MỞ ĐẦU I Đặt vấn đề: Trong thực tế thường gặp tốn tìm "nhất" ràng buộc (nhiều nhất, nhất, nhanh nhất, chậm nhất, ngắn nhất, tốt nhất, rẻ nhất, đẹp ) Vì vậy, tốn tìn giá trị lớn (cực đại) giá trị nhỏ (cực tiểu) đại lượng gọi chung tốn tìm cực trị thường xun có mặt kì thi tốt nghiệp THCS, thi vào lớp 10 THPT, hay thi vào trường Cao đẳng, Đại học đề thi học sinh giỏi nhiều năm, tốn phong phú địi hỏi phải vận dụng kiến thức cách hợp lí, nhiều độc đáo bất ngờ bậc THCS ( chủ yếu học sinh khá, giỏi) làm quen với loại toán với dạng chuyên đề Tuy nhiên tìm hiểu thêm số đồng nghiệp thấy khơng dễ dàng với học sinh Căn vào lí trên, đề tài chọn là: "Một số phương pháp giải toán cực trị " Do nhiều điều kiện kinh nghiệm hạn chế, nữa, vấn đề tương đối rộng nên khơng thể tránh khỏi sai sót Rất mong chí bảo q báu thầy đóng góp chân thành bạn đồng nghiệp Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc ! Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức KIẾN THỨC CƠ BẢN I - Định nghĩa: 1- Định nghĩa 1: Cho biểu thức f(x,y, )xác định miền D, ta nói m giá trị lớn f(x,y, ) D điều kiện sau thoả mãn: i) Với x,y, thuộc D f (x,y, ) ≤ m với m số ii) Tồn xo, yo thuộc D cho f (x,y, ) = m 2- Định nghĩa 2: Cho biểu thức f(x,y, ) xác định miền D, ta nói m giá trị nhỏ f(x,y, ) D điều kiện sau thoả mãn: i) Với x ,y, thuộc D f(x,y, ) ≥ m với m số ii) Tồn xo, yo, thuộc D cho f(x,y, ) = m Chú ý: Để tránh sai lầm thường mắc phải làm loại toán , ta cần nhấn mạnh khắc sâu điều kiện định nghĩa, rèn phản xạ sau: + Chứng tỏ f(x,y, ) ≤ m (hoặc f (x,y, ) ≥ m )với x,y, thuộc D + Chỉ tồn xo ,yo , thuộc D để f(x,y, ) đạt cực trị Chú ý: Đến miền giá trị biển Ta kí hiệu MaxA giá trị lớn A, MinA giá trị nhỏ A II - Một số tính chất giá trị lớn giá trị nhỏ hàn số: 1: Tính chất 1: Gỉa sử A ⊂ B ta có : a) Max f(x) ≤ max f(x)A x∈A x∈B b) Min f(x) ≥ f(x) x∈ A x∈ B 2: Tính chất :"Nguyên lý phân rã " Giá sử D = D1∪ D2 ,khi ta có cơng thức sau: Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức a) Max f(x) =Max  Max f(x) , Max f(x)  x ∈D1 x∈D x∈D2 b) Min f(x) =Min  Min f(x) ,Min f(x)  x∈D x∈D1 x∈D2 Chú ý : Từ tính chất cho phép chuyển việc tìm giá trị lớn , nhỏ hàm số tập hợp D phức tạp giá trị tương ứng tập D 1,D2 đơn giản Chính tính chất gọi "Nguyên lý phân rã" 3: Tính chất 3: Nếu f(x,y) ≥ với x thuộc D, ta có : a) Max f(x) = Maxf ( x) x∈ D x∈ D Max f(x) = Maxf ( x) x∈ D x∈ D 4: Tnh chất 4: a) Max (f(x) +g(x) ) ≤ Maxf(x) + Max g(x) (1) x∈ D x∈ D1 x∈D2 b)Min (f(x) + g(x) ) ≤ Min f(x) + Min g(x) (2) x∈ D x∈ D1 x∈D2 Dấu (1) xảy có điểm x mà ta lại có f(x) g(x) đạt giá trị lớn nhất.Tương tự tồn x thuộc D mà f, g đạt giá trị nhỏ (2) có dấu 5: Tính chất 5: Max f(x) = - ≤ Min (f(x)) x∈ D x∈ D Khi dạy phần này, giáo viên nên hướng dẫn học sinh chứng minh tính chất ( dựa vào định nghĩa), tránh áp đặt để học sinh nắm vững kiến thức tránh sai lầm vận dụng giải tập Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn hay nhỏ hàm số, phải tìm TXĐ Cùng hàm số f(x) xét hai TXĐ khác nói chung giá trị lớn tương ứng khác Để cho phù hợp với chương trình lớp phổ thơng Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đồn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức sở, ta giả thiết toán xét tồn gái trị cực trị tập hợp II Vận dụng BĐT Cơ-Si: • Với hai số không âm : a ≥ 0; b ≥ a + b ≥ ab dấu “=” xảy ⇔ a = b • Với n số khơng âm: a1 + a2 + + an ≥ n a1a2 an dấu “=” xảy ⇔ a1 = a2 = = an IV - Những sai lầm thường gặp gải toán cực trị - Sai lầm chứng minh điều kiện 1: A= Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức: 4x − 4x + Lời giải sai: Phân thức A có tử số số khơng đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ Ta có: 4x2 - 4x + = ( 2x - 1)2 + ≥ ,∀x ⇒ A= 3 ≤ , ∀x 4x − 4x + ⇒ MaxA = ⇔ x= Phân tích sai lầm : Tuy đáp số khơng sai khẳng định "A có tử số số khơng đổi nên A có giá trị lớn mẫu số giá trị nhỏ nhất" mà chưa đưa nhận xét tử mẫu số dương Ta đưa ví dụ: Xét biểu thức: B = x −4 Với lập luận " phân thức B có tử khơng đổi nên có giá trị lớn mẫu nhỏ nhất", mẫu nhỏ - x = 0, ta đến MaxB = − giá trị lớn B, chẳng hạn với x = khơng phải 1 >− Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức Mắc sai lầm không nắm vững tính chất bất đẳng thức máy móc áp dụng quy tắc so sánh sai phân số có tử số, mẫu số số tự nhiên sang hai phân số có tử mẫu số nguyên Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: 4x - 4x + = ( 2x - 1) + ≥ nên tử mẫu A số dương Hoặc từ nhận xét suy A > 0, A lớn mẫu số nhỏ ⇔ 4x2 - 4x + nhỏ Vậy giá trị lớn A 1 x = Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ của: A = x2 + y2 biết x + y = Lời giải sai: Theo BĐT Cơ-Si ta có: A = x2 + y2 ≥ 2xy Do A nhỏ ⇔ x2 + y2 = 2xy ⇔ x = y = Khi Min A = 22 + 22 = Phân tích sai lầm: Đáp số khơng sai lập luận mắc sai lầm Ta chứng minh f(x,y) ≥ g(x,y) chữ chưa chứng minh f(x,y) ≥ m với m số Ta đưa ví dụ với lập luận từ bất đẳng thức x ≥ 4x - suy x2 nhỏ ⇔ x2 = 4x - ⇔ (x - 2)2 = ⇔ x = Dẫn đến x2 = ⇔ x = Dễ thấy kết phải là: x2 = ⇔ x = Cách giải đúng: Ta có x + y = ⇔ x2 + 2xy + y2 = 16 (1) Ta lại có ( x - y)2 ≥ ⇒ x2 - 2xy + y2 ≥ Từ (1) (2): (2) 2(x2 + y2) ≥ 16 ⇒ x2 + y2 ≥ Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức Vậy A = ⇔ x = y = 2 - Sai lầm chứng minh điều kiện 2: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ A = x + x 4 Lời giả sai: A = x + x = ( x + x + ) − = ( x + ) − A = − 4 Phân tích sai lầm: Sau chứng minh f(x)≥ − dấu đẳng thức f(x) ≥ − chưa trường hợp xảy dấu đẳng thức x = − (Vô lý) Giái đúng: Để tồn x phải có x ≥ Do A = x + x ≥ A= ⇔ x = Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn A = xyz( x + y)( y + x)( z + x) Với x,y,z ≥ x + y + z = Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: 