Phương pháp tích phân từng phần trong các bài toán ôn thi đại học

12 351 0
Phương pháp tích phân từng phần trong các bài toán ôn thi đại học

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 04: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN A. PHƯƠNG PHÁP: Ta có công thức tính tích phân từng phần: b b b a a a udv uv vdu     . Dưới đây là phương pháp giải một số dạng cụ thể: Loại 1.  ( )sin ( ) ( cos ) ( )cos x '( ).(cos ) b b b b a a a a u dv f x xdx f x d x f x f x x dx         Loại 2.  ( )cos ( ) (sin ) ( )sinx '( ).(sin ) b b b b a a a a u dv f x xdx f x d x f x f x x dx        Loại 3.   ( ) ( ) ( ) ( ) '( ). b b b b x x x x a a a a u dv f x e dx f x d e f x e f x e dx       Loại 4.  2 1 ( ) ( ) (tan) ( )tan '( ).tan cos b b b b a a a a u dv f x dx f x d f x f x dx x        Loại 5.  2 1 ( ) ( ) ( cot) ( )cot '( ).cot sin b b b b a a a a u dv f x dx f x d f x f x dx x          Loại 6.  1 ( )ln ln ( ( )) ( )ln ( ). b b b b a u a a a dv f x xdx xd F x F x x F x dx x        Loại 7:  1 1 cos cos ( ) cos sin b b b b x x x x a u a a a dv b e bxdx bx d e e bx e bxdx               Loại 8:  1 1 sin sin ( ) sin os b b b b x x x x a u a a a dv b e bxdx bxd e e bx e c bxdx               Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: a. I = 4 2 0 (2cos 1) x x dx    b. I =   2 2 0 1 sin x xdx    http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà c. I = xdx3sin)x2( 6 0    = 9 5 d. I = dx x x  3 4 2 cos   e. I = 4 0 xdx 1 cos2x    Bài giải: a. I = 4 0 cos2 x xdx   Đặt 1 cos2 sin 2 2 du dx u x dv xdx v x              4 4 4 0 0 0 1 1 1 1 2 sin 2 sin 2 2 sin 2 cos2 2 4 2 4 8 I x x xd x x x x                   b. I = 2 2 0 ( 1)sin x xdx    Đặt 2 2 1 cos sin du xdx u x v x dv xdx              2 2 2 2 0 0 0 ( 1)cos 2 cos 1 2 cos I x x x xdx x xdx             (1) Xét tích phân J = 2 0 cos x xdx   , đặt cos sin u x du dx dv xdx v x            2 2 2 0 0 0 sin sin cos 1 2 2 J x x xdx x              (2) Thay (2) vào (1) ta được I = 1 + 2( 1 2   ) = 1   c. I = 6 0 (2 )sin3 x xdx    Đặt 2 1 sin3 cos3 3 du dx u x dv xdx v x                 http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 6 6 6 0 0 0 1 1 1 1 5 (2 )cos3 cos3 (2 )cos3 sin3 3 3 3 9 9 I x x xdx x x x                     d. I = 3 2 4 cos x dx x    Đặt 2 1 tanx cos u x du dx v dv dx x              3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 sinx (cos ) tan tanx tan tan cos cos d x I x x dx x x dx x x x x                         3 4 3 tan ln cos ln 2 3 4 x x x          e. I = 4 0 1 cos2 xdx x    4 2 0 2cos xdx x    4 2 0 1 2 cos xdx x    Đặt 2 tanx os u x du dx dx v dv c x              Theo câu d.   4 0 1 1 2 tan ln cos ln 2 8 2 2 I x x x        Chú ý: Với tích phân dạng ( )sin b a I P x xdx    ( hoặc ( )cos b a I P x xdx    ), trong đó P là một đa thức   , R x R     . Khi sử dụng tích phân từng phần ta đặt: ( ) sin u P x dv xdx       ( hoặc ( ) cos u P x dv xdx       ) Ví dụ 2: Tính các tích phân sau: a. I = 1 0 x xe dx  c. I =   1 2 x 0 x 2x e dx    http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà b. I =   1 2 2 0 1 x x e dx   d. I = dxe)1x( 1 0 x22   Bài giải: a. I = 1 0 x xe dx  Đặt x x u x du dx dv e dx v e            1 1 1 0 0 0 ( 1) 1 x x x I xe e dx e x        b. I =   1 2 2 0 1 x x e dx   Đặt 2 2 2 2( 1) ( 1) 1 2 x x du x dx u x v e dv e dx                  1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 ( 1) ( 1) 2 ( 1) 2 2 x x x I e x x e dx e x e dx            (1) Xét tich phân J = 1 2 0 ( 1) x x e dx   Đặt 2 2 1 1 2 x x du dx u x v e dv e dx               1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 3 1 ( 1) ( 1) 2 2 2 4 4 x x x x e J e x e dx e x e                 (2) Thay (2) vào (1) được I = 2 5 1 4 e  c. I = 1 2 0 ( 2 ) x x x e dx    Đặt 2 2( 1) 2 x x du x dx u x x v e dv e dx                   http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 1 1 1 2 0 0 0 3 ( 2 ) 2 ( 1) 2 ( 1) x x x I x x e x e dx x e dx e                Xét J = 1 0 ( 1) x x e dx    Đặt 1 x x u x du dx dv e dx v e                1 1 1 0 0 0 2 ( 1) ( 2 ) 1 x x x J x e e dx x e e               7 2I e    d. I = 1 2 2 0 ( 1) x x e dx   Đặt 2 2 2 2 1 1 2 x x du xdx u x v e dv e dx                 1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 ( 1) 2 2 x x x I x e xe dx e xe dx          Xét J = 1 2 0 x xe dx  Đặt 2 2 1 2 x x du dx u x v e dv e dx              1 2 1 1 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 ( ) 1 2 2 2 2 x x x x e J xe e dx xe e         2 3 3 2 e I    Chú ý: Với tích phân dạng ( ) b x a I P x e dx    , trong đó P là một đa thức   , R x R     . Khi sử dụng tích phân từng phần ta đặt: ( ) x u P x dv e dx       Ví dụ 3: Tính các tích phân sau: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà a. xdxcose 2 0 x   = 2 1e 2   b. I = 2 2 0 sin x e xdx   c. I = 2 2 0 sin3 x e xdx   Bài giải: a. I = 2 0 cos x e xdx   Đặt cos sinx x x u x du dx dv e dx v e             1 1 2 0 0 0 cos sin 1 sin x x x I e x e xdx e xdx          (1) Xét J = 1 0 sin x e xdx  Đặt sin cos x x u x du xdx dv e dx v e            1 2 2 0 0 sin cos x x J e x e xdx e I         (2) Thay (2) vào (1) được I = -1 + 2 e I   2 1 2 e I      b. I = 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 sin (1 cos2 ) cos2 2 2 x x x x e xdx e x dx e dx e xdx                   (1) Xét 2 1 0 x I e dx    = 2 2 0 1 1 2 2 2 x e e     (2) Xét 2 2 0 cos2 x I e xdx    Đặt 2 2 2sin 2 cos2 1 2 x x du xdx u x v e dv e dx               2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 cos2 sin 2 sin 2 2 2 2 x x x e I e x e xdx e xdx             (3) Xét J = 2 0 sin 2 x e xdx   http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Đặt 2 2 2cos2 sin 2 1 2 x x du xdx u x v e dv e dx              2 2 2 0 0 1 sin 2 cos2 2 x x J e x e xdx I         (4) Thay (4) vào (3) 2 2 1 4 e I     (5) Thay (2) và (5) vào (1)   2 1 1 8 I e     c. I = 2 2 0 sin3 x e xdx   Đặt 2 2 3cos3 sin3 1 2 x x du xdx u x v e dv e dx              2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 3 1 3 sin3 cos3 cos3 2 2 2 2 x x x I e x e xdx e e xdx             (1) Xét J = 2 2 0 cos3 x e xdx   Đặt 2 2 3sin3 cos3 1 2 x x du xdx u x v e dv e dx               2 2 2 2 0 0 1 3 1 3 cos3 cos3 2 2 2 2 x x J e x e xdx I          (2) Thay (2) vào (1) được I = 3 2 13 e   Chú ý: 1) Với tích phân dạng I = x cos b a e bxdx   ( hoặc I = x sin b a e bxdx   ), trong đó , 0 a b  . Khi sử dụng tích phân từng phần ta đặt: cos x u bx dv e dx       ( hoăc sin x u bx dv e dx       ) 2) Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các tích phân dạng 2 sin b x a J e xdx    hoặc ( 2 cos b x a J e xdx    ) http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Ví dụ 4: Tính các tích phân sau: a. I =   1 2 0 ln 1 x x dx   c. I = 2 1 ( .ln ) e x x dx  b. I = 2 0 cos .ln(1 cos ) x x dx    d. dx x x  3 6 2 cos )ln(sin   Bài giải: a. I = 1 2 0 ln( 1) x x dx   Đặt 2 2 2 2 ln( 1) 1 1 2 x du dx u x x dv xdx v x                  1 1 1 2 3 2 2 2 0 0 0 1 ln( 1) ln2 ( ) 2 1 2 1 x x x I x dx x dx x x            = 1 2 2 0 1 1 1 1 ln2 ln(1 ) ln 2 2 2 2 2 x x            b. I = 2 0 cos ln(1 cos ) x x dx    Đặt sin ln(1 cos ) 1 cos cos sinx x u x du dx x dv xdx v                 2 2 2 2 2 0 0 0 0 sin sinx ln(1 cos ) (1 cos ) ( sinx) 1 1 cos 2 x I x dx x x x                   c. I = 2 1 ( ln ) e x x dx  Đặt 2 2 3 ln ln 1 3 x du dx u x x dv x dx v x                  http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 ln ln ln 3 3 3 3 e e e x e I x x xdx x xdx        (1) Xét J = 2 1 ln e x xdx  Đặt 2 3 1 ln 1 3 du dx u x x dv x dx v x                3 3 3 3 2 1 1 1 1 2 1 ln ln 3 3 3 9 9 e e e x x x e I x x dx x               (2) Thay (2) vào (1) được I = 3 7 1 27 e  d. I =   3 2 6 ln sinx cos dx x    Đặt 2 ln(sin ) cot 1 t anx cos u x du dx v dv dx x                3 3 3 6 6 6 tanln(sin ) tan ln(sinx)-x I x dx            3 1 1 3ln ln 2 3 2 6 3        6 4 3 ln3 3   Ví dụ 5: Tính các tích phân sau a. I = 2 2 1 ln(1 ) x dx x   b. I = 1 9 3 2 5 0 1 5 sin (2 1) 4 1 x x dx x x            Bài giải: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà a. Đặt 2 1 ln(1 ) 1 1 1 u x du dx x dv dx v x x                     2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ln(1 ) ln3 ln 2 ( 1) 2 1 I x dx dx x x x x x                       2 1 1 3 ln3 ln 2 ln ln 1 ln3 3ln2 2 2 x x         b. I = 1 1 1 9 9 9 3 2 5 0 0 0 5 sin (2 1) 4 1 x xdx dx dx x x        Xét 1 9 3 1 0 5 x I dx   1 1 3 3 9 0 5 5 1 3ln5 3ln5 x    Xét 1 9 2 2 0 sin (2 1) xdx I x    Đặt 2 1 1 cot(2 1) sin (2 1) 2 u x du dx dv dx v x x                   1 1 9 9 2 0 0 1 cot(2 1) cot(2 1) 2 2 x I x x dx        = 1 9 0 1 cot(2 1) ln sin(2 1) 2 4 x x x           11 sin 1 11 1 9 cot ln 18 9 4 sin1    Xét 1 1 1 1 4 9 9 9 5 5 3 5 0 0 0 5 5 (4 1) (4 1) 16 36 4 1 dx I x dx x x           Vậy 1 2 3 I I I I     1 3 5 1 3ln5  11 sin 1 11 1 5 9 cot ln 18 9 4 sin1 36    Chú ý: Với những dạng không mẫu mực. Khi đó để sử dụng tích phân từng phần, ta cần tuân theo 2 nguyên tắc: [...]...http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 1) Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng b 2) Tích phân  vdu được xác định một cách dễ dàng hơn so với I a B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính các tích phân sau:  2 a d)  x sin xdx  3 g) 2  4 2 e x 2 x h) e dx  0 1 ln x x dx 2 2 i)  ln xdx k)...  4 3  ln 36 2 2 5 ln 5  2 ln 2  3 k) 2 Bài 2: Tính các tích phân sau  2e 3 1 d) 9 4 c) 2 2e  5 g) e   2 e) 24 ln 2  h) 4  2 c)  e 2 x cos 3 xdx b)  ( 2 x  1) ln xdx 0 0 1 0  x e 2x 2  3 1 ĐS: a)   1  2 2 x 1 e)  ln xdx x  x  1 dx f) 1 2 c)  3e   2 13 d) e) 2 Bài 3:* Tính các tích phân sau 2 4 2 a)  x  1dx 0 b)  sin x dx 0 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com... 1)dx 0 0 1 5 1 d)  xe 3x dx c)  ( x  1) cosxdx  x ln xdx 0 e)  2 e e 3 4 f) 1 1 e 2    2 http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 2 2 2 c)  ln( 1  x  x )dx d)  cos(ln x )dx 0 ĐS: a) 1 1 2  2  ln   2 1 b) 2 c) 2 ln( 5  2)  5  1 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà d) sin(ln 2)  cos(ln 2)  . Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 04: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN. ý: Với những dạng không mẫu mực. Khi đó để sử dụng tích phân từng phần, ta cần tuân theo 2 nguyên tắc: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung. dx       ) 2) Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các tích phân dạng 2 sin b x a J e xdx    hoặc ( 2 cos b x a J e xdx    ) http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013

Ngày đăng: 03/08/2015, 20:16

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan