Tên đề tà i : MỘ T SỐ KINH NGHIỆ M HƯỚ NG DẪ N HỌ C SINH GIẢ I CÁ C BÀ I TOÁ N CỰ C TRỊ TRONG ĐẠ I SỐ LỚ P I- LÝ DO CHỌ N ĐỀ TÀ I : Trong trường phổ thông môn Tốn có vị trí quan trọng Các kiến thức phương pháp Tốn học cơng cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt môn học khác, hoạt động có hiệu lĩnh vực Đồng thời mơn Tốn cịn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả tư tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức thẩm mỹ người cơng dân Ở trưịng THCS, dạy học Tốn: với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững khái niệm, định lí; việc dạy học giải tốn có tầm quan trọng đặc biệt vấn đề trung tâm phương pháp dạy học Tốn trường phổ thơng Đối với học sinh THCS, coi việc giải tốn hình thức chủ yếu việc học tốn Cùng với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững kiến thức để học sinh vận dụng vào làm tập việc bồi dưỡng học sinh giỏi mục tiêu quan trọng ngành giáo dục nói chung bậc học THCS nói riêng Do việc hướng dẫn học sinh kĩ tìm tịi sáng tạo q trình giải tốn cần thiết khơng thể thiếu Là giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn trường THCS sâu nghiên cứu nội dung chương trình qua thực tế dạy học tơi thấy: chương trình Tốn THCS "Các tốn cực trị đại số" đa dạng, phong phú thú vị, có ý nghĩa quan trọng em học sinh bậc học này.Ở THPT để giải toán cực trị đại số người ta thường dùng đến "công cụ cao cấp" toán học là: đạo hàm hàm số Ở THCS, khơng có (hay nói xác khơng phép dùng) "cơng cụ cao cấp" Tốn học nói trên, nên người ta phải cách giải thơng minh nhất, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức bậc học THCS để giải quết toán loại Chính vậy, tốn cực trị đại số THCS không theo quy tắc khuôn mẫu cả, địi hỏi người học phải có cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách logic có hệ thống Trên thực tế giảng dạy Toán 8-9 năm qua tơi nhận thấy: phần "Các tốn cực trị đại số" phần trọng tâm việc bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS Thế thực trạng học sinh trường trường dạy là: học sinh khơng có hứng thú với loại tốn này, lẽ toán cực trị đại số trường THCS không theo phương pháp định nên em lúng túng làm toán cực trị, em không theo hướng Hầu hết học sinh ngại gặp tốn cực trị khơng biết vận dụng để giải tập khác Thực trạng khiến tơi ln băn khoăn suy nghĩ: "Làm để học sinh khơng thấy ngại có hứng thú với loại toán này" Với trách nhiệm người giáo viên tơi thấy cần giúp em học tốt phần Tôi dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực tế giảng dạy thân số đồng nghiệp; qua tìm tịi thử nghiệm, giúp đỡ bạn đồng nghiệp Đặc biệt học sau năm trường sư phạm Tôi mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: "Hướng dẫn học sinh THCS giải toán cực trị đại số" Với đề tài hi vọng giúp học sinh không bỡ ngỡ gặp toán cực trị đại số, giúp em học tốt Đồng thời hình thành học sinh tư tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện khả vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩ khoa học mong muốn làm việc đạt kết cao nhất, tốt II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1/ Thuậ n lợ i : - Luôn trau giồ i họ c hỏ i, dự giờ , gó p ý , rú t kinh nghiệ m từ đồ ng nghiệ p - Có sự hỗ trợ và độ ng viên củ a BGH nhà trườ ng và tổ chuyên môn - Mạ ng thông tin internet có mộ t kho tà ng kiế n thứ c khổ ng lồ 2/ Khó khăn : - HS hệ bá n công yế u nhiề u về kiế n thứ c, kỹ , ý thứ c họ c tậ p không cao Thiế u niề m tin họ c tậ p Đa số HS thiế u nề n tả ng kiế n thứ c Tư , suy luậ n không cao 3/ Điề u tra bả n: Trước thực trạng điều tra học sinh qua khả o sá t chấ t lượ ng đầ u năm, kết cho thấy Năm Lớp Sỉ số Giỏi Khá SL 2009-2010 8.3 8.5 % SL 43 02 4,7 40 01 2,5 TB % Yếukém SL % Sl % 08 19,0 25 58,1 09 22,5 23 57,5 18,6 17,5 8.3 42 01 2,4 08 19,0 26 61,9 16,6 8.5 2010-2011 40 01 2,5 10 25,0 22 55,0 17,5 Sau kiểm tra thấy học sinh hiểu làm mơ hồ, sô học sinh làm nằm vào số học sinh khá- giỏi Số lại chủ yếu học sinh TB, Yếu, giải thích tốn III- NỢ I DUNG ĐỀ TÀ I: A/ Cơ sở lý luậ n: 1/ Đối với học sinh : nhận chuyên mơn phân cơng dạy tốn tiết cảm thấy hụt hẩng trước cách học học sinh Để thống kê lực tiếp thu học sinh tơi dùng nhiều hình thức phát vấn trắc nghiệm rút tượng bật học sinh trả lời rõ ràng mạch lạc mang tính chất học vẹt chấp hành nguyên bản, trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng học sinh tơi đưa số ví dụ học sinh lúng túng chứng minh 2/ Đối với giáo viên : Vấ n đề đổ lỗi cho tất học sinh người giáo viên người chủ động, chủ đạo kiến thức, tuân theo SGK mà dạy, tốn địi hỏi học sinh phải tư tốt phải thâu tóm kiến thức học để tận dụng vào làm tập Đôi giáo viên áp đặt gị bó em phải thê này, phải mà không đưa thực tế để em nhìn nhận vấn đề Về phía học sinh cảm thấy khó tiếp thu dạng tốn mà em gặp lí mà người thầy phải tìm PP phù hợp để học sinh có hứng học, bước đầu học sinh làm quen với dạng toán “ Toán Cực chỉ” nên cảm thấy mơ hồ phân vân sai lại phải làm Nếu không biến đổi có tìm kết khơng Từ băn khoăn học sinh giáo viên khẳng định khơng biến đổi khơng trả lời u cầu tốn Sau tơi xin đưa số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải toán cực trị đại số B Nộ i dung Khái niệm cực trị biểu thức Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộc miền S xác định Nếu với giá trị biến (x , y , z ) ∈ S mà ta có: P(x , y , z ) ≥ P(x, y, , z) P(x , y , z ) ≤ P(x, y, , z) ta nói P(x, y, , z) lớn nhỏ (x , y , z ) miền S P(x, y, , z) đạt giá trị lớn (x , y , z ) ∈ S gọi P đạt cực đại (x , y , z ) P m a x (x , y , z ) Tương tự ta có: P đạt giá trị nhỏ (x , y , z ) ∈ S gọi P đạt cực tiểu (x , y , z ) P m i n (x , y , z ) Giá trị lớn nhất, nhỏ P miền xác định S gọi cực trị P miền S Nguyên tắc chung tìm cực trị biểu thức Tìm cực trị biểu thức miền xác định vấn đề rộng phức tạp, nguyên tắc chung là: a) Để tìm giá trị nhỏ biểu thức P(x, y, , z) miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước: - Chứng tỏ P ≥ k ( với k số ) với giá trị biến miền xác định S - Chỉ trường hợp xảy dấu đẳng thức b) Để tìm giá trị lớn biểu thức P(x, y, , z) miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước: - Chứng tỏ P ≤ k ( với k số ) với giá trị biến miền xác định S - Chỉ trường hợp xảy dấu đẳng thức Chú ý không thiếu bước hai bước Cho biểu thức A = x + (x - 2) VÍ DỤ: Một học sinh tìm giá trị nhỏ biểu thức