Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học A - MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài: Môn Toán trong trường trung học phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác. Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết còn rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, bồi dưỡng tính sáng tạo và thẩm mĩ. Thực tế ở trường THPT Thanh Khê chúng tôi hiện nay, chất lượng vào đầu cấp còn khá thấp so với mặt bằng chung của thành phố, đặc biệt đa số các em xuất thân từ các gia đình kinh tế khó khăn, ít có điều kiện học tập, bị hổng kiến thức từ lớp dưới rất lớn, thêm vào đó, lượng kiến thức đưa ra là nặng đối với phần lớn học sinh ở đây nên việc truyền tải và phát triển khả năng nhận thức, tư duy cho phù hợp với từng đối tượng học sinh gặp nhiều trở ngại. Đặc biệt, học sinh khối 11 khi học về phép biến hình trong mặt phẳng rất vất vả để tiếp thu và áp dụng. Vì vậy để ít nhiều giúp học sinh học tốt một phần của chương trình này, tôi đã chọn đề tài “Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học”. II. Mục đích nghiên cứu: Tạo hứng thú học tập, tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh trường THPT Thanh Khê. Làm cho học sinh hiểu, phân biệt rõ các phép dời hình và ứng dụng của nó trong việc giải toán. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh cũng như chất lượng giảng dạy trong các tiết học. III. Cấu trúc của đề tài: A – MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Cấu trúc của đề tài B - NỘI DUNG Cơ sở lí luận Thực trạng của đề tài Giải quyết vấn đề Định nghĩa và biểu thức toạ độ phép dời hình Một số tính chất của phép dời hình Các dạng bài tập cơ bản Một số bài tập tham khảo C - KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo B - NỘI DUNG I. Cơ sở lí luận: Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần chú trọng phát huy động cơ học tập giúp học sinh thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết với khả năng nhận Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê 3 Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội kiến thức. Một số học sinh có khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn; hay có thể có những em thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt… Dù là khả năng nào đi chăng nữa, học sinh cần thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển thì phải có tri thức, phải luôn học hỏi. Riêng về môn Hình học 11, qua thực tế cho thấy nhiều học sinh khi học về các phép dời hình, các em thường có tâm lí không biết ứng dụng của phép dời hình để làm gì, nói cách khác các em không gắn được lý thuyết vào thực hành, do đó các em không muốn học chương này. Thế nên giáo viên cần chỉ rõ, đưa ra những ví dụ cụ thể và hướng dẫn cho học sinh ứng dụng các phép dời hình vào giải toán. Ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp cụ thể, trực tiếp vào đúng đối tượng học sinh để các em yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, còn số ít các em khá không thấy chán nản, vẫn có thể vừa rèn luyện, tiếp nhận kiến thức, vừa giúp đỡ bạn. II. Thực trạng của đề tài: - Học sinh còn lúng túng khi tìm ảnh của một hình qua một phép dời hình. - Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc. - Khả năng tưởng tượng, tư duy lôgíc còn hạn chế. - Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt. - Đa số học sinh có tâm lí sợ học môn hình học. Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích. Thực sự là khó không chỉ đối với học sinh mà còn khó đối với cả giáo viên trong việc truyền tải kiến thức. Người dạy cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ, việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học bằng biện pháp rèn luyện tích cực, như • Trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản về các phép dời hình. • Hướng dẫn học sinh ghi nhớ bằng cách phân biệt sự giống nhau và khác nhau về định nghĩa, biểu thức tọa độ, các tính chất giữa các phép dời hình. • Phân dạng bài tập, phương pháp và các bước thực hiện chung. • Khai thác triệt để bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập cho đối tượng trung bình, yếu và một số bài tập đòi hỏi tư duy cao dành cho đối tượng khá giỏi. III. Giải quyết vấn đề: 1. Định nghĩa, biểu thức tọa độ của phép dời hình: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho véctơ ( , )v a b r , các điểm: ( ) ( ) ; , ; ,M x y M x y ′ ′ ′ ( ) ;M x y ′′ ′′ ′′ , ( ) 0 0 ;I x y và đường thẳng : 0ax by c∆ + + = . Tên Định nghĩa Biểu thức tọa độ Phép tịnh tiến ( ) 0 v T v ≠ r r r ( ) v T M M MM v ′ ′ = ⇔ = r uuuuur r v x x a M T M y y b ′ = +  ′ = ⇔  ′ = +  r ( ) Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê 4 Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học Phép đối xứng trục d § Phép đối xứng trục d § ( ) 0 0 0 § ( ) ′ = ′ ⇔ = − ′ = ∩ uuuuuur uuuuur d M M M M M M M d MM § ( ) ( ) . ∆ − −  ′ =   ′ = ⇔  − −  ′ =   by c x a M M I ax c y b § ( ) ; § ( ) . ′ =  ′ = ⇔  ′ = −  ′′ = −  ′′ = ⇔  ′′ =  Ox Oy x x M M y y x x M M y y Phép đối xứng tâm I § I M M IM IM ′ ′ = ⇔ = − uuur uuur § ( ) 0 0 2 2 O I x x M M y y x x x M M y y y ′ = −  ′ = ⇔  ′ = −  ′′ = −  ′′ = ⇔  ′′ = −  § ( ) § ( ) Phép quay ( ) ,I Q α Phép quay ( ) ,I Q α ( ) ( ) ,α ′ = I Q M M ( ) , ′ =  ⇔  ′ = α  OM OM OM OM ( ) ( ) ( ) 0 0 0 90 0 0 ; ( ) . ± ′  = − +  ′ = ⇔  ′ = ± − +   m I x y y x M Q M y x x y ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 ; ( ) tan / ; tan / α α α α ± −  ′ =  ′ = ⇔ ′   ′ ′ = −    ′ > =  ÷  ÷   m m O y x M Q M II k y k x y x k x y Phép đồng nhất I ( ) I M M= Phép dời hình F ( ) ( ) F M M M N MN F N N ′ =   ′ ′ ⇔ =  ′ =   - Nếu có phép dời hình biến một hình H thành hình H’ thì H và H’ là hai hình bằng nhau. - Thực hiện liên tiếp hai ( hay nhiều ) phép dời hình ta được một phép dời hình. Bổ đề 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng : 0ax by c∆ + + = , điểm ( ) ,M x y . Gọi ( ) , § ( )M x y M ∆ ′ ′ ′ = . Khi đó, biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục: § ( ) ( ) . ∆ − −  ′ =   ′ = ⇔  − −  ′ =   by c x a M M I ax c y b Chứng minh: Gọi ( ) 0 0 0 sao cho , ′ ′ = ∆ ∩ ⊥ ∆M x y MM MM . Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê 5 Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 ax by c x ax by c a a x x b y y by ax c y b − −  =  + + =    ⇒ ⇒   − − − = − −    =   Mà M ′ là điểm trên đoạn MM ′ sao cho 0 M là trung điểm. 0 0 2 2 . by c x x x x a y y y ax c y b − −  ′ =  ′ = −   ⇒ ⇔   ′ = − − −   ′ =   Vậy (I ) được chứng minh. Bổ đề 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm ( ) ,M x y và số thực 0 0 90 α < < . Gọi ( ) ( ) ( ) ; , O M x y Q M α ± ′ ′ ′ = . Khi đó, biểu thức tọa độ của phép quay ( ) ;O Q α ± : ( ) ( ) 2 trong đó 2 ; tan ( ) tan , α α α ± −  ′ =  ′ ′ = ⇔ = ′   ′ ′ = −  m m O y y x x M Q M k II k x y y k x Chứng minh: Gọi ∆ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và qua điểm ( ) ,M x y . + Khi 0 M x ≠ ⇒ ∆ có hệ số góc ( ) tan ; M M y y k Ox x x = ∆ = = và : 0 M M y x x y∆ − = Gọi : 0ax by ′ ∆ + = là đường thẳng thỏa ( ) ( ) { } 0 0 , , , 0 ;90 2 Ox α ′ ′ ∆ ∆ = ± ∆ ≠ , ′ ∆ có hệ số góc ( ) ( ) ( ) tan , tan tan tan 2 2 2 tan , 2 1 tan , .tan 1 tan tan 2 2 2 y Ox y x a x k Ox y b Ox x y x α α α α α α α ∆ ± ± −   ′ = = ∆ ± = = =     ∆ m m m m 0 α > : 0 α < : + Khi ( ) 0 : 0 tan , tan 2 M x Ox y k Ox α ′ ′ = ⇒ ∆ ≡ = ⇒ = ∆ = ± . Gọi ( ) ( ) ( ) ( ) Đ ; , O M x y Q M M M α ′ ∆ ± ′ ′ ′ ′ = ⇒ = . Áp dụng bổ đề 1, ta có by c b y x x y x a a k ax c a y k x y y x b b − − −   ′ ′ = =    ′ =    ⇔ ⇔ ′    − − −    ′ ′ ′ ′ = = =      Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê 6 M O x y ∆ ′ ∆ M ′ / 2 α x O y ′ ∆ ∆ M ′ / 2 α − M Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học *) Trường hợp suy biến: - Nếu ( ) ( ) Đ 0 , 0 : 0 Ox Ox Ox y M M ′ ′ ′ ∆ = ⇒ ∆ ≡ = ⇒ = . - Nếu ( ) ( ) Đ 0 , 90 : 0 Oy Ox Oy x M M ′ ′ ′ ∆ = ⇒ ∆ ≡ = ⇒ = . Vậy (II ) được chứng minh. 2. Một số tính chất của phép dời hình: - Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay thay đổi thứ tự giữa ba điểm đó. - Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó. - Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó. - Biến đường tròn bán kính thành đường tròn có cùng bán kính. 3. Các dạng bài tập cơ bản: <*> Một số dạng bài tập cơ bản: Dạng 1: Xác định trên hình vẽ ảnh của một hình qua phép dời hình Phương pháp chung: - Dùng định nghĩa. - Dùng các tính chất của phép biến hình. Dạng 2: Xác định trong mặt phẳng tọa độ Oxy ảnh của một hình qua phép dời hình Phương pháp chung: - Dùng định nghĩa. - Dùng biểu thức toạ độ của phép biến hình. - Dùng các tính chất của phép biến hình. Dạng 3: Dùng phép dời hình để giải một số bài toán chứng minh, dựng hình Phương pháp chung: - Dùng định nghĩa, tính chất các phép dời hình để chứng minh. - Để dựng điểm M ta làm như sau: Cách 1: Xác định M như ảnh của một điểm đã biết qua một phép dời hình. Cách 2: Xem M như là giao điểm của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép dời hình. Dạng 4: Dùng phép dời hình để giải một số bài toán quỹ tích Phương pháp: Chứng minh tập hợp điểm cần tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép dời hình. <*> Yêu cầu chung: Để thực hiện giải một bài toán, tôi yêu cầu học sinh cố gắng phân tích kỹ đề và thực hiện theo các bước: Bước 1: Đọc và tìm hiểu kỹ đề. Bước 2: Xác định dạng bài tập. Bước 3: Tìm kiến thức sử dụng và cách giải quyết các vướng mắc để giải bài tập đó. Bước 4: Hoàn thành bài giải. * Tìm cách giải khác (nếu có). BÀI TẬP Bài 1: Cho hình thoi ABCD có tâm O. Xác định ảnh của các đỉnh , , ,A B C D qua 1) Phép tịnh tiến AB T uuur ; 2) Phép đối xứng trục § AB ; Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê 7 Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học 3) Phép đối xứng tâm § O ; 4) Phép quay ( ) 0 ;90O Q . Hướng dẫn giải 1) ( ) ( ) ; AB AB T A B T B B BB AB ′ ′ = = ⇔ = uuur uuur uuur uuur ( ) ( ) ; . AB AB T C C CC AB T B B BB AB ′ ′ = ⇔ = ′ ′ = ⇔ = uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2) ( ) =§ ; AB AB AB ( ) ( ) = ⇔ = − = ⇔ = − uuur uuur uuuur uuur 1 1 1 1 § ; § . AB AB C C BC BC D D AD AD 3) ( ) ( ) § ;§ O O A C B D= = . 4) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 0 ;90 2 ; 90 =   = ⇔  =   O OA OA Q A A OA OA ( ) ( ) ( ) 0 2 2 0 ;90 2 ; 90 =   = ⇔  =   O OB OB Q B B OB OB ( ) ( ) ( ) 0 2 2 0 ;90 2 ; 90 =   = ⇔  =   O OC OC Q C C OC OC ( ) ( ) ( ) 0 2 2 0 ;90 2 ; 90 =   = ⇔  =   O OD OD Q D D OD OD Bài 2: Cho hai hình vuông và ′ ′ ′ ′ ABCD A B C D ( như hình vẽ ) có ′ ′ =AB A B . Tìm một phép dời hình biến hình vuông thành ′ ′ ′ ′ ABCD A B C D . Hướng dẫn giải - Thực hiện phép tịnh tiến cho hình vuông ABCD theo ′ = r uuur v AA ( như hình vẽ ) ta được ảnh của nó là hình vuông 1 1 1 ′ A B C D . - Thực hiện quay hình vuông 1 1 1 ′ A B C D tâm ′ A , góc quay ( ) 1 ; ′ ′ ′ α = A D A D ta được hình vuông ′ ′ ′ ′ A B C D . Vậy thực hiện liên tiếp 2 phép dời hình nói trên ta được một phép dời hình biến hình vuông thành ′ ′ ′ ′ ABCD A B C D . Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê 8 A B D C ′ B ′ A ′ C D ′ D A B C A’ B’ C’ D’ 1 B 1 C 1 D α A O C D 1 C B 1 D 2 A A B C D O 2 D 2 B 2 C A B O C D C’ B’ Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học Bài 3: Cho hai đường tròn bằng nhau ( ) ( ) và 1 2 O O . Tìm tất cả các phép dời hình biến đường tròn này thành đường tròn kia. Hướng dẫn giải Các phép dời hình biến đường tròn này thành đường tròn kia: - phép tịnh tiến 1 2 O O T ± uuuuur , - phép đối xứng tâm O Đ (O là trung điểm của 1 2 O O ), - phép quay I, với ∈∆I , - phép đối xứng trục ∆ Đ . Bài 1: 1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm ( ) 1 ;4 , 3;5 2   = −  ÷   r M v . Tìm tọa độ điểm ảnh của M qua các phép dời hình a) r v T ; b) § Ox ; c) § Oy ; d) § O . 2/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(3;4). Hãy tìm toạ độ điểm A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay 90 0 . Hướng dẫn giải 1/ a) Gọi ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , , , v M x y M x y T M= r . Theo biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến ( ) 1 1 1 = +  = ⇔  = +  r v x x a T M M y y b , ta có: ( ) 1 1 1 5 3 2 2 4 5 9  = + − = −    = + =  x y Vậy điểm ảnh của M qua r v T là 1 5 ;9 2   −  ÷   M . b) Gọi ( ) ( ) 2 2 2 , § Ox M x y M= . Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Ox Đ : ( ) 2 2 2 2 2 1 § 2 4 Ox x x x M M y y y  = =  = ⇔ ⇔   = −   = −  Vậy điểm ảnh của M qua § Ox là 2 1 ; 4 2   −  ÷   M . c) Gọi ( ) ( ) 3 3 3 , § Oy M x y M= . Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Oy Đ : ( ) 3 3 3 3 3 1 § 2 4 Oy x x x M M y y y  = − = −  = ⇔ ⇔   =   =  Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê 9 ∆ O Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học Vậy điểm ảnh của M qua § Oy là 3 1 ; 4 2   −  ÷   M . d) Gọi ( ) ( ) 4 4 4 , § O M x y M= . Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O Đ : ( ) 4 4 4 4 4 1 § 2 4 O x x x M M y y y  = − = −  = ⇔ ⇔   = −   = −  Vậy điểm ảnh của M qua § O là 4 1 ; 4 2   − −  ÷   M . 2/ Cách 1: Gọi ( ) ( ) 0 ;90 ′ = O A Q A . Gọi ( ) ( ) 3;0 , 0;4B C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các trục Ox, Oy. Phép ( ) 0 ;90O Q biến hình chữ nhật OBAC thành hình chữ nhật OB A C ′ ′ ′ . Ta thấy ( ) ( ) 0;3 , 4;0B C ′ ′ − . Vậy điểm ảnh của A qua ( ) 0 ;90O Q là ( ) 4;3 ′ −A . Cách 2: Theo biểu thức tọa độ phép quay ( ) ( ) ( ) 0 0 0 90 0 0 ; ( ) . ′  = − − +  ′ = ⇔  ′ = − +   I x y y x M Q M y x x y Suy ra ( ) ( ) ( ) 0 ;90 4;3 . O Q A A ′ = − Bài 2: 1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho véctơ ( 2;3)− r v , đường thẳng d có phương trình: 3 5 3 0x y− + = . Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép r v T . 2/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho ( ) 1;5M , đường tròn (C) có phương trình 2 2 2 4 4 0x y x y+ − + − = , đường thẳng d có phương trình 2 4 0.x y− + = a) Tìm ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục Ox. b) Tìm ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục : 1 0x y∆ − + = . Hướng dẫn giải 1/ Gọi ( ) ( ) ( ) , ; v v M x y T M d T d ′ ′ ′ ′ = = r r . Cách 1: Chọn ( ) ( ) ( ) 1;0 3;3 ′ ′ − ∈ ⇒ = − ∈ r v M d T M M d . Vì d’//d nên :3 5 0 ′ − + =d x y C , M d ′ ′ ∈ ⇒ C = 24. Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê 10 Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học Vậy phương trình đường thẳng ảnh d’ là: 3 5 24 0.x y− + = Cách 2: Từ biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến r v T : ' 2 ' 3 = −   = +  x x y y ' 2 ' 3 = +  ⇔  = −  x x y y Thay vào phương trình của d ta được: 3 5 24 0.x y ′ ′ − + = Vậy phương trình đường thẳng ảnh d’ là: 3 5 24 0.x y− + = Cách 3 : Lấy ,M N bất kì thuộc d, tìm ảnh M’,N’ tương ứng của M và N qua phép tịnh tiến theo vectơ v r . Khi đó đường thẳng d’ là đường thẳng M’N’. 2/ a) Gọi ( ) 1 1 1 , ,M C d lần lượt là ảnh của ( ) , , M C d qua phép đối xứng trục Đ Ox . + Ta có ( ) 1 1; 5 .M − + Đường tròn (C) có tâm ( ) 1; 2 ,I − bán kính 3R = . Đường tròn ảnh ( 1 C ) của (C) có tâm là ( ) ( ) ’ 1;2 Ox IĐ I= = và bán kính 3R = . Vậy phương trình ( 1 C ) là: ( ) ( ) 2 2 1 2 9.x y− + − = + Từ biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Đ Ox : ' ' ' ' x x x x y y y y = =   ⇔   = − = −   Thay vào phương trình của d ta được: ’ 2 ’ 4 0.x y+ + = Vậy phương trình của 1 d là 2 4 0.x y+ + = b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục: § ( ) . ∆ − −  ′ =   ′ = ⇔  − −  ′ =   by c x a M M ax c y b Thay tọa độ điểm M và hệ số của đường thẳng ∆ vào ta có −  ′ = =    − −  ′ = =   − 1.5 1 4 1 1.1 1 2 1 x y Vậy ( ) ( ) 2 Đ 4;2M M ∆ = . Từ biểu thức tọa độ , ta có