Các phương pháp điển hình để giải bài toán tích phân

51 331 0
Các phương pháp điển hình để giải bài toán tích phân

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

PHNG PHÁP VÀ K THUT IN HÌNH TRONG TÍNH PHÂN Nguyn Vn Cng, THPT M c A, Hà Ni T: 0127.233.45.98 - 04.33.741.526 Email: cuongvan12@gmail.com ng ti ti http://www.mathvn.com/2011/01/cac-phuong-phap-tinh-tich-phan-ien-hinh.html Phép tính tích phân là mt phn quan trng ca gii tích toán hc nói riêng và trong Toán hc nói chung,không nhng nh là mt đi tng nghiên cu trng tâm ca gii tích mà còn có đc lc trong nghiên cu lý thuyt v phng trình, lý thuyt v hàm s. Ngoài ra phép tính vi phân còn đc s dng nhiu trong các môn khoa hc khác nh Vt lý Thiên vn hc ,c hc nó nh là mt gii pháp hu hiu ca các mô hình toán hc c th Hc sinh lp 12 Khi ôn thi tt nghip ,Thi đi hc –cao đng thng rt gp khó khn khi gii các bài tp trong chuyên đ này. Nhng ngi mi hc và làm quen vi Tích phân thng cha hiu rõ t tng cng nh phng pháp tip cn lý thuyt , đc bit là khâu vn dng lý thuyt vào gii các bài toán thc t. Bài vit này xin nêu ra mt s phng pháp đin hình thng đc dùng đ gii các bài tp v tích phân trong các k thi i hc. Ni dung bài vit cng là ni dung c bn ca đ tài sáng kin kinh nghim ca tôi trong nm hc 2010 đã đc S giáo dc và đào to Hà Ni xp loi B. Mc dù đã tham kho mt s lng ln các tài liu hin nay đ va vit, va đi ging dy trên lp đ kim nghim song vì nng lc và thi gian có hn ,rt mong đc s đóng góp ca các bn đng nghip và nhng ngi yêu thích môn toán đ chuyên đ này có ý ngha thit thc hn trong nhà trng ,góp phn nâng cao hn na cht lng Giáo dc ph thông.Giúp các em có phng pháp - k nng khi gii các bài Tích phân trong các k thi cui cp đng thi bc đu trang b cho các em kin thc v phép tính vi phân –Tích phân trong nhng nm đu hc đi hc. Xin vui lòng gii thiu vi các bn đng nghip và nhng ngi yêu toán chuyên đ : “Phng pháp và k thut đin hình tính tích phân” MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 2 I - K thut bin đi vi phân (đa v bng nguyên hàm) Khi s dng k thut bng nguyên hàm ta cn lu ý đn mt s phép toán vi phân đn gin sau: f (x)dx=dF(x) ,Trong đó F(x)- là mt nguyên hàm ca hàm s f(x) dx= 1 ( ) d ax b a + x k dx=d 1 ( ) 1 k x a k + + + sinxdx=d(-cosx) 2 2 2 ( ) dx d x x a x a x x a + + = + + + ; 2 (t anx) os dx d c x = ; 2 ( cot x) sin dx d x = - Mt s công thc suy rng sau cos sin kx kxdx c k = - + ò ; sin os kx c kxdx c k = + ò ; kx kx e e dx c k = + ò ; , ln kx kx a a dx c k R k a = + " Î ò Ví d 1( HA -2010) Tính tích phân : 1 2 x 2 x x 0 x e 2x e I dx 1 2e + + = + ò Li gii 1 1 1 2 2 0 0 0 (1 2 ) 1 2 1 2 x x x x x x e e e I dx x dx dx e e + + = = + + + ò ò ò ; 1 1 3 2 1 0 0 1 ; 3 3 x I x dx = = = ò 1 2 0 1 2 x x e I dx e = + ò = 1 0 1 (1 2 ) 2 1 2 x x d e e + + ò = 1 0 1 ln(1 2 ) 2 x e + = 1 1 2 ln 2 3 e + æ ö ç ÷ è ø Vy I = 1 1 1 2 ln 3 2 3 e + æ ö + ç ÷ è ø Ví d 1( HA -2009) Tính tích phaân 2 3 2 0 I (cos x 1)cos xdx p = - ò Li gii ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 5 2 4 2 1 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 0 0 0 0 0 0 0 cos 1 cos cos cos , cos cos 1 sin cos 8 1 cos2 1 1 1 1 1 2sin sin (sinx) , cos cos2 sin 2 15 2 2 2 2 4 4 I x xdx xdx xdx I x xdx x xdx x x x d I xdx dx dx xdx x x p p p p p p p p p p p p p = - = - = = - = + - + = = = = + = + = ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò Tính tích phân 3 x 1 dx I e 1 = - ò Ví d 3 HKD -09) Tính tích phân 3 x 1 dx I e 1 = - ò Li gii 3 3 3 x x x 3 x x x 1 1 1 1 1 e e e I dx dx dx 2 ln e 1 e 1 e 1 - + = = - + = - + - - - ò ò ò MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 3 3 2 2 ln(e 1) ln(e 1) 2 ln(e e 1) = - + - - - = - + + + Ví d 1 (HKB -03) Tính I= /4 2 0 1 2sin 1 sin 2 x dx x p - + ò Li gii: Nhn thy d(1+sin2x)= 1 os2 2 c xdx , 1-2sin 2 x=cos2x nên ta có I = /4 /4 /4 2 /4 0 0 0 0 1 2sin os2 1 (1 sin 2 ) 1 1 ln(1 sin 2 ) ln 2 1 sin 2 1 sin 2 2 1 sin 2 2 2 x c x d x dx dx x x x x p p p p - + = = = + = + + + ò ò ò Ví d 2 (H KA-06) J = /4 2 2 0 sin 2 os 4sin x dx c x x p + ò Li gii: Nhn thy d(cos 2 x+4sin 2 x)=sin2xdx do đó ta có J= /4 2 2 0 sin 2 os 4sin x dx c x x p + ò = /4 2 2 2 2 0 1 ( os 4sin ) 3 os 4sin d c x x dx c x x p + + ò = 1 2 2 /4 2 0 2 ( os 4sin ) 3 c x x p + = 1 ( 10 2) 3 - Ví d 3 Tính K= 3 2 1 ln 2 ln e x x dx x + ò (HKB-04) Li gii: K = 3 2 3 2 2 1/3 2 3 3 1 1 1 ln 2 ln 1 3 2 ln ln (ln ) (2 ln ) (2 ln ) (3 3 2 2) 2 8 e e e x x dx x xd x x d x x + = + = + + = - ò ò ò Nhn xét 1: - Các tích phân trên có th gii đc bng phng pháp đi bin s song nu ta khéo léo bin đi vi phân thì đa đc v các tich phân c bn . -Dùng phép bin đi vi phân đa v bng nguyên hàm c bn giúp Li gii ngn gn,so vi Phép đi bin s thì không phi đi cn ,Trong gii toán thêm mt phép toán là thêm mt nguy c sai. đ làm rõ u đim ca phng pháp này ta xét bài toán sau Ví d 4: Tính L= ( ) ln ( ) ( ) ( )( ) b x a x b a dx x a x b x a x b + + é ù + + ë û + + ò vi b>a>0 Li gii: MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 4 Vit li L= ( )ln( ) ( )ln( ) ( )( ) b a x a x a x b x b x a x b + + + + + + + ò dx = ln( ) ln( ) b a x a x b dx x b x a + + é ù + ê ú + + ë û ò = [ ] ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) b a x x d x b x b d x a + + + + + ò = [ ] ln( )ln( ) ln( )ln( ) ln ln( ) b b a a a d x b x b x a x b a b b + + = + + = + ò Nhn xét 2 -ây là mt trong nhng bài toán đin hình minh ho tính u vit cho phng pháp s dng phng pháp bin đi vi phân đa v bng nguyên hàm -Mt trong nhng phng pháp c bn nht đ tính tích phân lng giác đó là bin đi Vi phân đa v bng nguyên hàm c bn,khi đó ta cn dùng các công thc bin đi lng giác nh h bc ,nhân đôi ,tng thành tích ta xét các ví d sau Ví d 5 Tính M= /2 sin 0 ( cos ) cos x e x xdx p + ò (H K D-05) Li gii: M= /2 /2 sin 0 0 1 os2 (cos ) 1 2 4 x c x e d x dx e p p p + + = - + ò ò Ví d 6: Tính N= /3 2 2 /4 sin os 1 os xdx c x c x p p + ò Li gii: N= /3 /3 /3 2 1/2 2 2 2 2 /4 /4 /4 2 sin tan 1 (2 tan ) (2 tan ) 5 3 2 1 os 2 tan os cos 1 os xdx xdx x d x c x x c x x c x p p p p p p - = = + + = - + + ò ò ò Ví d 7: Tính P= 2 3 1 2 0 1 x x e dx x + + ò Li gii: P= 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 1 2 1 3 2 2 1 2 0 0 0 (1 ) (1 ) (1 ) 1 x x x x x e dx e x d x dx e d x e e e x - + + + + = + + = + = = - + ò ò ò MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 5 Mt s sai lm thng gp khi tính tích phân bng phng pháp bin đi vi phân Víd 7 : Tính I= 0 1 sinx dx p + ò Nhn xét: Hc sinh khi gii thng gp sai lm sau t x=tanx/2 dx= 2 2 0 2 2 2 0 0 0 2 1 1 2 2 2 2 ; 2 (1 ) ( 1) 1 1 sinx (1 ) 1 sinx (1 ) tan 0 1 t an 1 tan 1 2 2 dt t dx dt t d t x t t t p p p p p - + - - - = Þ = = + + = = - + + + + + + + + ò ò ò Do tan 2 p không xác đnh nên tích phân trên không tn ti. Nguyên nhân sai lm :Do tích phân là tng vô hn các hng t nên 2 0 tan 1 2 p - Þ + vn đc tha nhn. Li gii đúng: I= 0 1 sinx dx p + ò = 0 1 os( ) 2 dx c x p p + - ò = 0 2 0 ( ) 2 4 tan( ) tan tan( ) 2 4 4 4 1 os ( ) 2 4 x d x x c p p p p p p p - = - = - - + - ò =2 Qua bài toán trên ngi thy nên lu ý vi hc sinh khi đi bin s trc ht phi ngh ngay ti phép đi bin có tn ti hay không?( cng ging nh khi ta gii phng trình cn đt điu kin cho n s nu có) Ví d 8 I= 4 2 0 6 9 x x dx - + ò Nhn xét: Hc sinh thng mc sai lm sau I= 4 2 0 6 9 x x dx - + ò = 4 4 2 2 2 4 0 0 0 ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 4 2 x x dx x d x - - = - - = = - ò ò Nguyên nhân sai lm là phép bin đi 2 ( 3) 3 x x - = - không tng đng đng trên [ ] 0,4 vì |x-3|= 3;3 4 3 ;0 3 x x x x - £ £ ì í - £ £ î Li gii đúng là MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 6 I= 4 2 0 6 9 x x dx - + ò = 4 4 4 3 4 2 2 0 0 0 0 3 ( 3) ( 3) ( 3) | 3| ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) x dx x d x x d x x d x x d x - = - - = - - = - - - + - - ò ò ò ò ò = 2 2 3 4 0 0 ( 3) ( 3) | 5 2 2 x x- - - + = Ví d 9: Tính I= 2 2 2 ( 1) dx x - + ò Hc sinh thng mc sai lm khi bin đi nh sau I = 2 2 2 ( 1) dx x - + ò = 2 2 2 ( 1) ( 1) d x x - + + ò = 2 2 1 4 | 1 3 x - - - = + Nguyên nhân sai lm là do hàm s y= 2 1 ( 1) x + gián đon trên đon [ ] 2;2 - nên không s dng đc công thc NeW ton –leibnitz nh trên. Li gii đúng là : hàm s y= 2 1 ( 1) x + không xác đnh ti x=-1 [ ] 2;2 Î - nên gián đon trên [ ] 2;2 - ,do vy tích phân trên không tn ti. Tng kt:  s dng đc thành tho k thut s dung bng nguyên hàm hc sinh hiu đc bn cht ca các công thc,phi hiu công thc trong trng thái đng.khi đng trc bài toán tính tích phân cn xem xét k biu thc di du tích phân,nu có ý tng s dng bng nguyên hàm thì đnh đa v công thc nào trong bng nguyên hàm.  làm đc điu đó hoc sinh phi hiu k bn cht ca công thc, có t duy trong bin đi vi phân mt cách logic, đ tip nhn nó mt cách t nhiên ,không gng ép . Chng hn khi hng dn hc sinh s dung công thc 