A sau: x ≥ ; (x - 2) ≥ nên A ≥ Ta có Vậy giá trị nhỏ A Lời giải có khơng? Giải : Lời giải không Sai lầm lời giải chứng tỏ A ≥ chưa trường hợp xảy dấu đẳng thức Dấu đẳng thức khơng xảy ra, khơng thể có đồng thời: x = (x - 2) = Lời giải là: A = x + (x - 2) = x + x - 4x +4 = 2x - 4x + = 2(x -2x - +1) + = 2(x - 1) + Ta có: (x - 1) ≥ , ∀ x ⇒ 2(x - 1) + ≥ ⇒ A ≥ ∀x ∀x Do A = x = Vậy giá trị nhỏ biểu thức A với x = Kiến thức cần nhớ: Để tìm cực trị biểu thức đại số, ta cần nắm vững: a) Các tính chất bất đẳng thức, cách chứng minh bất đẳng thức b) Sử dụng thành thạo số bất đẳng thức quen thuộc: * a ≥ 0, tổng quát: a k ≥ (k nguyên dương) Xảy dấu đẳng thức ⇔ a = * -a ≤ 0, tổng quát: -a k ≤ (k nguyên dương) Xảy dấu đẳng thức ⇔ a = * a ≥0 (Xảy dấu đẳng thức a = 0) * - a ≤a≤ a * (Xảy dấu đẳng thức a = 0) a + b ≥ a + b (Xảy dấu đẳng thức ab ≥ 0) * a − b ≥ a−b (Xảy dấu đẳng thức a ≥ b ≥ a ≤ b ≤ 0) ≥ , ∀ a >0 a a + ≤ −2 , ∀ a 0 ⇒ 1 ≤ a b (Xảy dấu đẳng thức ⇔ a = b) C CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN (Một số dạng tốn cực trị đại số) Thơng qua tốn sách giáo khoa (sách tham khảo) tơi tiến hành phân loại thành số dạng toán cực trị đại số THCS hướng dẫn học sinh tìm kiến thức có liên quan cần thiết để giải dạng tốn Sau số dạng thường gặp: DẠNG : BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC LÀ TAM THỨC BẬC HAI Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) = x - 4x + Trong x biến số lấy giá trị thực Hướng dẫn giải : Gợi ý : Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) ta cần phải biến đổi dạng A(x) ≥ k (k số) với gía trị biến trường hợp xảy đẳng thức Lời giải : A(x) = x - 4x+1 = x - 2.2x+1 = (x - 2.2x+4)- = (x- 2) - Với giá trị x: (x - 2) ≥ nên ta có: A(x) = (x- 2) - ≥ -3 Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ -3 x=2 Đáp số : A(x) n h ỏ n h ấ t = - với x=2 Ví dụ : Tìm giá trị lớn biểu thức B(x) = -5x - 4x+1 Trong x biến số lấy giá trị thực Hướng dẫn giải : Gợi ý : Để tìm giá trị lớn biểu thức B(x) ta cần phải biến đổi đưa B(x) dạng B(x) ≤ k (k số) với giá trị biến giá trị lớn B(x)= k xảy đẳng thức Lời giải : B(x) = -5x – 4x+1 = -5 (x + x) +1 2  2 2 2  = -5 x + x +   −    + 5 5      2 4 − 5 x +  −  + = 5 25      = -5  x +  2  + +1 5 2  = -5  x +  + 5  2  Với giá trị x:  x +  5  2  ≥ nên -5  x +  ≤ 5  9 2  ≤ suy ra: B(x)= -5  x +  + 5 5  Vậy B(x)đạt giá trị lớn B(x)= Đáp số : B(x) l n n h ấ t = , x = 5 với x = 5 Ví dụ 3: (Tổng quát) Cho tam thức bậc hai P = ax +bx + c Tìm giá trị nhỏ P a > Tìm giá trị lớn P a < Hướng dẫn giải : Gợi ý : Để tìm giá trị nhỏ (lớn nhất) P ta cần phải biến đổi cho P = a.A (x) + k Sau xét với trường hợp a>0 a0 a x +  ≥ P ≥ k 2a   b   +Nếu a0) 2a giá trị lớn k (nếu a -4 A = - 2x >3 + Trong khoảng ≤ x ≤ x−2 = x−2 x − = − ( x − 5) = − x ⇒ A = x - + - x = + Trong khoảng x > x−2 = x−2 x −5 = x −5 ⇒ A = x - + x - = 2x - Do x > nên 2x > 10 A = 2x – > So sánh giá trị A khoảng trên, ta thấy giá trị nhỏ A ≤ x ≤ Đáp số: A m i n = ≤ x ≤ Cách : Ta sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối tổng nhỏ tổng giá trị tuyệt đối Từ tìm giá trị nhỏ biểu thức A Lời giải: A = x −2 + x −5 = x −2 + 5− x Ta có: x −2 + 5− x ≥ x − 2+5− x = x−2 ≥0  A =3⇔  5− x ≥  ⇔ ( x − 2) ( − x ) ≥ ⇔ ≤ x ≤ Vậy giá trị nhỏ A ≤ x ≤ DẠNG : BÀI TỐN TÌM GTNN, GTLN CỦA PHÂN THỨC CÓ TỬ LÀ HẰNG SỐ, MẪU LÀ TAM THỨC BẬC HAI Ví dụ : Tìm giá trị lớn M = 4x - 4x + Hướng dẫn giải : Gợi ý : Sử dụng tính chất a ≥ b, ab >0 ⇒ 1 ≤ theo a b quy tắc so sánh hai phân số tử, tử mẫu dương Lời giải: Xét M = 3 = (2 x) − x + + = (2x - 1)2 + 4x - 4x + Ta thấy (2x - 1) ≥ nên (2x - 1) + ≥ 3 Do đó: (2x - 1) + ≤ Trả lời: Vậy M lớn Đáp số : M l n n h ấ t = Ví dụ : 2x – = => x = với x = Tìm giá trị nhỏ B = 2x - x - Hướng dẫn giải : Ta có: B = Vì =2x - x - 1 = - (x - 1)2 + x - 2x + (x - 1) ≥ => (x + 1) + ≥ 1 => (x - 1)2 + ≤ => - Vậy B nhỏ - 1 ≥ (x - 1) + 3 x – 1= => x =1 Đáp số : M n h ỏ n h ấ t = - với x = Chú ý: Khi gặp dạng tập em thường xuyên lập luận M (hoặc B) có tử số nên M (hoặc B) lớn (nhỏ nhất) mẫu nhỏ (lớn nhất) Lập luận dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức x −3 Mẫu thức x - có giá trị nhỏ -3 x = Nhưng với x = 1 =khơng phải giá trị lớn x −3 phân thức Chẳng hạn với x = 1 =1>x −3 Như từ -3 < suy Vậy từ a < b suy 1 > 1 > a b dấu a b DẠNG : BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA PHÂN THỨC CĨ MẪU LÀ BÌNH PHƯƠNG CỦA NHỊ THỨC x2 + x + Tìm giá trị nhỏ A = ( x + 1) Ví dụ Cách1 : Gợi ý: Hãy viết tử thức dạng lũy thừa x + 1, đổi biến cách viết A dạng tổng biểu thức lũy thừa Từ tìm giá trị nhỏ A x +1 Lời giải : Ta có: x + x + = (x + 2x + 1) - (x +1) + = (x + 1) - (x + 1) + Do Đặt y= 1 ( x + 1) ( x + 1) − + A= + ( x + 1) 2 = 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) x +1 biểu thức A trở thành: x +1 A = - y + y2 A = - y + y = y – 2.y Ta có: 1 + ( )2 + 2 3 1  ≥ = y−  + 4 2  Vậy giá trị nhỏ A y=− khi: 1 1 =0⇒ y= ⇔ = 2 x +1 ⇔ x + = ⇔ x = Đáp số : Anhỏ = x = Cách : Gợi ý : Ta viết A dạng tổng số với biểu thức khơng âm Từ tìm giá trị nhỏ A Lời giải: A= x + x + x + x + 3x + x + + x − x + = = 2 ( x + 1) 4( x + 1) 4( x + 1) A= 3( x + 1) + ( x − 1) 4( x + 1) A= ( x − 1) + 4( x + 1)  x −1  A= +   2( x + 1)  A=  x −1  +  ≥  2( x + 1)  Vậy giá trị nhỏ A x-1=0 ⇒ x=1 Đáp số : A n h ỏ n h ấ t = x=1 DẠNG : BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ BẰNG CÁCH A( x ) A( x) ≥ ( hoặ c ≤ 0) k k2 ĐƯA VỀ DẠNG Ví dụ 10 : Tìm giá trị lớn biểu thức: M (x) = x + x + 10 x2 + 2x + (Với x thuộc tập hợp số thực) Hướng dẫn giải : Gợi ý : Từ M ( x ) = M(x) = (?) x + x + 10 ta có: x2 + 2x + 3x + x + + 3( x + x + 3) + = x2 + 2x + x2 + 2x + Ta chia tử thức mẫu thức biểu thức cho x + 2x + khơng? Vì sao? Trả lời : Vì x + 2x + = x + 2x + + = (x+1) > với giá trị x nên sau chia tử mẫu cho x + 2x + ta M(x) = + ( x + 1) + (?) Bài toán xuất điều mới? Trả lời: Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn biểu thức ( x + 2) + (?) Hãy tìm giá trị lớn ( x +) + từ suy giá trị lớn M(x) Trả lời: Vì (x+1) ≥ Nên (x+1) + ≥ Với x với x Do ( x + 1) + ≤ Từ ta có: 1 M(x) = + ( x + 1) + ≤ + =3 2 Dấu “=” xảy x+1=0 hay x=-1 Vậy giá trị lớn M(x) = x=-1 Đáp số : M(x) L n n h ấ t =3 với x = -1 IV- KẾ T QUẢ Để giải toán cực trị đại số lớp em phải biến đổi đồng biểu thức đaị số, phải biến đổi sử dụng nhiều đẳng thức đáng nhớ từ dạy đơn giản đến phức tạp Ngoài liên quan mật thiết đến kiến thức chứng minh đẳng thức nói tốn cực trị đại số tạo khả giúp học sinh có điều kiện để rèn luyện kĩ biến đổi đồng biểu thức đại số, kĩ tính tốn, khả tư Đề tài giúp học sinh giải toán cực trị đại số có PP hơn, có hiệu vận dụng vào giải tập có liên quan kích thích đam mê học tốn nói chung say mê giải tốn cực trị nói riêng u cầu phát huy tính tự giác rèn luyện khả tư tích cực độc lập, sáng tạo học sinh thơng qua hoạt động giải toán học Về mặt tư tưởng toán cực trị giúp học sinh thêm gần gũi với kíên thức thực tế đời sống, rèn luyện nếp nghỉ khoa học mong muốn làm công việc đạt hiệu cao nhât, tốt Sau áp dụng cách giải toán cực trị đại số thực tế học sinh trọng giải toán không lúng túng trước Khả o sá t kế t quả cuố i mỗ i năm họ c thu đượ c sau: Năm Lớp Sỉ số Giỏi Khá SL % SL TB % Sl % Yếukém SL % 43 04 9,3 09 20,9 27 62,8 7,0 40 03 7,5 10 25,0 23 57,5 10,0 8.3 42 02 4,8 10 23,8 26 61,9 9,5 8.5 2010-2011 8.3 8.5 2009-2010 40 04 10,0 12 30,0 22 55,0 5,0 V- KẾ T LUẬ N - BÀ I HỌ C KINH NGHIỆ M: Với đề tài “ Hướng dẫn học sinh lớp giải toán cực trị đại số” Tôi cố gắng hệ thống số dạng toán cực trị đại số Trong dạy tơi có đưa sở lí thuyết ví dụ ví dụ có gợi ý hướng dẫn học sinh cách giải ý cần thiết để gặp ví dụ khác em giải Các dạng tập đưa từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nhằm giúp cho học sinh có kiến thức giải toán cực trị đại số Bên cạnh tơi cịn đưa ví dụ tốn tổng hợp kiến thức kĩ tính tốn, khả tư cấp học này, qua làm cho em say mê hứng thú học tập mơn Tốn Tuy nhiên q trình giảng dạy có nhiều học sinh cịn bỡ ngỡ qúa trình giải tốn cực trị, lập luận chưa có cứ, suy diễn chưa hợp logic đặc biệt số dạng chưa phù hợp với học sinh trung bình, yếu Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian khơng nhiều, trình độ lực thân tài liệu tham khảo hạn chế lại chưa có kinh nghiệm lĩnh vực nghiên cứu khoa học nên cách trình bày khơng tránh khỏi sơ xuất thiếu sót Rất mong nhận giúp đỡ, góp ý thầy , và bạn đồng nghiệp để tơi rút kinh nghiệm trình giảng dạy thời gian sau Xé t duyệ t củ a Hiệ u Trưở ng 2011 Tam Hiệ p , ngày 08 tháng năm Người viết PHẠ M VĂN ĐỨ C TÀI LIỆU THAM KHẢO: SGK Toán 8- NXB Giáo dục- Phan Đức Chính, Tơn Thân SBT Tốn – NXB Giáo dục- Tôn Thân chủ biên Toán nâng cao tự luận trắc nghiệm Đại số 8- NXB Giáo dục- Nguyễn Văn Lộc Toán bồi dưỡng học sinh lớp Đại số-NXB Giáo dục Trần San Để học tốt đại số 8- NXB Giáo dục Hồng Chúng Chủ biên Các tốn đại số hay khó – NXB Giáo dục Nguyễn Đễ PP dạy học mơn tốn – NXB Giáo dục Phạm Gia Đức  ... Lớp Sỉ số Giỏi Khá SL 2009-2010 8. 3 8. 5 % SL 43 02 4,7 40 01 2,5 TB % Yếukém SL % Sl % 08 19,0 25 58, 1 09 22,5 23 57,5 18, 6 17,5 8. 3 42 01 2,4 08 19,0 26 61,9 16,6 8. 5 2010-2011 40 01 2,5 10 25,0... 23 57,5 10,0 8. 3 42 02 4 ,8 10 23 ,8 26 61,9 9,5 8. 5 2010-2011 8. 3 8. 5 2009-2010 40 04 10,0 12 30,0 22 55,0 5,0 V- KẾ T LUẬ N - BÀ I HỌ C KINH NGHIỆ M: Với đề tài “ Hướng dẫn học sinh lớp giải... sinh hiểu làm mơ hồ, sô học sinh làm nằm vào số học sinh khá- giỏi Số lại chủ yếu học sinh TB, Yếu, khơng biết giải thích tốn III- NỘ I DUNG ĐỀ TÀ I: A/ Cơ sở lý luậ n: 1/ Đối với học sinh