Chuyên đề toán bồi dưỡng THCS trên báo toán học tuổi trẻ Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 1 Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP CHỌN TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Xét “ bài toán chọn sau” : Cho hai dãy số thực được xắp thứ tự 1 2 1 2 ; n n a a a b b b       và các tổng 1 2 1 1 n n n s ab a b a b      S= 1 1 2 2 ; n n a b a b a b    (*) 1 2 1 2 n j j j n j S a b a b a b     (**) (Với ( 1 2 ; ; ; ) n j j j là một hoán vị bất kỳ của (1;2;…;n) Chứng minh rằng j S S s   Chứng minh: Ta sẽ chứng minh j S S  Thật vậy: xuất phát từ (**) ta thành lập 1 S bằng cách giữ nguyên hầu hết các số hạng của j S ( giả sử j S =1 ta thay đổi 1 j b và i j b ): 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 i n n j j i j n j j i j n j S ab a b a b a b a b a b a b a b             Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )( ) 0 j i j j i i j S S a b ab a b a b a a b b          Suy ra: 1 j S S  Tiếp tục thành lập 2 S bằng cách giữ nguyên hầu hết các số hạng của 1 S ( Gỉa sử 2 k j  Ta thay đổi 1 j b và k j b ): 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 k n n j k j n j k j n j S a b a b a b a b a b a b a b a b            Ta có: 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )( ) 0 k j j k k j S S a b a b a b a b a a b b          Suy ra 2 1 S S  ; … Chuyên đề toán bồi dưỡng THCS trên báo toán học tuổi trẻ Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 2 Sau nhiều nhất nb bước như trên ta được kết quả 2 1 j S S S S     (đpcm) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n a a a    hoặc 1 2 n b b b    Tương tự ta chứng minh được j S s  Ta cũng có thể áp dụng nguyên lý quy nạp để chứng minh “ bài toán chọn”.  Ap dụng bài toán chọn: Bài toán 1: Cho a, b, c, là các số thực dương , chứng minh rằng: 8 8 8 3 3 3 1 1 1 a b c a b c a b c      (1) Lời giải: Ta có: (1) 5 5 5 3 3 3 3 3 3 1 1 1 a b c b c a c a b a b c       (2) Do a, b, c có vai trò như nhau , không mất tính tổng quát , giả sử 0 a b c    Suy ra 5 5 5 a b c   và 3 3 3 3 3 3 1 1 1 b c a c a b   Áp dụng bài toán chọn ta có 5 5 5 5 5 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 a b c a b c b c a c a b a c a b b c      5 5 5 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a b c a b c b c a c a b c a b       (3) Tiếp tục áp dụng bài toán chọn với hai dãy 2 2 2 a b c   và 3 3 3 1 1 1 c b c   ta có: 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 1 1 . . . a b c a b c c a b a b c      2 2 2 3 3 3 1 1 1 a b c c a b a b c       (4) Từ (2);(3);(4) suy ra (1) đúng(đpcm) Bài toán 2(ĐH Thủy Lợi năm 1997-1998). Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng: 2 2 2 2 5 5 5 5 3 3 3 3 1 1 1 1 a b c d b c d a a b c d        Chuyên đề toán bồi dưỡng THCS trên báo toán học tuổi trẻ Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 3 Lời giải: Do a, b, c, có vai trò như nhau , không mất tính tổng quát,giả sử a b c d    suy ra 2 2 2 2 a b c d    và 5 5 5 5 1 1 1 1 d c b a    Theo cách chứng minh bài toán chọn, đặt 3 3 3 3 2 2 2 2 5 5 5 5 2 2 2 2 1 5 5 5 5 2 2 2 2 2 5 5 5 5 1 1 1 1 ; 1 1 1 1 1 1 1 1 | 1 1 1 1 j s a b c d S a b c d b c d a S a b c d a c d b S a b c d a b d c                 Ta có: 2 2 1 1 5 5 2 2 1 2 1 2 5 5 2 2 2 2 5 5 1 1 ( )( ) 0 ; 1 1 ( )( ) 0 ; 1 1 ( )( ) 0 j j S S a d S S b a S S b d S S c b S s c d S s d c                      Suy ra 1 2j S S S s    (đpcm) Bài toán 3:(Vô địch toán quốc tế 1983). Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng: 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 a b a b b c b c c a c a       Lời giải: Không mất tính tổng quát, giả sử 0 , a b c    suy ra 1 1 1 a b c   và ( ) ( ) ( ) a b c a b c a b c a b c         (*) ( Xét hiệu a(b+c-a)-b(c+a-b)=(a-b)(c-a-b)  0 Do a,b, c là các cạnh của một tam giác, tương tự ta chứng minh được (*)). Aps dụng bài toán chọn ta có 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 a b c a b c a b c a b c a b c b c b c a c a b a b c a b c a b c a b c a a b c a b c b c b c c a c a a b a b                                Chuyên đề toán bồi dưỡng THCS trên báo toán học tuổi trẻ Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 4  (đpcm) Bài toán 4(Olympiad Chicago 1996). Xác định các số thực 1 0 a b c d e       thỏa mãn: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 19 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 19 96 a b b c c d d e e a abcde a bcd b cde c dea d eab e abc abcde                             Lời giải: Do 1 0 a b c d e       suy ra bcde a cdea b abcd e       Áp dụng bài toán chọn ta có ( ) ( ) ( ) a bcde a b cdea b e abcd e       ( ) ( ) ( ) a abcd e b bcde a e eabc d        2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 ( ) ( ) 10 2( ) 2( ) 2( ) 19(10 ( ) ( ) ) 38( ) 192 192 abcde a b c d e a bcd b cde e abc ab bc ea abcde a e ab bc ea a bcd b cde e abc abcde a b e a a bcd b cde e abc abcde abc                                           de Trong bất đẳng thức trên, đẳng thức đã xảy ra nên a=b=c=d=e=0  Bài tập tự giải: Bài 1( Bất đẳng thức Trê-bư-sép). Gỉa sử 1 2 0 n a a a     và 1 2 0 n b b b     . Chứng minh rằng: 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( )( ) n n n n n a b a b a b a a a b b b           Bài 2:(Bất đẳng thức Cô-si).Cho 0 i a  với mọi (1;2; ; ) i n  chứng minh rằng 1 2 1 2 . n n n a a a a a a n     Bài 3: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=3 chứng minh rằng: 3 3 3 4 4 4 1 a b c a b c      Bài 4: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng : 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) abc a b c a b c a b c a b c          Chuyên đề toán bồi dưỡng THCS trên báo toán học tuổi trẻ Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 5 Bài 5: Cho 0 i a  với mọi (1;2; ; ) i n  chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 2 1 2 3 4 2 1 1 n n a a a a a a a a a n a a a                  Bài 6:(Vô địch toán quốc tế 1975) Cho hai dãy số thực dương 1 2 n x x x    và 1 2 n y y y    giả sử 1 2 ( ; ; ; ) n z z z là một hoán vị của 1 2 ( , , , ) n y y y chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n x y x y x y x z x z x z              Bài 7 Vô địch toán quốc tế 1978) Cho a 1 2 , , , n a a a là các số nguyên dương đôi một khác nhau . chứng minh rằng: 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 n a a a n n        . Chuyên đề toán bồi dưỡng THCS trên báo toán học tuổi trẻ Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 1 Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP CHỌN TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Xét “ bài toán chọn. Trong bất đẳng thức trên, đẳng thức đã xảy ra nên a=b=c=d=e=0  Bài tập tự giải: Bài 1( Bất đẳng thức Trê-bư-sép). Gỉa sử 1 2 0 n a a a     và 1 2 0 n b b b     . Chứng minh. ; ) n j j j là một hoán vị bất kỳ của (1;2;…;n) Chứng minh rằng j S S s   Chứng minh: Ta sẽ chứng minh j S S  Thật vậy: xuất phát từ (**) ta thành lập 1 S bằng cách giữ nguyên hầu hết