Đang tải... (xem toàn văn)
I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN: Phương trìng lượng giác cơ bản: sinx=sin cosx = cos tanx =tan Û x = +kp ; cotx =cot Û x= +kp . Phương trìng lượng giác cơ bản đặc biệt : sinx =0 cosx =0 sinx =1 cosx =1 với k sinx = 1 cosx =1 BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT x rad 2 3 4 6 0 6 4 3 2 23 34 56 độ 180o 90o 60o 45o 30o 0 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o sin 0 1 3 2 2 2 12 0 12 2 2 3 2 1 3 2 2 2 12 0 cos 1 0 12 2 2 3 2 1 3 2 2 2 12 0 12 2 2 3 2 1 tan 0 || 3 1 13 0 13 1 3 || 3 1 13 0 cot || 0 13 1 3 || 3 1 13 0 13 1 3 || Chú ý: Công thức chuyển đổi từ độ sang rađian và ngược lại: ; Một số phương trình lượng giác thường gặp 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG..(Chú ý điều kiện của t khi đặt t=sinx hoặc t=cosx) 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là . Cách giải : Chia hai vế phương trình cho , ta được: Đặt: . Khi đó phương trình tương đương: hay . 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (). Cách giải : + Kiểm tra nghiệm với . + Giả sử cosx¹0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0. Chú ý: 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Dạng: a(sinx ± cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx ± cosx. Điều kiện | t | . II CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1) Công thức cộng: cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos(a b) = cosa.cosb + sina.sinb tan(a b) = tana tanb1 + tana.tanb sin(a b) = sina.cosb cosa.sinb tan(a + b) = tana + tanb1 tana.tanb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb 2) Công thức nhân đôi : sin2x = 2sinxcosx cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x 1 = 1 – 2sin2x tan2x = cot2x = 3) Công thức nhân 3: sin3x = cos3x = 4cos3x – 3cosx tan3x = 4) Công thức hạ bậc: 5) Công thức tích thành tổng. cosxcosy= sinxcosy= sinxsiny= 6) Công thức tổng(hiệu) thành tích: sinx + siny = sinx – siny = cosx + cosy = cosx – cosy = tanx + tany = tanx – tany = cotx + coty = cotx – coty =
TÓM TẮT KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ LỚP 11 I- PH ƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN : Phương trìng lượng giác cơ bản: * sinx=sin α +−= ∈+= παπ πα 2 ;2 kx Zkkx * cosx = cos α +−= ∈+= πα πα 2 ;2 kx Zkkx * tanx =tan α ⇔ x = α +kπ ; ( ) Zk ∈ * cotx =cot α ⇔ x= α +kπ ( ) Zk ∈ . Phương trìng lượng giác cơ bản đặc biệt : * sinx =0 π kx = *cosx =0 π π kx +=⇔ 2 * sinx =1 π π 2 2 kx +=⇔ *cosx =1 π 2kx =⇔ với k Z∈ * sinx = -1 π π 2 2 kx +−=⇔ *cosx =-1 ππ 2kx +=⇔ arcsin + 2 sin , sin + 2 x a k x a k x arc a k π π π = = ⇔ ∈ = − ¢ arc os + 2 os , sin + 2 x c a k c x a k x arc a k π π = = ⇔ ∈ = − ¢ tan 1 , 4 tan 0 , tan 1 , 4 x x k k x x k k x x k k π π π π π =− ⇔ =− + ∈ = ⇔ = ∈ = ⇔ = + ∈ ¢ ¢ ¢ BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT x rad -π - - - - 0 π độ -180 o -90 o -60 o -45 o -30 o 0 30 o 45 o 60 o 90 o 120 o 135 o 150 o 180 o sin 0 -1 - - - 0 1 0 cos -1 0 1 0 - - - -1 tan 0 || - -1 - 0 1 || - -1 - 0 cot || 0 - -1 - || 1 0 - -1 - || Chú ý: Công thức chuyển đổi từ độ sang rađian và ngược lại: ( ) . 180 x x rad π = ÷ o ; 180 ( ) .x rad x π = ÷ o Một số phương trình lượng giác thường gặp 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. k Z∈ k Z∈ - arc cosa + k2 π tan arc tan + ,x a x a k k π = ⇔ = ∈¢ ot ot ot + ,c x a c x c x k k α α π = ⇔ = ⇔ = ∈ ¢ k Z∈ k Z∈ ot 1 , 4 ot 0 , 2 ot 1 , 4 c x x k k c x x k k c x x k k π π π π π π =− ⇔ =− + ∈ = ⇔ = + ∈ = ⇔ = + ∈ ¢ ¢ ¢ k Z∈ k Z∈ k Z∈ k Z∈ k Z∈ k Z∈ 180 0 = π ; 90 2 0 = π b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin 2 x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos 2 x+b.cosx+c=0, a.tan 2 x+b.tanx+c=0, a.cot 2 x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG (Chú ý điều kiện của t khi đặt t=sinx hoặc t=cosx) 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là 2 2 2 a b c + ≥ . C ách giải : Chia hai vế phương trình cho 2 2 a b + , ta được: 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c x x a b a b a b + = + + + Đặt: 2 2 2 2 cos ; sin a b a b a b β β = = + + . Khi đó phương trình tương đương: 2 2 cos sin sin cos c x x a b β β + = + hay ( ) 2 2 sin sin c x a b β ϕ + = = + . 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Dạng: asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=0 (*). Cách giải : + Kiểm tra nghiệm với 2 x k π π = + . + Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta được: atan 2 x+btanx+c=0. Chú ý: 2 2 1 tan 1 2 cos x x k x π π = + ≠ + ÷ 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Dạng: a(sinx ± cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx ± cosx. Điều kiện | t | 2 ≤ . II- CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1) Công thức cộng: cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb tan(a - b) = sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb tan(a + b) = sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb 2) Công thức nhân đôi : sin2x = 2sinxcosx cos2x = cos 2 x – sin 2 x = 2cos 2 x - 1 = 1 – 2sin 2 x tan2x = 2 2 1 tanx tan x− cot2x = 2 1 2 cot x cotx − 3) Công thức nhân 3 : sin3x = xx 3 sin4sin3 − cos3x = 4cos 3 x – 3cosx tan3x = 3 2 3 1 3 tanx tan x tan x − − 4) Công thức hạ bậc: 2 1 2 os 2 cos x c x + = 2 1 os2 sin 2 c x x − = 5) Công thức tích thành tổng. cosxcosy= [ ] 1 ( ) ( ) 2 cos x y cos x y+ + − sinxcosy= [ ] )()( 2 1 yxSinyxSin −++ sinxsiny= [ ] 1 ( ) ( ) 2 cos x y cos x y− + − − 6) Công thức tổng(hiệu) thành tích: sinx + siny = 2sin 2 2 x y x y cos + − ÷ ÷ sinx – siny = 2 os 2 2 x y x y c sin + − ÷ ÷ cosx + cosy = 2cos 2 2 x y x y cos + − ÷ ÷ cosx – cosy = 2sin 2 2 x y x y sin + − − ÷ ÷ tanx + tany = ( ) cos sin x y xcosy + tanx – tany = ( ) cos sin x y xcosy − cotx + coty = ( ) sin sin x y xsiny + cotx – coty = ( ) sin sin y x xsiny − III- GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC (CUNG) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT 1) Cung đối nhau: cos(–x) = cosx sin(–x) = – sinx tan(–x) = – tanx cot(–x) = – cotx 2) Cung bù nhau: sin =− )( x π sinx cos −=− )( x π cosx tan −=− )( x π tanx 3) Cung hơn kém: sin −=+ )( x π sinx cos −=+ )( x π cosx tan =+ )( x π tanx cot =+ )( x π cotx cot −=− )( x π cotx 4) Cung phụ nhau. sin ) 2 ( x− π = cosx cosx = sin (90 0 – x ) cos ) 2 ( x− π = sinx sinx = cos (90 0 – x ) tan ) 2 ( x− π = cotx cotx = tan (90 0 – x ) cot ) 2 ( x− π = tanx tanx = cotx (90 0 – x ) 5) Cung hơn kém. sin( ) 2 x cosx π + = cosx = sin (90 0 + x ) cos ) 2 ( x+ π = sinx− - sinx = cos (90 0 + x ) tan ) 2 ( x+ π = cotx− - cotx = tan (90 0 + x ) cot ) 2 ( x+ π = tanx− - tanx = cotx (90 0 + x ) Ghi nhớ : Cos đối – Sin bù – Phụ chéo VI- CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN: sinx t anx= ,(x k ) cosx 2 π ≠ + π cosx cotx= ,(x k ) sinx ≠ π 2 2 sin x cos x 1+ = 2 2 1 1 tan x,(x k ) 2 cos x π = + ≠ + π 2 2 1 1 cot x,(x k ) sin x = + ≠ π k t anx.cotx=1,(x ) 2 π ≠ 3 3 sin os (sinx cos )(1 sinx.cos )x c x x x+ = + − 3 3 sin os (sinx cos )(1 sinx.cos )x c x x x− = − + 4 4 2 1 sin cos 1 sin 2 2 x x x+ = − 6 6 2 3 sin cos 1 sin 2 4 x x x+ = − ( ) 2 1 sin 2 sin cosx x x± = ± sin cos 2 2 4 4 x x sin x cos x π π + = + = − ÷ ÷ sin cos 2 2 4 4 x x sin x cos x π π − = − = − + ÷ ÷ . TÓM TẮT KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ LỚP 11 I- PH ƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN : Phương trìng lượng giác cơ bản: * sinx=sin α