http://baigiangtoanhoc.com Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục Bài giảng số 4: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số. Bài toán: Cho đồ thị     : C y f x  và điểm     , o o o M x y C  . Viết phương trình tiếp tuyến của tại   , . o o o M x y Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến của   C tại   , o o o M x y có dạng     0 ' o o y y f x x x    Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước. Bài toán: Cho đồ thị     : C y f x  và một số k   .Viết phương trình tiếp tuyến của   C có hệ số góc là k . Phương pháp: + Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với     : C y f x  tại điểm có hoành độ   ' i i i x f x k x    là nghiệm của phương trình   ' . f x k  + Giải phương trình   ' , 1;2 i f x k x x i    + Phương trình tiếp tuyến tại i x là   i i y k x x y    * Các dạng biểu diễn của hệ số góc k + Dạng trực tiếp . k   + Tiếp tuyến tạo với chiều dương O x góc tan k     + Tiếp tuyến song song với đường thẳng   : a . d y x b k a     + Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng   : a 1, 0. d y x b ka a       + Tiếp tuyến tạo với đường thẳng   : a d y x b   một góc tan . 1 k a ka       Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước. Bài toán: Cho đồ thị     : C y f x  và điểm   , A a b . Viết phương trình tiếp tuyến của   C đi qua . A Phương pháp: Cách 1: + Giả sử đường thẳng   d đi qua   , A a b tiếp xúc với     : C y f x  tại điểm có hoành độ i x  phương trình đường thẳng   d có dạng       ' i i i y f x x x f x    + Do             , ' * i i i A a b d b f x a x f x     + Giải phương trình   * . i x  + Phương trình tiếp tuyến tại i x là       ' i i i y f x x x f x    Cách 2: + Đường thẳng   d đi qua   , A a b với hệ số góc k có phương trình là   y k x a b    . http://baigiangtoanhoc.com Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục + Đường thẳng   d tiếp xúc với đồ thị     :C y f x   hệ phương trình       ' f x k x a b f x k          có nghiệm         ' * f x f x x a b    + Giải phương trình   * , 1;2 i x i  + Phương trình tiếp tuyến tại i x là       ' i i i y f x x x f x    . B. CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1: Cho hàm số   3 2 3 4 . y x x C    Gọi   d là đường thẳng đi qua điểm   2;0 A có hệ số góc . k Tìm k để   d cắt   C tại ba điểm phân biệt , , A M N sao cho hai tiếp tuyến của   C tại M và N vuông góc với nhau. Lời giải: Phương trình đường thẳng   d đi qua   2;0 A có dạng   2 y k x   . Hoành độ các điểm , , A M N là nghiệm của phương trình         3 2 2 2 2 3 4 2 2 2 0 2 0 x x x k x x x x k f x x x k                       Phương trình có ba nghiệm phân biệt   0 f x   có hai nghiệm phân biệt 2. x    0 9 0. 2 0 4 k f              Theo định lí Viet ta có 1 . 2 M N M N x x x x k         Tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau     ' . ' 1 M N y x y x        2 2 2 3 2 2 3 6 . 3 6 1 9 18 1 0 3 M M N N x x x x k k k              Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số     4 2 : 1. C y f x x x     Tìm các điểm A Oy  kẻ được bà tiếp tuyến tới đồ thị   . C Lời giải: Lấy bất kì   0; A a Oy  . Đường thẳng   d đi qua A có hệ số góc k có phương trình . y kx a   Đường thẳng   d tiếp xúc với đồ thị         * ' f x kx a C f x k          có nghiệm. * Điêu kiện cần Ta có       , f x f x x f x       là hàm chẵn  đồ thị   C nhận Oy làm trục đối xứng. http://baigiangtoanhoc.com Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục Do A Oy  nên để từ A kẻ được ba tiếp tuyến tới   C thì điều kiện cần là hệ phương trình   * có nghiệm 0. k  Thế 0 k  và   * ta được 4 2 2 3 0; 1 1 1 3 ; 4 2 0 2 4 x a x x a x a x x                    * Điều kiện đủ + Nếu 1 a  thì     4 2 3 4 2 3 3 1 4 2 1 1 1 * 4 2 4 2 x x x x x x x kx x x k x x k                              2 2 2 2 0; 0 0; 0 3 1 0 1 2 ; 1 2 ; 3 3 3 2 2 1 3 3 1 2 ; 3 3 3 x k x k x x x k x x k k x x x k                                       Vậy từ   0;1 A kẻ được ba tiếp tuyến tới   . C + Nếu 3 4 a  thì     4 2 4 2 3 3 3 3 3 1 1 4 2 * 4 4 4 2 4 2 x x kx x x x x x x x k x x k                              4 2 2 2 2 2 1 1 1 3 0 4 2 2 2 2 1 2 2 1 0 x x x x k x x k x x k                             Vậy từ 3 0; 4 A       kẻ được một tiếp tuyến tới   . C Vậy điểm   0;1 A thỏa mãn điều kiện bài toán. Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 , 2 3 x y x    biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm , A B phân biệt và tam giác OAB cân tại . O Lời giải: Ta có   2 1 ' 2 3 y x    Do tam giác OAB vuông cân nên tiếp tuyến phải có hệ số góc 1. k   Gọi tọa độ tiếp điểm là   , o o x y khi đó     2 1 ' 1 1 2 3 o o y x x        http://baigiangtoanhoc.com Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục Do ' 0 y  nên   2 1 1 1 2 2 3 o o o x x x             + Với 1 1 o o x y      phương trình tiếp tuyến là   1 1 y x y x        : loại vì tiếp tuyến này đi qua gốc tọa độ nên không tạo ra tam giác . OAB + Với 2 0 o o x y      phương trình tiếp tuyến là   2 0 2. y x y x         Ví dụ 4: Cho hàm số     1 : 1 . 1 C f x x x     Tìm những điểm trên đồ thị   C có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. Lời giải: Ta có     2 1 ' 1 1 f x x    + Tiệm cận đứng 1 x  vì   1 lim . x f x    + Tiệm cận xiên 1 y x   vì     lim 1 0. x f x x     + Tọa độ giao điểm I của hai tiệm cận là   1;2 . I Giả sử       , o o M x f x C  với 1, o x  khi đó phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:              2 2 2 2 : ' : 1 1 o o o o o o o o o x x x d y f x x x f x d y x x x x           Tọa độ giao điểm A của tiếp tuyến   d và tiệm cận đứng là nghiệm của hệ     2 2 2 1 1 2 2 1; 2 1 1 1 1 o o o o o o o o o o x x x x x x x y x x y x x x x                               Tọa độ giao điểm B của tiếp tuyến   d và tiệm cận ngang là nghiệm của hệ       2 2 2 1 2 1 2 2 1;2 2 1 1 o o o o o o o o o o y x x x x x x x x y x x y x x x                        Ta có 2 1 2 1 1 o A I o o x AI y y x x                  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 1 2 2 1 B I B I o o o o BI x x y y x x x BI x              2 . .2 2 1 4 2 1 o o AI BI x x     2 2 2 2 2 2 . . os 2 . 4 AB AI BI AI BI c AI BI AI BI        http://baigiangtoanhoc.com Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục Chu vi ABI  cho bởi 2 2 2 . ABI C AI BI AB AI BI AI BI AI BI           4 . 2 . 2 . 4 2 2 2 2 1 AI BI AI BI AI BI        Suy ra   4 min 4 2 2 2 2 1 ABI C    , đạt được khi AI BI  4 2 1 2 2 1 1 1 2 o o o x x x        Vậy tọa độ điểm M cần tìm là 4 4 4 1 1 1 ;2 2 2 2 M          Ví dụ 5: Cho hàm số 2 (C) 1 x y x    . Cho điểm (0; ) A a . Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía của trục hoành. Lời giải Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến đi qua A, khi đó phương trình tiếp tuyến qua A có dạng y kx a   (d). Gọi 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 ( , ), ( , ) x x M x N x x x     là hai tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ A thỏa mãn yêu cầu bài toán. Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) thỏa mãn điều kiện bài ra thì hệ phương trình sau: 2 2 1 1 5 1 = kx+a (5') ( '') ( ) x x k x             Phải có hai nghiệm sao cho 1 2 1 2 2 2 0 1 1 ( ) ( ) . (*) ( ) ( ) x x x x      Thay k từ (5’’) vào (5’), ta có phương trình 2 1 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) (**) a x a x a      Để (**) có hai nghiệm phân biệt thì 1 1 0 2 a a a             (6) Vì 1 2 , x x là nghiệm của (**), nên áp dụng viet, ta có: 1 2 1 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) a x x a a x x a                Khi đó đẳng thức (*) tương đương với 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 0 2 0 2 1              ( ) x x x x a a x x x x (7) http://baigiangtoanhoc.com Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục Kết hợp (6) và (7) thì a < -2. C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số 3 2 1 4 3 2 . 3 3 y x mx x     Tìm m để tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng 1 1. 3 y x   Đáp sô: 2 3 m   hoặc 2 3 m  Bài 2: Cho hàm số 3 2 3 1. y x x mx     Xác định m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng 1 y  tại ba điểm phân biệt   0;1 , , C D E sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại D và E vuông góc với nhau. Đáp số: 9 65 8 m   Bài 3: Cho hàm số 3 2 1 1 . 