1 TÊN ĐỀ TÀI: BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN ĐẶT VẤN ĐỀ: 2.1 Tầm quan trọng của vấn đề được nghiên cứu: Về bài học Phương trình đường thẳng không gian sách giáo khoa Hình học lớp 12 chỉ đưa một cách chung chung chưa phân dạng cụ thể tường minh, với thực tế giảng dạy, ôn luyện cho học sinh lớp 12, nhìn thấy viết phương trình đường thẳng không gian là dạng toán bản thường xuyên xuất hiện các đề kiểm tra, đề thi học kỳ, đề thi tốt nghiệp cũng đề thi Đại học, Cao đẳng Nhằm giúp cho các em có đủ tự tin thì người thầy phải có cách hệ thống hóa và phân dạng các dạng bài tập bản để cho số đông học sinh có thể tiếp thu tốt phương trình đường thẳng 2.2 Thực trạng liên quan đến vấn đề nghiên cứu: Trong quá trình giảng dạy về chuyên đề Phương trình đường thẳng không gian bản thân nhận thấy một điều học sinh rất lúng túng việc viết phương trình đường thẳng, bởi lẻ nó rất đa dạng, rất trừu tượng chưa mang tính hệ thống và phân dạng làm cho học sinh không hình dung được cách viết phương trình của đường thẳng 2.3 Lý chọn đề tài: Trong chương trình toán THPT, dạng toán viết phương trình đường thẳng là một cách dạng bài tập bản, đặc biệt các kỳ thi học sinh thương xuyên gặp dạng bài tập này Là một giáo viên qua nhiều năm giảng dạy, rất trăn trở về vấn đề này Vấn đề thường đặt làm thế nào học sinh làm tốt dạng toán viết phương trình đường thẳng không gian Do đó, chỉ có một lao động nhỏ là hệ thống lại và phân dạng các bài toán viết phương trình đường thẳng, đưa phương pháp giải từng dạng rỏ ràng và dễ hiểu 2.4 Giới hạn nghiên cứu đề tài Phạm vi nghiên cứu cho đề tài này ở hai lớp 12/3 và 12/11 tại trường THPT Nguyễn Hiền năm học 2012-2013 2 CƠ SỞ LÝ LUẬN: Để xây dựng được đề tài này, dựa sơ kiến thức đã được học và đọc nhiều tài liệu nói về chuyên đề phương trình đường thẳng không gian CƠ SỞ THỰC TIỄN: Từ năm học 2007-2008 cho đến năm học 2011-2012, được trường phân công dạy Toán lớp 12 Đây là điều kiện tốt nhất cho thực hiện nghiên cứu đề tài này NỘI DUNG NGHIÊN CỨU: 5.1 Cơ sở lý thuyết: Nhắc lại phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d qua điểm r M ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận vectơ chỉ phương u = (a; b; c ) có phương trình tham số là:  x = x0 + at  d :  y = y0 + bt (t ∈ R )  z = z + ct   x = x0 + at Qua M ( x0 ; y0 ; z0 )   r ⇔ d :  y = y0 + bt (t ∈ R) Vậy, ta có d :  VTCP : u = (a; b; c)   z = z + ct  b) Trong không gian với hệ tọa độ rOxyz, đường thẳng d qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận vectơ chỉ phương u = (a; b; c ) thỏa mãn abc ≠ có phương trình chính tắc là: x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c 5.2 Các dạng toán: * DẠNG 1: Viết phương trình đường thẳng d qua M ( x0 ; y0 z0 ) và có r vectơ chỉ phương u = (a; b; c) a) Cách giải: - Dựa vào giả thiết để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d - Đường thẳng d được cho bởi:  x = x0 + at Qua M ( x0 ; y0 ; z0 )   r d : ⇔ d :  y = y0 + bt (t ∈ R ) VTCP : u = (a; b; c)   z = z + ct  Chú ý: r uuu r - Nếu d qua hai điểm A, B thì u = AB r uu uu r r - Nếu d // ∆ thì u = u∆ (u∆ là VTCP của đường thẳng ∆) r uu uu r r - Nếu d ⊥ ( P) thì u = nP (nP là VTPT của mặt phẳng (P)) b)Các ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d mỗi trường hợp sau: a) Đường thẳng d qua hai điểm A(1; 2;3), B(−3; 4; 4) b) Đường thẳng d qua điểm C (3; 2; −1) và song song với đường thẳng ∆: x −1 y z + = = c) Đường thẳng d qua điểm D(−3; 4;1) và vuông góc với mặt phẳng ( P) : x + y − 3z + = Giải: uuu r a) Ta có: AB = (−4; 2;1) Qua A(1; 2;3) r VTCP : u = (−4; 2;1)   x = − 4t  - Vậy phương trình tham số của d :  y = + 2t (t ∈ R) z = + t   - Đường thẳng d được cho bởi: d :  uu r b) - VTCP của đường thẳng ∆ : u∆ = (2;3;1) Qua C (3; 2; −1) Qua C (3; 2; −1)  r uu r ⇔ d : d // ∆ VTCP : u = u∆ = (2;3;1)   - Đường thẳng d được cho bởi: d :  - Vậy phương trình chính tắc của d : x − y − z +1 = = uu r c) - VTPT của mặt phẳng ( P) : nP = (1; 2; −3) - Đường thẳng d được cho bởi: Qua D(−3; 4;1) Qua D(−3; 4;1)  r uu r d : ⇔ d : VTCP : u = nP = (1; 2; −3) d ⊥ ( P )  x + y − z −1 = = - Vậy phương trình chính tắc của d : −3 Nhận xét: Qua ba ví dụ cho ta thấy bài toán rviết phương trình đường thẳng ở dạng không cho trước vectơ chỉ phương u mà phải dựa vào giả thiết khác để suy vectơ chỉ phương Vì vậy cần nhấn mạnh cho học sinh tầm quan trọng của việc nắm các chú đã nên * DẠNG 2: Viết phương trình đường thẳng d qua M ( x0 ; y0 z0 ) , có vectơ r rr r r r r chỉ phương u thỏa mãn u ⊥ a, u ⊥ b ( a và b không cùng phương) a Cácr giải: h - Gọi u là vectơ chỉ phương của đường thẳng d r r u ⊥ a r r r  - Ta có:  r r ⇒ u =  a, b  = (a; b; c) (Lưu ý dựa vào giả thiết để suy   u ⊥ b   x = x0 + at Qua M ( x0 ; y0 ; z0 )   r ⇔ d :  y = y0 + bt - Đường thẳng d được cho bởi: d :  VTCP : u = (a; b; c)   z = z + ct  r r u ⊥ a  r r ) u ⊥ b  (t ∈ R ) Chú ý: r uu uu uu uu r r r r d //( P ) thì u =  nP , nQ  (nP , nQ là VTPT của mặt phẳng (P), (Q)   d //(Q) r uu uu uu r r r uu r  d //( P ) - Nếu  thì u =  nP , u∆  (nP là VTPT của mp(P) và u∆ là VTCP của   d ⊥ ∆ - Nếu  đường thẳng ∆ ) r uu uu uu r r r uu r  d ⊂ ( P) thì u =  nP , u∆  (nP là VTPT của mp(P) và u∆ là VTCP của   d ⊥ ∆ - Nếu  đường thẳng ∆ ) r ur uu ur uu r r  d ⊥ d1 thì u = u1 , u2  (u1 , u2 lần lượt là VTCP của hai đường thẳng d1 , d   d ⊥ d - Nếu  ) r uu uu r r  d ⊂ ( P) (d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)) thì u =  nP , nQ     d ⊂ (Q) - Nếu  b Các ví dụ: a) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(1;3;3) và song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình sau: ( P ) : x + y + z − = 0, (Q) : x − y − z + = Giải: uu r uu r nP = (1;1; 2) và nQ = (2; −1; −1) VTPT của (P) và (Q): r - Gọi u là vectơ chỉ phương của đường thẳng d r uu r r uu uu r r  d //( P ) u ⊥ nP  ⇒  r uu ⇒ u =  nP , nQ  = (1;5; −3) r Ta có:     d //(Q) u ⊥ nQ  Qua A(1;3;3) r VTCP : u = (1;5; −3)   - Đường thẳng d được cho bởi: d :  x = 1+ t  - Vậy phương trình tham số của d :  y = + 5t (t ∈ R)  z = − 3t  b) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm B(3; −2; −1) và song song với mặt phẳng ( R) : x − y − z + = và vuông góc với đường thẳng ∆: x y−4 z+2 = = −3 Giải: uu r uu r VTPT của (R) và VTCP của ∆ : nR = (1; −2; −2) và u∆ = (2;1; −3) r - Gọi u là vectơ chỉ phương của đường thẳng d r uu r r uu uu r r  d //( R ) u ⊥ nR  ⇒  r uu ⇒ u =  nR , u∆  = (8; −1;5) r Ta có:    d ⊥ ∆ u ⊥ u∆  Qua B (3; −2; −1) r VTCP : u = (8; −1;5)   - Đường thẳng d được cho bởi: d :   x = + 8t  - Vậy phương trình tham số của d :  y = −2 − t (t ∈ R)  z = −1 + 5t  Nhận xét: Qua ví dụ b), giả sử đường thẳng d nằm mặt phẳng (R), ta có ví dụ c) sau đây: c) Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng ( R) : x − y − z + = x và vuông góc với đường thẳng ∆ : = y−4 z+2 = −3 Giải: uu r uu r VTPT của (R) nR = (1; −2; −2) và VTCP của ∆ : u∆ = (2;1; −3) r - Gọi u là vectơ chỉ phương của đường thẳng d r uu r r uu uu r r  d ⊂ ( R) u ⊥ nR  ⇒  r uu ⇒ u =  nR , u∆  = (8; −1;5) r Ta có:    d ⊥ ∆ u ⊥ u∆  - Lấy điểm N (0;1;1) ∈ ( R ) Qua N (0;1;1) r VTCP : u = (8; −1;5)   - Đường thẳng d được cho bởi: d :  x - Vậy phương trình chính tắc