4ab ≤ ( a + b)2 4( x + y)z ≤ ( x + y + z)2 = 4( y + z)x ≤ ( y + z + x)2 = 4( z + x)y ≤ ( z + x + y)2 = Nhân vế ( hai vế không âm): 64xyz( x + y)( y + x)( z + x) ≤ Max A = 64 Phân tích sai lầm: Sai lầm chổ chưa trường hợp xẩy dấu đẳng thức Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức Điều kiện để A = 64 x + y = z y + z = x   ⇔ z + x = y x + y + z =   x, y , z ≥  x = y = z =  x + y + z =  x, y , z ≥  mâu thuẫn Cách gải đúng: áp dụng bất đẳng thức côsin cho số không âm = x + y + z ≥ xyz (1) = ( x + y) + ( y + x) + ( z + x) ≥ ( x + y)( y + z )( z + x) Nhân vế (1) với (2)( hai vế (2) không âm): ≥ xyz ( x + y )( y + z )( z + x) = A ⇒ MaxA= 2 A ≤ ⇔ A≤ ÷ ⇔ A= 729 9 Dấu “=” xảy ⇔ x = y = z = 729 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ A - Phương pháp tam thức bậc hai: 1- Nội dung: Sử dụng trức tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức bậc hai dạng bình phương biểu thức chứa biến số hạng tự - Các ví dụ: Dạng 1: Tìm cực trị tam thức bậc hai Tìm gia strị nhỏ A =x2 - 8x + Tìm giảtị nhỏ B = 2x2 - 4x + Tìm cực trị có C = - 3x2 - 4x + Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c Tìm giá trị nhỏ P a > Tìm giá trị lớn P a < Hướng dẫn giải: Nhận xét biểu thức dạng tam thức bậc hại A = x2 9x + = ( x - 4)2 - 15 ≥ - 15 ⇒ A = - 15 ⇔ x = B = 2x2 - 4x + = 2( x -1)2 - ≥ -1 ⇒ B = - 7 ≤3 C = - 3x2 - 4x + = -3 ( x - )2 + ⇒c= ⇔ x= ⇔x= b b b P = ax2 + bx + c = a( x2 + a x + a ) =a( x - 2a )2 - b - 4ac 4a + Nếu a > 0: P = - b2 - 4ac 4a 4ac + Nếu a < 0: max P = - b -4a ⇔x= b 2a ⇔ x= b 2a Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhỏ đa thức bậc cao: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ A = ( x2 + x + 1)2 Hướng hdẫn giải: Min A ⇔ Min (x2 + x + 1) Bài toán dạng đặc biệt tốn sau: B = [f(x)]2 (k ∈N) Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ C = x( x - 3)(x - 4)(x - 7) Hướng dẫn giải: Dùng phương pháp đổi biến Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phân thức mà có tử số, có mẫu tam thức bậc hai Ví dụ: Tìm giá trị lớn M = 4x2 - 4x + Dạng phải ý đến dấu tử thức Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phân thức có mẫu bình phương nhị thức: x2 + x + Ví dụ: Tìm giả trị nhỏ P = ( x + 1)2 Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức x+1 Hướng dẫn giải: P = 1 Đặt y = x + 1 có P = y2 + y - - ( y - )2 + , Min P = 1+ (x + 1)2 ⇔y= ≥ ⇔x=1 Cách 2: Viết N dạng tổng số với biểu thức không âm 4x2 + 4x + P = 4(x + 1)2 = Min P = x-1 2(x - 1) + ≥ ⇔x=1 Dạng 5: Tìm giá trị nỏ nhất, lớn biếu thức biết quan hệ biến Ví dụ: Tìm giá trị lớn củabiểu thức: A = 3xy - x2 - y2 Biết x, y nghiệm phương trình: 5x + 2y = 10 10 - Ta có 5x + 2y = 10 ⇔ y = 59 =- 59 ⇔ - x- = - 160 59 - x2 - = 59 x- 125 59 A= x59 (- 59x2 + 160x - 100) - 25 80 + 59 6400 - 25 3481 80 + 59 1600 - 25 59 80 ≤ 59 x= 125 Vậy Max A = 59 ⇒A= ⇔ y= 125 59 80 59 95 59 số tập tự giải - Tìm giá trị nhỏ (lớn nhất) biểu thức sau: a) A = 4x2 - 20x + 35 b) B = - 2x2 + 3x + Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức - Tìm giá trị nhỏ biuể thức sau: a) A = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 5) b) B = x2 - 2x + y2 + 4y + - Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P = 2x2 + 5y2 với 4x - 3y = Q = a3 + b3 + ab với a+b=1 * Tiểu kết: Loại tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phương pháp tam thức bậc hai nhất, hiúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị Rèn kĩ giải toán, đổi biến cách linh hoạt phù hợp với loại toán để biến đổi toán dạng khác dạng tam thức bậc hai - Phương pháp miền giá trị hàm số: a) Nội dung phương pháp: Xét tốn sau: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f(x) với x ∈ D Gọi y0 giá trị tuỳ ý hàm số xét miền cho, tức hệ phương trình ẩn (x) sau có nghiệm: f(x) = y0 (1) x∈D (2) Tuỳ dạng hệ (1),(2) mà ta có điều kiện có nghiệm thích hợp Trong nhiều trường hợp, điều kiện đưa dạng a ≤ y0 ≤ (3) Vì y0 giá trị f(x) nên từ (3) ta tìm Min f(x) = Max f(x) = b x ∈ D Như thực chất phương pháp đưa phương trình bậc hai sử dụng dạng điều kiện ∆ ≥ b) Các ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn của: x2 - x + A = x2 + x + Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức 10 Giải: Biểu thức A nhận giá trị a phương trình ẩn x sau có nghiệm: x2 - x + x2 - x + (1) x2 + x + x2 + x + a= Do x2 + x + ≠ nên (1) ⇔ ax2 + ax + a = x2 - x + ⇔ (a - 1)x2 + (a + 1)x + (a - 1) = (2) TH1: Nếu a = (2) có nghiệm x = TH2: Nếu a ≠ để (2) có nghiệm, cần đủ ∆ ≥ 0, tức là: (a + 1)2 - 4(a - 1)2 ≥ ⇔ (a + + 2a - 2)(a + - 2a + 2) ≥ ⇔ (3a - 1)(a -3) ≤ ⇔ Với a = ≤a≤3 (a ≠ 1) a = nghiệm (2) là: x= Với a = 3 -(a + 1) 2(a - 1) a+1 = 2(a - 1) x = 1, với a = x = -1 Gộp hai trường hợp (1) (2) ta có: Min A = ⇔x=1 Max A = ⇔ x = -1 Bài tập tự giải: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau: a) y= x2 + x + x2 + b) x2 + 3x + x2 + * Tiểu kết: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số biểu thức đưa hàm số phương pháp miền giá trị thường đưa phương trình tìm điều kiện để phương trình có nghiệm phương pháp có ưu điểm tìm cực trị thơng qua việc tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, thơng qua việc giúp cho học sinh rèn kĩ giải phương trình Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đồn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức 11 - Phương pháp sử dụng bất đẳng thức quen thuộc: a) Nội dung phương pháp: Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f(x) ≤ M, ∀x ∈ D M = Max f(x) ⇔ ∃ x0 ∈ D: f(x0) = M m = Min f(x) ⇔ f(x) ≥ m, ∀x ∈ D ∃ x0 ∈ D: f(x0) = M Như vậy, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f(x) miền D đó, ta tiến hành theo hai bước: + Chứng minh bất đẳng thức + Tìm x0 ∈ D cho ứng với gía trị ấy, bất đẳng thức tìm trở thành đẳngt thức Nếu sử dụng bất đẳng thức cơsi, trêbưsop, Bunhia cơpski điểm thường tìm thấy nhờ phần cách pháp dấu đẳng thức ấy, cần có nhận xét thích hợp b) Các bất đẳng thức thường dùng: a2 ≥ tổng quát a2k ≥ 0, k nguyên dương xẩy dấu đẳng thức ⇔ a = - a2 ≥ tổng quát a2k ≥ 0, k nguyên dương xẩy dấu đẳng thức ⇔ a = a ≥ xẩy dấu đẳng thức ⇔ a = - a ≤ a ≤ a xẩy dấu đẳng thức ⇔ a = a + b≤ a+b xẩy dấu đẳng thức ⇔ ab ≥ (a, b dấu) a -b≤ a-b xẩy dấu đẳng thức ⇔ ab ≥ (a, b dấu) a + b + c ≤a+b+c Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức 12 xẩy dấu đẳng thức ⇔ ab ≥ 0; bc ≥ 0; ac≥ a ≥ b ; ab ≥ ⇒ a ≤ b a b b Xảy dấu đắng thức ⇔ a = b ≥ với a, b dấu + a Xảy dấu đẳng thức ⇔ a = b Bất đẳng thức Côsi: a-b ≥ √ ab ( a2 + b2 ≥ 2ab) Xảy dấu đẳng thức ⇔ a = b + Đối với ∀ a ≥ 0; i = , , n a1 + a2 + an n ≥ n √a1, a2, an 9.Bất đẳng thức Bunhia côxki: Nếu (a1, a2, an) ( b1, b2 bn) số tuỳ ý , ta có : Dấu xảy ⇔ a1 b1 aj = bj ( Với quy ước a1 = b1 = 0) 10 Bất đẳng thức Trêbusep a1 ≥ a2 ≥ ≥ an b1≥ b2 ≥ ≥ bn Nếu n( a1b1 + a2b2 + anbn)≤ ( a1 + a2 + +an) ( b1 + b2 + + bn) Dấu xảy ⇔ = ajhoặc bi = bj; ai, bj tuỳ ý c)các ví dụ: Ví dụ 1: cho biểu thức xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x4 +y4 + z4 Giải: áp dụng bất đẳng thức Bunha côpxki ( x, y, z) ( y ,z, x) Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức 13 1= ( xy + yz + zx )2 ≤( x2 + y2 + z2 ) ( y2 + z2 + x2) ⇒ 1≤ ( x2 + y2 + z2 )2 (1) Mặt khác , ( 1,1 1) ( x2 , y2 , z2 ), ta có : (1 x2 +1 y2 + z2 ) ≤ ( 12 + 12 + 12 ).( y4 + z4 + x4) (2) Từ (1) (2) suy : 1≤ (y4 + z4 + x4) = 3P ⇒ P ≥ x y ⇔ y = x = 12 y Vậy Min P = = 1x2 y y z x = 2= z ⇒x=y=z Ví dụ : Tìm giá trị lớn : a, A = √ x-1 + √ y - biết x + y = b B = √x - √x x + √y - y Giải: a Điều kiện x≥ ; y≥ Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm tổng a+ b ≥ √ab lại muốn tăng tổng Ta dùng bất đẳng thức a + b ≤ √2( a2 + b2) A = √x-1 + √y - ≤ √2( x-1 + y -2) = √2 Max A = √2 ⇔ x- = y-2 x + y =4 ⇔ x= 1,5 y = 2, Cách khác : Xét A2 dùng bất đẳng thức Côsi b Điều kiện : x≥ ; y ≥ Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm tổng Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức 14 ... quen với toán cực trị Rèn kĩ giải toán, đổi biến cách linh hoạt phù hợp với loại toán để biến đổi toán dạng khác dạng tam thức bậc hai - Phương pháp miền giá trị hàm số: a) Nội dung phương pháp: ... y = z = 729 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ A - Phương pháp tam thức bậc hai: 1- Nội dung: Sử dụng trức tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức bậc hai dạng bình phương biểu thức... ,yo , thuộc D để f(x,y, ) đạt cực trị Chú ý: Đến miền giá trị biển Ta kí hiệu MaxA giá trị lớn A, MinA giá trị nhỏ A II - Một số tính chất giá trị lớn giá trị nhỏ hàn số: 1: Tính chất 1: Gỉa sử