1 Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2000 Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 90 phút 1 Bài 1: Cho dãy số x 1 ,x 2 , ,x n , , xác định như sau: x n > 0,x n = ln(1 + x n−1 )∀n ≥ 1 Chứng minh rằng dãy số ấy hội tụ đến một giới hạn l.Tính l. Bài 2: Chứng minh rằng nếu f(x) là hàm số xác định trên R, thỏa mãn điều kiện |f(x 1 ) − f (x 2 )|≤|x 1 − x 2 | 3 , ∀x 1 ,x 2 ∈ R, thì f(x) là hàm hằng. Bài 3: f(x) là một hàm số xác định và liên tục tại mọi x =0, lấy giá trị ≤ 0 , thỏa mãn điều kiện f(x) ≤ k  x 0 f(t)dt.∀x ≥ 0 trong đó k là một hằng số dương, Chứng minh rằng f (x)=0, ∀x ≥ 0. (Gợi ý : Có thể xét sự biến thiên của hàm số F (x)=e −kx  x 0 f(t)dt trên khoảng (0, +∞)) Bài 4: Hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện f  (x) ≥ 0, ∀x ∈ R. Chứng minh rằng f[tx +(1− t)y] ≤ tf(x)+(1− x)f(y), ∀x, y ∈ R, ∀t ∈ (0, 1). Bài 5: Cho số thực k 1 ,k 2 , ,k n , khác nhau từng đôi một. Chứng minh rằng a 1 e k 1 x + a 2 e k 2 x + + a n e k n x =0 ∀x ∈ R Khi và chỉ khi a 1 = a 2 = = a n =0. 1 Tài liệu được soạn thảo lại bằng L A T E X2 ε bởi Phạm duy Hiệp . 1 Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2000 Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 90 phút 1 Bài 1: Cho dãy. 2: Chứng minh rằng nếu f(x) là hàm số xác định trên R, thỏa mãn điều kiện |f(x 1 ) − f (x 2 )|≤|x 1 − x 2 | 3 , ∀x 1 ,x 2 ∈ R, thì f(x) là hàm hằng. Bài 3: f(x) là một hàm số xác định và liên tục. Chứng minh rằng f (x)=0, ∀x ≥ 0. (Gợi ý : Có thể xét sự biến thi n của hàm số F (x)=e −kx  x 0 f(t)dt trên khoảng (0, +∞)) Bài 4: Hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện f  (x) ≥ 0, ∀x ∈ R. Chứng minh