của d : = y −1 z −1 = −1 d) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm C (−3;1; −1) và vuông góc với hai đường thẳng d1 , d lần lượt có phương trình sau: d1 : x−2 y z +3 x+3 z−2 = = , d2 : = y−2= 2 −1 Giải: ur uu r VTCP của d1 ; d : u1 = (2; 2; −1) và u2 = (3;1; 2) r - Gọi u là vectơ chỉ phương của đường thẳng d r ur r ur uu r u ⊥ u1  d ⊥ d1  ⇒  r uu ⇒ u = u1 , u2  = (5; −7; −4) r Ta có:    d ⊥ d u ⊥ u2  Qua C (−3;1; −1) r VTCP : u = (5; −7; −4)   - Đường thẳng d được cho bởi: d :  - Vậy phương trình chính tắc của d : x + y −1 z +1 = = −7 −4 e) Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α ) và ( β ) lần lượt có phương trình sau: (α ) : x − y − z − = 0, ( β ) : x − y − z + = Giải: Cách 1: uu r uu r VTPT của hai mặt phẳng (α ), ( β ) : nα = (1; −1; −1); nβ = (2; −2; −1) r - Gọi u là vectơ chỉ phương của đường thẳng d r uu r r uu uu r r r  d ⊂ (α ) u ⊥ nα  ⇒  r uu ⇒ u =  nα , nβ  = (−1; −1;0) , chọn u = (1;1;0) r Ta có:     d ⊂ ( β ) u ⊥ nβ  - Lấy điểm M (−3;1; −7) thuộc cả hai mặt phẳng (α ) và ( β ) Qua M (−3;1; −7) r VTCP : u = (1;1;0)   - Đường thẳng d được cho bởi: d :   x = −3 + t  - Vậy phương trình tham số của d :  y = + t (t ∈ R)  z = −7  Cách (Tham số hóa một thành phần tọa độ)  M ∈ (α ) x − y − z − = ⇔ M ∈ (β ) 2 x − y − z − = - Ta có: M ( x; y; z ) ⇔   y + z = −3 + t y = 2+t ⇔  y + z = −1 + 2t  z = −5 - Đặt x = t , ta được:  x = t  - Vậy phương trình tham số của d:  y = + t (t ∈ R)  z = −5  Nhận xét : Cách giải gọn cách giải 1, cách giải học sinh rất khó chọn điểm qua của đường thẳng d mà thuộc cả hai mặt phẳng (α ), ( β ) * DẠNG 3.1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) , vuông góc với đường thẳng ∆1 và cắt đường thẳng ∆ a) Cách giải: - Gọi N = d ∩ ∆ , đó N ∈ ∆ nên suy tọa độ của điểm N theo tham số t uuuu r - Tính tọa độ MN theo tham số t ur uuuu r - Xem MN là VTCP của d và u1 là VTCP của ∆1 uuuu u r r uuuu r - Vì d ⊥ ∆1 nên MN u1 = Giải phương trình tìm t và suy được VTCP MN - Kết luận: Phương trình của đường thẳng d b) Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M (1; 2;3) và hai đường thẳng: ∆1 : x y − z +1 x − y −1 z +1 = = ; ∆2 : = = −1 1 Viết phương trình đường thẳng d qua M, vuông góc với ∆1 và cắt ∆ Giải: - Gọi N = d ∩ ∆ , đó N ∈ ∆ nên N = (2 + 2t;1 + t; −1 + t ) uuuu r Suy ra: MN = (1 + 2t; −1 + t; −4 + t ) là VTCP của đường thẳng d ur - Vectơ CP của đường thẳng ∆1 : u1 = (1; 2; −1) uuuu u r r - Vì d ⊥ ∆1 nên MN u1 = ⇔ + 2t + 2t − + − t = ⇔ t = −1 Qua M (1; 2;3) r uuuu r VTCP : u = MN = (−1; −2; −5)   - Khi đó, đường thẳng d được cho bởi: d :  - Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d : x −1 y − z − = = x −1 y − z − = = hay −1 −2 −5 * DẠNG 3.2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) , vuông góc và cắt đường thẳng ∆ a) Cách giải: - Gọi N là hình chiếu của M lên đường thẳng ∆ , đó đường thẳng d chính là đường thẳng qua M và N uuuu r - Tính tọa độ của điểm N và tọur độ MN theo tham số t a uuuu r - Xem MN là VTCP của d và u1 là VTCP của ∆1 uuuu u r r uuuu r - Vì d ⊥ ∆1 nên MN u1 = Giải phương trình tìm t và suy được VTCP MN - Kết luận: Phương trình của đường thẳng d b) Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M (−3;1;3) và đường thẳng: ∆: x y z +1 = = Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt và vuông góc ∆ Giải: - Gọi N là hình chiếu của M lên ∆ , đó đường thẳng d chính là đường thẳng nối từ hai điểm M và N - Vì N ∈ ∆ nên N = (t ; 2t; −1 + t ) uuuu r Suy ra: MN = (t + 3; 2t − 1; −4 + t ) là VTCP của đường thẳng d uu r - Vectơ CP của đường thẳng ∆ : u∆ = (1; 2;1) uuuu uu r r d ⊥ ∆ nên MN u∆ = ⇔ + t + 4t − − + t = ⇔ t = - Vì - Khi đó, đường thẳng d được cho bởi: Qua M (−3;1;3)  r uuuu −7 r r d : VTCP : u = MN = ( ;0; ), choïn u = (5;0; −7)   2  x = −3 + 5t  (t ∈ R ) - Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d là:  y =  z = − 7t  * DẠNG 4.1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) , cắt cả hai đường thẳng ∆1 và ∆ a) Cách giải: - Giả sử d cắt ∆1 và ∆ tại A và B, suy tọa độ của A theo tham số t và tọa độ của B theo s uuu r uuu r - Do M, A, B thẳng hàng nên tồn tại số k ≠ cho MA = k MB , giải hệ phương trình chứa ba ẩn s, t, k Qua M ( x0 ; y0 ; z0 )  r uuu r VTCP : u = MA  - Khi đó đường thẳng d được cho bởi: d :  - Kết luận: Phương trình của đường thẳng d b) Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M (1; −1;1) và hai đường  x = + 2t x + y −3 z  = = thẳng có phương trình: ∆1 :  y = t ∆ : −2 z = − t  Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt cả ∆1 và ∆ Giải: - Giả sử d ∩ ∆1 = A; d ∩ ∆ = B Khi đó A = (1 + 2t; t;3 − t ); B = ( −2 + s;3 − s; s) uuu r uuu r Suy ra: MA = (2t; t + 1; − t ); MB = (−3 + s; − s; −1 + s) uuu r uuu r - Do M, A, B thẳng hàng nên tồn tại số k ≠ cho MA = k MB , tức là: −3  ks =   2t = k (−3 + s ) 2t + 3k = ks  uuu r   t = ⇒ MA = (0;1; 2) t + = k (4 − s ) ⇔ t + − 4k + 2ks = ⇔   − t = k ( −1 + s ) 2 − t + k + ks =  k = −1    s =  Qua M (1; −1;1)  r uuu r - Khi đó, đường thẳng d được cho bởi: d :  VTCP : u = MA = (0;1; 2)  x =  - Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d là:  y = −1 + t (t ∈ R)  z = + 2t  * DẠNG 4.2: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P), cắt cả hai đường thẳng ∆1 và ∆ a) Cách giải: - Giả sử d cắt ∆1 và ∆ tại A và B, suy tọa độ của A theo tham số t và tọa độ của B theo s r uuu r - Tính AB , vectơ PT của (P): n = ( A; B; C ) 10 uuu r r uuu r r - Do d ⊥ ( P ) nên AB và n cùng phương hay tồn tại số k ≠ cho AB = k n , giải hệ phương trình chứa ba ẩn s, t, k Qua A  r r VTCP : u = n  - Khi đó đường thẳng d được cho bởi: d :  - Kết luận: Phương trình của đường thẳng d b) Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P) : x + y + z − = và hai đường thẳng có phương trình  x = −2 + t x −1 y +1 z  ∆1 : = = ; ∆ :  y = −1 −1  z = −t  Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt cả ∆1 và ∆ Giải: - Giả sử d ∩ ∆1 = A; d ∩ ∆ = B Khi đó A = (1 + s; −1 − s; s); B = (−2 + t; −1; −t ) uuu r Suy ra: AB = (−3 + t − 2s; s; −t − s ) r - VTPT của mặt phẳng (P): n = (1; 2;1) r uuu r r uuu r - Do d ⊥ ( P) nên AB và n cùng phương hay tồn tại số k ≠ cho AB = k n −3  s =  −3 + t − 2s = k  −7 −9   ⇔ t = ⇒ B = ( ; −1; )  s = 2k 8  −t − s = k   −3  k =  −7 −9  Qua B( ; −1; ) 8 - Khi đó, đường thẳng d được cho bởi: d :  r r VTCP : u = n = (1; 2;1)  −7  x = + t  - Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:  y = −1 + 2t (t ∈ R)  −9 z = +t  * DẠNG 4.3: Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng ∆1 và ∆ a) Cách giải: ur uu r - VTCP của ∆1 : u1 và VTCP của ∆ : u2 11 r ur r ur uu r u ⊥ u1 r  d ⊥ ∆1  ⇒  r uu ⇒ u = u1 , u2  r - Gọi u là VTCP của d, đó, ta có:    d ⊥ ∆ u ⊥ u2  - Giả sử d cắt ∆1 và ∆ tại A và B, suy tọa độ của A theo tham số t và tọa độ của uuutheo tham số s Br - Tính uuu AB r uuu r r r - Do AB và u cùng phương nên tồn tại số k ≠ cho AB = k u , giải hệ phương trình chứa ba ẩn s, t, k Qua A  r VTCP : u  - Khi đó đường thẳng d được cho bởi: d :  - Kết luận: Phương trình của đường thẳng d b) Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình x = t x y z  ∆1 : = = ; ∆ :  y = −1 + t −1  z = −2t  Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng ∆1 và ∆ Giải: ur uu r - VTCP của hai đường thẳng ∆1 và ∆ : u1 = (2; −1;1) ; u2 = (1;1; −2) r - Gọi u là VTCP của d, đó r ur r ur uu r u ⊥ u1  d ⊥ ∆1  ⇒  r uu ⇒ u = u1 , u2  = (1;5;3) r Ta có:    d ⊥ ∆ u ⊥ u2  - Giả sử d ∩ ∆1 = A; d ∩ ∆ = B Khi đó A = (2 s; − s; s); B = (t; −1 + t; −2t ) uuu r Suy ra: AB = (t − 2s; −1 + t + s; −2t − s) r uuu r r uuu r - Do AB và u cùng phương nên tồn tại số k ≠ cho AB = k u  s = t − s = k  −1   ⇒ A=( ; ; )  −1 + t + s = 5k ⇔ t = 7  −2t − s = 3k   −1  k =  −1  Qua A( ; ; ) 7 - Khi đó, đường thẳng d được cho bởi: d :  r VTCP : u = (1;5;3)  12  x = + t   - Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:  y = − + 5t    z = + 3t  (t ∈ R ) * DẠNG 4.4: Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng (P), vuông và cắt đường thẳng ∆ a) Cách giải: uu r r - VTCP của ∆ : u∆ và VTPT của (P): n r r r r uu r r  d ⊂ ( P) u ⊥ n  ⇒  r uu ⇒ u =  n, u∆  r - Gọi u là VTCP của d, đó:    d ⊥ ∆ u ⊥ u∆  - Tìm tọa độ giao điểm I của ∆ và mặt phẳng (P) Qua I  - Khi đó đường thẳng d được cho bởi: d :  r VTCP : u  - Kết luận: Phương trình của đường thẳng d b) Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x y z = = Viết phương trình đường thẳng d 2 là nằm mặt phẳng (P) đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng ∆ x + y − z + = và đường thẳng ∆ : Giải: uu r r - VTCP của ∆ : u∆ = (2; 2;1) và VTPT của (P): n = (1; 2; −1) r - Gọi u là VTCP của d r r r r uu r  d ⊂ ( P) u ⊥ n  ⇒  r uu ⇒ u =  n, u∆  = (4; −3; −2) r Ta có:    d ⊥ ∆ u ⊥ u∆  - Gọi I = ∆ ∩ ( P) , Khi đó: I ∈ ∆ nên I = (2t; 2t ; t ) Do I ∈ ( P) nên ta có: 2t + 4t − t + = ⇒ t = −1 , suy ra: I (−2; −2; −1) Qua I (−2; −2; −1)  r - Khi đó, đường thẳng d được cho bởi: d :  VTCP : u = (4; −3; −2)  x + y + z +1 = = - Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d là: −3 −2 * DẠNG 4.5: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M, cắt đường thẳng ∆ và song song với mặt phẳng (P) 13 a) Cách giải: r - Vectơ PT của mặt phẳng (P): n = - Gọi I uuu∆ ∩ d , đó I ∈ ∆ , suy tọa độ điểm I theo tham số t r - Tính MI uuu r r uuu r r - Vì d //( P) nên MI ⊥ n , tức là MI n = , giải phương trình tìm t Qua M  r uuu r VTCP : u = MI  - Khi đó đường thẳng d được cho bởi: d :  - Kết luận: Phương trình của đường thẳng d b) Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M (1; −2;3) , mặt phẳng x (P): x + y − z + = và đường thẳng ∆ : = y −1 z = Viết phương trình đường 2 thẳng d qua M , cắt đường thẳng ∆ và song song với mặt phẳng (P) Giải r - Vectơ pháp tuyến của (P): n = (2;1; −1) - Gọi I = ∆ ∩ d , đó I ∈ ∆ ⇒ I = (t;1 + 2t; 2t ) uuu r Suy ra: MI = (−1 + t ;3 + 2t ; −3 + 2t ) là VTCP của d uuu r r uuu r r - Vì d //( P) nên MI ⊥ n , tức là: MI n = ⇒ + 2t + + 2t + − 2t = ⇒ t = −2 - Khi đó, đường thẳng d được cho bởi: Qua M (1; −2;3)  r uuu r r d : VTCP : u = MI = (−3; −1; −7), choïn u = (3;1;7)  x −1 y + z − = = - Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d là: * DẠNG 5.1: Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) cho trước a) Cách giải: Cách 1: r - Vectơ PT của (P): n - Viết PT đường thẳng d qua M và vuông góc với (P) - Tìm tọa độ giao điểm H của d và mặt phẳng (P) - Khi đó H chính là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P) Cách 2: r - Vectơ PT của (P): n - Gọi H = ( x0 ; y0 ; z0 ) là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P) uuuu r - Tính : MH 14 uuuu r r -uuuu MH ⊥ ( P) nên MH và n cùng phương, tức là tồn tại số t ≠ cho Vì r r MH = t.n , suy tọa độ điểm H theo tham số t - Do H thuộc (P) nên tọa độ điểm H thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P), giải