Khóa h ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Các bài toán liên quan ñến khảo sát hàm số Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Bài 1. Cho hàm số: 3 2 3 2 y x x = − + − (C) a. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) b. Tìm trên ñường y = 2 các ñiểm mà từ ñó kẻ ñược tới (C) 3 tiếp tuyến. Giải b. – Lấy M thuộc ñường y = 2 => M(a; 2) - ðường thẳng d ñi qua M với hệ số góc k có phương trình: y = k(x – a) + 2 (*) - ðể d là tiếp tuyến của (C) thì hệ sau phải có nghiệm: 3 2 2 3 2 ( ) 2(1) 3 6 (2) x x k x a x x k  − + − = − +   − + =   Thế (2) vào (1) ta có: 3 2 2 3 2 ( 3 6 )( ) 2 x x x x x a − + − = − + − + 3 2 2 (3 3 ) 6 4 0 x a x ax ⇔ − + + − = 2 ( 2) 2 (3 1) 2 0 x x a x   ⇔ − − − + =   (3) Ta nhận thấy với mỗi nghiệm x thu ñươc từ phương trình (3) thay vào (2) ta sẽ ñược một k và thay k ñó vào (*) ta sẽ ñược một tiếp tuyến. Do ñó ñể từ M kẻ ñược 3 tiếp tuyến tới (C) thì phương trình (3) phải có 3 nghiệm phân biệt. 2 2 (3 1) 2 0 x a x ⇔ − − + = phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2. 2 2 1 5 9 6 15 0 1; 5 2 3 3 2.2 (3 1).2 2 0 2 2 a a a a a a a a a < −     ∆ = − − > < − >    ⇔ ⇔ ⇔ < <    − − + ≠    ≠   >  Vật với những ñiểm M(a, 2) với ( ) ( ) 5 , 1 ,2 2, 3 a   ∈ −∞ − ∪ ∪ +∞     thì từ M kẻ ñược 3 tiếp tuyến tới (C). * Lưu ý: Với x = 0 và x = 2 thay vào (2) ta ñều ñược k = 0 nhưng ta phải hiểu rằng với k = 0 ñó, ta có 2 tiếp tuyến, 2 tiếp tuyến này ñi qua 2 ñiểm M khác nhau nhưng có hệ số góc bằng nhau; chứ không phải là x = 0 và x = 2 thay vào (2) ta chỉ ñược một tiếp tuyến. Bài 2. Cho hàm số: 2 1 1 x y x − = − (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thì (C). b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ ñiểm I(1, 2) ñến tiếp tuyến ñó bằng 2 . Giải CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các bài toán về tiếp tuyến của ñồ thị hàm số thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Các bài toán về tiếp tuyến của ñồ thị hàm số. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này. Khóa h ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Các bài toán liên quan ñến khảo sát hàm số Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - b. – Lấy 2 1 ( ) ; , 1 1 o o o x M C M xo x x   − ∈ ⇒ ≠   −   - Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là 2 1 '( ).( ) 1 o o o o x y y x x x x − = − + − ( ) 2 1 .( ) 2 1 1 o o o y x x x x − ⇔ = − + − − 2 2 ( 1) 2 2 1 o o o x x y x x ⇔ + − − + − (d) - Khoảng cách từ I(1, 2) ñến tiếp tuyến (d) bằng 2 . ( ) ( ) 2 2 4 4 2 1 ( 1) . 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 o o o o o o o o o x x x x x x x x x − + − − + − − − ⇔ = ⇔ = + − + − ( ) 2 4 4 0 2 2 2. 1 ( 1) 2 2 2 1 ( 1) 2 o o o o o o x x x x x x =    ⇔ − = + − ⇔ − = + − ⇔    =  => Các tiếp tuyến cần tìm: x + y – 1 = 0 và x + y – 5 = 0. Bài 3. Cho hàm số: 3 2 ( 1) ( 1) 1 y x m x m x = − + + − + (1) a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 1. b. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt A(1, 0), B, C sao cho các tiếp tuyến tại B và C song song với nhau. Giải b. – ðể ñồ thị hàm số (1) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt A, B, C thì phương trình: 3 2 ( 1) ( 1) 1 0 x m x m x − + + − + = phải có 3 nghiệm phân biệt. ( ) ( ) 2 1 1 0 x x mx ⇔ − − − = phải có 3 nghiệm phân biệt. 2 1 0 x mx ⇔ − − = (*) phải có 2 nghiệm phân biệt 1 x ≠ 2 2 4 0 4 0 0(1) 0 12 .1 1 0 0 m m m m m m m ∀   ∆ = + > + >  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≠    ≠ − − ≠ ≠    - Gọi hoành ñộ của 2 giao ñiểm B và C là x 1 , x 2 (x 1 , x 2 là nghiệm của (*)) ðể tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (1) tại B và C song song ta phải có: y’(x 1 ) = y’(x 2 ) 2 2 1 1 2 2 3 2( 1) 1 3 2( 1) 1 x m x m x m x m ⇔ − + + − = − + + − [ ] 1 2 1 2 ( ) 3( ) 2( 1) 0 x x x x m ⇔ − + − + = 1 2 1 2 2( 1) 3( ) 2( 1) ( ) 3 m x x m x x + ⇔ + = + ⇔ + = 2( 1) 2 3 m m m + ⇔ = ⇔ = (2) Kết hợp (1) và (2) => ðáp số: m = 2 Bài 4. Cho hàm số: 2 3 2 x y x − = − (C) a. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C). b. Tìm ( ) M C ∈ sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất. Khóa h ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Các bài toán liên quan ñến khảo sát hàm số Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - Giải b. – Ta có: 2 3 1 2 2 2 x y x x − = = + − − (C) - Lấy 1 ( ) ,2 ; 2 2 o o o M C M x x x   ∈ ⇒ + ≠   −   - Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là: 2 1 1 ( ) 2 ( 2) 2 o o o y x x x x − = − + + − − (d) - Giao ñiểm của (d) với tiệm cận ñứng là 2 2;2 2 o A x   +   −   - Giao ñiểm của (d) với tiệm cận ngang là (2 2;2) o B x − - ( ) ( ) 2 2 2 1 4 2 8 8 2 o o AB x AB x   = − + ≥ ⇒ ≥   −     => AB ngắn nhất bằng ( ) ( ) ( ) 2 4 2 1 8 2 2 1 2 o o o x x x ⇔ − = ⇔ − = − 2 1 3 (3,3) 2 1 1 (1,1) o o o o x x M x x M − = =    ⇔ ⇔ ⇔    − = − =    Bài 5. Cho hàm số: 2 1 1 x y x − = + (C) a. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) b. Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M và ñường thằng ñi qua hai ñiểm M, I (I là giao ñiểm của tiệm cận ñứng và tiệm cận ngang) có tích hệ số góc bằng -9. Giải * Chú ý: ðường thẳng ñi qua hai ñiểm A(x A , y A ) và B(x B , y B ) có hệ số góc: A B A B y y k x x − = − b. I(-1, 2) - 2 1 ( ) ; ; 1 1 o o o o x M C M x x x   − ∈ ⇒ ≠ −   +   - ðường thẳng ∆ qua M và I có hệ số góc ( ) 2 3 1 o k x ∆ − = + - Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc ( ) 2 3 '( ) 1 o o k y x x = = + - ( ) ( ) 2 2 3 3 . 9 . 9 1 1 o o k k x x ∆ − = − ⇔ = − + + ( ) 4 0 (0; 3) 1 1 2 ( 2,5) o o o x M x x M = −   ⇔ + = ⇔ ⇔   = − −   Bài 6. Cho hàm số: 3 3 2 y x x = − + (C) a. Khảo sát và vẽ (C). Khóa h ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Các bài toán liên quan ñến khảo sát hàm số Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - b. Tìm trên (C) các ñiểm A, B phân biệt sao cho các tiếp tuyến của (C) tại A và B có cùng hệ số góc. ðồng thời ñường thẳng ñi qua A và B vuông góc với ñường thẳng d: x + y – 5 = 0. Giải b. Giả sử các tiếp tuyến của (C) tại A và B có cùng hệ số góc k. ðể tồn tại 2 tiếp tuyến tại A và B phân biệt thì phương trình y’ = 3x 2 – 3 = k phải có 2 nghiệm phân biệt => k > -3 Ta có tạo ñộ A, B là nghiệm của hệ: 2 3 2 2 (3 3) 2 2 3 2 3 3 3 3 3 x y x x y x x x k x k   = − − + = − +   ⇔   − =    − =  2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 kx k k y x x y x x k x k       = − + = − + = − +       ⇔ ⇔         − = − =   => Phương trình ñường thẳng AB là 2 2 3 k y x   = − +     ðể AB vuông góc với d ta phải có: 2 ( 1) 1 2 1 9 3 3 k k k   − − = − ⇔ − = ⇔ =     Vậy tọa ñộ A, B thỏa mãn: 3 3 2 3 2 3 2 2 3 3 9 y x x y x x x x  = − +  = − +  ⇔   = ± − =    => A(2; 4); B(-2; 0). Bài 7. Cho hàm số: 3 2 4 2 3 2 3 x x y x = − − + + (C) a. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C). b. Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc lớn nhất. Giải b. - 3 2 4 ( ) ; 2 3 2 3 o o o o x x M C M x x   ∈ ⇒ − − + +     - Hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại M là: 2 2 1 9 9 '( ) 2 2 4 4 o o o o y x x x x   = − − + = − + + ≤     => y’(x o ) lớn nhất bằng 9 1 1 1 ; 4 2 2 4 o x M   ⇔ = − ⇒ −     . Bài 8. Cho hàm số 4 2 1 5 3 2 2 y x x = − + (C) a. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) b. Tìm các ñiểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt. Giải b. Lấy M thuộc (C) 4 2 5 ; 3 2 2 a M a a   ⇒ − +     - Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là d: 4 2 5 '( ).( ) 3 2 2 a y y a x a a = − + − + ( ) 4 3 2 5 2 6 .( ) 3 2 2 a y a a x a a ⇔ = − − + − + - ðể d cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt thì phương trình: Khóa h ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Các bài toán liên quan ñến khảo sát hàm số Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - 4 4 2 3 2 1 5 5 3 (2 6 )( ) 3 2 2 2 2 a x x a a x a a − + = − − + − + 4 2 3 4 2 6 2(2 6 )( ) 6 x x a a x a a a ⇔ − = − − + − ( ) 4 2 3 4 2 6 4 12 3 6 0 x x a a x a a ⇔ − − − + − = phải có 3 nghiệm phân biệt. 2 2 2 ( ) ( 2 3 6) 0 x a x ax a ⇔ − + + − = phải có 3 nghiệm phân biệt. 2 2 ( 2 3 6) 0 x ax a ⇔ + + − = phải có 2 nghiệm phân biệt x a ≠ 2 2 2 2 3 1 ' 6 2 0 3 3 1 1 2 . 3 6 0 6 6 0 1 1 3 a a a a a a a a a a a  − < < −   ∆ = − > − < <    ⇔ ⇔ ⇔ − < <    + + − ≠ − ≠ ⇔ ≠ ±      < <  Vậy 4 2 5 ; 3 2 2 a M a a   − +     với ( ) ( ) 3; 1 ( 1;1) 1; 3 a ∈ − − ∪ − ∪ thì tiếp tuyến của (C) tại M sẽ cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt. Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ ñiểm I(1, 2) ñến tiếp tuyến ñó bằng 2 . Giải CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên:. Khóa h ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Các bài toán liên quan ñến khảo sát hàm số Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 5 8-5 8-1 2 - Trang | 1 - . viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các bài toán về tiếp tuyến của ñồ thị hàm số thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website