by c c by x x a a M M ax c c ax y y b b ∆ ′ − − −   ′ = =     ′ = ⇔   ′ − − −   ′ = =     § ( ) + Pt đường thẳng 2 d ảnh của d qua Đ ∆ là 2 4 0 2 7 0 ′ ′ − − ′ ′ − + = ⇔ + + = c by c ax x y a b Vậy + + = 2 : 2 7 0.d x y + Pt đường tròn ( ) 2 C ảnh của (C) qua Đ ∆ là Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê 11 Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học ( ) 2 2 2 2 1 2 9 1 9 ′ ′ − −     ′ ′ − + + = ⇔ + + =  ÷  ÷     c by c ax x y a b Vậy ( ) ( ) + + = 2 2 2 : 1 9C x y . Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho ( ) ( ) ( ) 1; 1 , 3;1 , 2;3 .A B C− − Tìm toạ độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. Hướng dẫn giải Giả sử điểm ( ) ; .D x y Để ABCD là hình bình hành thì BA CD= uuur uuur . Nên ( ) = uuur BA T D C . Với ( ) ( ) 4; 2 , 2; 3BA CD x y= − − = − − uuur uuur . Do đó: 2 4 2 3 2 1 x x y y = − = −   ⇔   = − =   . Vậy ( ) 2;1 .D − Bài 1: 1) Hai thôn nằm ở vị trí A, B cách nhau một con sông (Xem hai bờ sông là hai đường thẳng song song). Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông (cầu vuông góc với bờ sông) và làm hai đoạn đường AM, NB (như hình vẽ). Hãy xác định vị trí chiếc cầu MN sao cho AM+NB ngắn nhất. 2) Có ba thành phố , ,A B C tạo thành một tam giác nhọn trên một vùng đồng bằng. Tìm vị trí I trong ABC∆ sao cho có thể xây dựng một sân bay chung mà tổng khoảng cách từ I tới các trung tâm thành phố đó là ngắn nhất. Hướng dẫn giải 1) + Giả sử coi con sông rất hẹp: a b≡ Bài toán trở thành: Cho hai điểm A, B nằm ở hai phía khác nhau so với đường thẳng a. Tìm vị trí M trên A để AM+AN nhỏ nhất. Khi đó M là giao điểm của AB với a. + Thực tế: a song song với b Các đường thẳng a, b cố định MN⇒ uuuur cố định. Nên ( ) ’ ’ MN T A A A N AM= ⇒ = uuuur . Ta có ’ ’AM BN A N NB A B+ = + = Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê 12 [...]... đáng chú ý đến một phép biến hình cụ thể nào đó Chẳng hạn có dữ kiện Trần Thị Phước Vinh 21 Trường THPT Thanh Khê Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học - đoạn thẳng có độ dài và phương chiều cố định, hình bình hành nghĩ đến phép tịnh tiến; - trung điểm của một đoạn nghĩ đến phép đối xứng tâm; - đường trung trực của một đoạn nghĩ đến phép đối xứng trục; - các góc... đến phép quay Cuối cùng hy vọng đề tài có tính ứng dụng, giúp học sinh và giáo viên nhẹ nhàng tiếp thu và truyền đạt kiến thức chương phép biến hình và dời hình trong mặt phẳng của chương trình hình học 11 Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến xây dựng của đồng nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa hình học lớp 11 - Sách giáo viên hình học lớp 11 - Để học tốt hình học lớp 11 - Phương pháp dạy học. .. THPT Thanh Khê Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học A D O H C M B · Ta có BCD =900 nên DC//AH, AD//CH uu uu u r ur u ur uu ⇒ ADCH là hình bình hành ⇒ AH = DC = 2OM u ur uu u ur uu Vì OM không đổi ⇒ T2 OM (A) =H Vậy khi A di chuyển trên đường tròn (O) thì H di chuyển trên đtròn (O’) là uu uu ảnh của (O) qua phép T2OMr Cách 2: Áp dụng phép đối xứng trục A D O H... hoá một số phép dời hình cơ bản.Đồng thời đưa ra một số dạng toán giải bằng cách sử dụng các phép dời hình nhằm củng cố kỹ năng vận dụng thực hành Qua mỗi phần một số ít bài toán giúp học sinh hệ thống kiến thức, hình thành phương pháp giải, rèn luyện việc sử dụng phép biến hình rong giải toán hình học cho đối tượng học sinh trường THPT Thanh Khê Về nguyên tắc, bất kì bài toán nào cũng có thể giải được... nhiều bài giải tổng hợp thông thường lại đi đến kết quả nhanh hơn Cũng vậy nhiều bài toán hình học có thể giải nhanh và gọn nếu biết sử dụng phương pháp véctơ Để giải bài toán bằng phép biến hình trước hết phải nhận ra dấu hiệu của lớp các bài toán có khả năng giải được bằng phương pháp này Thường thì trong dữ kiện bài toán hoặc trong tính chất của hình đòi hỏi thiết lập (chứng minh) hay đòi hỏi ở hình. .. đường thẳng đó, hãy tìm các điểm A ∈ a, B ∈ b sao cho ∆ABC là tam giác đều a’ a Hướng dẫn giải A H H’ A’ b C B 14 Trần Thị Phước Vinh B’ Trường THPT Thanh Khê Q Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học N A P Giả sử đã dựng được ∆ABC đều thỏa mãn các điều kiện của bài toán M Với phép quay Q C ;−600 điểm A có ảnh là B, đường thẳng a có ảnh là a’ cũng đi qua ( ) B B nên... Qua A1 kẻ đường thẳng song song với AB cắt MB tại B1 Tìm quỹ tích B1 Hướng dẫn giải Giả sử B1 A1 ∩ ( O′; R′ ) = A2 Trần Thị Phước Vinh 19 Trường THPT Thanh Khê Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học Vẽ tiếp tuyến chung xx′ của hai đường tròn ( O; R ) và ( O′; R′ ) tại A A2 A1 B1 x’ O′ O′′ A B O Theo tính chất tiếp tuyến, ta có x · · · · ABM = xAM; AA2 A1 = x ′AA1... kẻ đường thẳng b cắt AC tại P và cắt AB tại Q, đồng thời tạo với a một góc 600 Chứng minh tứ giác MPNQ là hình thang cân Hướng dẫn giải Ta có : a ∩ CB = {M} ; b ∩ BA = {Q} Mà : Q( G ;−120 ) ( a ) = b (1) 0 Trần Thị Phước Vinh 15 Trường THPT Thanh Khê Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học Q G ;−1200 ( C ) = B; Q G ;−1200 ( B ) = A ( ) ( ) A ⇒ Q( G ;−120 ) ( CB ) =... là hình thang cân có AB là cạnh đáy Trần Thị Phước Vinh 20 Trường THPT Thanh Khê Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học Bài 7: Cho hai đường tròn đồng tâm O, có bán kính lần lượt là R, r (R > r ) Hãy xác định đường thẳng qua điểm A nằm trên (O; r), cắt đường tròn (O; r) tại B, cắt (O;R) tại C, D sao cho : CD = 3AB Bài 8: Cho 2 đường thẳng a, b và (O;R) Xác định hình. ..P Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học Cách dựng: r - Dựng A′ = Tuuuu ( A ) Nối A’, B có A′B ∩ b = N MN - Từ N hạ đường thẳng d ⊥ a tại M Khi đó MN là vị trí xây cầu 0 0 2) Thực hiện phép Q( B ;600 ) : I a J ; A a A′ Ta có ( BI ; BJ ) = 60 ; ( BA′; BA ) = −60 ( BI ; BA ) . Thanh Khê 3 Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội kiến thức. Một số học sinh. đtròn là ảnh của (O) qua phép BC Đ . Cách 3: Áp dụng phép đối xứng tâm Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê 17 Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học M I H O B C A D Gọi. qua 1) Phép tịnh tiến AB T uuur ; 2) Phép đối xứng trục § AB ; Trần Thị Phước Vinh Trường THPT Thanh Khê 7 Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học 3) Phép