pt tìm tham số t - Kết luận tọa độ điểm H b) Ví dụ: Tìm tọa độ hình chiếu của M (1; −3; 2) lên mặt phẳng (P) có phương trình x + y − 3z − = Giải: Cách 1: r - Vectơ PT của (P): n = (1; 2; −3) - Gọi d là đường thẳng được tạo bởi:  Qua M (1; −3; 2) Qua M (1; −3; 2) r r d : ⇔ d : VTCP : u = n = (1; 2; −3) d ⊥ ( P )  x = 1+ t  Do đó, phương trình tham số của đường thẳng d là:  y = −3 + 2t  z = − 3t  - Gọi H = d ∩ ( P) , đó: H ∈ d ⇒ H (1 + t; −3 + 2t ; − 3t ) - Vì H ∈ ( P) nên ta có: + t − + 4t − + 9t − = ⇒ t = - Vậy tọa độ hình chiếu của M lên (P) là H = (2; −1; −1) Cách 2: r - Vectơ PT của (P): n = (1; 2; −3) - Gọi H = ( x0 ; y0 ; z0 ) là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P), uuuu r Suy ra: MH = ( x0 − 1; y0 + 3; z0 − 3) r uuuu r MH -rVì r ⊥ ( P) nên MH và n cùng phương, suy tồn tại số t ≠ uuuu cho MH = t.n ,  x0 − = t  x0 = + t   tức là:  y0 + = 2t ⇒  y0 = −3 + 2t  z − = −3t  z = − 3t   - Do H ∈ ( P) nên ta có: x0 + y0 − 3z0 − = ⇒ + t − + 4t − + 9t − = ⇒ t = - Vậy tọa độ hình chiếu của M lên (P) là H = (2; −1; −1) DẠNG 5.2: Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d cho trước a) Cách giải: Cách 1: 15 r - Vectơ CP của d: u - Viết PT mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d - Tìm tọa độ giao điểm H của d và mặt phẳng (P) - Khi đó H chính là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P) Cách 2: r - Vectơ CP của d: u - Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng d, đó H ∈ d , suy tọa độ điểm H theo t uuuu r - Tính : MH uuuu r r uuuu r r - Vì MH ⊥ d nên MH ⊥ u , tức là MH u = , giải PT suy tọa độ điểm H theo tham số t - Kết luận tọa độ điểm H b) Ví dụ: Tìm tọa độ hình chiếu của M (1; −3; 2) lên đường thẳng d có phương trình x y + z −1 = = Giải: Cách 1: r - Vectơ CP của d: u = (2;1;3) - Gọi (P) là mặt phẳng được tạo bởi:  Qua M (1; −3; 2) Qua M (1; −3; 2) r r ( P) :  ⇔ ( P) :  VTPT : n = u = (2;1;3) ( P ) ⊥ d  Do đó, phương trình mặt phẳng (P) là: 2( x − 1) + 1( y + 3) + 3( z − 2) = ⇔ x + y + z − = - Gọi H = d ∩ ( P) , đó: H ∈ d ⇒ H (2t ; −2 + t ;1 + 3t ) - Vì H ∈ ( P) nên ta có: 4t − + t + + 9t − = ⇒ t = −12 13 ; ) 7 - Vậy tọa độ hình chiếu của M lên d là H = ( ; Cách 2: r - Vectơ CP của d: u = (2;1;3) - Gọi H là hình chiếu của M lên đường uuuung d thẳ r - Khi đó H ∈ d ⇒ H = (2t ; −2 + t ;1 + 3t ) ⇒ MH = (−1 + 2t ;1 + t ; −1 + 3t ) uuuu r r - Vì MH ⊥ d nên MH ⊥ u , tức là uuuu r r MH u = ⇒ −2 + 4t + + t − + 9t = ⇒ t = 16 −12 13 ; ) 7 - Vậy H = ( ; * DẠNG 5.3: Cho đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P) Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng (P) a) Cách giải: - Viết PTMP (Q) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P) - Đường thẳng d’ là giao tuyến của mặt phẳng (P) và (Q) - Viết phương trình đường thẳng d’ (Dạng 2) b) Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x + y + z − = và đường thẳng d : x −1 y + z − = = Viết phương trình đường thẳng d´ hình −2 chiếu vng góc của d lên mặt phẳng (P) Giải: Qua M (1; −3; 4)  r VTCP : u = (2;1; −2)  - Đường thẳng d được cho bởi:  uu r - VTPT của (P): nP = (1;1;1) - Gọi (Q) là mặt phẳng được tạo bởi: Qua M (1; −3; 4) (Q) ⊃ d  uu r rr (Q ) :  ⇒ (Q) :  VTPT : nQ = u , n  = (3; −4;1) (Q) ⊥ ( P )      Do đó, phương trình mặt phẳng (Q): 3x − y + z − 19 = - Đường thẳng d’ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)  M ∈ ( P) x + y + z −1 = ⇔  M ∈ (Q) 3 x − y + z − 19 = 23  x = − t x + y = 1− t   ⇔ - Đặt z = t , ta được:  3 x − y = 19 − t  y = −16 − t  7  23  x = − t  −16  − t (t ∈ R ) - Vậy phương trình tham số của d’ là:  y = 