3 2 3 m y x x    Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng 1  . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M song song với đường thẳng 5 0. x y   Đáp số: 4 m  Bài 4: Cho hàm số 3 2 1 2 3 . 3 y x x x    Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn và chứng minh rằng tiếp tuyến đó có hệ số góc nhỏ nhất. Đáp số: 8 3 y x    Bài 5: Cho hàm số     3 1 1 . m y x m x C    Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của   m C với trục tung. Tìm m để tiếp tuyến nói trên cắt hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8. Đáp số: 9 4 3; 7 4 3. m m     Bài 6: Cho hàm số 4 2 2 1 y x mx m      có đồ thị là   m C . a. Chứng minh rằng   m C luôn đi qua hai điểm cố định A và . B b. Tìm m để hai tiếp tuyến tại , A B vuông góc với nhau. Đáp số: 3 5 ; . 4 4 m m   Bài 7: Tìm điểm A trên trục tung, sao cho qua A có thể kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị hàm số 4 2 1. y x x     Đáp số:   0; 1 . A  Bài 8: Cho hàm số 4 2 1. y x mx m     Gọi A là điểm cố định có hoành độ dương của đồ thị hàm số, tìm m để tiếp tuyến tại A song song với đường thẳng 2 . y x  Đáp số: 1. m   http://baigiangtoanhoc.com Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục Bài 9: Cho hàm số 2 3 . 1 x y x    Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 2007 0. x y    Đáp số: 3 y x    hoặc 1 y x    Bài 10: Cho hàm số . 1 x y x   Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến và hai đường tiệm cận tạo thành một tam giác cân. Đáp số: y x   hoặc 4 y x    Bài 11: Cho hàm số 2 . 2 3 x y x    Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt , A B và tam giác OAB cân tại . O Đáp số: 2 y x     Bài 12: Cho đồ thị hàm số 2 . 1 x y x   Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến của đồ thị tại M cắt Ox, Oy tại , A B và tam giác OAB có diện tích bằng 1 . 4 Đáp số:   1 2 1 ; 2 , 1;1 2 M M         Bài 13: Cho hàm số 1 . 1 x y x    Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm đó chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số. Đáp số:     0;1 , 0; 1. A A  Bài 14: Cho hàm số 2 1 . 2 x x y x     Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên. Đáp số: 2 2 5 y x     Bài 15: Cho hàm số 2 1 . 1 x x y x     Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 4 1 . 3 3 y x   Đáp số: 3 3 4 4 y x   hoặc 3 5 4 4 y x   Bài 16: Cho hàm số 1 2 m y x x      . Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại tại điểm A sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại A cắt trục Oy tại B mà tam giác OAB vuông cân. Đáp số: 1. m  http://baigiangtoanhoc.com Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục Bài 17: Cho hàm số 2 2 1 1 x x y x     . Tìm những điểm trên Oy sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thì hàm số và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Đáp số:     1 2 0; 3 15 , 0; 3 15 A A    Bài 18: Cho hàm số 2 . 1 x y x   Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ Ox y để từ đó ta có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Đáp số: A thuộc đường tròn   S tâm   1;2 , I bán kính 2 R  bỏ đi bốn giao điểm của hai tiệm cận và đường tròn. Bài 19: Cho đồ thị hàm số 3 1 . x y x   Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến này tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích 1 . 2 S  Đáp sô: 1 y x   hoặc 3 3 9 3 25 5 y x  Bài 20: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 1 , 1 x y x    biết tiếp tuyến này cắt trục , Ox Oy lần lượt tại , A B sao cho 4 . OA OB  Đáp số: 4 5 0 x y    hoặc 4 13 0. x y    Bài 21: Cho hàm số 2 1 1 x y x    (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng 2 . Đs: y =-x + 5 và y = -x + 1. . dục Bài giảng số 4: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số. Bài toán: Cho đồ thị     : C y f x . với nhau. Đáp số: 9 65 8 m   Bài 3: Cho hàm số 3 2 1 1 . 3 2 3 m y x x    Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng 1  . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M song. Đáp số: 4 m  Bài 4: Cho hàm số 3 2 1 2 3 . 3 y x x x    Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn và chứng minh rằng tiếp tuyến đó có hệ số góc nhỏ nhất. Đáp số: