Đang tải... (xem toàn văn)
Trong những năm gần đây các bài toán về Hệ phương trình thường xuất hiện nhiều trong các cuộc thi Học sinh giỏi, Olympic cũng như kỳ thi Tuyển sinh đại học. Hệ phương trình được đánh giá là bài toán phân loại học sinh đòi hỏi nhiều kỹ thuật. Tuy nhiên tài liệu tham khảo về hệ phương trình trình bày theo hướng tổng hợp và phân tích đi sâu vào từng dạng toán và kỹ thuật xử lý chưa có nhiều. Vì lý do đó tôi mạnh dạn giới thiệu đến bạn đọc cuốn sách "Những Điều Cần Biết Luyện Thi Quốc Gia Kỹ Thuật Giải Nhanh Hệ Phương Trình" với mong muốn cung cấp cho bạn đọc hệ thống phương pháp và kỹ thuật xử lý hệ phương trình trong quá trình học tập ôn luyện chuẩn bị cho các kỳ thi đạt kết quả tốt. Nội dung cuốn sách bao gồm bốn chương Chương 1. Kiến thức bổ sung khi giải hệ phương trình. Chương 2. Các kỹ thuật và phương pháp giải hệ phương trình. Chương 3. Hệ phương trình nhiều ẩn. Trong mỗi chương chúng tôi trình bày theo các chủ đề tương ứng với mỗi dạng toán điển hình hay gặp và được viết theo các phần. A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Trình bày các bài toán điển hình hay gặp cùng phương pháp giải tổng quát kèm theo là các ví dụ minh họa đơn giản cho các em dễ nắm bắt được nội dung phương pháp. Cũng như đó là kinh nghiệm và lưu ý khi làm bài. B. BÀI TẬP MẪU Hệ thống bài tập mẫu từ dễ - trung bình đến khó sẽ giúp các em rèn luyện hiểu và vận dụng thật chắc phương pháp, đi cùng với đó là một số bài tập hay và khó đòi hỏi các em phải tư duy và phân tích đề bài để tìm ra hướng giải. C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Hệ thống bài tập rèn luyện được sắp xếp từ dễ đến khó, đây là cơ hội để các em kiểm tra lại những gì đã được tiếp cận và còn đọng lại trong quá trình đọc và ôn luyện. Hãy giải đáp hết các bài toán trước khi tìm đến phần hướng dẫn giải - đáp số. D. HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ Trình bày lời giải vắt tắt, phân tích đề một số bài toán khó và đáp số.
khangvietbook.com.vn ĐẶNG THÀNH NAM (Giám đốc trung tâm nghiên cứu, tư vấn và phát triển sản phẩm giáo dục Newstudy.vn) NHỮNG ĐIỀU CẦN BIẾT LUYỆN THI QUỐC GIA THEO CẤU TRÚC ĐỀ THI MỚI NHẤT CỦA BỘ GD & ĐT KỸ THUẬT GIẢI NHANH HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( ) 22 2 22 3 2 52 12 1 2 2 2 243 − −+ += + + + + =−+ x x xx y y y x y xy - Dành cho học sinh lớp 10,11,12 - Ôn thi quốc gia và bồi dưỡng học sinh giỏi - Dành cho giáo viên giảng dạy và luyện thi Quốc gia NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI khangvietbook.com.vn Mục Lục Lời nói đầu Chương 1: Kiến thức bổ sung khi giải hệ phương trình 3 Chủ đề 1: Phương trình, bất phương trình bậc nhất và bậc hai 3 Chủ đề 2: Phương trình bậc ba 4 Chủ đề 3: Phương trình bậc bốn 7 Chủ đề 4: Phương trình phân thức hữu tỷ 12 Chủ đề 5: Hệ hương trình hai ẩn có chứa phương trình bậc nhất 13 Chủ đề 6: Hệ hương trình bậc hai hai ẩn dạng tổng quát 14 Chương 2: Các kỹ thuật và phương pháp giải hệ phương trình 25 Chủ đề 1. Kỹ thuật sử dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. 25 Chủ đề 2. Hệ phương trình đối xứng loại I. 46 Chủ đề 3. Hệ phương trình đối xứng loại II. 99 Chủ đề 4. Hệ phương trình có yếu tố đẳng cấp 132 Chủ đề 5. Kỹ thuật sử dụng phép thế. 159 Chủ đề 6. Kỹ thuật phân tích thành nhân tử. 188 Chủ đề 7. Kỹ thuật cộng, trừ và nhân theo vế hai phương trình của hệ. 222 Chủ đề 8. Kỹ thuật đặt ẩn phụ dạng đại số. 254 Chủ đề 9. Kỹ thuật đặt ẩn phụ dạng tổng - hiệu 336 Chủ đề 10. Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu của hàm số. 361 Chủ đề 11. Kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm của hệ phương trình. 427 Chủ đề 12. Kỹ thuật đánh giá. 438 Chủ đề 13. Hệ phương trình có chứa căn thức. 491 Chủ đề 14. Kỹ thuật lượng giác hóa. 576 Chủ đề 15. Kỹ thuật hệ số bất đònh. 600 Chủ đề 16. Kỹ thuật phức hóa. 640 Chủ đề 17. Kỹ thuật sử dụng tính chất hình học giải tích. 665 Chủ đề 18. Kỹ thuật nhân liên hợp đối với hệ phương trình có chứa căn thức 677 Chủ đề 19. Một số bài toán chọn lọc và rèn luyện nâng cao. 704 Chương 3: Bài toán có chứa tham số 783 Chủ đề 1: Hệ đối xứng loại I 783 Chủ đề 2: Hệ đối xứng loại II 827 Chủ đề 3: Hệ đẳng cấp 836 Chủ đề 4: Kỷ thuật sử dụng tính đơn điệu của hàm số − Xử lý bài toán hệ phương trình có chứa tham số 846 khangvietbook.com.vn Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 3 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC BỔ SUNG KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - Nội dung chương này đề cập đến các nội dung - Phương trình, bất phương trình bậc nhất và bậc hai. - Các phương trình bậc ba, bậc bốn dạng đặc biệt. - Các phương trình dạng phân thức đặc biệt. - Phương pháp giải phương trình bậc ba, bậc bốn tổng quát. - Hệ phương trình cơ bản gồm hệ bậc nhất hai ẩn, hệ bậc nhất ba ẩn, hệ gồm một phương trình bậc nhất hai ẩn và một phương trình bậc hai hai ẩn. - Hệ phương trình bậc hai hai ẩn dạng tổng quát. Đây là những kiến thức cơ bản và cần thiết trước khi tiếp cận với hệ phương trình nên hy vọng sẽ cung cấp đủ những kỹ năng về giải phương trình và hệ phương trình trước khi chúng ta đến với các hệ phương trình dạng nâng cao hơn. Chủ Đề 1: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. Phương trình bậc nhất ax + b = 0, (a ≠ 0) + Nếu a = 0, b ≠ 0 phương trình vô nghiệm. + Nếu a = 0, b = 0, phương trình vô số nghiệm. + Nếu a ≠ 0 ⇔ x = – b a là nghiệm của phương trình. Bất phương trình bậc nhất ax + b > 0. + Nếu > ⇔ > − ⇒ = − +∞ bb a0 x S ; aa + Nếu < ⇔ < − ⇒ = −∞ − bb a0 x S ; aa 2. Phương trình và bất phương trình bậc hai a) Phương trình bậc hai ax 2 + bx 2 + c = 0, (a ≠ 0). Đònh thức ∆ = b 2 – 4ac. + Nếu ∆ = b 2 – 4ac < 0, phương trình vô nghiệm. + Nếu ∆ = b 2 – 4ac, phương trình có nghiệm duy nhất = − 0 b x 2a . + Nếu ∆ = b 2 – 4ac > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt: khangvietbook.com.vn Những điều cần biết LTĐH − Kỷ thuật giải nhanh hệ phương trình − Đặng Thành Nam 4 −± ∆ = 1,2 b x 2a và khi đó ax 2 + bx + c = a(x – x 1 )(x – x 2 ). b) Bất phương trình bậc hai = + +> ≠ 2 f(x) ax bx c 0,(a 0) . + Nếu ∆= − ≤ 2 b 4ac 0 khi đó ≥ ∀∈a.f(x) 0, x R . + Nếu ∆= − > 2 b 4ac 0 khi đó f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 < x 2 . - Nếu a > 0 ⇒ > >⇔ − − >⇔ < <⇔ − − >⇔ << 2 12 1 12 1 2 xx f(x) 0 a(x x )(x x ) 0 xx f(x) 0 a(x x )(x x ) 0 x x x - Nếu >⇔ − − >⇔ << <⇒ > <⇔ − − >⇔ < 12 1 2 2 12 1 f(x) 0 a(x x )(x x ) 0 x x x a0 xx f(x) 0 a(x x )(x x ) 0 xx Chủ Đề 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA 1. Phương trình dạng += 3 4x 3x m . Hàm số = + 3 f(x) 4x 3x có = + > ∀∈ 2 f '(x) 12x 3 0, x R nên phương trình += 3 4x 3x m có không quá một nghiệm. Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất. Đặt = − ⇔= ± + 3 32 3 11 m a a m m1 2 a . Khi đó − + −= −= 3 3 3 11 111 1 4a 3a a m 2a 2a2 a . Do đó = − 11 xa 2a là nghiệm của phương trình hay phương trình có nghiệm duy nhất = − 11 xa 2a . Ví dụ 1. Giải phương trình += 3 4x 3x 2 . Lời giải Hàm số = +− 3 f(x) 4x 3x 2 có = + > ∀∈ 2 f '(x) 12x 3 0, x nên phương trình có tối đa một nghiệm. khangvietbook.com.vn Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 5 Đặt = − ⇔= ± 3 3 3 11 2 a a25 2 a . Chọn = + ⇒=− − 33 1 a25 25 a Khi đó: − + −= − 3 3 3 11 111 1 4a 3a a 2a 2a2 a . Vậy: phương trình có nghiệm duy nhất: = −= + +− 33 1 11 x a 25 25 2 a2 . 2. Phương trình dạng −= 3 4x 3x m . TH1: Nếu ≤m1 đặt = αm cos khi đó do αα α= − 3 cos 4cos 3cos 33 nên phương trình có ba nghiệm α α+ π α− π = = = 12 3 22 x cos ,x cos ,x cos 33 3 . TH2: Nếu >m1 đặt = + ⇔= ± − 3 32 3 11 m a a m m1 2 a . Khi đó += + − + 3 3 3 1 1 11 11 a 4a 3a 2 2a 2a a . Vì vậy = + 0 11 xa 2a là một nghiệm của phương trình. Ta chứng minh 0 x là nghiệm duy nhất của phương trình. Thật vậy ta có: ( ) ( ) − = − ⇔− + + −= 33 2 2 00 0 0 0 4x 3x 4x 3x x x 4x 4x x 4x 3 0 . Phương trình + + −= 22 00 4x 4x x 4x 3 0 có ( ) ∆= − < 2 0 ' 12 1 x 0 do > 0 x1 . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: + −+ − − = += 33 22 1 1 m m1 m m1 xa 2a 2 . 3. Phương trình dạng += 3 x px q . TH1: Nếu =⇒ =⇔= 3 3 p0 x q x q . TH2: Nếu >p0 đặt = p x2 t 3 đưa về phương trình dạng: += 3 4t 3t m . khangvietbook.com.vn Những điều cần biết LTĐH − Kỷ thuật giải nhanh hệ phương trình − Đặng Thành Nam 6 TH3: Nếu <p0 đặt = − p x2 t 3 đưa về phương trình dạng: −= 3 4x 3x m . 4. Phương trình bậc ba dạng tổng quát ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, (a ≠ 0). Phương pháp phân tích nhân tử. Nếu phương trình có nghiệm 0 x thì ta có thể phân tích: ( ) ( ) ( ) + + += − + + ++ + 32 2 2 0 0 00 ax bx cx d x x ax b ax x c bx ax . Từ đó để giải phương trình bậc ba trên ta đi giải phương trình bậc hai: ( ) + + ++ + = 22 0 00 ax b ax x c bx ax 0 . Phương pháp Cardano. Chia hai vế phương trình cho a đưa phương trình về dạng: + + += 32 x ax bx c 0 . Bằng cách đặt = − a yx 3 luôn đưa phương trình về dạng chính tắc: + += 3 y py q 0 (1) trong đó p = q – 2 a 3 , q = c + − = → PP 22 G x, x a 0 . Ta chỉ cần xét p, q ≠ 0 vì nếu p = 0 hoặc q = 0 phương trình đơn giản, tiếp tục đặt y = u + v thay vào (1), ta được: 3 33 03 0uv puv q u v uvpuv q . Ta chọn u, v sao cho 3uv + p = 0 khi đó u 3 + v 3 + q = 0. Vậy : ta có hệ phương trình += + += 33 3uv p 0 uvq0 ⇔ = − +=− 3 33 33 p uv 27 uv q . Theo đònh lý Vi–ét u, v là hai nghiệm của phương trình +−= 3 3 p X qX 0 27 (3) Đặt ∆= + 23 qp 4 27 + Nếu ∆ > 0 khi đó (3) có hai nghiệm =−+∆ 3 q u 2 , =−−∆ 3 q v 2 và phương trình (2) có nghiệm duy nhất =−+∆+−−∆ 33 qq y 22 nên phương trình (1) có nghiệm thực duy nhất =+−+∆+−−∆ 3 3 aq q x 32 2 . khangvietbook.com.vn Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 7 + Nếu ∆ = 0 khi đó (3) có nghiệm kép = = − 3 q uv 2 và phương trình (2) có hai nghiệm thực trong đó có một nghiệm kép =−== 33 1 23 qq y 2 ;y y 22 Do đó: (1) có hai nghiệm thực, trong đó có một nghiệm kép: =+− ==+ 33 1 23 a q aq x 2 ;x x 3 2 32 + Nếu ∆ < 0 khi đó (3) có nghiệm phức, giả sử là u 0 , v 0 khi đó (1) có ba nghiệm phức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =++ = + =− ++ −⇒ =− ++ − =− +− − =− +− − 1 00 100 2 00 00 2 00 00 3 00 00 3 00 00 a x uv yuv 3 13 a13 y uv i uv x uv i uv 22 322 13 a1 3 y uv i uv x uv i uv 22 32 2 Ngoài hai cách trên có thể giải phương trình bậc ba bằng phương pháp lượng giác hóa hoặc biến đổi đưa về đẳng thức a 3 = b 3 . Chủ Đề 3 : PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN 1. Phương trình dạng trùng phương ( ) + += ≠ 42 ax bx c 0, a 0 . Đặt ( ) = ≥ 2 t x,t 0 phương trình trở thành: + += 2 at bt c 0 . Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải. 2. Phương trình dạng ( ) ( ) − +− = 44 xa xb c . Đặt + = − ab tx 2 phương trình trở thành: −− + ++ = 44 ba ab t tc 22 đưa về phương trình dạng trùng phương. Ví dụ 1. Giải phương trình ( ) ( ) − +− = 44 x2 x6 82 . Lời giải Đặt = −tx4 phương trình trở thành: ( ) ( ) + +− = 44 t 2 t 2 82 . khangvietbook.com.vn Những điều cần biết LTĐH − Kỷ thuật giải nhanh hệ phương trình − Đặng Thành Nam 8 ⇔ ( )( ) =− −=− = + −=⇔ − + =⇔ ⇔ ⇔ = −= = 42 2 2 t1x41x3 t 24t 25 0 t 1 t 25 0 t1x41x5 Vậy phương trình có hai nghiệm là = =x 3,x 5 . 3. Phương trình dạng ( )( )( )( ) + + + += xaxbxcxd m với +=+adbc . Đặt ( )( ) =++t xaxd hoặc ( )( ) =++t xbxc đưa về phương trình bậc hai với ẩn t . Ví dụ 2. Giải phương trình ( )( )( ) − − −=x x 1 x 2 x 3 24 . Lời giải Đặt ( ) ( )( ) = − = − ⇒ − − = − +=+ 22 t x x 3 x 3x x 1 x 2 x 3x 2 t 2 phương trình trở thành: ( ) =− −=− =− += ⇔+− =⇔ ⇔ ⇔ = = −= 2 2 2 t6 x3x6 x1 t t 2 24 t 2t 24 0 t4 x4 x 3x 4 . Vậy: phương trình có hai nghiệm là =−=x 1, x 4 . 4. Phương trình dạng ( )( )( )( ) + + + += 2 xaxbxcxd ex với = =ad bc m . Viết lại phương trình dưới dạng: ( )( ) ( )( ) + + + += 2 xaxd.xbxc ex . ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ ++ + ++ + = 22 2 x a d x ad x b c x bc ex . Xét trường hợp =x0 xem thỏa mãn phương trình hay không. Với ≠x0 chia hai vế của phương trình cho 2 x , ta được: + ++ + ++ = ad bc x ad x bc e xx . Đặt =+=+ ad bc tx x xx đưa về phương trình bậc hai với ẩn t . Ví dụ 3. Giải phương trình ( )( )( )( ) + + + += 2 x2x3x4x6 30x . Lời giải Phương trình đã cho tương đương với: ( )( ) ( )( ) ( )( ) + + + + = ⇔ ++ ++ = 22 2 2 x 2 x 6 . x 3 x 4 30x x 8x 12 x 7x 12 30x Nhận thấy =x0 không thỏa mãn phương trình. Xét ≠x0 chia hai vế của phương trình cho 2 x , ta được: khangvietbook.com.vn Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 9 ++ ++= 12 12 x 8 x 7 30 xx . Đặt ( ) =+≥ 12 t x ,t 43 x phương trình trở thành: ( )( ) = − + += ⇔+ + =⇔ = − 2 t2 t 8 t 7 30 t 15t 26 0 t 13 . Đối chiếu với điều kiện chỉ nhận nghiệm =− ⇔+ =− 12 t 13 x 13 x . = − ⇔+ +=⇔ = − 2 x1 x 13x 12 0 x 12 . Vậy phương trình có hai nghiệm là =−=−x12,x1 . 5. Phương trình dạng + + + += 432 ax bx cx dx e 0 với = 2 ed ab . TH1: Nếu =e0 đưa về phương trình: ( ) + + += + ++= 432 32 ax bx cx dx x ax bx cx d 0 , phương trình tích có chứa phương trình bậc ba dạng tổng quát đã biết cách giải. TH2: Nếu ≠⇒=e0 x0 không là nghiệm của phương trình. Xét ≠x0 chia hai vế phương trình cho 2 x ta được: + + + +=⇔ + + + += 22 22 ed e d ax bx c0 ax bx c0 x bx x ax . Đặt =+ ⇒= + + = + + 2 22 2 22 2 d d d ed tx t x 2 x 2 bx b b b x ax đưa về phương trình bậc hai với ẩn t . Ví dụ 4. Giải phương trình + − + += 432 x 3x 6x 6x 4 0 . Lời giải Nhận thấy =x0 không thỏa mãn phương trình. Xét ≠x0 chia hai vế phương trình cho 2 x , ta được: + −+ + =⇔ + + + − = 2 2 2 64 2 2 x 3x 6 0 x 3 x 10 0 x xx x . Đặt =+≥ 2 t x ,t 2 2 x phương trình trở thành: = +− =⇔ = − 2 t2 t 3t 10 0 t5 khangvietbook.com.vn Những điều cần biết LTĐH − Kỷ thuật giải nhanh hệ phương trình − Đặng Thành Nam 10 Đối chiếu với điều kiện chỉ nhận nghiệm: −± =−⇔ + =−⇔ + + = ⇔ = 2 2 5 17 t5x 5x5x20x x2 . Vậy phương trình có hai nghiệm là −± = 5 17 x 2 . 6. Phương trình dạng = ++ 42 x ax bx c . TH1: Nếu ∆= − = 2 b 4ac 0 biến đổi đưa phương trình về dạng: = + 2 4 b x ax 2a . TH2: Nếu ∆= − ≠ 2 b 4ac 0 ta chọn số thực m sao cho: ( ) ( ) ( ) = −+ = − + −+ = ++ 2 2 4 2 2 2 22 x xmm xm 2mxmmaxbxc . ( ) ( ) ⇔ − = − + ++ 2 2 22 x m a 2m x bx c m . Ta chọn m sao cho: ( ) ( ) −− + = 22 b 4 a 2m c m 0 . Ví dụ 5. Giải phương trình = −− 42 3 x 7x 3x 4 . Lời giải Phương trình đã cho tương đương với: ( ) ± += − = += − ⇔ ⇔ −± +=− + = 2 2 2 2 2 1 33 x 1 3x x 1 22 x 1 3x 2 1 37 x 1 3x x 2 2 . Vậy phương trình có bốn nghiệm là ± −± = = 33 37 x ,x 22 . 7. Phương trình bậc bốn tổng quát + + + += 432 ax bx cx dx e 0 . Cách 1: Đặt =−+ b xt 4a đưa về phương trình dạng: =α +β +λ 42 ttt . Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng: + + + += 24 3 2 4a x 4bax 4cax 4dax 4ae 0 ( ) ( ) ⇔ +=− −− 2 2 22 2ax bx b 4ac x 4adx 4ae . [...]... ,Dy a2 b 2 c2 b2 a2 c2 Cá c trườ ng hợp D≠0 Kế t quả Hệ phương trình có nghiệm duy nhấ t: Dy D D D ( x;y ) = x ; = Dx Dy 0 D = = Hệ phương trình có vô số nghiệm D = 0 nhưng Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0 Hệ phương trình vô nghiệm 13 Những điều cần biết LTĐH − Kỷ thuật giải nhanh hệ phương trình − Đặng Thành Nam a1x + b1y + c1z = d1 2 Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn: a2 x + b2 y + c2 z d 2 , a2... ng phương trình đẳ ng cấ p B BÀI TẬP MẪU kh a Bài 1 Giả i hệ phương trình Lời giải Cách 1: Sử dụng phương phá p thế Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta đượ c: 5x − 4y − xy = Hệ phương trình đã cho tương đương vớ i: 15 5x − 15 5x − 4y − xy = 15 y = ⇔ x+4 2 2 −3 2 x + y − 4x + 2y = 2 −3 x + y − 4x + 2y = ( x ≠ −4 ) 15 Những điều cần biết LTĐH − Kỷ thuật giải nhanh hệ phương trình − Đặng. .. = x= 9 − 4y 21 Những điều cần biết LTĐH − Kỷ thuật giải nhanh hệ phương trình − Đặng Thành Nam = = 17y2 − 78y + 88 = x 1,y 2 0 ⇔ ⇔ 23 44 x =,y = − x= 9 − 4y 17 17 23 44 (1;2 ); − 17 ; 17 Vậ y hệ phương trình có hai nghiệ m là = ( x;y ) Cách 2 : Nhậ n thấ y x = 0 khô ng thỏ a mã n hệ phương trình Xé t x ≠ 0 đặ t y = tx khi đó hệ phương trình trở thành: ( ( ) ) ( (... hệ phương trình sẽ yê u cầ u bạ n đọ c tính toán khá nặ ng Do vậ y mụ c đích củ a bà i viế t là cung cấ p thê m cho bạ n đọ c 1 kỹ thuậ t để giả i hệ Nhìn hệ phương trình dưới con mắ t linh hoạ t hơn và tư duy suy nghó ta sẽ có thêm cá c cá ch giả i hay khá c nhau 25 Những điều cần biết LTĐH − Kỷ thuật giải nhanh hệ phương trình − Đặng Thành Nam B BÀI TẬP MẪU x2 + y2 − 4x + 2y = −3 Bài 1 Giả i hệ. .. (1) xem thêm kỹ thuậ t cộ ng, trừ lấ y tích hai phương trình củ a hệ Ngoài ra ta có thể giả i hệ phương trình trê n bằng số phứ c 5x2 ( y + 1) + y= y 2 x + 6x + 1 Bài 8 Giả i hệ phương trình 1 − y2 + y (1 − 10x ) =25x 2 + + 1 x Lời giải Phân tích tìm lời giải: Rõ rà ng cả hai phương trình củ a hệ là phương trình bậ c hai của y Do vậ y nế u đặ t a y= y hệ trở thà nh mộ t hệ phương trình = 2 ,b... d3 3 3 3 ( ) Hệ nà y dù ng phé p thế đưa về hệ bậ c nhấ t hai ẩn hoặc dù ng má y tính bỏ túi 3 Hệ phương trình hai ẩn gồm một phương trình bậc nhất và một phương mx + ny = a trình bậc hai: 2 2 d ax + bxy + cy = Chủ Đề 6: om trình thứ hai củ a hệ đưa về giả i phương trình bậ c hai .v n Rú t x theo y hoặ c rú t y theo x từ phương trình đầ u củ a hệ thế và o phương HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI... 4u2 v2 ⇔ u2 v2 = 3u 29 Những điều cần biết LTĐH − Kỷ thuật giải nhanh hệ phương trình − Đặng Thành Nam u2 = 2v Vậ y ta có hệ phương trình: 2 2 u v = 3u Xé t u = 0 ⇒ v = 0 ⇒ x = y = −1 ⇒ xy = 1 (loạ i do 1 − xy ≠ 0 ) Vậ y u 5 4 12 − 1 u 9 ,y = = 3 ⇔ u = 5 12 ⇒ v = 5 ⇒ x = 5 4 2 12 + 1 5 5 9 −1 2 9 +1 2 om c x + y 1 − 3y 1 + xy = 3 − y Ví dụ Giả i hệ phương trình x − y = 1 − 5x... 3+ 5 m = 2 2 33 Những điều cần biết LTĐH − Kỷ thuật giải nhanh hệ phương trình − Đặng Thành Nam 5+ 5 1+ 5 ,y = − x = 4 4 Thay ngượ c lạ i công thứ c nghiệm ở trê n ta có −1 + 5 5− 5 = = ,y x 4 4 6x 15 = 6x + 2 x − y2 −2y + 2y = 1 x2 − y2 v n Cách 2:Cộ ng theo vế và trừ theo vế hai phương trình củ a hệ ta đượ c: Xé t xy ≠ 0 viế t lạ i hệ phương trình dưới dạng: om Nhậ... 12 Thay vào phương trình đầu củ a hệ ta đượ c: ( y − 12 ) 2 + 3y 2 + 4y ( y − 12 ) − 18 ( y − 12 ) − 22y + 31 = 0 19 Những điều cần biết LTĐH − Kỷ thuật giải nhanh hệ phương trình − Đặng Thành Nam ⇔ 1 1 1 − − 7− y = x = − 5,y = + 7 2 2 2 2 2 2 ⇒ 8y 2 − 112y + 391 =⇔ 0 1 1 1 − 5,y = +7 y = 7 + x = 2 2 2 2 2 2 om 2x2 + xy − y2 − 5x + y + 2 = 0 Bài 1 Giả i hệ phương trình 2 2... 5x + 2 y ( ) ) 35 Những điều cần biết LTĐH − Kỷ thuật giải nhanh hệ phương trình − Đặng Thành Nam + Với = 5x + 2 thay và o phương trình đầu của hệ ta đượ c: y ( 5x + 2 ) 2 ( ) x − 5x2 + 1 ( 5x + 2 ) − 5x2 + 6x + 1 = 0 5+3 5 5+3 5 3 5 +1 − − − x = x =,y = 10 ⇒ 10 2 ⇔ 5x2 + 5x − 1 = 0 ⇔ 5−3 5 5−3 5 3 5 −1 − − x = x =,y = 10 10 2 Vậ y hệ phương trình có 5 nghiệm là 5 ;− . chứa phương trình bậc nhất 13 Chủ đề 6: Hệ hương trình bậc hai hai ẩn dạng tổng quát 14 Chương 2: Các kỹ thuật và phương pháp giải hệ phương trình 25 Chủ đề 1. Kỹ thuật sử dụng hệ phương trình. x ,t 2 2 x phương trình trở thành: = +− =⇔ = − 2 t2 t 3t 10 0 t5 khangvietbook.com.vn Những điều cần biết LTĐH − Kỷ thuật giải nhanh hệ phương trình − Đặng Thành Nam 10 . trình vô nghiệm. khangvietbook.com.vn Những điều cần biết LTĐH − Kỷ thuật giải nhanh hệ phương trình − Đặng Thành Nam 14 2. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn: ( ) ++= + + = ++> ++= 1111 222 2