7  z = t   Ta có: M ∈ d ' ⇔  17 5.3 Bài tập tự luyện và nâng cao: Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d, biết đường thẳng d: 1) Đi qua hai điểm M (1; 2;3) và N (2;0; −2) 2) Đi qua điểm I (2;3; −1) và song song với đường thẳng x −1 y − z + = = −3 3) Đi qua điểm K (2;0; 2) và vuông góc với mặt phẳng ( P) : x − y − z + = ∆: Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d, biết đường thẳng d a) qua điểm A(1;1;1) và song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình sau: ( P) : x + y − z − = 0, (Q) : x + y − z + = b) qua điểm B(0; 2;1) và song song với mặt phẳng ( R) : x + y + z − = và vuông góc với đường thẳng ∆ : x −1 y −1 z − = = −2 c) qua điểm C (−3;1; −1) và vuông góc với hai đường thẳng d1 , d lần lượt có y −2 z −3 x −3 y − z = , d2 : = = 2 3 d) d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α ) và ( β ) lần lượt có phương trình sau: (α ) : x − y − z − = 0, ( β ) : x + y − z − = e) d nằm mặt phẳng ( P1 ) : x − y − z + = và vuông góc với đường x − y z −1 = = thẳng ∆ : 2 Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2;1) và hai đường x phương trình sau d1 : = thẳng x = t x −1 y z −  d1 : = = và d :  y = − 2t 2 z = − t  1) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt đường thẳng d1 và vuông góc với d 2) Viết phương trình đường thẳng d qua A, cắt và vuông với đường thẳng d Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;1) , hai đường thẳng x = 1+ t x −1 y −1 z  d1 :  y = − t ; d : = = và mặt phẳng (P): x − y − z − = z = t  1) Viết phương trình đường thẳng qua A, cắt cả hai đường thẳng d1 và d 2) Viết phương trình đường thẳng qua vuông góc với mặt phẳng (P), đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d 3) Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng (P) đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d1 18 4) Viết phương trình đường thẳng qua A cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P) 5) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2 Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; −2;1) , đường thẳng d và mặt phẳng (α ) lần lượt có phương trình: x−2 y z +3 = = và (α ) : x − y + z − = 1 1) Tìm tọa độ hình chiếu của A lên mặt phẳng (α ) Suy tọa độ điểm đối d: xứng của A qua mặt phẳng (P) 2) Tìm tọa độ hình chiếu của A lên đường thẳng d Suy tọa độ điểm đối xứng của A qua đường thẳng d 3) Tìm hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng (P) Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua A(1; 2; 2) , vuông góc với đường thẳng ∆ : x −1 y z + = = và cách điểm 2 B (2;0;3) một khoảng lớn nhất Bài : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x + y −1 z = = , điểm M (2;3;1) và mặt phẳng (P): x + y − z − = Gọi A là −3 giao điểm của d và (P) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt mặt phẳng (P) tại B và cắt đường thẳng d tại C cho tam giác ABC vuông tại C Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;1;0), B(0; 4;0), C (0; 2; −1) và đường thẳng ∆ có phương trình x −1 y +1 z − = = Viết phương trình đường thẳng d, biết đường thẳng d: 1) Đi qua A và cắt ∆ tại M cho AM = 21 2) Đi qua B và cắt ∆ cho diện tích tam giác BNC bằng 3) Vuông góc với mặt phẳng (ABC), d cắt ∆ tại D cho thê tích khối tứ 19 diện ABCD bằng Bài : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d, biết : x 1) d qua A(−1;0; 4) và cắt đường thẳng ∆1 : = với đường thẳng đó một góc 600 y +1 z − = , đồng thời tạo −1 x −1 y −1 z − = = , đồng thời 2 tạo với mặt phẳng (α ) : x + y − z + = một góc 300 2) d qua N (−3; −1;3) và cắt đường thẳng ∆ : 19 Bài 10 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:  x = −1 + t x = 1− s   ∆1 :  y = −2 + t (t ∈ R ) ; ∆ :  y = ( s ∈ R) z = z = 1+ s   1) Chứng tỏ hai đường thẳng cắt tại I 2) Viết phương trình đường thẳng d cắt ∆1 và ∆ lần lượt tại A và B cho tam giác IAB cân tại I và có diện tích bằng KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Để đánh giá hiệu quả của biện pháp này chúng khảo sát bằng đề kiểm tra 45 phút phần phương trình đường thẳng cho hai lớp 12/3 và 12/11 Đề kiểm tra 45 phút Câu (6,00 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(3; 2;1), B (2;1; −2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x − y − z − = 1) Viết phương trình tham số của đường thẳng d chứa AB 2) Tìm tọa độ hình chiếu của A lên mặt phẳng (P) 3) Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng (P) Câu (4,00 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình: d1 : x −1 y −1 z + = = ; 2 d2 : x −1 y − z = = −3 1) Chứng tỏ hai đường thẳng chéo 2) Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ, vuông góc với d1 và cắt d Kết quả kiểm tra cho thấy: Phương pháp Lớp Tổng số HS Điểm < Điểm 58 Điểm 910 20 Phương pháp cũ 23 47,9% 14,6% 35 10 6,3% 12/3 18 37,5% Phương pháp 12/11 48 72,9% 20,8% 48 Dựa vào kết kiểm tra đánh giá nhận thấy: - Học sinh điểm trung bình giảm xuống rõ rệt từ 37,5% xuống 6,3% - Học sinh điểm trung bình tăng 47,9 – 72,9% - học sinh giỏi tăng lên 14,6 – 20,8% Như qua thực nghiệm nhận thấy hiệu việc áp dụng phương pháp KẾT LUẬN: Bản thân chọn đề tài này nhằm phần giúp học sinh làm tốt các bài toán viết phương trình đường thẳng Có thể phương pháp này người mà cũ người khác, mong ủng hộ quý đồng nghiệp ĐỀ NGHỊ: Do phạm vi nghiên cứu còn hạn chế nên muốn đề nghị đề tài này được nhân rộng cho nhiều lớp khác thì hiệu quả của đề tài này đạt được cao 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO TT Tên tác giả Tên tài liệu tham khảo Nhà xuất Năm xuất Nguyễn Văn Dũng – Nguyễn Tất Thu 18 chủ đề Hình Học 12 ĐHQG Hà Nội Phan Huy Khải Bài tập Hình Học 12 Giáo Dục Việt Nam 2011 Trần Văn Hạo SGK Hình Học 12 Giáo Dục Việt Nam 2008 Báo toán học tuổi trẻ 2011 22 MỤC LỤC Trang Tên đề tài ………………………………………………………………… Đặt vấn đề ……………………………………………………………… Cơ sở lý luận ……………………………………………….…………… Cơ sở thực tiễn …………………………………………………………… Nội dung nghiên cứu ………………… ………………………………….2 5.1 Cơ sơ lý thuyết ………………………… ………………………2 5.2 Các dạng toán ……………… ………………………………… Dạng ………………………………………………………… Dạng ………………………………………………………… Dạng 3.1 …………………………………………………… …7 Dạng 3.2 …………………………………………………… …8 Dạng 4.1 ……………………………………… ……………8-9 Dạng 4.2 ……………………………………………………… Dạng 4.3 ………………………………… ……………10 -11 Dạng 4.4 ……………………………………… …………… 12 Dạng 4.5 ……………………………………… …………12-13 Dạng 5.1 …………………………………… ……………13-14 Dạng 5.2 ……………………………………… …………14-15 Dạng 5.3 ……………………………………… …………… 16 5.3 Bài tập tự luyện và nâng cao …………………………… …….17 Kết quả nghiên cứu ……………………………………………………….19 Kết luận ………………………………………………………… …… 20 Đề nghị …………………………………………………… ……………20 Tài liệu tham khảo ……………………………………………………… 21 10 Mục lục ………………………………………………………………….22 11 Phiếu đánh giá ... Viết phương trình đường thẳng d’ (Dạng 2) b) Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x + y + z − = và đường thẳng d : x −1 y + z − = = Viết phương trình. .. lại phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d qua điểm r M ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận vectơ chỉ phương. .. uuuu r - Vì d ⊥ ∆1 nên MN u1 = Giải phương trình tìm t và suy được VTCP MN - Kết luận: Phương trình của đường thẳng d b) Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm