Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT KHẢO SÁT SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI HỆ CÓ THAM SỐ. Bài toán giải và biện luận hệ có tham số tương đối phức tạp đối với học sinh, đặc biệt là hệ chứa bất phương trình. Tuy nhiên trong một số bài tập nếu ta sử dụng phương trình và tính chất của đường tròn (hình tròn), của đường thẳng trong mp toạ độ để khảo sát sự tương giao giữa các hình thì bài toán nói trên trở nên đơn giản rất nhiều. Sau đây xin nêu một vài ví dụ. Bài 1. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:    =+− ≤−+ 0 22 22 myx xyx )2( )1( Lời giải Ta có (1) ( ) 31 2 2 ≤+−⇔ yx . Tập nghiệm của bất phương trình này biểu diễn hình tròn tâm ( ) 0;1I , bán kính 3=R trên mp toạ độ Oxy. Pt (2) biểu diễn một đường thẳng. Để hệ có nghiệm duy nhất thì đường thẳng 0: =+−∆ myx tiếp xúc với đường tròn có pt: ( ) ( ) RIdyx =∆⇔=+− ;31 2 2 . 61 61 3 2 01     +−= −−= ⇔ = +− ⇔ m m m Bài 2. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:      ≤+ ≥+++ 1 12 yx mxyyx Lời giải Hệ trên tương đương với: ( ) ( )( )    ≤+ +−≥+ ⇔      ≤+ +−≥+ 1 12 1 12 2 yx yxmxy yx yxmxy ( ) ( )    ≤+ +≤−+− ⇔ 1 111 22 yx myx )4( )3( - Với 101 −≤⇔≤+ mm : hệ vô nghiệm - Với 101 −>⇔>+ mm : Nghiệm của bpt (3) được biểu diễn bởi hình tròn tâm ( ) 1;1I , bán kính 1+= mR trên mp toạ độ Oxy. Nghiệm bpt (4) được biểu diễn bởi nửa mp bờ là đường thẳng 01: =−+∆ yx . Mặt khác ( ) 1;1I không thuộc vào miền nghiệm của bpt (4). Do đó hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn: ( ) ( ) 111 22 +=−+− myx , nghĩa là : ( ) 2 1 1 2 1 ; −=⇔+=⇔=∆ mmRId . Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT Bài 3. Tìm m để hệ sau có nghiệm:    =+ ≤+− myx yx 22 0234 . Lời giải -Nếu 0≤m thì hệ vô nghiệm - Nếu 0>m thì số nghiệm của hệ (nếu có) là số giao điểm của nửa mp biểu diễn bởi 0234 ≤+− xy và đường tròn tâm ( ) 0;0O , bán kính mR = . Hơn nửa ( ) 0;0O không thuộc vào miền nghiệm của bpt 0234 ≤+− xy . Do đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi 25 4 ≥⇔≥ mOHm ( với H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống đường thẳng có pt: 0234 =+− xy ). Bài 4. Cho hệ: ( ) ( )    =+− ≤−+− 0 211 22 myx yx ( ) ( ) 6 5 Xác định m để hệ nghiệm đúng [ ] 2;0∈∀x . Lời giải Tập hợp các điểm ( ) yx; thoả mãn (5) là các điểm nằm trong và trên đường tròn có pt: ( ) ( ) 211 22 =−+− yx , với tâm ( ) 1;1I và bán kính 2=R . Tập hợp các điểm ( ) yx; thoả (6) là các điểm nằm trên đt ∆ có pt: 0=+− myx . Giả sử: ∆∈A sao cho 0= A x thì ( ) mA ;0 ; ∆∈B sao cho 2= B x thì ( ) mB +2;2 . Để hệ có nghiệm [ ] 2;0∈∀x thì đoạn thẳng AB nằm trong đường tròn ( ) RI; . Lúc đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 21212 2110 RIB R 22 22 =⇔      ≤−++− ≤−+− ⇔    ≤ ≤ m m mIA . Bài 5. Cho hệ phương trình:    =−+ =−+ 0 0 22 mmyx xyx ( ) ( ) 8 7 Tìm m để hệ có 2 nghiệm phân biệt. Lời giải. PT (7) 4 1 2 1 2 2 =+       −⇔ yx . Do đó tập nghiệm của pt (7) là toạ độ những điểm nằm trên đường tròn tâm       0; 2 1 I , bán kính 2 1 =R . Tập nghiệm của pt (8) là tọa độ những điểm nằm trên đt có pt: 0=−+ mmyx . Họ các đường thẳng này luôn đi qua điểm cố định ( ) 1;0A . Ta có ( ) 1;0A nằm ngoài đường tròn ( ) RI; , từ A dựng 2 tiếp tuyến với đường tròn ( ) RI; . Phương trình 2 tiếp tuyến đó là: 0 = x và 0 3 4 3 4 =−+ yx cũng luôn qua ( ) 1;0A . Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT Vì vậy để hệ có 2 nghiệm phân biệt thì đt có pt: 0=−+ mmyx phải cắt đường tròn ( ) RI; tại 2 điểm phân biệt, suy ra đt có pt: 0=−+ mmyx phải nằm giữa 2 tiếp tuyến trên, khi đó 3 4 0 << m . Vậy 3 4 0 << m là ycbt. Bài 6. Cho hệ phương trình:      =+ =+ m yx yx 22 122 22 . Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó Lời giải. Đặt      = = y x v u 3 2 , điều kiện 0,0 >> vu . Khi đó hệ đã cho trở thành:    =+ =+ mvu vu 1 22 ( ) ( ) 2 1 . x y B O A M Ta có: (1) là PT đường tròn có tâm O(0;0) và bán kính R = 1. Vì đk 0,0 >> vu nên ta chỉ lấy cung AB (góc phần tư thứ nhất). PT (2) là PT của đường thẳng ∆ . Vậy hệ có nghiệm duy nhất ⇔ ∆ tiếp xúc với (C) tại điểm thuộc cung AB ( ) 2 0 ; =⇔    > =∆ ⇔ m m ROd . Khi đó, ∆ tiếp xúc với (C) tại điểm         2 2 ; 2 2 M , suy ra:        = −= ⇔        = = ⇔== 2 2 log 2 1 2 2 3 2 2 2 2 2 3 y x vu y x . Nhận xét: Thông qua các ví dụ trên ta thấy rằng: Khi sử dụng phương trình và tính chất của đường tròn (hình tròn) xét sự tương giao giữa các hình, ta đã đưa các bài toán biện Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT luận hệ về một dạng toán đơn giản và quen thuộc hơn với học sinh. Sau đây là một số bài tập tương tự: Bài 1. Tìm các số dương m để hệ sau có nghiệm:    >+ −=+ myx myx 222 1 Bài 2. Tìm m để mỗi hệ sau có nghiệm: a)    >+ −=+ myx myx 222 1 b) ( )      =+ ≥+ + myx yx yx 2 1log 22 Bài 3. Giả sử ( ) 11 ; yx và ( ) 22 ; yx là hai nghiệm của hệ:    =−+ =−+ 0 0 22 mmyx xyx Chứng minh rằng: ( ) ( ) 1 2 12 2 12 ≤−+− yyxx . Bài 4. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:      ≤+++ ≤+++ mxyx myyx 12 12 22 22 . Bài 5. Tìm m để hệ sau có nghiệm:      −=−+ =+ + m yxyx yx 1242 242 2 22 . HD: Đặt      = = y x v u 4 2 , điều kiện 0,0 >> vu . Bài 6. Cho hệ phương trình: ( ) ( ) . 4212 122 2 2 2 2      =++ =++ yx yx m Tìm m để hệ có nghiệm. Khi đó khẳng định rằng hệ có nghiệm duy nhất. Bài 7. Cho hệ phương trình:      =+ =+ m yx yx 22 822 22 . a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất, b) Tìm m đê hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt. Bài 8. Cho hệ phương trình: . 22)22.(22 1622 2122 22      =++++ =+ ++ mm yxyxyx yx a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất, b) Tìm m để hệ có 3 cặp nghiệm phân biệt. Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN. Các bài toán tổng quát được xét trong không gian với hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxy. Ở phần áp dụng, ngoài VD 1 , VD 2 được giải chi tiết, các VD khác tôi chỉ hướng dẫn giải hoặc đưa ra kết quả để bạn đọc tự giải. Bài toán 1. Trong không gian với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy cho mp ( ) α có phương trình: 0=+++ DCzByAx và hai điểm ( ) 111 ;; zyxM , N ( ) 222 ;; zyx không thuộc ( ) α . Tìm điểm I trên mp ( ) α sao cho: a) INIM + là nhỏ nhất; b) INIM − là lớn nhất. Cách giải a) Trước hết ta xác định vị trí tương đối giữa M và N so với mp ( ) α bằng cách xét: ( )( ) DCzByAxDCzByAxT ++++++= 222111 . - Nếu 0 > T thì M,N nằm cùng phía đối với mp ( ) α . Khi đó ta làm như sau: Xác định M’ đối xứng với M qua mp ( ) α , lúc đó IM=IM’ . Ta có NMINIMINIM '' ≥+=+ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi NMI ,', thẳng hàng. Do đó điểm I thoả a) là giao điểm của M’N và mp ( ) α . - Nếu 0 < T thì M,N khác phía đối với mp ( ) α . Khi đó điểm I cần tìm chính là giao điểm của đường thẳng MN với mp ( ) α . b)- Nếu M và N nằm về cùng một phía đối với mp ( ) α và MN không song song với mp ( ) α thì có MNINIM ≤− . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi I,M,N thẳng hàng. Điểm I cần tìm chính là giao của MN với mp ( ) α . Còn nếu MN//mp ( ) α thì không xác định được điểm I. - Nếu M và N khác phía đối với mp ( ) α thì lấy M’ đối xứng với M qua mp ( ) α . Khi đó NMINIMINIM '' ≤−=− . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi I,M’,N thẳng hàng. Điểm I cần tìm chính là giao của M’N với mp ( ) α . Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz cho hai điểm M(1;2;3) và N(4;4;5). Tìm điểm I thuộc mp(xOy) sao cho IM+IN nhỏ nhất. Lời giải. PT mp(xOy) là 0 = z ( ) 1,0 ==== CDBA . Ta có 0155.3 >== T , do đó M,N nằm về cùng phía đối với mp (xOy). Ta xác định I như sau: Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua mp(xOy). Đường thẳng ( ) d qua M và ( ) ⊥d mp(xOy) có vectơ chỉ phương ( ) 1;0;0=u  nên PT tham số có dạng:      += = = tz y x 3 2 1 ( ) Rt ∈ . Giả sử ( ) xOympdH ∩= thì ( ) tH +3;2;1 , lúc đó ( ) 0;2;103 Ht ⇒=+ . Do đó ( ) ( ) 8;2;3'3;2;1' =⇒− NMM . Ta có NMINIMINIM '' ≥+=+ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( ) xOympNMI ∩= ' . PT của dt M’N: 8 3 2 2 3 1 + = − = − zyx . Điểm ( ) mmmI 83;22;31 +−++ cần tìm thuộc M’N và mp(xOy) nên 8 3 083 =⇔=+− mm . Vậy       0; 4 11 ; 8 17 I . Ví dụ 2. Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz, cho mp ( ) α có PT: 012 =++− zyx và hai điểm ( ) 0;1;3M , ( ) 9;4;9−N . Tìm điểm I trên mp ( ) α sao cho INIM − đạt giá trị lớn nhất. Lời giải. Ta có ( ) 012.6 <−=T nên NM , nằm về hai phía của mp ( ) α . Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua mp ( ) α , khi đó đường thẳng MM’ qua ( ) 0;1;3M và vuông góc với mp ( ) α có PT:      = −= += tz ty tx 1 23 ( ) Rt ∈ , Gọi ( ) α mpMMH ∩= ' , suy ra ( ) ';1;23 MMtttH ∈−+ . Mặt khác ( ) ( ) ( ) ( ) 1;2;11011232 −⇒−=⇔=++−−+⇒∈ HttttmpH α , suy ra ( ) 2;3;1' −−M . Ta có NMINIMINIM '' ≤−=− . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ',, MNI thẳng hàng. Ta lại có ( ) 11;1;8' −=NM , do đó M’N có PT tham số:      +− += −−= t ty tx 112 3 81 ( ) Rt ∈ . Điểm I cần tìm là giao của M’N với mp ( ) α và ( ) ( ) ( ) 13;2;7112;3;81 −⇒∈+−+−− ImptttI α . Vậy ( ) 13;2;7 −I . Bài toán 2. Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz cho đường thẳng d và các điểm M(x 1 ;y 1 ;z 1 ) và N(x 2 ;y 2 ;z 2 ) không thuộc d. Tìm điểm I trên đt d sao cho INIM + bé nhất. Lời giải. Trường hợp 1: M,N và d nằm trong một mp. Khi đó ta thực hiện bài toán trong mp: Nếu đoạn MN cắt d thì giao điểm đó chính là điểm I cần tìm. Nếu đoạn MN không cắt d thì Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT lấy M’ đối xứng với M qua d khi đó IM=IM’. Ta có NMINIMINIM '' ≥+=+ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi NMI ,', thẳng hàng. Do đó điểm I là giao điểm của M’N và d. Hình 1. x N M J I Trường hợp 2: MN và d chéo nhau. Có hai khả năng: - Nếu dMN ⊥ (hình 1) thì ta làm như sau: Gọi (P) là mp qua MN và vuông góc với d tại J, khi đó dNJdMJ ⊥⊥ ; và kNJMJ =+ (không đổi). Với mọi JNINJM;: ≥≥∈ IMdI . Suy ra JNJM +≥+ INIM . Đẳng thưc xảy ra khi và chỉ khi J ≡ I , từ đó tìm được tọa điểm I là giao của (P) và d. d J K H N M I Hình 2. - Nếu MN không vuông góc với d ta chuyển về mp để giải như sau (hình 2): +) Xác định hình chiếu vuông góc H của N xuống d. +) Gọi (R) là mp (N;d); (P) là mp qua H vuông góc d; (Q) là mp (M;d); ( ) ( ) dQP ⊥∆⇒∩=∆ tại H. Trên ∆ lấy K sao cho NHKH = . Khi đó dJ ∈∀ thì MKJKJMJNJMJNJKKJHNJH ≥+=+⇒=⇒∆=∆ . Đẳng thức xảy ra khi J,M,K thẳng hàng từ đó tìm được tọa độ điểm J≡I là giao của MK và d là điểm cần tìm . Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz, cho M(1;2;-1), N(7;-2;3) và đường thẳng d có PT: 2 2 2 2 3 1 − = − − = + zyx . Tìm điểm I thuộc d sao cho IM+IN nhỏ nhất. Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT Lời giải. Đường thẳng d có VTCP ( ) 2;2;3 −=u , mặt khác ( ) 4;4;6 −=MN , suy ra uMN 2= . Ta có dMNdM //⇒∉ , do đó trên mp (d, MN) gọi M’ là điểm đối xứng của M qua đt d thì mp ( ) α qua M(1;2;-1) với VTPT ( ) 2;2;3 −=u có phương trình : 03223 =++− zyx . Gọi ( ) ( ) ( ) 5;2;3'2;2;1 −⇒−⇒∩= MHdH α IMNHINMdI ⇒⇒∩= //' là trung điểm của M’N nên I(2;0;4) là điểm cần tìm. Ví dụ 2. Trong không gian với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz, cho M(3;1;1), N(4;3;4) và đường thẳng d có PT: 1 9 2 3 1 7 − = − − = − zyx . Tìm điểm I thuộc d sao cho IM+IN nhỏ nhất. Hướng dẫn. Ta có ( ) 3;2;1=MN , d có VTCP ( ) 1;2;1 −=u nên dMNuMN ⊥⇒=+−+= 01.3)2.(21.1. . Mặt phẳng (P) qua MN vuông góc với d tại I có PT: 022 =−+− zyx . Điểm ( ) dPI ∩= nên       3 23 ; 3 17 ; 3 17 I . Bài tập tự luyện. Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz, cho mp ( ) α có PT: 2x-y+z+1=0 và hai điểm M(3;1;0); N(-9;4;9). a) Tìm điểm I thuộc mp ( ) α sao cho INIM + đạt giá trị nhỏ nhất. b) Tìm điểm I’ thuộc mp ( ) α sao cho NIMI '' − đạt giá trị lớn nhất. Bài 2. Trong không gian với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz, cho M(1;1;0), N(3;-1;4) và đường thẳng d có PT: 2 2 1 1 1 1 + = − − = + zyx . Tìm điểm I trên d sao cho IM+IN nhỏ nhất. Bài 3. Trong không gian với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz cho M(-1;3;-2) và N(-9;4;9) và mp(P) có PT: 2x-y+z+1=0. Tìm điểm I trên mp(P) sao cho IM+IN bé nhất. Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ. Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số kha đa dạng, phong phú và có thể nói là khó không những đối với học sinh mà còn đối với giáo viên, đặc biệt là các hàm có chứa tham số. Rất nhiều trường hợp, việc tìm GTLN và GTNN của hàm gặp khó khăn, thậm chí không tìm được. Tuy nhiên chúng ta mong muốn biết được một số tính chất nào đó của GTLN, GTNN. Với mong muốn đóng góp một ý tưởng nhỏ cho việc khảo sát GTLN, GTNN của hàm số, bài viết này trình bày một phương pháp đánh giá GTLN, GTNN của hàm số mang định tính thông qua các giá trị của hàm số tại một số điểm đặc biệt của hàm số, từ đó đạt được kết quả mong muốn. Trước hết xin nhắc lại khái niệm GTLN, GTNN của hàm số: Cho hàm số )(xf xác định trên miền )( RDD ⊂ . Giả sử mM, lần lượt là GTLN, GTNN của hàm )(xf trên miền D . ( ) ( ) ( )    =∈∃ ∈∀≤ ⇔= ∈ MxfDx DxMxf xfM Dx 00 : , max . ( ) ( ) ( )    =∈∃ ∈∀≥ ⇔= ∈ mxfDx Dxmxf xfm Dx 00 : , min . Sau đây là một số bài toán minh họa. Bài toán 1. Cho hàm số: ( ) ( ) bxabxaxxf −−++= 3124 23 , Trong đó ba, là các số thực tuỳ ý. Gọi [ ] ( ) xfM x 1;1 max −∈ = . Chứng minh rằng 2 3 ≥M . Lời giải. Trước hết ta có các kết quả sau: { } ( ) { } ( ) βαβα βαβα βαβα −≥+ +≤ +≥ 2 1 ,min 2 1 ,max )3( )2( )1( Do 2 3 và 2 3 − thuộc đoạn [ ] 1;1− nên ta có : ( ) . 22 3 2 3 31 2 3 2 2 3 4 2 3 23 b babafM +=−−+         +         =         ≥ Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT ( ) . 22 3 2 3 31 2 3 2 2 3 4 2 3 23 b babafM +−=−         −−+         −+         −=         −≥ Từ đó suy ra           +−+=                   −         ≥ 22 3 , 22 3 max 2 3 , 2 3 max bb ffM         +−++≥ 22 3 22 3 2 1 bb (theo kết quả (1)) 2 3 22 3 22 3 2 1 =                 +−−         +≥ bb (theo kết quả (2)) Vậy 2 3 ≥M . Bài toán 2. Cho hàm số: ( ) 22 1200712 xaxxxf −−+−= , Trong đó a là số thực tuỳ ý. Gọi [ ] ( ) xfM x 1;1 max −∈ = ; [ ] ( ) xfm x 1;1 min −∈ = . Chứng minh rằng:      −≤ ≥ 2 2007 1 m M . Lời giải. Ta có: ( ) 1)1()1( 2 1 1)1( 1)1( =−+≥⇒    −=−≥ +=≥ ffM afM afM (đpcm) Tương tự ta có: 2 2007 2 1 2 1 2 1 2 2007 22 1 2 2007 22 1 −=             −+       ≤⇒        −−=       −≤ −=       ≤ ffm a fm a fm (theo kết quả (2)). Vậy 2 2007 −≤m . Bài toán 3. Giả sử M là giá trị lớn nhất của b sao cho ( ) 134 3 ≤−+ xbabx , với mọi giá trị của [ ] 1;1−∈x và với mọi số thực a . Chứng minh rằng 1≤M . Lời giải. Đặt ( ) ( ) xbabxxf 34 3 −+= . Từ giả thiết ta có: ( ) ( ) ( )    ≤−−=−−−=− ≤+=−+= 1341 1341 bababf bababf Suy ra 11 ≤+≤− ba (4) Hoàn toàn tương tự ta có: [...]... a,b,c là các tham số thực thoả điều a + b + c ≤ 1 9  kiện: a − b + c ≥ 0 Gọi M = max] f ( x ) Chứng minh rằng M ≤ x∈[ 0;1 8 c ≤ 1  Bài toán 2 Cho hàm số f ( x ) = cos 2 x + a cos( x + α ) , trong đó a, α là các tham số thực tuỳ ý Giả sử M = max f ( x ); m = min f ( x ) Chứng minh rằng: M 2 + m 2 ≥ 2 Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT ỨNG DỤNG CỦA MỘT BẤT... Chứng minh rằng: a b c d e 5 + + + + ≥ b+c c+d d +e e+a a+b 2 Bài 4 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: 3( ab + bc + ca ) = 1 Chứng minh rằng: a b c 1 + 2 + 2 ≥ a − bc + 1 b − ca + 1 c − ab + 1 a + b + c 2 Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC NHỜ KỸ THUẬT CÔSI NGƯỢC DẤU Bài toán 1 Cho các số dương a, b, c thỏa điều kiện a+b+c = 3 Chứng minh. .. luyện Bài 1 Cho các số dương a, b, c Chứng minh rằng: a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 + + ≥ a + b + c a+b b+c c+a Bài 2 Cho các số dương x, y, z Chứng minh rằng: x y z 1 a) x + 2 y + 3z + y + 2 z + 3x + z + 2 x + 3 y ≥ 2 x2 y2 z2 3 + + ≥ b) ( x + y )( x + z ) ( y + z )( y + x ) ( z + x )( z + y ) 4 Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT Bài 3 Cho các số dương a, b, c, d, e Chứng. ..  2 2   2  ( a + b) 4  =  8  2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b 1 1 1 Bài toán 2 Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 4 Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≤ 1 2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z ( Đề thi ĐH khối A 2005) Chứng minh Sử dụng BĐT (1) hai lần ta có: Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT 2 2 2 1 1 1 1  +      1 2 2 2 2 =  ≤ ... d 1+ d a 1+ a b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1 Bài toán 4 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 Chứng minh: a2 b2 c2 + + ≥ 1 a + 2b 2 b + 2c 2 c + 2a 2 Lời giải Sử dụng biến đổi và BĐT Côsi ta có: 23 ( ab ) a2 2ab 2 2ab 2 =a− ≥a− =a− 3 a + 2b 2 a + 2b 2 33 ab 4 Tương tự ta có: 2 Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT 23 ( bc ) b2 ≥b− 3 b + 2c 2 23 (... đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT a b c d ( ab + bc + cd + da ) ≥ 4 − 4 = 2 + + + ≥ (a + b + c + d) − (đpcm) 2 2 2 2 2 2 1+ b 1+ c 1+ d 1+ a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1 Bài toán 3 Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a+b+c+d=4 ta có: a b c d + + + ≥ 2 2 2 2 1 + b c 1 + c d 1 + d a 1 + a 2b Chứng minh Theo BĐT Côsi ta có: ... ỨNG DỤNG CỦA MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN Chứng minh các bất đẳng thức (BĐT) luôn là những bài toán hấp dẫn Với bài viết này tôi muốn giới thiệu với các bạn đọc một số BĐT được chứng minh nhờ một BĐT đon giản Bài toán xuất phát: Cho a, b là hai số thực bất kỳ và x, y là hai số thực dương Chứng minh rằng: a 2 b 2 ( a + b) + ≥ x y x+ y 2 (1), Chứng minh BĐT cần chứng minh tương đương với: a 2 y ( x + y )... một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT Ta cần chứng minh: ab + bc + ca ≥ 3 , nhưng BĐT này được suy ra từ BĐT Cauchy và lưu ý rằng abc = 1 Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Bài toán 5 Cho các số dương a, b, c, p, q Chứng minh rằng : a b c 3 + + ≥ pb + qc pc + qa pa + qb p + q (Với p = q = 1 ta trở về bài toán 3.) Chứng minh Sử dụng BĐT (2) ta có: a b c a2 b2 c2 + + = + +.. .Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT  1 b 1 a  f  2  = 2 + ( a − 3b ) 2 = 2 − b ≤ 1      f  − 1  = − b − ( a − 3b ) 1 = − a + b ≤ 1     2 2 2 2  −1 ≤ − Suy ra a +b ≤1 2 (5) Từ (4) và (5), ta thu được: − 1 ≤ a + b ≤ 1 ⇒ −3 ≤ 3b ≤ 3 ⇒ b ≤ 1  − 2 ≤ −a + 2b ≤ 2 max b ≤ 1 Vậy M ≤ 1 Suy ra Bài tập tự luyện Bài toán 1 Cho hàm số f ( x... a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 4 Chứng minh rằng: a +1 b +1 c +1 d +1 + 2 + 2 + 2 ≥ 4 2 b +1 c +1 d +1 a +1 Bài 5 Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 4 Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 ≥ 2 a +1 b +1 c +1 d +1 2 Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT . Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT KHẢO SÁT SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI HỆ CÓ THAM SỐ. Bài toán giải và biện luận hệ có tham số. mM Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT ỨNG DỤNG CỦA MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN. Chứng minh các bất đẳng thức (BĐT) luôn là những bài toán hấp dẫn. Với bài. trình và tính chất của đường tròn (hình tròn) xét sự tương giao giữa các hình, ta đã đưa các bài toán biện Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT luận hệ về một