1 1 x x dx c a a a + = + + ò , hc sinh phi hiu giá tr x trong hai s x a và dx là ging nhau, nu thay x trong hai s đó bi mt biu thc khác th công thc trên vn đúng ví d thay MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 7 X = 2t+1 thì ta có 1 (2 1) (2 1) (2 1) 1 t t d t c a a a + + + + = + + ò ,Nhng nu ch có dng (2 1) t dt a + ò mun s dng đc công thc trên phi bin đi dt = 1 (2 1) 2 d x + .ngha là ta đã bin đi vi phân. Tng t đi vói các nguyên hàm khác.  luyn tp k thut trên ta có th làm tng t các bài tp sau 1/I= 4 3 sinx dx p p ò ; 2/J= 4 3 cos dx x p p ò ; 3/K= 32 3 1 x x dx - ò ;4/L= tan x dx ò ;5/ M= 4 dx cos x ò 6/N= 2 4 2 1 os 1 x x c x + + ò ; 7/ P= 2 1 ln (ln 1) e x x x + ò ; 8/Q= 2001 2 1002 (1 ) x dx x+ ò ; 9/y= 2 2 2 0 sin x cos 3sin 4 os xdx x c x p + ò ; 10/T= 3 3 5 6 sin os dx xc x p p ò ; 11/H= 4 6 6 0 sin 4 sin os xdx x c x p + ò II-Tính tích phân bng cách đa biu thc di du tích phân v do hàm ca mt hàm s khi s dng k thut này ta chú ý đn các tính cht quan trng sau · ( UV) ’ =UV ’ +U ’ V · ' ' ' 2 U U V UV V V - æ ö = ç ÷ è ø · ( ) ( ) ' ' U V UV dx d UV + = ò ò · ' ' 2 U V UV U dx d V V - æ ö = ç ÷ è ø ò ò Ví d 1 I= 2 1 2 ln ln e e x dx x æ ö + ç ÷ è ø ò (H NT-00) Li gii: Ta có ' ' ' 1 2 ln 2 ln .( ) (2 ln ) (2 ln ) ln x x x x x x x x + = + = MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyn Vn Cng, M c A, H Ni - www.MATHVN.com 8 Do ú I= 2 2 2 2 1 2 ln (2 ln )= 2 ln 2 2 2 ln e e e e e e x dx d x x x x e e x ổ ử + = = - ỗ ữ ố ứ ũ ũ Vớ d 2 J= 2 0 1 sinx 1 cos dx x p + + ũ (H -Dc -00) Li gii: J= 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 0 1 2sin os 1 sinx 1 2 2 tan tan 1 cos 2 2 2 os 2 os 2 2 tan 2 x x x x x x x x c x x e dx e dx e e dx d e x x x c c x e e p p p p p p ộ ự + ờ ỳ + ổ ử = = + = = ờ ỳ ỗ ữ + ố ứ ờ ỳ ở ỷ ổ ử = ỗ ữ ố ứ ũ ũ ũ ũ Nhn xột :Ngoi cỏch gii trờn ta cũn cú th gii nh sau Cỏch 2 Phõn tớch K= 2 2 2 1 2 0 0 0 1 sinx 1 sinx 1 cos 1 cos 1 cos x x x e dx e dx e dx K K x x x p p p + = + = + + + + ũ ũ ũ 2 2 2 2 2 1 0 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 (tan ) tan tan 1 cos 2 2 2 2 os 2 sin sin 1 cos 2 os 2 x x x x x x x x x x K e dx e dx e d e e dx x x c x x e e dx e e dx K K e K K e x x c p p p p p p p p p p p = = = = - + = - = - - ị = + - = + ũ ũ ũ ũ ũ ũ Cỏch 3: Cú th t 2 2 (1 cos ) sinx 1 sinx (1 cos ) (1 cos ) 1 cos x x x du u x x x dv e dx v e ỡ ộ ự + + ỡ = - = ù ù ờ ỳ + + ị + ớ ớ ở ỷ ù ù = = ợ ợ dx T ú ta cú K= 2 2 ' 2 2 2 2 0 2 2 2 1 sinx (1 cos ) sinx 1 e 2 ( ) 1 cos (1 cos ) (1 cos ) 2 (1 cos ) 1 2 ( ) 2 1 cos x x x x o o x o x e e e dx e dx x x x x e e e x p p p p p p p ộ ự + + - - = - - = ờ ỳ + + + + ở ỷ - - = + ũ ũ Vớ d 3 K = 2 2 . ( 2) x x e x + ũ dx Li gii: MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 9 K = 2 ' 2 2 2 ' . 4 4 2 1 1 1 4 4 ( ) ( ) ( 2) ( 2) ( 2) 2 2 4 ( ) 4( ) 2 2 x x x x x x x x x x x x e x x dx e e dx e dx e e e dx x x x x x e e e dx e C x x é ù + + - é ù = - = - = - + ê ú ê ú + + + + + ë û ë û - = - + + + ò ò ò ò ò  luyn tp ta tính các tích phân sau I= 4 2 2 0 4 tan (1 tan ) 2 2 x x x x dx p é ù + + ê ú ë û ò HD: I= 2 tan 8 8 p p J= 1 2 2 0 ( 1) ( 1) x x e dx x + + ò HD: J=1 K= 2 sinx 0 (1 cos ) e x x dx p + ò HD: K= 2 e p III-K thut đi bin s 1/i bin s dng 1: i bin s là mt trong nhng phng pháp quan trng nht đ tính nguyên hàm và tích Phân .C s ca phng pháp đi bin s dng 1 là công thc sau , [ ( )] ( ) b a f u x u x dx ò = ( ) f u du b a ò Trong đó f(x) là hàm s liên tc và hàm s u(x) có đo hàm liên tc trên K sao cho f[u(x) ] xác đnh trên K và ( ), ( ) u a u b a b = = . Áp dng tính cht trên ta có quy tc đi bin sau Xét tích phân ( ) b a f x dx ò . t t=V(x) khi đó ta bin đi f(x)dx=g(t)dt do đó ( ) b a f x dx ò = ( ) g t dt b a ò và ( ), ( ) u a u b a b = = MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyn Vn Cng, M c A, H Ni - www.MATHVN.com 10 Khi i bin s iu quan trng l chn c hm V(x) thớch hp sao cho tớch phõn vi bin mi phi n gin hn so vi tớch phõn ban u ,v gn lin vi vic i bin ú l phi i cn , ta xột mt s bi toỏn sau trc khi rỳt ra nhng kinh nghim trong vic la trn hm V(x). Vớ d 0(HKB-2010): Tớnh tớch phõn I = 2 1 ln (2 ln ) e x dx x x+ ũ ( ) 2 1 ln 2 ln e x I dx x x = + ũ ; 1 ln u x du dx x = ị = ( ) ( ) 1 1 2 2 0 0 1 2 2 2 2 u I du du u u u ổ ử = = - ỗ ữ ỗ ữ + + + ố ứ ũ ũ 1 0 2 ln 2 2 u u ổ ử = + + ỗ ữ + ố ứ ( ) 2 ln3 ln2 1 3 ổ ử = + - + ỗ ữ ố ứ 3 1 ln 2 3 ổ ử = - ỗ ữ ố ứ Vớ d 1: Tớnh I= 2 3 2 5 4 dx x x + ũ (HKA-03) Li gii: t t= 2 4 x + khi x= 5 ,t=3 x= 2 3 ,t=4. t 2 =x 2 +4 suy ra x 2 =t 2 - 4,tdt=xdx I= 2 3 2 5 4 dx x x + ũ = 2 3 2 2 5 4 xdx x x + ũ = 4 4 4 4 4 2 2 3 3 3 3 3 1 ( 2) ( 2) 1 ( 2) 1 ( 2) ( 4) 4 4 ( 2)( 2) 4 2 4 2 tdt dt t t d t d t dt t t t t t t t + - - - + = = = - = - - + - - + ũ ũ ũ ũ ũ 4 3 1 2 1 5 ln ln 4 2 4 3 t t - = + . Nhn xột 1: -Dng tng quỏt ca tớch phõn trờn l 2 ( ) b a dx mx n px qx c + + + ũ ngoi cỏch gii nh trờn l t t= 2 px qx c + + ta cũn cú th gii nh sau: t mx+n= 1 t . Sau ú chuyn tớch phõn trờn v bin mi t ta cng thu c kt qu trờn -i vi cỏc tớch phõn cú cha biu thc ( ) n f x ta thng ngh ti vic la chon t= ( ) n f x ( tr mt s trng hp s cú du hiu i bin s dng 2 s trỡnh by sau ).Ta xột thờm mt s vớ d lm sỏng t Vớ d 2 : Tớnh (HKA-04) . thuyt vào gii các bài toán thc t. Bài vit này xin nêu ra mt s phng pháp đin hình thng đc dùng đ gii các bài tp v tích phân trong các k thi i hc. Ni dung bài vit cng là. trong nhng bài toán đin hình minh ho tính u vit cho phng pháp s dng phng pháp bin đi vi phân đa v bng nguyên hàm -Mt trong nhng phng pháp c bn nht đ tính tích phân lng. ,các em t mình chim lnh kin thc ,t rút ra nhng bài hc b ích t vic gii đc hay không gii đc nhng bài tích phân, có nh vy khi đng trc nhng bài toán mi hay nhng bài toán

Ngày đăng: 28/07/2015, 17:22

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan