Đang tải... (xem toàn văn)
Tóm tắt lý thuyết và phương pháp giải các bài tập về cực trị hàm số Một số bài tập tham khảo về cực trị hàm số (có hướng dẫn hoặc đáp án) Một số bài tập bạn đọc tự luyện tập (có đáp số) Ứng dụng hệ thức Viet và tam thức thức bậc hai vào bài toán cực trị.
1 | P a g e Luyện tập – Đại số 12: Cực trị hàm số Tóm tắt kiến thức về cực trị hàm số 2 | P a g e 3 | P a g e 4 | P a g e 5 | P a g e Một số bài tập tham khảo Bài 1. Cho hàm số 3 2 2 3 3 3( 1)y x mx m x m m (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m=1 2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O. Hướng dẫn 1) Bạn đọc có thể tự làm 2) Ta có , 2 2 3 6 3( 1)y x mx m Để hàm số có cực trị thì PT , 0y có 2 nghiệm phân biệt 22 2 1 0x mx m có 2 nhiệm phân biệt 1 0, m Cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực tiểu của đồ thị hàm số là B(m+1;-2-2m) 6 | P a g e Theo giả thiết ta có 2 3 2 2 2 6 1 0 3 2 2 m OA OB m m m Vậy có 2 giá trị của m là 3 2 2m và 3 2 2m . Bài 2. Cho hàm số 3 2 3 34y x mx m (m là tham số) có đồ thị là (C m ) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (C m ) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. Hướng dẫn 1) Khi m = 1, hàm số có dạng: y = x 3 3x 2 + 4 TXĐ: R Sự biến thiên: y’ = 3x 2 6x = 0 x = 0 hoặc x = 2 Hàm số đồng biến trên: (; 0) và (2; +) Hàm số nghich biến trên: (0; 2) Hàm số đạt CĐ tại x CĐ = 0, y CĐ = 4; đạt CT tại x CT = 2, y CT = 0 y” = 6x 6 = 0 x = 1 Đồ thị hàm số lồi trên (; 1), lõm trên (1; +). Điểm uốn (1; 2) Giới hạn và tiệm cận: 3 3 34 lim lim 1 xx yx x x Bảng biến thiên Đồ thị 7 | P a g e 2) Ta có: y’ = 3x 2 6mx = 0 0 2 x xm Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m 0. Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m 3 ), B(2m; 0) 3 (2 ; 4 )AB m m Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m 3 ) Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đường thẳng y = x và I thuộc đường thẳng y = x 3 3 2 4 0 2 mm mm Giải ra ta có: 2 2 m ; m = 0 Kết hợp với điều kiện ta có: 2 2 m Bài 3. Cho hàm số 4 2 2 21y x m x (1). 1) Với m = 1, khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1). 8 | P a g e 2) Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 32 (đơn vị diện tích). Hướng dẫn 1) Với m = 1 hàm số là: 42 21y x x TXĐ: R Giới hạn, đạo hàm: lim lim xx yy 3 0 ' 4 4 ; ' 0 1 x y x x y x Bảng biến thiên Hàm số đồng biến trên các khoảng (- 1; 0), (1; + ); nghiechj biến trên các khoảng (- ; - 1), (0; 1) Hàm đạt cực đại tại x = 0, y CĐ = 1, cực tiểu tại x = 1, y CT = 0 Dạng đồ thị 9 | P a g e 2) Ta có y’ = 4x 3 – 4m 2 x ; y’ = 0 22 0x xm ; ĐK có 3 điểm cực trị : m 0 Tọa độ ba điểm cực trị : A(0 ; 1), B(- m ; 1 – m 4 ), C(m ; 1 – m 4 ) ; CM tam giác ABC cân đỉnh A. Tọa độ trung điểm I của BC là I(0 ; 1 – m 4 ). 5 4 1 . 32 2 2 ABC S AI BC m m m m (tm) Bài 4. Cho hàm số 2 m y x m x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho với m = 1. 2) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đường thẳng d: x – y + 2 = 0 những khoảng bằng nhau. Hướng dẫn 1) Với m =1 thì 1 1 2 yx x Tập xác định: D \2 Sự biến thiên: 2 22 1 4 3 '1 22 xx y xx , 1 '0 3 x y x . 10 | P a g e lim x y , lim x y , 22 lim ; lim xx yy , lim ( 1) 0 ; lim ( 1) 0 xx y x y x Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x – 1 Bảng biến thiên Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;1 , 3; ; hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 1;2 , 2;3 Cực trị: Hàm số đạt giá trị cực trị: y CĐ = 1 tại x = 1; y CT = 3 tại x = 3. Đồ thị 2) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( 2 ;2 2 )m m m ; B( 2 ;2 2 )m m m Khoảng cách từ A và B tới d bằng nhau nên ta có phương trình: [...]... x1 x2 2 Hng dn 1) Với m 1 ta có y x3 6 x 2 9 x 1 Tập xác định: D = R Sự biến thiên Chiều biến thiên: y' 3x 2 12 x 9 3( x 2 4 x 3) x 3 Ta có y ' 0 , y' 0 1 x 3 x 1 Do đó: + Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (,1) và (3, ) + Hm số nghịch biến trên khoảng (1, 3) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x 1 và yCD y(1) 3 ; đạt cực tiểu tại x 3 và yCT y(3) 1 Giới hạn: lim y ; lim... Ta có y' 3x 2 6(m 1) x 9 Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 , x2 ph-ơng trình y' 0 có hai nghiệm pb là x1 , x2 Pt x 2 2(m 1) x 3 0 có hai nghiệm phân biệt là x1 , x2 m 1 3 ' (m 1) 2 3 0 m 1 3 (1) Theo định lý Viet ta có x1 x2 2(m 1); x1 x2 3 Khi đó x1 x2 2 x1 x2 2 4 x1 x2 4 4m 12 12 4 (m 1) 2 4 3 m 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là 3 m 1 3 và... c ỏp s m ; 1 ; 4 5 Bi 7 Cho hm s y f x x 4 2 m 2 x 2 m2 5m 5 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C ) hm s vi m = 1 2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m đồ thị hàm số cú cỏc im cc i, cc tiu to thnh 1 tam giỏc vuụng cõn Hng dn 1) Vi m = 1 TX: D = R 12 | P a g e S bin thiờn ca hm s: f ' x y' 4 x 3 4 x 4 x x 2 1 y' 0 x 0; x 1; x 1 Gii hn ti vụ cc: lim f x : lim f x Bng bin thiờn x ... : lim f x Bng bin thiờn x x Hm s ng bin trờn mi khong 1;0 và 1; , nghch bin trờn mi khong mi khong ;1 v 0;1 Hm s t cc tiu ti x 1; yCT 0 , t cc i ti x 0; yCD 1 th 3 4 3 4 im un: y' ' 12 x 2 4 , cỏc im un l: U 1 3 ; 9 ,U 2 3 ; 9 Giao im vi cỏc trc to : A(0; 1), B(-1;0) v C(1; 0) Hm s l chn trờn R nờn th nhn trc Oy lm trc i xng 8 6 4 2 -5 5 -2 -4 x 0 2) Ta cú f ' x 4 x3 . Luyện tập – Đại số 12: Cực trị hàm số Tóm tắt kiến thức về cực trị hàm số 2 | P a g e 3 | P a g e 4 | P a g e 5 | P a g e Một số bài tập tham khảo Bài. 2 thoả mãn bài toán Vậy ycbt m = 2. Bài 5. Cho hàm số y = x 3 – 3mx 2 + (m-1)x + 2. 1) Chứng minh rằng hàm số có cực trị với mọi giá trị của m. 2) Xác định m để hàm số có cực tiểu tại. 4. Cho hàm số 2 m y x m x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho với m = 1. 2) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cách