I. PHNG PHP QUY NP cm mt mnh ph thuc s t nhiờn n N ta khụng th th trc tip vi mi s t nhiờn c vỡ tp hp s t nhiờn l vụ hn. Song ta cú th tin hnh cỏc bc kim tra nh sau Bc 1 : Trc ht ta kim tra rng mnh ỳng vi n=0 Bc 2 : Ri ta chng rng : T gii thit mnh ỳng vi mt s t nhiờn n=k 0 bt kỡ suy ra nú ỳng vi n=k+1 . Vớ d : Chng minh rng vi mi s t nhiờn n 2 ta cú ng thc : a n -b n =(a-b)(a n-1 +a n-2 b + + b n-1 ) Chng minh Ta chng minh bng phng phỏp qui np . * Khi n=2 ta cú a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) l ỳng * Gi s ng thc ỳng khi n=k . Tc l ta cú : a k -b k =(a-b)(a k-1 +a k-2 b + + b k-1 ) Ta cn chng minh ỳng vi n=k+1 . Tc l C/m a k+1 -b k+1 =(a-b)(a k +a k-1 b + + b k ) . Tht vy ta cú : VT = a k+1 - b k+1 = a k+1 -a k b + a k b -b k+1 = a k (a-b)+ b(a k -b k ) = a k (a-b) + b(a-b)(a k-1 +a k-2 b + + b k-1 ) = (a-b)[ a k + b(a k-1 +a k-2 b + + b k-1 )] = (a-b)(a k +a k-1 b + + b k ) = VP Vy theo gi thit quy np ng thc ỳng vi mi n 2 Bi 1: Chng minh vi mi s t nhiờn n 1 ta cú ng thc : 1+2+3+4+ n = 2 1)n(n + Bi 2: Chng minh rng vi mi n N * ta cú : 1 2 +2 2 +3 2 + 4 2 +5 2 ++n 2 = 6 1++ )1)(2nn(n Bi 3: Chng minh rng vi mi n N biu thc U n =13 n -1 chia ht 6. Bi 4 : Chng minh rng vi mi s t nhiờn n 3 ta cú 2 n > 2n+1 Bi 5: Chng minh rng vi mi s t nhiờn n ta cú: 2n 2 4.3 32n 36 64 + + M Bi 6 : Chng minh rng vi mi s t nhiờn n 1 ta luụn cú: (n+1)(n+2)(2n) M 1.3.5(2n-1) Bi 7 : Chng minh rng vi mi s t nhiờn n ta luụn cú: n 3 +2n M 3 Bi 8: Chng minh rng vi mi s t nhiờn n ta luụn cú: n 16 15n 1 225 M A. CHIA HT S NGUYấN 1. nh ngha: Cho hai s nguyờn bt kỡ a v b (b 0). Tn ti mt v ch mt cp s nguyờn (q, r) sao cho a = bq + r vi 0 r b < . * Nu r = 0 thỡ a chia ht cho b: a M b a = kb a, b, k Ơ * Nu r 0 phộp chia a cho b l cú d 2. Tớnh cht ca qua h chia ht: a M a a M b v b M a thỡ a = b a M b v b M c thỡ a M c a M m thỡ ka M m v a k M m a M m, b M m thỡ a b M m a b M m m a M m thỡ b M m a M m, b M n thỡ ab M nm a M m thỡ a n M m n a n M m, m nguyờn t thỡ a M m a M m, a M n m (n, m) = 1 thỡ a M mn a M m, a M n, a M k; n, m, k nguyờn t sỏnh ụi thỡ a M mnk a M m, b M m thỡ a b M m * Trong n s nguyờn liờn tip (nN * ) cú mt v ch mt s chia ht cho n. * Trong n+1 s nguyờn bt kỡ (nN * ) chia cho n thỡ cú hai s chia cho n cú cựng s d. * chng t A(n) chia ht cho mt s nguyờn t p ta cú th xột mi trng hp v s d ca n chia cho p. * chng t A(n) chia ht cho hp s m, ta phõn tớch m thnh tớchcỏc thac s ụi mt nguyờn t cựng nhau ri ln lt chng t A(n) chia ht cho tng tha s ú. * CM f(x) chia ht cho m thụng thng ta phõn tớch f(x) thnh nhõn t ri xột s d khi chia x cho m. PHNG PHP GII : Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 1 1/ Phng phỏp 1 : A(n) chia ht cho p; ta xột s d khi chia n cho p Vớ d : A(n) = n(n 2 +1)(n 2 +4) chia ht cho 5 n chia cho 5 cú s d l r =0,1,2,3,4,5 a/ Vi r = 0 thỡ n chia ht cho 5 => A(n) chia ht cho 5 b/ Vi r = 1 => n = 5k+1 => n 2 = 25k 2 +10k +1 thỡ (n 2 +4) chia ht cho 5=> A(n) chia ht cho 5 c/ Vi r = 2 => n = 5k+2 => n 2 = 25k 2 +20k +4 thỡ (n 2 +1) chia ht cho 5=> A(n) chia ht cho 5 d/ Vi r = 3 => n = 5k+3 => n 2 = 25k 2 +30k +9 thỡ (n 2 +1) chia ht cho 5=> A(n) chia ht cho 5 e/ Vi r = 4 => n = 5k+4 => n 2 = 25k 2 +40k +16 thỡ (n 2 +4) chia ht cho 5=> A(n) chia ht cho 5 2/ Phng phỏp 2 : A(n) chia ht cho m; ta phõn tớch m = p.q a/ (p,q) = 1 ta chng minh: A(n) chia ht cho p, A(n) chia ht cho q => A(n) chia ht cho p.q b/ Nu p v q khụng nguyờn t cựng nhau ta phõn tớch A(n) = B(n).C(n) v chng minh B(n) chia ht cho p, C(n) chia ht cho q => , A(n) chia ht cho p.q 3/ Phng phỏp 3 : chng minh A(n) m cú th bin i A(n) thnh tng nhiu hng t v chng minh mi hng t chia ht cho n. 4/ Phng phỏp 4 : chng minh A(n) m ta phõn tớch A(n) thnh nhõn t, trong ú cú mt nhõn t bng m hoc chia ht cho m: A(n) = m.B(n) + Thng ta s dng cỏc hng ng thc : a n b n a b ( a b) n bt k. a n b n a b ( a - b) n chn. a n + b n a + b ( a - b) n l. 5/ Chng minh bng quy np toỏn hc : Bi 1. Chng minh rng : a) n 5 - 5n 3 + 4n 120 ; vi n Z b) n 3 -3n 2 -n+3 48 ; vi n l c) n 4 + 4n 3 -4n 2 -16n 384 vi n chn Bi 2. CMR: a) 4 2 n n 12 M b) 2 n(n 2)(25n 1) 24 + M c) Ch s tn cựng ca s t nhiờn n v n 5 l ging nhau. d) 3 3 (a b) 6 (a b ) 6 + + M M e) Cho n > 2 v (n, 6) = 1. CMR 2 n 1 24 M g) 2n 1 n 2 3 2 7 + + + M f) 2n 2 6n 1 3 2 11 + + + M B, CHIA HT A THC : 1. Ta s dng nh lý B zu : S d trong phộp chia a thc f(x) cho nh thc x a bng giỏ tr ca a thc f(x) ti x = a. T ú ta cú cỏc h qu : a thc f(x) ( x a) < = > f(a) = 0 tc l khi a l nghim ca a thc T ú suy ra : a thc f(x) cú tng cỏc h s bng 0 thỡ chia ht cho x 1 a thc f(x) cú tng cỏc h s ca s hng bc chn bng tng cỏc h s ca s hng bc l thỡ f(x) ( x + 1) 2.a thc bc 2 tr lờn : Cỏch 1 : Phõn tớch a thc b chia thnh nhõn t trong ú cú nhõn t chi ht cho a thc chia. Cỏch 2 : Xột giỏ tr riờng. 3/ Chng minh a thc chia ht cho a thc khỏc : Cỏch 1 : Phõn tớch a thc b chia thnh nhõn t trong ú cú 1 tha s chia ht cho a thc chia. Cỏch 2 : Bin i a thc b chia thnh tng cỏc a thc chia ht cho a thc chia. Cỏch 3 : S dng bin i tng ng : chng minh f(x) g(x) ta chng minh : f(x) + g(x) g(x) hoc f(x) - g(x) g(x). Cỏch 4 : Chng t rng mi nghim ca a thc chia u l nghim ca a thc b chia Bi 1. Xỏc nh cỏc hng s a ; b sao cho: a) 4x 2 - 6x + a (x-3) b) 2x 2 + x + a (x+3) c) x 3 + ax 2 - 4 (x 2 + 4x + 4) d) 10x 2 - 7x + a (2x - 3) e) 2x 2 + ax + 1 chia cho x - 3 d 4 g) ax 5 + 5x 4 - 9 (x-1) Bi 2 Tỡm cỏc hng s a v b sao cho x 3 + ax + b chia cho x + 1 thỡ d 7, chia cho x - 3 thỡ d -5 Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 2 Bi 3 Tỡm n Z : a/ n 2 + 2n 4 11 b/ 2n 3 + n 2 + 7n +1 2n 1 c/ n 3 2 n 2 d/ n 3 - 3n 2 + 3n - 1 n 2 +n + 1 e/n 4 2n 3 + 2n 2 2n + 1 n 4 1 Bi 4: Tỡm s d phộp chia x 99 + x 55 + x 11 +x + 7 cho x + 1 Bi 5: CMR : a/ x 50 + x 10 + 1 x 20 + x 10 + 1 b/ x 2 - x 9 x 1945 x 2 - x + 1 c/ x 10 - 10x + 9 (x 1) 2 d/ 8x 9 - 9x 8 + 1 (x 1) 2 I. MT S DNG PHNG TRèNH VI NGHIM NGUYấN 1. Dng 1: Phng trỡnh bc nht. a. Phng trỡnh dng: ax + by = c (a,b,c nguyờn) * Cỏch gii: - Tỏch cỏ h s v tng cỏc s chia ht cho a hoc b (S no cú GTT ln hn) - S dng du hiu v tớnh cht chia ht ca mt tng tỡm ra mt n . Thay nghim va tỡm c vo phng trỡnh ban u tỡm nghim cũn li. - Kt lun nghim Bi tp mu: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: 2x + 3y = 11 Gii: Cỏch 1: 2x + 3y = 11 1 y x y 5 2 = + + x nguyờn khi 1 y 2 hay y = 2t + 1 t M  x = 4 3t Vy nghim nguyờn ca phng trỡnh: x 4 3t y 2t 1 = = + t Z Cỏch 2: 2x + 3y = 11 d = (a, b) = (2, 3) = 1 nghim riờng: (x 0, y 0) = (4, 1) 1 1 a a d b b d = = nghim tng quỏt 0 1 0 1 x x b t y y a t = = + Vy nghim phng trỡnh l: x 4 3t y 2t 1 = = + Vớ d 1 Gii phng trỡnh: 11x + 18 y = 120 Hng dn gii 11x + 18 y = 120 ú 11x + 22y 4y = 121 1 ú 11(x + 2y -11 ) = 4y 1 4y 1 M 11 => 12y 3 M 11 ú y 3 M 11 => y = 11t + 3 (t Z ) x = 6 18 t. Vy nghim pt l: 6 18 11 3 x t y t = = + (t Z ) Vớ d 2 Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh: 12x + 7y = 45 (1) Hng dn gii Theo cỏch gii trờn ta tỡm c nghim nguyờn ca phng trỡnh (1) l 7 12 27 12 x t y t = = Vi iu kin nghim nguyờn dng ta cú: 7 12 0 27 12 0 x t y t = > = > => t = 2 Vy nghim nguyờn ca phng trỡnh l 2 3 x y = = b. Phng trỡnh dng: ax + by +cz= d (a,b,c,d nguyờn) Vớ d Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: 6x + 15y + 10 z = 3 (1) Hng dn gii (1) ú 3(2x +5y +3 z-1) = - z => z M 3 => z = 3t (t Z ) Thay vo phng trỡnh ta cú: 2x + 5y + 10t = 1 (t Z ) Gii phng trỡnh ny vi hai n x; y (t l tham s) ta c: Nghim ca phng trỡnh: (5t 5k 2; 1 2t; 3k) Vi t; k nguyờn tu ý . Dng 2: Phng trỡnh bc hai hai n. Dng ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 (a, b, c, d, e, f l cỏc s nguyờn) Vớ d 1 Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: 5x 3y = 2xy 11 (1) Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 3 Hng dn gii Cỏch 1: Rỳt y theo x: y = 5 11 5 2 2 3 2 3 x x x x + + = + + + (Do x nguyờn nờn 2x + 3 khỏc 0) Vỡ y nguyờn => x + 5 M 2x + 3 => . 7 M 2x + 3 Lp bng ta cú: cỏc cp (x; y) l: (-1;6); (-1; -2); (2; 3); (-5; 2) Th li cỏc giỏ tr ú u ỳng. Cỏch 2. a v phng trỡnh c s: Cỏch 3: Coi ú l phng trỡnh bc hai n x, y l s ó bit. t K cú x nguyờn. Vớ d 2 Tỡm cỏc nghim nguyờn ca phng trỡnh. x 2 + 2y 2 +3xy x y + 3 =0 (1) Hng dn gii S dng cỏch th 3 nh vớ d trờn. 3. Dng 3: Phng trỡnh bc ba tr lờn cú hai n. Vớ d 1 Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: x(x+1)(x+2)(x+3) = y 2 (1) Hng dn gii Phng trỡnh (1) ú (x 2 + 3x)(x 2 + 3x + 2) = y 2 t a = x 2 + 3x (K: a 2 (*) Ta cú: a 2 1 = y 2 GiI phng trỡnh ny bng cỏch a v phng trỡnh c s: => nghim phng trỡnh (1) Vớ d 2. Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: x 3 - y 3 = xy + 8 (1) Hng dn gii Ta cú: 2 2 . 8x y x xy y + + = Ta cú x khỏc y vỡ nu x = y => x 2 + 8 = 0 Vụ lý. Vỡ x; y nguyờn => 1x y => 2 2 8x xy y xy + + + => x 2 + xy + y 2 8xy + (2) Nu xy + 8 < 0=> (2) ú (x + y) 2 -8. Vụ nghim. N u xy +8 > 0 => (2) ú x 2 + y 2 8 => x 2 , y 2 { } 0;1;4 T ú tỡm c Hai nghim nguyờn ca (1) l: (0; - 2); (2; 0) 4. Dng 4: Phng trỡnh dng phõn thc. Vớ d 1 Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: 1 1 1 1 6 6x y xy + + = (1) Hng dn gii t iu kiờn sau ú a v phng trỡnh c s Tỡm c hai nghim (43; 7); (7; 43) Vớ d 2 Tỡm x nguyờn sao cho 17 9 x x l bỡnh phng ca mt phõn s. Hng dn gii Gi s 17 9 x x = ữ 2 a b Vi a, b nguyờn, b khỏc 0 v (a, b) = 1. Nu a = 0 => x = 17. Nu a khỏc 0. Ta cú (a 2 , b 2 ) = 1 => x 17 = a 2 .k; x 9 = b 2 .k (k nguyờn) T ú ta cú: 8 = (a + b).