ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012. Môn thi : TOÁN I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2,0 điểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 3 2 1 2 3 . 3 y x x x= − + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến này đi qua gốc tọa độ O. Câu II: (2,0 điểm) 1. Giải phương trình 2 sin 2 3sin cos 2 4 x x x π   + = + +  ÷   . 2. Giải hệ phương trình 2 2 3 3 2 1 2 2 y x x y y x  − =   − = −   . Câu III: (2,0 điểm) 1. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 2 2 2 2m x x x− + = + có 2 nghiệm phân biệt. 2. Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện ( ) 2 2 2 1x y xy+ = + . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4 2 1 x y P xy + = + . Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính theo a thể tích khối chóp .S ABCD và tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp đó. II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Tất cả thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: A hoặc B. A. Theo chương trình Chuẩn Câu Va: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ( ) 1; 2;3I − . Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy. Câu VI.a: (2,0 điểm) 1. Giải phương trình 2.27 18 4.12 3.8 x x x x + = + . 2. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 tan 1 cos x f x x = + . B. Theo chương trình Nâng cao Câu Vb:(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2 : 2 0C x y x+ + = . Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30 o . Câu VI.b: (2,0 điểm) 1. Giải bất phương trình 4 log 3 243 x x + > . 2. Tìm m để hàm số 2 1mx y x − = có 2 điểm cực trị A, B và đoạn AB ngắn nhất. Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012. Môn thi : TOÁN CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM Ý 2 (1,0 đ) Phương trình tiếp tuyến ∆ tại điểm ( ) 0 0 0 ;M x y là ( ) ( ) 2 3 2 0 0 0 0 0 0 1 : 4 3 2 3 3 y x x x x x x x∆ = − + − + − + 0,25 đ ∆ qua O 0 0 0, 3x x⇔ = = . 0,25 đ Khi: 0 0x = thì : 3y x∆ = . 0,25 đ Khi: 0 3x = thì : 0y∆ = . 0,25 đ Câu II (2,0đ) Ý 1 (1,0 đ) PT sin 2 cos 2 3sin cos 2x x x x ⇔ + = + + 2 2sin cos 3sin 2cos cos 3 0x x x x x⇔ − + − − = . 0,25 đ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2cos 3 sin cos 1 2cos 3 0 sin cos 1 2cos 3 0 x x x x x x x ⇔ − + + − = ⇔ + + − = . 0,25 đ Khi: 3 cos ( ) 2 x VN= . 0,25 đ Khi : 2 1 sin cos 1 sin 2 4 2 2 x k x x x x k π π π π π  = − +    + = − ⇔ + = − ⇔  ÷    = +  . KL: nghiệm PT là 2 , 2 2 x k x k π π π π = − + = + . 0,25 đ Ý 2 (1,0 đ) Ta có: ( ) ( ) 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 5 0x y y x y x x x y xy y− = − − ⇔ + + − = . 0,25 đ Khi 0y = thì hệ VN. Khi 0y ≠ , chia 2 vế cho 3 0y ≠ ⇒ 3 2 2 2 5 0 x x x y y y       + + − =  ÷  ÷  ÷       . 0,25 đ Đặt x t y = , ta có : 3 2 2 2 5 0 1t t t t+ + − = ⇔ = . 0,25 đ Khi 1t = ,ta có : HPT 2 1, 1 1 y x x y x y y =   ⇔ ⇔ = = = = −  =   . 0,25 đ Câu III (2,0đ) Ý 1 (1,0 đ) Ta có: 2 2 2 1x x− + ≥ nên PT 2 2 2 2 x m x x + ⇔ = − + . 0,25 đ Xét 2 2 ( ) 2 2 x f x x x + = − + ( ) 2 2 4 3 '( ) 2 2 2 2 x f x x x x x − ⇒ = − + − + . 0,25 đ ( ) 4 4 ' 0 ; 10; lim ( ) 1; lim ( ) 1 3 3 x x f x x f f x f x →−∞ →+∞   = ⇔ = = = − =  ÷   . 0,25 đ KL: 1 10m< < . 0,25 đ Ý 2 (1,0 Đặt t xy= . Ta có: ( ) ( ) 2 1 1 2 2 4 5 xy x y xy xy xy+ = + − ≥ − ⇒ ≥ − 0,25 đ đ) Và ( ) ( ) 2 1 1 2 2 4 3 xy x y xy xy xy+ = − + ≥ ⇒ ≤ . ĐK: 1 1 5 3 t− ≤ ≤ . Suy ra : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 7 2 1 2 1 4 2 1 x y x y t t P xy t + − − + + = = + + . 0,25 đ Do đó: ( ) ( ) 2 2 7 ' 2 2 1 t t P t − − = + , ' 0 0( ), 1( )P t th t kth= ⇔ = = − 1 1 2 5 3 15 P P     − = =  ÷  ÷     và ( ) 1 0 4 P = . 0,25 đ KL: GTLN là 1 4 và GTNN là 2 15 ( HSLT trên đoạn 1 1 ; 5 3 −       ) 0,25 đ Câu IV (1,0đ) Gọi O là giao điểm AC và BD ( ) SO ABCD⇒ ⊥ Ta có: 2 2 2 2 2 2 4 2 a a SO SA OA a= − = − = . 0,25 đ 2 3 . 1 2 6 ABCD S ABCD S a V a= ⇒ = . 0,25 đ Gọi M, N là trung điểm AB và CD và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SMN. Ta chứng minh I cách đều các mặt của hình chóp 0,25 đ ( ) ( ) 2 2 3 1 2 2 4 4 3 SMN a a S pr r a a ∆ − = ⇒ = = + là bán kính cần tìm. 0,25 đ Câu Va (1,0đ) Gọi M là hình chiếu của I lên Oy, ta có: ( ) 0; 2;0M − 0,25 đ ( ) 1;0; 3 10IM R IM= − − ⇒ = = uuur là bán kính mặt cầu cần tìm. 0,25 đ KL: PT mặt cầu cần tìm là ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 10x y z− + + + − = . 0,50 đ Câu VIa (2,0đ) Ý 1 (1,0 đ) Ta có : PT 3 2 2 3 2.3 2 .3 4.2 3 3.2 x x x x x x ⇔ + = + . 0,25 đ Chia 2 vế cho 3 2 0 x > : PT 3 2 3 3 3 2 4 3 0 2 2 2 x x x       ⇔ + − − =  ÷  ÷  ÷       . 0,25 đ Đặt 3 2 x t   =  ÷   . ĐK: t>0; 3 2 3 2 4 3 0 1( ); ( ) 2 t t t t kth t th+ − − = ⇔ = − = . 0,25 đ Khi 3 2 t = , ta có: 3 3 1 2 2 x x   = ⇔ =  ÷   . KL: Nghiệm PT là 1x = . 0,25 đ Ý 2 (1,0 đ) Ta có: ( ) ( ) 2 2 cos sin cos 1 cos x x F x I dx x x = = + ∫ . 0,25 đ Đặt 2 cos 2cos sint x dt x xdx= ⇒ = − Suy ra : ( ) 1 1 1 1 1 1 ln 2 1 2 1 2 dt t I dt C t t t t t +   = − = − = +  ÷ + +   ∫ ∫ . 0,50 đ KL: ( ) 2 2 1 1 cos ln 2 cos x F x C x   + = +  ÷   . 0,25 đ Câu Vb (1,0đ) Ta có: Hệ số góc của tiếp tuyến ( ) ∆ cần tìm là 3± . 0,25 đ Mà: ( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 1 1;0 ; 1C x y I R+ + = ⇒ − = . 0,25 đ Do đó: ( ) 1 : 3 0x y b∆ − + = tiếp xúc (C) ( ) 1 ,d I R⇔ ∆ = 3 1 2 3 2 b b − ⇔ = ⇔ = ± + . KL: ( ) 1 : 3 2 3 0x y∆ − ± + = . 0,25 đ Và : ( ) 2 : 3 0x y b∆ + + = tiếp xúc (C) ( ) 2 ,d I R⇔ ∆ = 3 1 2 3 2 b b − ⇔ = ⇔ = ± + . KL: ( ) 2 : 3 2 3 0x y∆ + ± + = . 0,25 đ Câu VIb (2,0đ) Ý 1 (1,0 đ) ĐK: x > 0 . BPT ( ) 3 3 4 log log 5x x⇔ + > (HS ĐB) 0,25 đ Đặt 3 logt x= . Ta có: 2 4 5 0 5t t t+ − > ⇔ < − hoặc 1 t< . 0,25 đ KL: Nghiệm BPT là 1 0 243 x< < hoặc 3 x< . 0,50 đ Ý 2 ( 1,0 đ) Ta có: 2 2 1 ' mx y x + = . 0,25 đ Hàm số có 2 cực trị ' 0y⇔ = có 2 nghiệm PB khác 0 0m⇔ < . 0,25đ ( ) ( ) 2 1 1 4 ;2 , ; 2 16A m B m AB m m m m     − − − − ⇒ = + −  ÷  ÷ − − −     . 0,25đ ( ) ( ) 2 4 2 .16 16AB m m ≥ − = − (không đổi). KL: 1 ( ) 2 m th= − . 0,25đ …HẾT… . log 3 243 x x + > . 2. Tìm m để hàm số 2 1mx y x − = có 2 điểm cực trị A, B và đoạn AB ngắn nhất. Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012. Môn thi : TOÁN CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM Ý 2 (1,0 đ) . ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012. Môn thi : TOÁN I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2,0 điểm) 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số 3 2 1 2. 0 ,25 đ Đặt x t y = , ta có : 3 2 2 2 5 0 1t t t t+ + − = ⇔ = . 0 ,25 đ Khi 1t = ,ta có : HPT 2 1, 1 1 y x x y x y y =   ⇔ ⇔ = = = = −  =   . 0 ,25 đ Câu III (2,0đ) Ý 1 (1,0 đ) Ta có: