x = − x  (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 ; f  y = − y  (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 ; f  z = − z  (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 (e) f  x = yz  1 − (xyz) 2 ; f  y = xz  1 − (xyz) 2 ; f  z = xy  1 − (xyz) 2 (f) f  x = 1 z + 2y + 3z ; f  y = 2 z + 2y + 3z ; f  z = 3 z + 2y + 3z (g) f  x = yz x ; f  y = z(ln(xy) + 1); f  z = y ln(xy) (h) f  x = −2xe −(x 2 +y 2 +z 2 ) ; f  y = −2ye −(x 2 +y 2 +z 2 ) ; f  z = −2ze −(x 2 +y 2 +z 2 ) (i) f  x = −yze −xyz ; f  y = −xze −xyz ; f  z = −xye −xyz 3. Tính đạo hàm riêng của hàm số với biến tương ứng của hàm số đó: (a) f(t, α) = cos(2πt − α) (b) g(u, v) = v 2 e 2u v (c) h(ρ, φ, θ) = ρ sin φ cos θ (d) g(r, θ, z) = r(1 − cos θ) − z (e) W (P, V, δ, v, g) = P V + V δv 2 2g (f) A(c, h, k, m, q) = km q + cm + hq 2 Đáp án: (a) f  t = −2π sin(2πt − α); f  α = sin(2πt − α) (b) g  u = 2ve 2u/v ; g  v = 2ve 2u/v − 2ue 2u/v (c) h  ρ = sin φ cos θ; h  φ = ρ cos φ cos θ; h  θ = −ρ sin φ sin θ (d) g  r = 1 − cos θ; g  θ = r sin θ; ; g  z = 1 (e) W  P = V ; W  V = P + δv 2 2g ; W  δ = V v 2 2g W  v = V δv g ; W  g = − V δv 2 2g 2 ; (f) A  c = m; A  h = q 2 ; A  k = m q ; A  m = k q + c; A  q = − km q 2 + h 2 Vi tích phân A2 Hàm số nhiều biến Đạo hàm riêng 5 2 Ý nghĩa hình học, tiếp diện và pháp tuyến • Vector n = (f  x , f  y , −1) = (a, b, −1) là vector pháp tuyến của tiếp diện tại P (x 0 , y 0 , z 0 = f(x 0 , y 0 )) • Phương trình tiếp diện a(x − x 0 ) + b(y −y 0 ) − (z −z 0 ) = 0 • Phương trình đường thẳng pháp tuyến của (S) tại P x − x 0 a = y −y 0 b = z −z 0 −1 hay          x = x 0 + at y = y 0 + bt z = z 0 + (−1)t 1. Mặt phẳng x = 1 cắt paraboloid z = x 2 + y 2 theo giao tuyến là một parabola. Hãy tìm độ dốc của tiếp tuyến của parabola đó tại điểm M(1, 2, 5) 2. Cho hàm số z = f(x, y) = 2x + 3y − 4. Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong trên tại (2, −1). 3. Cho hàm số z = f(x, y) = x 2 + y 3 . Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong đó tại (−1, 1). Đáp án: 1. Tiếp tuyến của parabola thuộc mặt phẳng x = 1 do đó độ dốc của tiếp tuyến tại (1, 2, 5) là: z  x (1, 2, 5) = (x 2 + y 2 )  x    (x,y,z)=(1,2,5) = 2x    x=1 = 2.1 = 2 2. z  x = 2, z  y = 3 ⇒ pháp véctơ (2, 3, −1). Phương trình tiếp diện tại (2, −1, f(2, −1)) = (2, −1, −3). 2(x − 2) + 3(y + 1) − (x + 3) = 0 hay 2x + 3y −z − 4 = 0 Pháp tuyến của mp tại điểm trên: x − 2 2 = y + 1 3 = z + 3 −1 . Hàm số nhiều biến Vi tích phân A2 6 Gradient và đạo hàm theo hướng 3. z  x = 2x, z  y = 3y 2 ⇒ z  x (−1, 1) = −2, z  y (−1, 1) = 3. Phương trình tiếp diện: 2x − 3y + z + 3 = 0 Phương trình pháp tuyến: x + 1 −2 = y −1 3 = z −2 −1 3 Gradient và đạo hàm theo hướng • Gradient của hàm số f(x, y) tại điểm P (x, y) là vector: ∇f(P ) = ∇f(x, y) = gradf(x, y) = f  x (x, y).  i + f  y (x, y).  j = (f  x , f  y ) • Với u(u 1 , u 2 ) là vector đơn vị (tức  u 2 1 + u 2 2 = 1), ta có đạo hàm theo hướng của u: D u f(x 0 , y 0 ) = f  x (x 0 , y 0 ).u 1 + f  y (x 0 , y 0 ).u 2 = u.∇f(x 0 , y 0 ) • Hàm số f(x, y) tăng (giảm) nhanh nhất theo hướng của vector ∇f(x 0 , y 0 ) (−∇f(x 0 , y 0 )). • Bất kì vector nào vuông góc với ∇f(x 0 , y 0 ) = 0 thì đạo hàm theo hướng của vector đó đều bằng 0. 1. Tìm Gradient của hàm số tại điểm được cho: (a) f(x, y) = y −x (2, 1) (b) f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) (1, 1) (c) f(x, y) = xy 2 (2, −1) (d) f(x, y) = x 2 2 − y 2 2 ( √ 2, −1) (e) f(x, y) =  2x + 3y (−1, 2) (f) f(x, y) = arctan √ x y (4, −2) (g) f(x, y, z) = x 2 + y 2 − 2z 2 + z ln x (1, 1, 1) (h) f(x, y, z) = 2z 3 − 3(x 2 + y 2 )z + arctan(xz) (1, 1, 1) (i) f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) −1/2 + ln(xyz) (−1, 2, −2) (j) f(x, y, z) = e x+y cos z + (y + 1) arcsin x (0, 0, π 6 ) Đáp án: Vi tích phân A2 Hàm số nhiều biến Gradient và đạo hàm theo hướng 7 (a) ∇f (x, y) = − −→ i + −→ j ⇒ ∇f (2, 1) = − −→ i + −→ j = (−1, 1) (b) ∇f (x, y) = 2x x 2 + y 2 −→ i + 2y x 2 + y 2 −→ j ⇒ ∇f (1, 1) = −→ i + −→ j = (1, 1) (c) ∇f (x, y) =  y 2 , 2xy  ⇒ ∇f (2, −1) = (1, −4) (d) ∇f (x, y) = (x, −y) ⇒ ∇f  √ 2, −1  =  √ 2, 1  (e) ∇f (x, y) =  1 √ 2x + 3y , 3 2 √ 2x + 3y  ⇒ ∇f (−1, 2) =  1 2 , 3 4  (f) ∇f (x, y) =  y 2 √ x (x + y 2 ) , − √ x x + y 2  ⇒ ∇f (4, −2) = − 1 8  1 2 , 2  (g) ∇f (x, y, z) =  2x + z x , 2y, −4z + ln x  ⇒ ∇f (1, 1, 1) = (3, 2, −4) (h) ∇f (x, y, z) =  −6xz + z 1 + (xz) 2 , −6yz, 6z 2 − 3  x 2 + y 2  + x 1 + (xz) 2  ⇒ ∇f (1, 1, 1) =  − 11 2 , −6, 1 2  (i) ∇f (x, y, z) =  −x (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 + 1 x , −y (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 + 1 y , −z (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 + 1 z  ⇒ ∇f (−1, 2, −2) =  −26 27 , 23 54 , −23 54  (j) ∇f (x, y, z) =  e x+y cos z + y + 1 √ 1 − x 2 , e x+y cos z + arcsin x, −e x+y sin z  ⇒ ∇f  0, 0, π 6  =  √ 3 2 + 1, √ 3 2 , − 1 2  2. Tìm đạo hàm của hàm số tại P 0 theo hướng được cho: (a) f(x, y) = 2xy −3y 2 , P 0 (5, 5), u = 4  i + 3  j (b) f(x, y) = 2x 2 + y 2 , P 0 (−1, 1), u = 3  i − 4  j (c) f(x, y) = x − y xy + 2 , P 0 (1, −1), u = 12  i + 5  j (d) f(x, y) = arctan y x + √ 3 arcsin xy 2 , P 0 (1, 1), u = 3  i − 2  j (e) f(x, y, z) = xy + z + zx, P 0 (1, −1, 2), u = 3  i + 6  j − 2  k (f) f(x, y, z) = x 2 + 2y 2 − 2z 2 , P 0 (1, 1, 1), u =  i +  j +  k Hàm số nhiều biến Vi tích phân A2 8 Gradient và đạo hàm theo hướng (g) f(x, y, z) = 3e x cos(yz), P 0 (0, 0, 0), u = 2  i +  j − 2  k (h) f(x, y, z) = cos(xy) + e yz + ln(xz), P 0 (1, 0, 1 2 ), u =  i + 2  j + 2  k Đáp án: (a) • Chuẩn hóa u thành vector đơn vị v = u |u| = (4, 3) 5 =  4 5 , 3 5  • Tính Gradient của f tại điểm P 0 ∇f(P 0 ) = (2y, 2x − 6y)    (5,5) = (10, −20) • Tính đạo hàm theo công thức: D v f(5, 5) = v ∇f(5, 5) =  4 5 , 3 5  (10, −20) = 8 −12 = −4 (b) −→ v = −→ u | −→ u | =  3 5 , − 4 5  ∇f (P 0 ) = (4x, 2y)| (−1,1) = (−4, 2) D −→ v f (P 0 ) =  3 5 , − 4 5  (−4, 2) = −4 (c) −→ v = −→ u | −→ u | =  12 13 , 5 13  ∇f (P 0 ) =  2 + y 2 (xy + 2) 2 , −2 − x 2 (xy + 2) 2      (1,−1) =  1 3 , − 1 3  D −→ v f (P 0 ) =  12 13 , 5 13  1 3 , − 1 3  = 7 39 (d) −→ v = −→ u | −→ u | =  3 √ 13 , − 2 √ 13  ∇f (P 0 ) =   −y x 2 + y 2 + √ 3y  4 − (xy) 2 , x x 2 + y 2 + √ 3x  4 − (xy) 2         (1,1) =  3 2 , 5 2  D −→ v f (P 0 ) = 1 2 √ 13 (3, −2) (3, 5) = − 1 2 √ 13 (e) −→ v = −→ u | −→ u | = 1 7 (3, 6, −2) ∇f (P 0 ) = (1, 3, 0) D −→ v f (P 0 ) = 3 Vi tích phân A2 Hàm số nhiều biến Gradient và đạo hàm theo hướng 9 (f) −→ v = −→ u | −→ u | = 1 √ 3 (1, 1, 1) ∇f (P 0 ) = (2, 4, −4) D −→ v f (P 0 ) = 1 √ 3 (1, 1, 1) (2, 4, −4) = 2 √ 3 (g) −→ v = −→ u | −→ u | = 1 3 (2, 1, −2) ∇f (P 0 ) = (3e x cos (yz) , −3ze x sin (yz) , −3ye x sin (yz))| (0,0,0) = (3, 0, 0) D −→ v f (P 0 ) = 1 3 (2, 1, −2) (3, 0, 0) = 2 (h) −→ v = −→ u | −→ u | = 1 3 (1, 2, 2) ∇f (P 0 ) =  −y sin (xy) + 1 x , −x sin (xy) + ze yz , ye yz + 1 z      ( 1,0, 1 2 ) =  1, 1 2 , 2  D −→ v f (P 0 ) = 1 3 (1, 2, 2) (1, 1/2, 2) = 2 3. Tìm hướng mà theo đó hàm số tăng nhanh nhất tại điểm P 0 , tính giá trị đạo hàm theo hướng vừa tìm được. (a) f(x, y) = x 2 + xy + y 2 P 0 (−1, 1) (b) f(x, y) = x 2 y + e xy sin y P 0 (1, 0) (c) f(x, y, z) = x y − yz P 0 (4, 1, 1) (d) f(x, y, z) = xe y + z 2 P 0 (1, ln 2, 1 2 ) (e) f(x, y, z) = ln(xy) + ln(yz) + ln(xz) P 0 (1, 1, 1) (f) f(x, y, z) = ln(x 2 + y 2 − 1 + y + 6z) P 0 (1, 1, 0) Đáp án: (a) Hàm số tăng nhanh nhất theo hướng ∇f(P 0 ), khi đó vector đơn vị u = ∇f(P 0 ) |∇f(P 0 )| Và giá trị đạo hàm theo hướng : D u f(P 0 ) = ∇f(P 0 ).u = ∇f(P 0 ). ∇f(P 0 ) |∇f(P 0 )| = |∇f(P 0 )| 2 |∇f(P 0 )| = |∇f(P 0 )| Áp dụng: ∇f(−1, 1) = (−1, 1) ⇒ u  − 1 √ 2 , 1 √ 2  D u f(−1, 1) =  (−1) 2 + 1 2 = √ 2 Hàm số nhiều biến Vi tích phân A2 10 Gradient và đạo hàm theo hướng (b) ∇f (x, y) =  2xy + ye xy sin y, x 2 + xe xy sin y + e xy cos y  ⇒ ∇f (P 0 ) = (0, 2) ⇒ D u f (P 0 ) = √ 2 2 = 2 (c) ∇f (P 0 ) = (1, −5, −1) ⇒ D u f (P 0 ) =  1 2 + (−5) 2 + (−1) 2 = 3 √ 3 (d) ∇f (P 0 ) = (2, 2, 1) ⇒ D u f (P 0 ) = 3 (e) ∇f (P 0 ) = (2, 2, 2) ⇒ D u f (P 0 ) = 2 √ 3 (f) ∇f (x, y, z) =  2x x 2 + y 2 − 1 + y + 6z , 2y + 1 x 2 + y 2 − 1 + y + 6z , 6 x 2 + y 2 − 1 + y + 6z  ∇f (P 0 ) = (1, 3/2, 3) ⇒ D u f (P 0 ) = 7/2 4. Cho hàm số f(x, y) = x 2 − xy + y 2 . Tìm vector đơn vị u và giá trị của D u f(1, −1) biết rằng: (a) D u f(1, −1) lớn nhất (b) D u f(1, −1) nhỏ nhất (c) D u f(1, −1) = 0 (d) D u f(1, −1) = 4 (e) D u f(1, −1) = −3 Đáp án: (a) Tương tự bài trên ta có: giá trị đạo hàm lớn nhất tại P 0 khi đạo hàm theo hướng tăng nhanh nhất tại P 0 . ∇f(x, y) = (2x − y, 2y −x) ⇒ ∇f(1, −1) = (3, −3) ⇒ u = 1 √ 2 (1, −1) D u f(1, −1) = 3 √ 2 (b) Giá trị đạo hàm nhỏ nhất khi f’ giảm nhanh nhất, vậy: u = − 1 √ 2 (1, −1) và D u f(1, −1) = −3 √ 2 (c) Giá trị đạo hàm là 0 khi vector u vuông góc với vector gradient: ⇒ u.∇f(1, −1) = 0 ⇒ u = 1 √ 2 (1, 1) (d) Với đạo hàm theo hướng tại P 0 có giá trị m bất kì ta giả sử u = (a, b). Khi đó u Vi tích phân A2 Hàm số nhiều biến [...]... (1, −1, 1) có giá trị −3 (o C/f t) (Không) √ 9 Đạo hàm của hàm số f (x, y) tại điểm P0 (1, 2) theo hướng i + j là 2 2 và theo hướng −2j là −3 Đạo hàm của hàm f theo hướng −i − 2j nhận giá trị là bao nhiêu? Đáp án: Gọi u = (1, 1), v = (0, −2), w = (−1, −2), ta có hệ:  √ 1 D u f (P0 ) = √ u f (P0 ) = 2 2 ⇒ u f (P0 ) = 4 1 2 |u| mà w = −u + v nên D v f (P ) = 1 v f (P ) = −3 2 0 0 2 |v| Hàm số nhiều... = 6 Theo hướng nào thì đạo hàm của hàm số f (x, y) = √ √ 3−4 3 2+6 3 , 13 13 ) x2 − y 2 tại điểm (1, 1) bằng 0 x2 + y 2 (Hướng vuông góc với vector gradient và u = (1, 1)) 7 Tồn tại hay không vector u mà theo hướng đó đạo hàm hàm số f (x, y) = x2 − 3xy + 4y 2 tại điểm P (1, 2) có giá trị 14 (Giải tương tự bài 4.(d)⇒ không tồn tại) 8 Tồn tại hay không vector u mà theo hướng đó tốc độ biến thiên hàm. .. và đạo hàm theo hướng 1 1 −4 − 3 1 ⇒ D w f (P0 ) = √ w f (P0 ) = √ (−u + v) f (P0 ) = √ |w| 2 5 5 5 Hoặc giả sử f (P0 ) = (a, b) giải hệ được (a, b) rồi áp dụng công thức với vector w 10 Hàm số đạo hàm của hàm f (x, y, z) tại điểm P đạt giá trị lớn nhất theo hướng √ v = i + j − k và giá trị lớn nhất đó là 2 3 (a) Tìm tọa độ f tại P ( f (P ) = (2, 2, −2)) √ (b) Tính đạo hàm của hàm f tại P theo hướng. ..11 Gradient và đạo hàm theo hướng thỏa:  u f (P0 ) = m |u| = √a2 + b2 = 1 Áp dụng:  (a, b).(3, −3) = 3a − 3b = 4 a2 + b 2 = 1  √ b = −4+ 2 ⇒ a = 6 ⇒ √ b = −4− 2 ⇒ a = 6  a2 = b2 + 8 b + 16 3 9 ⇔ 2b2 + 8 b + 7 = 0 3 √ 4+ 2 6 √ 4− 2 6 9 ⇒ kết luận (e) Lý luận như bài (d) tính được: u(1, 0) hoặc u(0, 1) 5 (Tương tự câu trên) Cho hàm số f (x, y) = 1 3 − , 2 2 Du f x−y... đạt giá trị lớn nhất theo hướng √ v = i + j − k và giá trị lớn nhất đó là 2 3 (a) Tìm tọa độ f tại P ( f (P ) = (2, 2, −2)) √ (b) Tính đạo hàm của hàm f tại P theo hướng v = i + j (2 2) Vi tích phân A2 Hàm số nhiều biến . Đạo hàm riêng 1 Mục lục 1 Đạo hàm riêng 1 2 Ý nghĩa hình học, tiếp diện và pháp tuyến 5 3 Gradient và đạo hàm theo hướng 6 1 Đạo hàm riêng • Đạo hàm riêng theo biến x, xem y. điểm P (1, −1, 1) có giá trị −3 ( o C/ft). (Không) 9. Đạo hàm của hàm số f(x, y) tại điểm P 0 (1, 2) theo hướng  i +  j là 2 √ 2 và theo hướng −2  j là −3. Đạo hàm của hàm f theo hướng −  i −. u = 1 √ 2 (1, 1) (d) Với đạo hàm theo hướng tại P 0 có giá trị m bất kì ta giả sử u = (a, b). Khi đó u Vi tích phân A2 Hàm số nhiều biến Gradient và đạo hàm theo hướng 11 thỏa:    u.∇f