(b a).k Lp bng tỡm c nghim ca phng trỡnh x =17; 18; 8 5. Dng 5: Phng trỡnh dng m. Vớ d Tỡm cỏc s t nhiờn x, y sao cho: 2 x + 3 = y 2 (1) Hng dn gii Nu x = 0 => y 2 = 4 => y = 2 hoc y = -2. Nu x = 1 => y 2 = 5 Vụ nghim nguyờn. Nu x 2 => 2 x M 4 Do ú v trỏI chia cho 4 d 3 m y l (Do 1) => y 2 chia 4 d 1 => Vụ lý. Vy nghim nguyờn ca (1) l: (0; 2); (0; -2) II. BI TP: 1. Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: a) 2x + 3y = 11 b) 3x + 5y = 10 2. Tỡm tt c cỏc nghim nguyờn dng ca phng trỡnh: 4x + 5y = 65 3. Phõn tớch s 100 thnh hai s t nhiờn mt s chia ht cho 7, mt s chia ht cho 11. 4. Tỡm s nguyờn dng bộ nht chia cho 100 d 1, chia cho 98 d 11. 5. Cú 37 cõy tỏo cú s qu bng nhau, 17 qu hng, s cũn li chia u cho 79 ngi. Hi mi cõy cú ớt nht my qu? I. Tớnh cht c bn ca BT: Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 4 a) a < b, b < c a < c b) a < b a +c < b+ c. c) a< b a.c < b.c (vi c > 0) a< b a.c > b.c (vi c < 0) d) a < b v c < d a+c < b + d. e) 0 < a < b v 0 < c < d a.c < b.d f) ( ) 2 1 2 1 n n n a b a b + + + < <  0 < ( ) 2 2 n n n a b a b + < <  g) ( ) 2 1 2 1 n n n a b a b + + + < <  ( ) 2 2 0 n n n a b a b + < < <  II. BT Cauchy: (Cụsi) a,b 0 2 a b ab + ng thc 2 a b ab + = xy ra khi v ch khi a = b. a, b, c 0 3 + + a b c abc H qu: 1 a + 2 a , a 0 > III. Bt ng thc cha du giỏ tr tuyt i a) |x| 0, |x| x, |x| -x b) |x| a -a x a ( vi a > 0) |x| a x -a hoc x a c) |a|-|b| |a+b| |a| + |b|. II. BT Bunhinacụpxki Cho a, b, x, y l cỏc s thc, ta cú: ++ ))(( 2222 yxba (ax + by) 2 ng thc xy ra khi: a b x y = Tng quỏt: Cho 2n s thc: 1 2 1 2 , , , ; , , , n n a a a b b b Ta cú: 1 1 2 2 | | + + + n n a b a b a b 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( )( ) n n a a a b b b + + + + + + Du = xy ra khi v ch khi: 1 2 1 2 n n a a a b b b = = = III. BT Becnuli Cho a > -1, n N * : (1+ + a) n 1 + na. ng thc xy ra khi a = 0 hoc n = 1 Bt ng thc Cụ-si m rng: Cho n s khụng õm: a 1 ; a 2; ; a n Ta cú: 1 2 1 2 a a n n a a n a a a + + + Du = xy ra khi v ch khi 1 2 a n a a = = = Bi 1: Cho hai s dng a v b . Chng minh : (a+b)( b 1 a 1 + ) 4 Gii: Vỡ a, b l hai s dng nờn ỏp dng bt ng thc Cụsi ta cú: (a+b) 2 ab 1 1 1 + 2 a b ab 1 1 1 (a+b) 2 .2 =4 a ab ab b + ữ Du = xy ra khi v ch khi:a= b. Bi 2: Vi mi a, b,x,y, thuc Ă . Chng minh rng: ( ) ( ) 2 2 2 | |ax by a b x y 2 + + + p dng : 1. Cho x 2 + y 2 =1 , chng minh - 2 x+y 2 2. Cho x+2y = 2 , chng minh x 2 + y 2 5 4 Bi 3 Cho ba s dng a, b, c. Chng minh rng: Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 5 ( ) 1 1 1 9a b c a b c + + + + ữ Bi 4: Cho 3 ab+bc+ca , , 0. C/m: 3 a b c abc Bi 5: Cho a,b,c >0. C/m: ab bc ca a b c c a b + + + + Bi 6: Cho a > 0, b > 0, c > 0, a + b + c =1. Chng minh rng: 1 1 1 1 1 1 64 a b c + + + ữ ữ ữ Bi 7: CMR vi 4 s a, b, x, y bt k ta cú: ++ ))(( 2222 yxba (ax + by) 2 .Du ng thc xy ra khi no? Bi 8: Cho a, b, c, d > 0. Cm: ( )( ) dbcacdab +++ Bi 9: CM bt ng thc: ( ) ( ) 22 2222 dbcadcba ++++++ Bi 10: Cho a, b, c l cỏc s dng cm BT 2 222 cba ba c ac b cb a ++ + + + + + Bi 11: CM vi mi n nguyờn dng thỡ: 2 1 2 1 2 1 1 1 >++ + + + nnn Bi 12: Cho a 3 + b 3 = 2. Cmr: a + b 2. Bi 13: Cho a, b, c tha món: a + b + c = -2 (1) a 2 + b 2 + c 2 = 2 (2) CMR mi s a, b, c u thuc on 0; 3 4 Bi 14: Cho a, b, c tha món h thc 2a + 3b = 5. CMR: 2a 2 + 3b 2 5. Bi 15: Cho a, b l hai s tha món i: a + 4b = 1. CM: a 2 + 4b 2 5 1 . Du = xy ra khi no? Bi 16: CM: 3 1 2222 22222 < ++ +++ Bi 17: Chng minh: a) ++ ))(( 2222 yxba (ax + by) 2 b) 2420 +< xx Bi 18: Cho a, b, c > 0. Cm: 2 3 + + + + + ba c ac b cb a Bi 19: Cho 100 1 3 1 2 1 1 ++++= S . CMR: S khụng l s t nhiờn. Bi 20: a) Cho x, y dng. CMR: yxyx + + 411 . Du bng xy ra khi no? Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 6 b) Tam giỏc ABC cú chu vi 2 cba P ++ = . ++ + + cbacpbpap 111 2 111 Du bng xy ra khi tam giỏc ABC cú c im gỡ? Bi 21: a) CM x > 1 ta cú: 2 1 x x b) Cho a > 1, b > 1. Tỡm GTNN ca: 11 22 + = a b b a P Bi 22: Cho a, b, c l di ba cnh ca mt tam giỏc. CM: a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca) Bi 23: CMR nu a, b, c > 0 v a + b + c = 1 thỡ 9 111 ++ cba . Bi 24: CMR nu a, b, c l di ba cnh ca mt tam giỏc thỡ: ab + bc + ca a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca) Bi 25: Cho tam giỏc ABC cú di ba cnh l a, b, c v cú chu vi l 2. CMR: a 2 + b 2 + c 2 + 2abc < 2 Bi 26: Cho a, b l 2 s thc tha món iu kin: (a - 1) 2 + ( b - 2) 2 = 5. Cm: a + 2b 10. Bi 27: Cho a, b l cỏc s thc tha món iu kin a 2 + b 2 = 4 + ab. CMR: 8 3 8 22 + ba . Du bng xy ra khi no? Bi 28: CMR vi mi a, b > 0 tha món ab = 1. Ta cú BT: 3 211 + ++ baba Bi 29: CMR nu: a) 51 a thỡ 105413 + aa b) a + b 2;01;0 =++ bab thỡ 2211 +++ ba Bi 30: Cho biu thc 4 3 4 3 5 4 3 2 3 1 1 1 4 1 P x x x x x x x x x x x = + + + + CMR: 9 32 0 << P vi 1 x . Bi 31: a) Cho a, b, k l cỏc s dng v 1 a b < : a a k Cmr b b k + < + b) Cmr nu a, b, c l di 3 cnh ca mt tam giỏc thỡ: ba c ac b cb a + + + + + < 2. Bi 32: Cho cỏc s dng a, b tha món iu kin a + b = 1. CMR : 9 1 1 1 1 + + ba Bi 33: CM B T sau õy ỳng vi mi x, y l cỏc s thc bt k khỏc 0: +++ x y y x x y y x 34 2 2 2 2 1) nh ngha: L s cú dng 2 ,n n  . 2) Tớnh cht: Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 7 1. S chớnh phng chn thỡ chia ht cho 4, s chớnh phng l khi chia cho 8 d 1 2. Nu a=3k thỡ ( ) 2 0 mod9a ; Nu 3a k thỡ ( ) 2 1 mod3a 3. Gia cỏc bỡnh phng ca hai s nguyờn liờn tip khụng cú s chớnh phng no 4. S chớnh phng ch cú th cú ch s tn cựng bng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; khụng th cú ch s tn cựng bng 2, 3, 7, 8 5. Nu hiu ca hai s nguyờn bng 2n thỡ tớch ca chỳng thờm n 2 s l s chớnh phng. 6. Nu ab chớnh phng, (a,b)=1 thỡ a chớnh phng v b chớnh phng. HD: G/s ab= c 2 v gi d=(a,c) suy ra a=a 1 d; c=c 1 d, (c 1 , d 1 )=1do ú ab=c 1 2 d + Do ( ) 2 2 1 1 1 1 1 a d c c , 1b vi a c = M M + Do ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 , , 1 ; c c d b c b vi b d b a b c a d b = = = = = M M 7. Nu mt s chớnh phng chia ht cho p, p- nguyờn t thỡ s chớnh phng ú chia ht cho p 2 . Do ú nu mt s a chia ht cho s nguyờn t p nhng s a khụng chia ht cho p 2 thỡ a khụng l s chớnh phng. 2. Khi phõn tớch ra tha s nguyờn t, s chớnh phng ch cha cỏc tha s nguyờn t vi s m chn. 3. S chớnh phng ch cú th cú mt trong hai dng 4n hoc 4n + 1. Khụng cú s chớnh phng no cú dng 4n + 2 hoc 4n + 3 (n N). 4. S chớnh phng ch cú th cú mt trong hai dng 3n hoc 3n + 1. Khụng cú s chớnh phng no cú dng 3n + 2 (n N). 5. S chớnh phng tn cựng bng 1 hoc 9 thỡ ch s hng chc l ch s chn. S chớnh phng tn cựng bng 5 thỡ ch s hng chc l 2 S chớnh phng tn cựng bng 4 thỡ ch s hng chc l ch s chn. S chớnh phng tn cựng bng 6 thỡ ch s hng chc l ch s l. 6. S chớnh phng chia ht cho 2 thỡ chia ht cho 4. S chớnh phng chia ht cho 3 thỡ chia ht cho 9. S chớnh phng chia ht cho 5 thỡ chia ht cho 25. S chớnh phng chia ht cho 8 thỡ chia ht cho 16. III. MT S DNG BI TP V S CHNH PHNG A. DNG1: CHNG MINH MT S L S CHNH PHNG Bi 1: Chng minh rng vi mi s nguyờn x, y thỡ A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 l s chớnh phng. Ta cú A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 = (x 2 + 5xy + 4y 2 )( x 2 + 5xy + 6y 2 ) + y 4 t x 2 + 5xy + 5y 2 = t ( t Z) thỡ A = (t - y 2 )( t + y 2 ) + y 4 = t 2 y 4 + y 4 = t 2 = (x 2 + 5xy + 5y 2)2 V ỡ x, y, z Z nờn x 2 Z, 5xy Z, 5y 2 Z x 2 + 5xy + 5y 2 Z Vy A l s chớnh phng. Bi 2: Chng minh tớch ca 4 s t nhiờn liờn tip cng 1 luụn l s chớnh phng. Gi 4 s t nhiờn, liờn tiờp ú l n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n N). Ta cú n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1 Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 8 = (n 2 + 3n)( n 2 + 3n + 2) + 1 (*) t n 2 + 3n = t (t N) thỡ (*) = t( t + 2 ) + 1 = t 2 + 2t + 1 = ( t + 1 ) 2 = (n 2 + 3n + 1) 2 Vỡ n N nờn n 2 + 3n + 1 N Vy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 l s chớnh phng. Bi 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2) Chng minh rng 4S + 1 l s chớnh phng . Ta cú k(k+1)(k+2) = 4 1 k(k+1)(k+2).4 = 4 1 k(k+1)(k+2).[(k+3) (k-1)] = 4 1 k(k+1)(k+2)(k+3) - 4 1 k(k+1)(k+2)(k-1) S = 4 1 .1.2.3.4 - 4 1 .0.1.2.3 + 4 1 .2.3.4.5 - 4 1 .1.2.3.4 ++ 4 1 k(k+1)(k+2)(k+3) - 4 1 k(k+1)(k+2)(k-1) = 4 1 k(k+1)(k+2)(k+3) 4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 Theo kt qu bi 2 k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 l s chớnh ph ng. Bi 4: Cho dóy s 49; 4489; 444889; 44448889; Dóy s trờn c xõy dng bng cỏch thờm s 48 vo gia s ng trc nú. Chng minh rng tt c cỏc s ca dóy trờn u l s chớnh phng. Ta cú 4448889 = 44488 8 + 1 = 444 . 10 n + 8 . 111 + 1 n ch s 4 n-1 ch s 8 n ch s 4 n ch s 8 n ch s 4 n ch s = 4. 9 110 n . 10 n + 8. 9 110 n + 1 = 9 9810.810.410.4 2 ++ nnn = 9 110.410.4 2 ++ nn = + 3 110.2 n Ta thy 2.10 n +1=20001 cú tng cỏc ch s chia ht cho 3 nờn nú chia ht cho 3 n-1 ch s 0 + 3 110.2 n Z hay cỏc s cú dng 4448889 l s chớnh phng. Bi 5: Chng minh rng cỏc s sau õy l s chớnh phng: A = 111 + 444 + 1 2n ch s 1 n ch s 4 B = 111 + 111 + 666 + 8 2n ch s 1 n+1 ch s 1 n ch s 6 Kt qu: A = + 3 210 n ; B = + 3 810 n ; Bi 6: Chng minh rng cỏc s sau l s chớnh phng: a. A = 22499910009 n-2 ch s 9 n ch s 0 b. B = 1115556 n ch s 1 n-1 ch s 5 Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 9 2 2 a. A = 224.10 2n + 999.10 n+2 + 10 n+1 + 9 = 224.10 2n + ( 10 n-2 1 ) . 10 n+2 + 10 n+1 + 9 = 224.10 2n + 10 2n 10 n+2 + 10 n+1 + 9 = 225.10 2n 90.10 n + 9 = ( 15.10 n 3 ) 2 A l s chớnh phng B. DNG 2: TèM GI TR CA BIN BIU THC L S CHNH PHNG Bi1: Tỡm s t nhiờn n sao cho cỏc s sau l s chớnh phng: a. n 2 + 2n + 12 b. n ( n+3 ) c. 13n + 3 d. n 2 + n + 1589 Gii a. Vỡ n 2 + 2n + 12 l s chớnh phng nờn t n 2 + 2n + 12 = k 2 (k N) (n 2 + 2n + 1) + 11 = k 2 k 2 (n+1) 2 = 11 (k+n+1)(k-n-1) = 11 Nhn xột thy k+n+1 > k-n-1 v chỳng l nhng s nguyờn dng, nờn ta cú th vit (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 k+n+1 = 11 k = 6 k n - 1 = 1 n = 4 b. t n(n+3) = a 2 (n N) n 2 + 3n = a 2 4n 2 + 12n = 4a 2 (4n 2 + 12n + 9) 9 = 4a 2 (2n + 3) 2 - 4a 2 = 9 (2n + 3 + 2a)(2n + 3 2a) = 9 Nhn xột thy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 2a v chỳng l nhng s nguyờn dng, nờn ta cú th vit (2n + 3 + 2a)(2n + 3 2a) = 9.1 2n + 3 + 2a = 9 n = 1 2n + 3 2a = 1 a = 2 c. t 13n + 3 = y 2 ( y N) 13(n 1) = y 2 16 13(n 1) = (y + 4)(y 4) (y + 4)(y 4) 13 m 13 l s nguyờn t nờn y + 4 13 hoc y 4 13 y = 13k 4 (Vi k N) 13(n 1) = (13k 4 ) 2 16 = 13k.(13k 8) n = 13k 2 8k + 1 Vy n = 13k 2 8k + 1 (Vi k N) thỡ 13n + 3 l s chớnh phng. a. t n 2 + n + 1589 = m 2 (m N) (4n 2 + 1) 2 + 6355 = 4m 2 (2m + 2n +1)(2m 2n -1) = 6355 Nhn xột thy 2m + 2n +1> 2m 2n -1 > 0 v chỳng l nhng s l, nờn ta cú th vit (2m + 2n +1) (2m 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy ra n cú th cú cỏc giỏ tr sau: 1588; 316; 43; 28. Bi 2: Tỡm a cỏc s sau l nhng s chớnh phng: a. a 2 + a + 43 b. a 2 + 81 Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 10 [...]... Tớnh giỏ tr biu thc: A = [ Boi dửụừng hoùc sinh gii toỏn THCS 20 [ ] ] 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) ( thi HSG tnh 2005-2006) Bi 34: Cho a, b, c l ba s dng tha món iu kin: a2 = b2 + c2 a) So sỏnh a v b + c b) So sỏnh a3 v b3 + c3 ( thi HSG tnh 2006-2007) Bi 35: 1) Gii phng trỡnh: x3 -6x 40 = 0 2) Tớnh A = 3 20 + 14 2 + 3 20 14 2 ( thi HSG tnh 2006-2007) a) 2 Bi 1) Cho hai s thc x, y tha món... 5x2 + 4x - 5 = 0 Bi 39: Tỡm nghim nguyờn ca phng 4 2 trỡnh: 4x + 8x y + 3y2 - 4y - 15 = 0 Bi 40: x2 + 9x + 20 = 2 3x + 10 Boi dửụừng hoùc sinh gii toỏn THCS xy x+ y yz xz xy + + x2 y 2 z 2 M= ( thi HSG 1998) x 14 x5 =3 3+ x 5 x4 - 4 3 x -5 = 0 ( thi HSG x4 + 4 5x = 0 x2 2 a b a +b Bi 3: 1) Cho a + b + c = 0 CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc 2) Cho xy + yz + zx = 0 v xyz 0 Tớnh giỏ tr biu thc: x3 + 1 Bi... 3x + 5 x + 2 2004) Bi 18: 2 Boi dửụừng hoùc sinh gii toỏn THCS 2 x2 4 x 2 x + 2 Bi 13:20 =0 5 + 48 2 x 1 x +1 x 1 3x 7x + 2 = 4 Bi 14: a) 2 x 3x + 1 x + x + 1 x 2 10 x + 15 4x b) 2 = 2 x 6 x + 15 x 12 x + 15 x 2 3x + 5 x 2 5x + 5 1 c) 2 2 = 4 x 4x + 5 x 6x + 5 2 81x = 40 Bi 15: a) x2 + ( x + 9) 2 18 x 1 x2 + = 8( thi HSG V1 x x 1 5x 1 = 3x 2 Bi 19: Bi 20: x +1 + 3 7 x... nhõn t: HSG tnh 2003) a) x(y2 z2) + y(z2 x2) + z(x2 y2) Bi 32: a) Thu gn biu thc: P = b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 4xyz Bi 21: Cho ba s phõn bit a, b,c Chng minh 2+ 3+ 6+ 8+4 rng biu thc 2+ 3+ 4 A = a4(b c) + b4(c a) + c4(a b) luụn x y khỏc 0 b) Tớnh giỏ tr biu thc: Q = x+ y Bi 22: Cho bn s nguyờn tha món iu kin: a 2 2 Bit x 2y = xy v y 0 , x + y 0 ( + b = c + d v ab + 1 = cd thi HSG. .. Bi 7: Cho a, b l cỏc s thc dng tha món: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Tớnh giỏ tr ca biu thc P = a2007 + b2007 ( thi HSG V2 2003) Bi 32: a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0 b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 4 +9x = 0 Bi 33: (x + 3 x + 2)(x + 9 x +18) = 168x ( thi HSG 2005) Bi 34: a) x2 + 4x + 5 = 2 2 x + 3 b) 3 x 3 + 8 = 2x2 - 6x + 4 4 =2 c) 2 x + 2 x +3 3 Bi 35: x +1 + 3 x + 2 + 3 x + 3... biu thc 3a + 9a 3 a +1 a 2 + P= a+ a 2 a + 2 1 a a) Rỳt gn P b) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca a P nguyờn a + 4 a -4 + a 4 a -4 P= Bi 6: Cho biu thc 8 16 1- + a a2 a) Rỳt gn P Boi dửụừng hoùc sinh gii toỏn THCS a 1 1 2 : a 1 a a a + 1 a 1 P= x x y - xy : + xy + y x+ y y x + y xy x xy a) Tỡm x, y P cú ngha b) Rỳt gn P c) Tỡm giỏ tr ca P vi x = 3, y = 4 + 2 3 Bi 10: Cho... Bi 18: P= A= 10 + 3 + 5 3 5 10 + 3 5 Bi 19: Rỳt gn biu thc a) A = 4 + 7 4 7 b) B = 4 + 10 + 2 5 + 4 10 + 2 5 c) C = 4 + 15 + 4 15 2 3 5 Bi 20: Tớnh giỏ tr biu thc Boi dửụừng hoùc sinh gii toỏn THCS x 4( x 1) + x + 4( x 1) 1 1 2 x 1 x 4( x 1) a) x = ? thỡ A cú ngha b) Rỳt gn A Bi 30:Cho biu thc 1+ 1 x 1 1+ x 1 + + P= 1 x + 1 x 1+ x + 1+ x 1+ x a) Rỳt gn P 2 b) So sỏnh P vi 2 Bi 31:Cho... di cỏc cnh ca mt tam giỏc CMR phng trỡnh sau cú nghim: (a2 + b2 c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 c2) = 0 Bi 8: CMR phng trỡnh ax2 + bx + c = 0 ( a 0) 2b c +4 cú nghim nu a a Boi dửụừng hoùc sinh gii toỏn THCS Bi 12: Cho phng trỡnh : x2 - 2 3 x + 1 = 0 Cú hai nghim l x1, x2 Khụng gii phng trỡnh trờn hóy tớnh giỏ tr ca biu thc: 2 3 x12 + 5 x1 x 2 + 3 x 2 A= 3 4 x1 x 2 + 4 x13 x 2 Bi 13: Cho pt: x2 2(a -... cỏc s A v B Gi A = abcd = k2 Nu thờm vo mi ch s ca A mt n v thỡ ta cú s B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2 vi k, m a, b, c, d Ta cú N ; 1 a 9 ; 0 b, c, d 9 A = abcd = k2 Boi dửụừng hoùc sinh gii toỏn THCS N v 32 < k < m < 100 11 B = abcd + 1111 = m2 m2 k2 = 1111 (m-k)(m+k) = 1111 (*) Nhn xột thy tớch (m-k)(m+k) > 0 nờn m-k v m+k l 2 s nguyờn dng V m-k < m+k < 200 nờn (*) cú th vit (m-k)(m+k) = 11.101... 2 x 1 + x 2 x 1 = 2 3 Bi 42: 3x2 + 21x + 18 + 2 x 2 +7 x + 7 = 2 a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1 b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0 c) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0 Bi 23: (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 ( thi HSG V1 2003) Bi 24: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3 b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24 Bi 25: a) x3 - 6x + 4 = 0 b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0 Bi 26: a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0 b) x4 - 4x3 - 10x2 . trỡnh: 2(x 2 + 2) = 5 1 3 + x ( thi HSG 1998) Bi 29: 3 53 14 5 = + x x x Bi 30: x 4 - 4 3 x -5 = 0 ( thi HSG 2000) Bi 31: 05 2 4 2 4 = + x x x ( thi HSG V2 2003) Bi 32: a) x 4 - 4x 3 . x. 15 1 8 1 8 = x x x x x Bi 17: x 2 + 2 1 x x = 8( thi HSG V1 2004) Bi 18: 23151 = xxx Boi dửụừng hoùc sinh gi i toỏn THCS 18 Bi 19: 271 33 =++ xx Bi 20: 21212 =++ xxxx Bi 21: 3x 2. biu thc P = xyz. ( thi HSG tnh 2003) Bi 32: a) Thu gn biu thc: P = 432 48632 ++ ++++ b) Tớnh giỏ tr biu thc: Q = yx yx + Bit x 2 2y 2 = xy v y 0 , x + y 0. ( thi HSG tnh 2004-2005) Bi