Nguồn http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân Bài giảng số 09: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ. A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Tính chất 1: Giả sử hàm số ( ) y f x  là đơn điệu trên khoảng ( , ) a b và , ( , ) x y a b  thì ( ) ( ) f x f y x y    . Tính chất 2: Giả sử ( ) f x là hàm số đồng biến trên khoảng ( , ) a b và ( ) g x là hàm số nghịch biến trên khoảng ( , ) a b , khi đó nếu phương trình ( ) ( ) f x g x  có nghiệm trên khoảng ( , ) a b thì nghiệm đó là duy nhất. Nhận xét: Nếu ( ) f x là hàm số đơn điệu trên khoảng ( , ) a b thì phương trình ( ) f x c  nếu có nghiệm trên khoảng ( , ) a b thì nghiệm đó là duy nhất. Tính chất 3: Cho hàm số ( ) y f x  trên khoảng ( , ) a b . Nếu phương trình '( ) 0 f x  có 1 n  ( ) n N  nghiệm thuộc ( , ) a b thì phương trình ( ) 0 f x  có nhiều nhất n nghiệm thuộc ( , ) a b . B. CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1: Giải phương trình: 5 8 1 2 4 2 x x x      (1) Lời giải Điều kiện: 1. x  Xét hàm số ( ) 1 2 4 f x x x     trên  1; )   , ta có 1 1 '( ) 0 2 1 4 f x x x      . Vậy ( ) f x đồng biến trên miền xác định. Mặt khác xét hàm số 8 5 8 ( ) 2 2 x x g x     , ta có 8 '( ) 2 .ln 2 0 x g x     nên ( ) g x nghịch biến trên miền xác định. Theo tính chất 2, phương trình (1) có nghiệm duy nhất 5 x  , thật vậy: Nếu 1 5 x   thì ( ) (5) (5) ( ) f x f g g x    nên phương trình (1) vô nghiệm. Nếu 5 x  thì ( ) (5) (5) ( ) f x f g g x    nên phương trình (1) vô nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 2 2 2 1 log 3 2 2 4 3 x x x x x x        (2) Lời giải Điều kiện: x R   . Phương trình (2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 log ( 1) log (2 4 3) (2 4 3) ( 1) log ( 1) ( 1) log (2 4 3) (2 4 3) x x x x x x x x x x x x x x x x                         Xét hàm số 2 ( ) log ( 0) f t t t t    , khi đó phương trình (2) có dạng 2 2 ( 1) (2 4 3) f x x f x x      (2’) Nguồn http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân Vì 1 '( ) 1 0 ln 2 f t t    nên ( ) f t là hàm đồng biến trên (0, ).   Vậy theo tính chất 1, phương trình (2’) 2 2 1 2 4 3 x x x x       2 1 3 2 0 2 x x x x           . Ví dụ 3*: Giải phương trình: 3 5 6 2 x x x    (3) Lời giải Phương trình (3) 3 5 6 2 0. x x x      Xét hàm số ( ) 3 5 6 2 x x f x x     , ta có '( ) 3 ln3 5 ln5 6 x x f x    . Dễ thấy '( ) f x là hàm số đồng biến và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện (0) (1) 0 f f  nên phương trình '( ) 0 f x  có nghiệm duy nhất thuộc khoảng (0,1). Vậy theo tính chất 3 phương trình (3) có nhiều nhất hai nghiệm. Dễ thấy 0, 1 x x   là nghiệm của (3). Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 2( 1) (4) 1 (5) x y x y x y e e x e x y               Lời giải Lấy phương trình (4) –(5) theo vế ta có hệ phương trình ban đầu tương đương với 1 (4') 1 (5') x y x y e x y e x y              Lấy (4’)-(5’) theo vế, ta được ( ) ( ). x y x y e x y e x y        (6) Xét hàm số ( ) ( ) t f t e t t R    , ta có '( ) 1 0 t f t e    nên ( ) f t là hàm số đồng biến trên R Theo tính chất 1, phương trình (6) ( ) ( ) 0. f x y f x y x y x y y           Với 0 y  thay vào (4), ta có : 1 0 x e x    (7) Xét hàm số ( ) 1, x g x e x    với '( ) 1 x g x e   thì '( ) 0 0. g x x    Lập bảng biến thiên Nguồn http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân x  0  '( ) g x - 0 + ( ) g x Từ bảng biến thiên, ta suy ra ( ) 0 g x  , dấu  xảy ra khi và chỉ khi 0. x  Vậy nghiệm của hệ phương trình là (0; 0) . Ví dụ 5: Giải hệ phương trình 1 2 2 (1 4 )5 1 3 (6) 1 3 1 2 (7) x y x y x y x y y y x                  Lời giải Biến đổi phương trình (6) về dạng: 1 4 5[ ] 1 9.3 5 5 x y x y x y             Đặt t x y   , khi đó phương trình trên có dạng: 1 4 5 1 9.3 5 5 t t t                        Dễ thấy vế trái l à hàm số nghịch biến và vế phải là hàm số đồng biến nên theo tính chất 2 phương trình có nghiệm duy nhất 0 t  . Vậy y x  , thay vào (7), ta có: 2 1 3 1 2 x x x x x     Chia cả hai vế cho x ta được 1 1 3 2 0 x x x x      (8) Đặt 1 ( 0) u x u x    , thì 2 1 (8) 3 2 0 2 u u u u           Với 1 5 2 1 1 5 2 x u x             . Với 2 5 2 2 5 x u x           Vậy hệ có 4 nghiệm 1 5 1 5 1 5 1 5 ( ; ), ( ; ), (2 5; 2 5), (2 5; 2 5) 2 2 2 2           0 Nguồn http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: 2 3 2 3 log (1 3cos ) log (sin ) 2 (8) log (1 3sin ) log (cos ) 2 (9) x y y x          Lời giải Điều kiện: cos 0 sin 0 x y      Lấy phương trình (8) trừ (9) theo vế, ta có: 2 3 2 3 log (1 3cos ) log cos log (1 3sin ) log sin x x y y      (10) Xét hàm số 3 3 ( ) log (1 3 ) log ( 0) f t t t t     , ta có: ' 3 1 ( ) 0 ( 0) (1 3 )ln2 ln3 f t t t t       Vậy theo tính chất 1, phương trình (cos ) (sin ) cos sin f x f y x y    . Thay sin cos y x  vào (8), ta có: 2 3 2 3 log (1 3cos ) log (cos ) 2 log (1 3cos ) log (9cos ) (11) x x x x       . Đặt 2 3 3cos 2 1 3cos 2 1 log (1 3cos ) log 9cos 9cos 3 t t t x x x t x t x                   . Vậy phương trình (11) tương đương với 1 3(2 1) 3 3 2 1 0 t t t t       (12) Xét 1 ( ) 3 2 1 t t g t     , ta có ' 1 ( ) 3 ln3 2 ln2. t t g t    Khi đó 3 2 3 3ln 2 3ln 2 '( ) 0 log ( ) 2 ln3 ln3 t g t t            . Theo tính chất 3, phương trình (12) có nhiều nhất hai nghiệm. Dễ thấy (12) có hai nghiệm là 1 2 t t      . +) Nếu 1 t  thì 2 1 log (1 3cos ) 1 cos 3 x x     , từ đó 1 sin 3 y  . Trong trường hợp này hệ có 4 nghiệm 1 1 1 1 (arccos 2 , arcsin 2 ), (arccos 2 , arcsin 2 ) ( , 3 3 3 3 k m k m k m             ) 1 1 1 1 ( arccos 2 , arcsin 2 ), ( arccos 2 , arcsin 2 ) ( , ) 3 3 3 3 k m k m m k               +) Nếu 2 t  thì 2 log (1 3cos ) 2 cos 1, x x     từ đó sin 1 y  . Trong trường hợp này hệ có nghiệm ( 2 , 2 ) ( , ). 2 k m k m       Nguồn http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Giải các phương trình sau a) 04x3 x  Đs: 1. x  b) 3 3 log log 4 2 2 x x x   , Đs: 1, 3. x x   c) 2 1 2 2 2 ( 1) x x x x      Đs: 1. x  d) 0)21(2x)23(x xx2  Đs: 0; 2 x x   Bài 2: Giải các phương trình sau e) 2 5 log log (2 1) 2 x x    Đs: 2. x  f) 7 3 log log ( 2). x x   Đs: 49 x  g) 2 3 3 ( 2)log ( 1) 4( 1)log ( 1) 16 0. x x x x        Đs: 80 2; 81 x x    h) 2 2 1 5 1 10 1 6 x x x x x          Đs: 1. x  i) 2 1 1 1 1 3 2 1 1 ln(1 ) ln(1 ) 1 . x x x x x x x        Đs: 1 x  Bài 3: Giải các hệ phương trình sau: a) sin sin cos2 3sin 1 0 x y x y x y          Đs: ( 2 , 2 ) 6 6 k k       , 5 5 ( 2 , 2 ) 6 6 k k       b) 2 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 1 y x x x x y y y                  Đs: (1,1) c) 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 1 3 2 1 0 x y y x x x y y                 Đs: (1, 2), (1, 0), ( 1, 2), ( 1, 0).   d) 2 2 2 (4 1) ( 3) 5 2 0 ( , ) 4 2 3 4 7 x x y y x y R x y x                . Đs: 1 ( ; 2) 2 Bài 4: Giải các hệ phương trình sau: a) 2 2 1 2 2 x y x x y y x x y              Đs: ( 1, 1), (1, 0)   Nguồn http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân b)     2 2 ln 1 ln 1 . 2 5 0 x y x y x xy y              Đs:   0;0 . c) 1 ln ln . 2 .3 36 x x y y x y x y            Đs: (1,1) d) 3 2 2 . log log 4 10 2 x y e e x y x y           Đs:   2;2 . e) 3 2 3 2 3 2 3 5 1 4 3 5 1 4 . 3 5 1 4 x x x y y y y z z z z x                  Đs:     1;1;1 , 1 2;1 2;1 2 .    . ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ. A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Tính chất 1: Giả sử hàm số ( ) y f x  là đơn điệu trên khoảng ( , ) a b và , ( , ) x y a b  . của (3). Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 2( 1) (4) 1 (5) x y x y x y e e x e x y               Lời giải Lấy phương trình (4) –(5) theo vế ta có hệ phương trình ban đầu tương. theo tính chất 1, phương trình (2’) 2 2 1 2 4 3 x x x x       2 1 3 2 0 2 x x x x           . Ví dụ 3*: Giải phương trình: 3 5 6 2 x x x    (3) Lời giải Phương trình