Phương pháp làm bài tập bất đẳng thức trong các đề thi THPT

28 455 0
Phương pháp làm bài tập bất đẳng thức trong các đề thi THPT

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

MỤC LỤC Trang A. Phần mở đầu 01 1. Lý do chọn đề tài…………………………………………… 01 2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu…………………………. 01 3. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu…………………………. 01 4. Giả thuyết khoa học của đề tài…………………………… 02 5. Phương pháp nghiên cứu………………………………… 02 6. Dự báo những đóng góp mới của đề tài…………………… 02 B. Phần giải quyết vấn đề 03 I. Kiến thức cơ sở……………………………………………… 03 II. Một số kỹ thuật dồn biến………………………………… 04 1. sử dụng các đẳng thức……………………………………… 04 2. Sử dụng BĐT cauchy……………………………………… 08 3. Sử dụng BĐT bunhiacopsky……………………………… 12 4. Sử dụng bất đẳng thức phụ (1) và (2)…………………… 16 5. Sử dụng bất đẳng thức phụ (3) và (4)…………………… 20 III. Thực nghiệm………………………………………………. 26 1. Mục đích thực nghiệm……………………………………… 26 2. Nội dung thực nghiệm………………………………………. 26 3. Kết quả thực nghiệm……………………………………… 26 C. Kết luận và kiến nghị 27 Tài liệu tham khảo 28 A. PHẦN MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình toán học phổ thông, bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa nhiều biến số là bài toán thường xuyên có mặt trong các đề thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng. Bài toán toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa nhiều biến số là bài toán được giải theo nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên với sự hổ trợ của công cụ đạo hàm và đặc biệt là một số kỷ thuật dồn biến, ở các đề thi gần đây đa số chúng ta đều giải quyết được rất gọn gàng. Trong quá trình giảng dạy tôi thấy tâm lý của đại đa số học sinh là rất ngại và lúng túng khi gặp dạng toán này và hầu như là không quan tâm đến nó, bởi vì đây là bài toán có tính chất tổng hợp kiến thức và là bài toán lấy điểm 10 trong đề thi. Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 12 trước khi bước vào kỳ thi Quốc Gia với tâm lý thoải mái hơn, hy vọng hơn, tôi xin được viết lên đề tài: “ Một số kỷ thuật dồn biến để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa nhiều biến số”. II. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Các vấn đề tôi trình bày trong chuyên đề này sẽ hổ trợ cho các em học sinh lớp 12 có học lực khá và các em học sinh giỏi tiếp cận được với các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Để hoàn thành đề tài này tôi đã nghiên cứu qua tài liệu sách giáo khoa, qua các tài liệu về bất đẳng thức, qua các đề thi và qua các tạp chí toán học. III. MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU + Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu nghiên cứu của đề tài này là giúp các em học sinh lớp 12 có tham vọng lớn trong các kỳ thi, tiếp cận được bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa nhiều biến số, đồng thời trang bị cho các em một số kỷ thuật dồn biến. Nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường trung học Phổ thông trong thời gian nền giáo dục đang từng bước đổi mới với phương châm là phát huy tính tích cực và năng lực sáng tạo của người học. + Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu qua các tài liệu, sau đó trình bày có hệ thống các dạng, các ví dụ điển hình trong các kỹ thuật dồn biến. IV. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI: Trong quá trình dạy học nếu người giáo viên biết khơi dậy trong học sinh tính tò mò thông qua một số kỹ thuật và biết xây dựng được hệ thống các dạng bài tập qua các kỹ thuật đó thì sẽ giúp học sinh phát huy được tính tích cực của mình và từ đó các em sẽ thấy tự tin, vững vàng hơn khi gặp phải dạng toán này. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: + Nghiên cứu luận: Nghiên cứu qua các tài liệu về bất đẳng thức trong chương trình toán THPT. + Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát năng lực học sinh trong vấn đề tiếp cận và giải quyết bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. + Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành bồi dưỡng học sinh giỏi, dạy ôn thi Đại học một số buổi cho các em học sinh lớp 12 để xem xét tính khả thi, hiệu quả của đề tài. VI. DỰ BÁO NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI Trong thực tiển dạy bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi Đại học cho các em học sinh lớp 12 tôi sử dụng đề tài của mình vào giảng dạy và đã thu được những kết quả khả quan, hầu hết các em tham gia lớp học đã chủ động hơn và hứng thú hơn khi tiếp cận với những bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nói chung. Từ đó phát huy được tính tích cực, chủ động của mình trong học tập. Đề tài có thể làm tài liệu cho các giáo viên trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12, luyện thi Đại học. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. KIẾN THỨC CƠ SỞ: 1. Các đẳng thức: Với mọi số thực x và y ta có + 2 2 2 ( ) 2x y x y xy+ = + + + 3 3 3 ( ) 3 ( )x y x y xy x y+ = + + + + 0 1 1 ( ) , n n n n n n n n x y x x y y n C C C − + + = + + + ∈Z 2. Các bất đẳng thức: + Bất đẳng thức cauchy: Cho các số thực không âm n aaa , ,, 21 . Khi đó, ta có n nn aaanaaa 2121 ≥+++ . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi n aaa === 21 . + Bất đẳng thức bunhiacopsky: Cho hai bộ số thực tùy ý n aaa ,,, 21 và n bbb ,,, 21 . Khi đó, ta có: ) )( () ( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa ++++++≤+++ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tồn tại số thực k thỏa mãn , 1, i i a kb i n= = . + Các bất đẳng thức cơ bản: • 2 2 2 ( ) , 0 2 a b a b a b + + ≥ ≥ (1) • 3 3 3 ( ) , 0 4 a b a b a b + + ≥ ≥ (2) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b. • 1 1 2 1 1 1 a b ab + ≥ + + + (3) với 10, ≥> abvàba Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b hoặc ab=1. • 1 1 2 1 1 1 a b ab + ≤ + + + (4) với , 0 1a b và ab> ≤ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b hoặc ab=1. 3. Một số tính chất của hàm số + Nếu hàm số ( )y f x= đồng biến trên đoạn [ ] ;a b thì [ ] ; max ( ) ( ) a b f x f b= và [ ] ; min ( ) (a) a b f x f= . + Nếu hàm số ( )y f x= nghịch biến trên đoạn [ ] ;a b thì [ ] ; max ( ) (a) a b f x f= và [ ] ; min ( ) (b) a b f x f= . + Nếu hàm số ( )y f x= có đạo hàm liên tục và đổi dấu từ (-) sang (+) khi x qua [ ] 0 ;x a b∈ thì [ ] ; max ( ) ( ) a b f x f b= hoặc [ ] ; max ( ) (a) a b f x f= và [ ] 0 ; min ( ) (x ) a b f x f= . + Nếu hàm số ( )y f x= có đạo hàm liên tục và đổi dấu từ (+) sang (-) khi x qua [ ] 0 ;x a b∈ thì [ ] ; min ( ) ( ) a b f x f b= hoặc [ ] ; max ( ) (a) a b f x f= và [ ] 0 ; max ( ) (x ) a b f x f= . II. MỘT SỐ KỸ THUẬT DỒN BIẾN 1. Kỷ thuật sử dụng các đẳng thức: Ví dụ 1 Cho hai số thực thỏa mãn xyyxvàyx 4)(31,1 =+≥≥ .Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức         +++= 22 33 11 3 yx yxP Phân tích : Ta thấy đây là biểu thức đối xứng hai biến nên thông thường ta dồn về biến x+y hoặc xy. Để làm được điều đó ta cần liên hệ với các hằng đẳng thức, cụ thể: Bài giải : Ta có xyyx yxxyyxP 611 3)(3)( 2 3 −         +++−+= Đặt 4 3t xyyxt =⇒+= . Khi đó, ta có 3 168 4 9 2 3 +−−= t t tP •Ta có 330, 4 3 , 2 ≥⇒≥⇒>=+= tttt t xyyxt Do 401 4 3 01)(0)1)(1(1,1 ≤⇒≥+−⇒≥++−⇒≥−−⇒≥≥ tt t yxxyyxyx Suy ra 43 ≤≤ t •Xét hàm số 43, 3 168 4 9 )( 2 3 ≤≤+−−= t t t ttf [ ] 4;3,0 8 ) 2 3 (2 8 2 9 3)(' 22 2 ∈∀>+−=+−= t t tt t t ttf Suy ra giá trị nhỏ nhất của f(t) trên đoạn [ ] 4;3 là 12 113 )3( =f , giá trị nhỏ nhất của f(t) trên đoạn [ ] 4;3 là 3 94 )4( =f . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 3 3 12 113 ==⇔= yxtkhi và giá trị lớn nhất của P là    == == ⇔= 3,1 1,3 4 3 94 yx yx tkhi Nhận xét : Bài toán trên có thể giải theo cách rút thế để xét hàm một biến nhưng lại gặp phải hàm số cồng kềnh. Với việc sử dụng các hằng đẳng thức như trên ta thấy rằng chính nhờ giả thiết mà ta có thể đưa biểu thức cần biến đổi qua biến mới. Ví dụ 2(Khối B-2011) Cho hai số thực dương thỏa mãn )2)(()(2 22 ++=++ abbaabba . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức         +−         += 2 2 2 2 3 3 3 3 94 a b b a a b b a P Bài giải : Ta có 189124 23 +       +−       +−       += a b b a a b b a a b b a P Đặt a b b a t += . Khi đó, ta có 181294 23 +−−= tttP •Ta có )2( 11 12)2)(()(2 22 +       +=+       +⇒++=++ ab baa b b a abbaabba 2221222 22 12 +≥+⇒         +≥+++=+       +⇒ tt a b b a a b b a a b b a 2 5 01544 2 ≥⇒≥−−⇒ ttt •Xét hàm số 2 5 ,181294)( 23 ≥+−−= tttttf 2 5 ,0121812)(' 2 ≥∀>−−= ttttf Suy ra giá trị nhỏ nhất của f(t) trên đoạn       +∞; 2 5 là 4 23 ) 2 5 ( − =f . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1,22,1 4 23 ==== − bahaybakhi . Nhận xét: Đối với biểu thức trên nói chung việc dồn về biến mới là dễ dàng, nhưng rõ ràng tìm miền giá trị của biến mới là không đơn giản. Chính vì thế mà ta phải khai thác triệt để ở giả thiết và biến đổi giả thiết qua biến dự kiến dồn về. Ví dụ 4(Khối B-2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn 10 222 =++=++ zyxvàzyx . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 555 zyxP ++= . Phân tích: Với bài toán này kể cả giả thiết và biểu thức P đều là biểu thức đối xứng ba biến, nhưng dấu “=” xảy ra không phải là x=y=z. Biểu thức P là biểu thức đồng bậc và hơn nữa với giả thiết 0x y z+ + = cho ta đưa biểu thức P về biểu thức hai biến. Qua đó việc dồn biến trở nên đơn giản hơn khi sử dụng khai triển Niu tơn. Bài giải: Ta có        ≤+≤− −+= ⇒    =++ =++ 3 2 3 2 2 1 )( 1 0 2 222 yx yxxy zyx zyx       +−+−=+−+−=+−+= )( 2 1 )( 2 5 )(10)(5)( 32233555 yxyxyxyxyxxyyxyxP •Đặt yxt += . Khi đó, ta có , 4 5 2 5 3 ttP +−= với 3 2 3 2 ≤≤− t •Xét hàm số , 4 5 2 5 )( 3 tttf +−= 3 2 3 2 ≤≤− t 6 1 0)(', 4 5 2 15 )(' 2 ± =⇔=+−= ttfttf Ta có 36 65 ) 3 2 ( 36 65 ) 6 1 (, 36 65 ) 6 1 (, 36 65 ) 3 2 ( − == − = − =− fvàfff Suy ra giá trị lớn nhất của f(t) là 36 65 ) 6 1 () 3 2 ( ==− ff . Vậy giá trị lớn nhất của P là 36 65 3 2 6 1 −=∨= ttkhi )( 1 0 3 2 1 0 6 1 222222 VN zyx zyx yx zyx zyx yx          =++ =++ −=+ ∨          =++ =++ =+ ⇔ 6 6 , 3 6 − ===⇔ zyx . Nhận xét: Ngoài cách dồn biến trên bài toán còn thực hiện được bằng cách dồn về một biến x hoặc y hoặc z.Với ví dụ sau sẽ nói lên điều đó : Ví dụ 5( HSG lớp 12 Hà Tĩnh-2014) Cho ba số thực dương thỏa mãn 46 ==++ xyzvàzyx . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 333 111 zyx P ++= Phân tích: Với giả thiết của bài toán và các số hạng của biểu thức P, ta dể dàng đưa được biểu thức P về một biến. Bài giải: Ta có 3 322 3 3 1 16 )6(3 64 )6(111311 z zzzz z yxxyyx P + − − − =+         +−         += •Theo bất đẳng thức cô si ta có: z z z yx xyz yx xy 4 )6( 4 4 )( 4 )( 222 − ≤⇔ + ≤⇒ + ≤ 43240)48)(4( 2 ≤≤−⇔≥+−−⇔ zzzz •Xét hàm số 4324, 1 16 )6(3 64 )6( )( 3 3232 ≤≤−+ − − − = z z zzzz zf 4 2 4 22 ' 3 )63( 64 63 16 )312(3 64 )26)(6((3 )( z zz z z zzzzz zf −−−=− − − −− = Do [ ] 4;324,063 2 −∈∀<−− zzz nên [ ] 4;324,0)( ' −∈∀< xzf Suy ra giá trị nhỏ nhất của f(z) trên đoạn [ ] 4;324 − là 64 129 )4( =f , giá trị lớn nhất của f(z) trên đoạn [ ] 4;324 − là 8 6327 )324( + =−f . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 14 64 129 ==⇔= yxzkhi và giá trị lớn nhất của P là 31,324 8 6327 +==−= + yxzkhi . Nhận xét: Với cách sử dụng hằng đẳng thức như trên ta dể dàng đưa về được biến z hoặc y hoặc x .Nhưng ta củng có thể sử dụng đẳng thức: ))()((3)( 3333 accbbacbacba +++−++=++ để dồn về biến t=ab+bc+ca. *Một khi việc sử dụng các phép biến đổi đại số không đáp ứng được mong muốn đặt ra thì ý tưởng khác phải được đề cập đến. Ở đây tôi muốn nói đến là việc sử dụng các BĐT đã biết trước để thực hiện việc dồn biến có hiệu quả. Tui nhiên sử dụng nó như thế nào. Sau đây tôi sẽ đưa ra một số kỹ thuật dồn biến bằng cách sử dụng các bất đẳng thức (BĐT): 2. Sử dụng BĐT cauchy: Ví dụ1 Cho các số thực dương x, y,z thỏa mãn 2 2 2 1x y z+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 1 1 2 3 1 P z x xy y xy = + + + + + Phân tích : Với hình dạng của biểu thức P, thông thường ta hay để ý đến số hạng có tính độc lập để dồn về biến đó, cụ thể là đưa về biến z. Do hai số hạng đầu là một biểu thức đối xứng nên ta dự đoán được x=y. Vì thế ta liên hệ đến BĐT cauchy để đưa về biến z. Bài giải : Ta có 2 2 2 2 2 2 4 1 1 2 2 ( )( ) 2 x xy y xy x xy y xy x xy y xy + ≥ ≥ + + + + + + + 2 2 2 2 2 1x y z ≥ = + − . Suy ra 2 2 2 3 1 1 P z z ≥ + + − Xét hàm số 2 2 2 3 ( ) , (0;1) 1 1 f z z z z = + ∈ + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) 2 3(1 ) 1 '( ) , '( ) 0 2 (1 ) 2 3(1 ) 1 0 (1 ) (1 ) 1 z z z z f t f z z z z z z z z + − − − = = ⇔ + − − − = + − − 3 2 2 1 4 8 9 3 0 (2 1)(2 4 3) 0 2 z z z z z z z⇔ − + − = ⇔ − − + = ⇔ = Do f’(z) đổi dấu từ âm sang dương khi z qua 1 2 nên suy ra giá trị nhỏ nhất của f(z) là 1 8 3 ( ) 2 3 f = . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8 3 3 1 , 3 2 2 khi x y z= = = . Nhận xét: Rõ ràng việc áp dụng BĐT cauchy kết hợp với giả thiết, ta dồn biểu thức về biến z khá dể dàng. Nhưng không phải lúc nào ta cũng dễ dàng áp dụng được để dồn biến, bài toán sau sẽ nói lên điều đó: Ví dụ 2 Cho các số thực x>y>z>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 8 ( ) y z x P x y y z z xz z = + + − − − Phân tích : Đây là biểu thức mà mỗi số hạng có tử số và mẫu số đồng bậc. Vì thế mà trước tiên ta thực hiện các phép chia cả tử và mẩu của từng số hạng để đưa về biểu thức đơn giản hơn. Bài giải: Ta có 2 1 1 8 1 z x y y z x P y z x x y z    ÷   = + +   − + −  ÷   Đặt , , y z x a b c x y z = = = . Khi đó, ta có 0 , 1, 1, 1a b c abc< < > = và 2 1 1 8( 1) a b c P a b c = + + − − − Ta có: 2 2 1 1 1 (1 )(1 ) (1 a 1 b) 2 a b ab ab a b a b + ≥ ≥ − − − − − + − 2 2 2 1 1 1 2 ab ab a b ab c = ≥ = + − − − Suy ra ( ) 2 2 2 16 1 8( 1) 8 1 c c P c c c + ≥ + = − − − Xét hàm số ( ) 2 16 ( ) , (1; ) 8 1 c f c c c + = ∈ +∞ − [...]... mình những BĐT phụ khác để định hướng cho việc giải quyết các bài toán khác Kết quả cụ thể: ( Kiểm tra ở lớp 12A1 sau khi dạy học xong chuyên đề này) +) 20% học sinh làm hết đúng tất cả các bài tập tương tự +) 50% học sinh làm được 80% số bài tập tương tự +) 20% học sinh làm được 60% số bài tập tương tự +) 10% học sinh làm được 50% số bài tập tương tự C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I KẾT LUẬN Thông qua một... do đó có điều kiện thử nghiệm đề tài này trong nhiều lần Tùy theo mức độ kiến thức của từng lớp khối tôi đưa ra hệ thống ví dụ củng như bài tập phù hợp nên đã tạo ra được hứng thú học tập trong khi các em tiếp cận chuyên đề này Kết quả thật đáng khích lệ, đại đa số các em theo từng cấp độ kiến thức đã tiếp thu khá tốt và giải quyết tốt các bài tập tương tự, đồng thời các em có năng lực tốt đã tìm ra... nghiệp để đề tài có ý nghĩa thi t thực hơn trong việc giảng dạy, góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất lượng giáo dục theo hướng đổi mới hiện nay TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Sách giáo khoa THPT 2 Sáng tạo bất đẳng thức Phạm Kim Hùng 3 Khám phá tư duy kỹ thuật giải toán BĐT, bài toán max, min Đặng Thành Nam 4 Tạp chí toán học tuổi trẻ 5 Đề thi tuyển sinh đại học các năm 6 Đề thi học sinh giỏi các tỉnh trong toàn... dạy cho các em học sinh giỏi cũng như dạy học lớp khối A, B qua một số buổi, chủ yếu là hướng dẫn cho các em tự nghiên cứu đề tài đã giúp các em tự tin hơn, không còn lúng túng khi gặp dạng toán này II KIẾN NGHỊ Trong bài viết này tôi chỉ mới đưa ra một số đẳng thức và BĐT để thực hiện việc dồn biến Trong thời gian tới tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu lớp bài toán với việc dồn biến sử dụng các đẳng thức và... Không phải bài toán nào các số hạng trong biểu thức dồn biến củng có được hình dạng của BĐT(3), mà để áp dụng được nó chúng ta cần phải sử dụng các phép biến đổi thích hợp để thuận tiện cho việc dồn biến Ví dụ 2   Cho các số thực x, y, z ∈  ;3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 3  P= x y z + + x+ y y+z z+x Phân tích: Thêm một lần nữa biểu thức P lại có bậc của tử bằng bậc của mẩu nên cần thi t... nói trên chúng ta thấy rằng việc giải một bài toán BĐT hay bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa nhiều biến số không phải là không thực hiện được Xuất phát từ ý đồ cần dồn biến, bằng cách liên hệ với các đẳng thức, hay các BĐT đã biết trước chúng ta sẽ thấy được biến cần dồn Qua đó chúng ta đã tạo ra được hướng mở cho việc giải quyết một bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị... thể sử dụng hằng đẳng thức và BĐT cauchy, nhưng để nhìn thấy được biến cần dồn qua BĐT cauchy là rất khó Với khó khăn đó thì BĐT (2) đã hổ trợ chung ta rất nhanh chống trong việc xác định biến cần dồn Ví dụ 2 Cho x, y,z, là các số thực dương thoả mãn x + y + z = 4 và xyz ≥ 2 Tìm 1 1 1 giá trị lớn nhất của biểu thức P = x 3 + y 3 + x 2 + y 2 − 4 3x + 3 y − z Phân tích : Trong biểu thức P, x và y có... trên vẫn chưa đáp ứng được dồn biến thì sự kết hợp chúng với các BĐT khác là rất quan trọng Ví dụ 3 Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= 1 a2 + b2 + c2 +1 − 2 (a + 1)(b + 1)(c + 1) Phân tích : Biểu thức P là biểu thức đối xứng và không chịu sự ràng buộc nào của giả thi t Do đó thông thường ta đưa về biến a+b+c Bài giải : 1 2 1 2 1 4 Ta có (a 2 + b 2 ) + (c 2 + 1) ≥ (a +... lại tiếp tục được khẳng định qua các ví dụ sau: Ví dụ 2(Khối B-2011) Cho các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) + 3(ab + bc + ca) + 2 a 2 + b 2 + c 2 Phân tích : Ta thấy rằng cả ba số hạng của biểu thức P có mối liên hệ mật thi t với nhau, nhờ giả thi t mà ta có thể biểu diễn chúng qua ab+bc+ca Bài giải: Ta có 3(a 2 b 2 + b 2... ca = 0 ⇔  và các hoán vị b = c = 0 a + b + c = 1  của nó Nhận xét: Sự kết hợp giữa BĐT bunhiacopsky và việc sử dụng hằng đẳng thức đã dễ dàng đưa biểu thức đang xét về biến mới Nhưng cần thi t hơn vẫn là sự phán đoán hợp lý để đi đến sử dụng BĐT bunhiacopsky như thế nào Điều đó được nói lên ở ví dụ sau: Ví vụ 3 Cho các số thực không âm thỏa mãn abcd = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (1 . ∈Z 2. Các bất đẳng thức: + Bất đẳng thức cauchy: Cho các số thực không âm n aaa , ,, 21 . Khi đó, ta có n nn aaanaaa 2121 ≥+++ . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi n aaa === 21 . + Bất đẳng thức. khoa, qua các tài liệu về bất đẳng thức, qua các đề thi và qua các tạp chí toán học. III. MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU + Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu nghiên cứu của đề tài này là giúp các em. luận: Nghiên cứu qua các tài liệu về bất đẳng thức trong chương trình toán THPT. + Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát năng lực học sinh trong vấn đề tiếp cận và giải quyết bài toán giá trị lớn

Ngày đăng: 14/08/2015, 21:40

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan