SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG VŨ THỊ VÂN MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ Tổ: Năm học: Mã số: Toán - Tin 2009 - 2010 Bắc Giang, tháng năm 2010 Mục lục Lời nói đầu Chương Một số phương pháp thường dùng 1.1 Phương pháp sai phân 1.2 Phép lượng giác 1.3 Sắp xếp lại thứ tự 1.4 Phương pháp quy nạp 1.5 Sử dụng định lý giới hạn tương đương 10 Chương Chứng minh tính chất dãy số 2.1 13 Tính chất số học 13 2.1.1 Giới thiệu tính chất số học 13 2.1.2 Dãy số nguyên 14 2.1.3 Bài tập 18 2.2 Tính chất giải tích 19 2.3 Tính tuần hồn dãy số 21 2.4 Dãy số đẳng thức 25 2.5 Dãy số bất đẳng thức 28 Chương Bài tập 33 3.1 Bài tập có hướng dẫn giải 33 3.2 Bài tập tự giải 40 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Lời nói đầu Lời nói đầu Dãy số phần quan trọng đại số giải tích tốn học Đối với tốn học phổ thơng, đặc biệt chương trình tốn học dành cho học sinh chuyên, dãy số chiếm mảng không nhỏ thường khó Trong kì thi học sinh giỏi quốc gia, khu vực quốc tế, toán liên quan đến dãy số thường đề cập Đặc biệt, toán liên quan đến tính chất dãy số điều thường quan tâm Hiện nay, tài liệu viết dãy số chưa nhiều, tài liệu viết sâu tính chất dãy số lại Để có thêm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh chuyên dãy số số tính chất dãy số, mạnh dạn viết chuyên đề Chuyên đề chủ yếu trình bày số phương pháp giải tốn có liên quan đến tính chất dãy số, nhằm giúp người giải toán tiếp cận tìm lời giải Trong chuyên đề trình bày số tính chất hay xuất toán dãy số, đưa số tập liên quan tính chất nêu với hướng dẫn giải Để thực chuyên đề, người viết tham khảo, sưu tầm tài liệu viết dãy số, chọn lọc nghiên cứu lời giải, tìm chất thực vấn đề nêu Hi vọng chuyên đề giúp bạn đọc có thêm nhìn sâu chất dãy số, khám phá tính chất thú vị cách dễ dàng Đặc biệt, học sinh chuyên toán, chuyên đề giúp em từ làm quen đến thành thạo giải tốn có liên quan đến tính chất dãy số Nhân đây, người viết xin gửi lời cảm ơn đến đồng nghiệp trường THPT chuyên Bắc Giang, người cung cấp kinh nghiệm quý báu, tạo điều kiện cho người viết hồn thành chun đề Do trình độ thời gian hạn chế, chuyên đề không tránh khỏi thiếu sót mặt nội dung hình thức, mong nhận góp ý quý bạn đọc Bắc Giang, ngày 30 tháng 03 năm 2010 Người thực Vũ Thị Vân Chương Một số phương pháp thường dùng 1.1 Phương pháp sai phân Trong số tốn ta thường phải xử lí tổng liên quan đến số hạng dãy số cho trước Để thực yêu cầu đầu bài, ta thường phải đánh giá rút gọn tổng Phương pháp sai phân tỏ hiệu giải vấn đề Sau số kiểu áp dụng Để tính S(n) = a1 + a2 + · · · + an , ta tìm f (n) cho an = f (n + 1) − f (n) Khi Sn = f (n + 1) − f (1) Cách làm gọi phương pháp sai phân hữu hạn (tách số hạng tổng qt) Có thể dự đốn hàm f (n) sử dụng tích phân Ta biết tích phân đa thức bậc k đa thức bậc k + 1, vậy, ∆f (k) := f (k + 1) − f (k) = nk f (k) phải có bậc k + Các hàm rời rạc khơng có nguyên hàm, ta đánh giá tổng bất đẳng thức tích phân Ví dụ 1.1 Cho dãy số (xn ) xác định x1 = Tính [S2010 ] biết S2010 = ; xn+1 = x2 + xn, ∀n ≥ n 1 + + ··· + x1 + x2 + x2010 + Hướng dẫn Từ công thức truy hồi ta có xn+1 = 1 1 ⇒ = − − xn xn + xn + xn xn+1 1.2 Phép lượng giác Do dó S2010 = − < Mặt khác dễ thấy (xn ) tăng, x2 = , x2011 21 x3 = > suy xn > 1, ∀n ≥ hay S2010 > Vậy [S2010 ] = 16 Nhận xét Ta tổng quát dạng: 1) Chứng minh [Sn ] = 1, ∀n ≥ 3, 2) Chứng minh lim Sn = Ví dụ 1.2 Cho dãy số (xn ) xác định sau x2 x1 = 1; xn+1 = n + xn , ∀n ≥ 1, với a số dương cho trước a x1 x2 xn Đặt un = + + ··· + Chứng minh lim un = a x1+1 x2+1 xn+1 Hướng dẫn Từ cơng thức truy hồi, ta có xn =a xn+1 1 − xn xn+1 suy un = a 1 − x1 xn+1 =a 1− xn+1 Dễ thấy (xn ) tăng Nếu xn bị chặn tồn lim xn = A, với A hữu hạn Khi đó, mặt (xn ) tăng x1 = 1, x2 = + > nên A > Mặt khác, chuyển qua giới a A2 + A ⇒ A = Mâu thuẫn Như vậy, dãy số hạn công thức truy hồi ta có A = a = Từ suy (xn ) dãy tăng khơng bị chặn nên lim xn = ∞ hay lim xn điều phải chứng minh Nhận xét Ta thay a số cụ thể nào, ta kết tương ứng, chẳng hạn a = 2010 Hoặc ta đưa yêu cầu chứng minh un < a, ∀n 1.2 Phép lượng giác Nhiều dãy số với cơng thức phức tạp trở thành dãy số đơn giản nhờ phép lượng giác Từ khảo sát tính chất đặc biệt dãy số đó, đặc biệt việc xét tính tuần hồn u cầu kĩ thuật này, trước hết mặt kiến thức cần nắm công thức lượng giác, tính chất hàm số lượng giác Ngồi ra, kĩ thuật đơi cịn địi hỏi chút nhạy cảm toán học Dấu hiệu 1.2 Phép lượng giác để ta nghĩ đến phương pháp là: tốn có cơng thức gợi nhớ đến công thức lượng giác, giả thiết kết luận giống với tính chất hàm lượng giác tính bị chặn hay tính tuần hồn Ví dụ 1.3 Cho dãy số (xn ) thỏa mãn |x1 | < 1; 2xn+1 = − 3x2 − xn , ∀n ≥ n a) Tìm điều kiện cho x1 để tất số hạng dãy số dương? b) dãy số có tuần hồn khơng? Hướng dẫn Từ giả thiết |x1 | < công thức truy hồi cho dạng hàm số − 3x2 − xn , gợi cho ta nghĩ đến phép lượng giác xn+1 = f (xn ) với f (x) = n với cách đặt x1 = cos φ, φ ∈ (0; π) √ 2π Khi x2 = sin φ − cos φ = cos φ − 2nπ Bằng quy nạp, ta tìm xn+1 = cos φ − Như vậy, dãy số trở nên đơn giản nhiều, số hạng dãy số hàm số lượng giác phụ thuộc n a) xn > 0, ∀n ⇔ cos φ − 2nπ > 0, ∀n Từ tìm φ suy x1 b) dãy cho tuần hồn Ví dụ 1.4 Hai dãy số (an ), (bn ) xác định a1 = α, b1 = β, an+1 = αan − βbn; bn+1 = βan + αbn , ∀n ≥ Có cặp (α, β) thỏa mãn a2010 = b1 ; b2010 = a1 Hướng dẫn Từ giả thiết, thu kết quả: a2 + b2 = (α2 + β 2)n+1 n+1 n+1 Từ điều kiện a2010 = b1 ; b2010 = a1 suy α2 + β = Đặt α = cos ϕ, β = sin ϕ, (ϕ ∈ [0; 2π]) Theo quy nạp, ta an = cos(nϕ); bn = sin(nϕ) Sau tìm ϕ cho cos(2010ϕ) = sin ϕ sin(2010ϕ) = cos ϕ Đáp số ϕ = (4k + 1)π tương ứng có 2011 (α; β) 2.2011 1.3 Sắp xếp lại thứ tự 1.3 Sắp xếp lại thứ tự Thủ thuật thường áp dụng toán liên quan đến bất đẳng thức dãy số Khi số có thứ tự xuất tính chất đặc biệt mà ta sử dụng Ví dụ 1.5 Tồn hay không dãy số thực xn thỏa mãn điều kiện a) |xn | ≤ 0.666, ∀n ∈ N∗ ; 1 + , ∀m = n b) |xm − xn | ≥ n(n + 1) m(m + 1) Hướng dẫn Giả sử tồn dãy số Với số nguyên dương N , ta lại số x1 , , xN theo thứ tự tăng dần xi1 ≤ xi2 ≤ · · · ≤ xiN Khi |xiN − xi1 | = xiN − xi(N −1) + · · · + |xi2 − xi1 | 1 1 + ··· + ≥ iN (iN + 1) i(N −1)(i(N −1) + 1) i2 (i2 + 1) i1 (i1 + 1) N =2 k=1 1 − − = A(N ) ik (ik + 1) iN (iN + 1) i1 (i1 + 1) Vì i1, i2 , , iN hoán vị 1, 2, , N nên N A(N ) = k=1 1 − − k(k + 1) iN (iN + 1) i1 (i1 + 1) N +1 ≥2 1− N +1 =2 1− iN (iN + 1) i1 (i1 + 1) 1 − − = − 1.2 2.3 N +1 − − Mặt khác |xiN − xi1 | ≤ |xiN | + |xi1 | ≤ 2.0, 666 < Chọn N đủ lớn cho − > 2.0, 666 Mâu thuẫn Vậy không tồn dãy số thỏa mãn yêu cầu N +1 1.4 Phương pháp quy nạp Đối với tốn chứng minh tính chất dãy số mà tính chất mệnh đề P (n), ta cần phải chứng P (n) với ∀n ≥ n0 , n0 số tự nhiên cho trước, phương pháp chứng minh quy nạp lại hiệu 1.4 Phương pháp quy nạp Ví dụ 1.6 Cho dãy số (an) xác định: a1 = 1; a2 = −1; an+1 = −an − 2an−1 , ∀n ≥ Chứng minh với ∀n ≥ ta ln có 2n+1 − 7a2 = (2an + an−1 )2 n−1 (1.1) Hướng dẫn Sử dụng phương pháp quy nạp Với n = ta có 23 − = (−2 + 1)2 , suy (1.1) với n = Giả sử (1.1) với ∀k ≥ n, n ≥ Khi đó: (2an+1 + an )2 = (−2an − 4an−1 + an )2 = (−an − 4an−1 )2 = a2 + 8an an−1 + 16a2 n n−1 = 2(4a2 + 4an an−1 + a2 ) + 14a2 − 7a2 n n−1 n−1 n = 2(2an + an−1 )2 + 14a2 − 7a2 n−1 n = 2(2n+1 − 7a2 ) + 14a2 − 7a2 n−1 n−1 n = 2n − 7a2 n Suy (1.1) với k = n + Điều phải chứng minh (Đpcm) Chú ý Kết luận toán phát biểu: Chứng minh ∀n ≥ ta ln có 2n+1 − 7a2 số phương n−1 Ví dụ 1.7 Cho x1 , x2 , , xn số thực dương Chứng minh x1 x2 · · · xn = x1 + x2 + + xn ≥ n với ∀n = 1, 2, Hướng dẫn Áp dụng phương pháp quy nạp Với n = 2, ta cần chứng minh x1 x2 = suy x1 + x2 ≥ Thật vậy, ta có ≥ ⇒ x1 + x2 ≥ x1 Đẳng thức xảy x1 = hay x1 = x2 = (x1 − 1)2 ≥ ⇒ x2 + ≥ 2x1 ⇒ x1 + Giả sử mệnh đề với n ≥ Ta chứng minh cho n + 1, nghĩa chứng minh từ x1 x2 · · · xn xn+1 = (1.2) 10 1.5 Sử dụng định lý giới hạn tương đương suy x1 + x2 + + xn + xn+1 ≥ n + (1.3) Từ (1.2) cho ta hai trường hợp: • Tất số x1 = x2 = · · · = xn+1 = Khi x1 + x2 + + xn + xn+1 = n + • Khơng phải số Trong số có số lớn 1, có số nhỏ Chẳng hạn x1 < 1, xn+1 > Khi ta có y1 x2 · · · xn = với y1 = x1 xn+1 Do giả thiết quy nạp với n, nên ta có y1 + x2 + + xn ≥ n Khi x1 + + xn+1 = y1 + x2 + + xn + xn+1 − y1 + x1 ≥ n + xn+1 − y1 + x1 = (n + 1) + xn+1 − y1 + x1 − = (n + 1) + xn+1 − x1 xn+1 + x1 − = (n + 1) + (xn+1 − 1)(1 − x1 ) ≥ n + x1 < 1, xn+1 > Đpcm 1.5 Sử dụng định lý giới hạn tương đương Định lí 1.1 Cho dãy số (ck ) với < ck < 1, k = 1, 2, 3, Xét dãy số n xn = n (1 + ci ) ; yn = i=1 (1 − ci ) i=1 Khi ba đẳng thức sau tương đương lim xn = +∞ (1.4) lim yn = (1.5) n→+∞ n→+∞ n lim n→+∞ Chứng minh ci i=1 = +∞ (1.6) 11 1.5 Sử dụng định lý giới hạn tương đương n • ci < M với < M < +∞ Khi Chứng minh (1.4) ⇒ (1.6) Giả sử i=1 n (1 + ci ) < i=1 1+ n n n ci < 1+ i=1 M n n < eM , vơ lý lim xn = +∞, hay (1.6) chứng minh n→+∞ n n (1 + ci ) > ci • Chứng minh (1.6) ⇒ (1.4) Điều hiển nhiên • Chứng minh (1.5) ⇒ (1.6) Nhận xét ứng với n số a1 , a2 , , an với i=1 i=1 < < quy nạp ta dễ dàng chứng minh n n > − i=1 (1 − ) i=1 n Do lim n→+∞ (1 − ci ) = nên ứng với m tồn n > m cho i=1 n i=1 n n ci > − Từ ta có i=1 • i=1 (1 − ci ) < (1 − ci ) > Suy lim n→+∞ n ci = +∞ i=1 Chứng minh (1.4) ⇒ (1.5) Ta có n n (1 − c2 ) i 1> = i=1 n (1 + ci ) i=1 (1 − ci ) i=1 n Nhưng lim n→+∞ (1 + ci ) = +∞ nên theo nguyên lý kẹp ta có i=1 n lim n→+∞ (1 − ci ) = (đpcm.) i=1 Ví dụ 1.8 Cho dãy số thực dương tăng (un ) thỏa mÓn lim un = +∞ Chứng minh n→+∞ tồn k ∈ N cho u1 u2 uk + + ··· + < k − 2010 u2 u3 uk+1 (1.7) 30 2.5 Dãy số bất đẳng thức Giả sử an < 1 , n ≥ Xét hàm số f (x) = x − x2 , tăng [0; ), mà an < nên n n 1 1 1 an+1 ≤ f (an ) < f ( ) = − = − < n n n n + n (n + 1) n+1 Ví dụ 2.21 Cho dãy số nguyên không âm (an ) thỏa mãn bất đẳng thức an+m ≤ an + am , ∀n, m ∈ N Chứng minh rằng, an < ma1 + n − am, ∀n > m m Hướng dẫn Dùng quy nạp Trước hết quy nạp theo k ta chứng minh an ≤ kam + an−mk (∗), ∀k ≥ n m Thật vậy, theo giả thiết an = an+(n−m) ≤ am + an−m, suy (∗) với k = Giả sử (∗) với k Ta có an ≤ kam + an−mk = kam + am+n−mk−m ≤ kam + am + an−mk−m = (k + 1)am + an−(k+1)m Tiếp theo, từ giả thiết ta có am = a1+(m−1) ≤ a1 + am−1 ≤ · · · ≤ ma1 Nếu n = mk + r, (r = 1, , m − 1) từ am ≤ ma1, ar ≤ ra1 , ta suy n−r am + ar m n−m+m−r n−m r am + ar = am + +am − am + ar = m m m n−m n am + ma1 − ra1 + ra1 = ma1 + − am ≤ m m an ≤ kam + an−mk = kam + ar = Ví dụ 2.22 Cho dãy số (xn ) xác định sau x1 = 1; xn = , ∀n ≥ x1 + x2 + · · · + xn−1 Chứng minh rằng, tồn n ∈ N∗ cho x1 + x2 + · · · + xn > 2010 Đpcm 31 2.5 Dãy số bất đẳng thức Hướng dẫn Nhận thấy (xn ) dãy dương Ta có xn+1 = 1 xn = = ≤ xn x1 + x2 + · · · + xn−1 + xn + x2 n + xn xn Suy (xn ) dãy giảm bị chặn Suy xn hội tụ a với a thỏa mãn a a= Ta a = + a2 Như vậy, tồn n0 cho ∀n ≥ n0 : xn+1 < 1 ⇔ < 2010 x1 + x2 + · · · + xn−1 + xn 2010 Vậy, tồn n ∈ N∗ cho x1 + x2 + · · · + xn−1 + xn > 2010 Đpcm Nhận xét: Thực chất toán chứng minh (xn ) hội tụ Ví dụ 2.23 Cho X = (x1 , x2 , , xn), n ≥ dãy gồm n số không âm tổng chúng 1 Chứng minh x1 x2 + x2 x3 + · · · + xn x1 ≤ Chứng minh tồn hoán vị Y = (y1 , y2 , , yn) X cho y1 y2 + y2 y3 + · · · + yn y1 ≤ n Hướng dẫn Dùng quy nạp a) Áp dụng phương pháp quy nạp với n ta chứng minh (x1 + x2 + · · · + xn )2 ≥ 4(x1 x2 + x2 x3 + · · · + xn x1 ); (2.20) xi ≥ 0, n ≥ Thật vậy, với n = 4, bất đẳng thức (2.20) tương đương với (x1 − x2 + x3 − x4 )2 ≥ Đẳng thức xảy x1 + x3 = x2 + x4 Giả sử (2.20) với n = k với k ≥ Ta cần chứng minh (x1 + x2 + · · · + xk + xk+1 )2 ≥ 4(x1 x2 + x2 x3 + · · · + xk xk+1 + xk+1 x1 ) (2.21) Vì số tổng hai vế (2.21) có tính chất hốn vị vịng quanh (cyclic), ta giả thiết xk+1 ≤ xi , i = 1, 2, , k Khi từ giả thiết quy nạp suy (x1 +x2 +· · ·+(xk +xk+1 ))2 ≥ 4(x1 x2 +x2 x3 +· · ·+xk−1 (xk +xk+1 )+(xk +xk+1 )x1 ) (2.22) 32 2.5 Dãy số bất đẳng thức Bởi x1 x2 + x2 x3 + · · · + xk−1(xk + xk+1 ) + (xk + xk+1 )x1 = (x1 x2 + x2 x3 + · · · + xk xk+1 + xk+1 x1 ) + xk−1 xk+1 + xk (x1 − xk+1 ) x1 − xk+1 ≥ nên từ (2.22) suy (2.21) Từ với x1 + x2 + · · · + xn = 1, ta nhận kết b) Với hốn vị Y = (y1 , y2 , , yn) X ta đặt SY = y1 y2 + y2 y3 + · · · + yn y1 Gọi S tổng tất SY (tính theo tất n! hốn vị X) Với cố định i j, i = j số lượng hoán vị X, xi đứng trước xj (xếp theo vịng lặp), n(n − 2)! Từ đây, n n S = n(n − 2)! x2 ) k xi xj = n(n − 2)!(1 − i=1 i,j=1,i=j ≤ n(n − 2)!(1 − ( n n xk )2 ) = n(n − 2)!(1 − k=1 Suy số nhỏ SY không vượt ) = (n − 1)! n S = Đpcm n! n Ví dụ 2.24 Cho dãy số (xn ) xác định sau: 2n − xn−1 , ∀n ≥ x1 = , xn = 2n Chứng minh x1 + x2 + · · · + xn < 1, ∀n ≥ Hướng dẫn Dùng sai phân Xét dãy số yn = (2n − 1)xn Ta có 2n − (2n − 1)(2n − 3) yn−1 xn−1 = · xn−1 · yn = (2n − 1) 2n 2n 2(n − 1) − 2n − · yn−1, ∀n ≥ Công thức cho n = ta đặt y0 = ⇒ yn = 2n 2n yn yn − yn = = xn , ∀n ≥ Vì Ta lại có yn−1 − yn = 2n − 2n − x1 + x2 + · · · + xn = (y0 − y1 ) + (y1 − y2 ) + · · · + (yn−1 − yy ) = y0 − yn = − yn < (Đpcm.) Chương Bài tập 3.1 Bài tập có hướng dẫn giải Phần trình bày số tốn liên quan đến tính chất dãy số có kèm theo hướng dẫn giải chi tiết, đặc biệt lời giải sử dụng phương pháp nêu Bài 3.1 Cho dãy số nguyên dương (an) thỏa mãn a1 = 1; an ≤ + a1 + · · · + an−1 , ∀n ≥ (3.1) Chứng minh với số tự nhiên biểu diễn tổng vài số chọn dãy số Hướng dẫn Ta chứng minh số tự nhiên N thỏa mãn bất đẳng thức < N < + a1 + a2 + · · · + an biểu diễn tổng vài số dãy a1 , a2 , , an Thật vậy, ta dùng phương pháp quy nạp Với n = mệnh đề a1 = 1, < N < + nên N = = a1 Giả sử mệnh đề với n = k ≥ 1, nghĩa số tự nhiên N thỏa mãn bất đẳng thức < N < + a1 + a2 + · · · + ak biểu diễn tổng vài số dãy a1 , a2 , , ak Ta chứng minh với n = k + Ta xét trường hợp sau đủ + a1 + a2 + · · · + ak < N < + a1 + a2 + · · · + ak + ak+1 Do (3.1) ta 33 34 3.1 Bài tập có hướng dẫn giải ≤ + a1 + a2 + · · · + ak − ak+1 ≤ N − ak+1 ≤ + a1 + a2 + · · · + ak Nếu N − ak+1 = mệnh đề với n = k + Nếu N − ak+1 > theo giả thiết quy nạp N − ak+1 biểu diễn tổng vài số a1 , a2 , , ak Khi N biểu diễn tổng cộng thêm ak+1 Đpcm Bài 3.2 Cho dãy số nguyên tố (pn ) thỏa mãn = p1 < p2 < · · · < pn < · · · (3.2) Chứng minh hai số p1 + p2 + · · · + pn p1 + p2 + · · · + pn + pn+1 có số phương Hướng dẫn Trước hết, ta chứng minh với n ≥ 7, pn > 2n + 1(∗) phương pháp quy nạp Với n = 7, p7 = 17 > 2.7 + 1, (∗) Giả sử (∗) với n = k, pk > 2k + 1, ta chứng minh (∗) với n = k + Thật vậy, pn số lẻ với ∀n > nên pk+1 − pk ≥ 2, nghĩa pk+1 ≥ pk + > 2k + + = 2(k + 1) + Tiếp theo, ta chứng minh với ∀n, yn > n2 (∗∗), với yn = p1 + p2 + · · · + pn quy nạp Dễ kiểm tra (∗∗) với n = 1, , Giả sử (∗∗) với n = k ≥ ta có yk > k Với n = k + 1, yk+1 = yk + pk+1 > k + 2k + = (k + 1)2 Gọi m2 số phương lớn khơng lớn yn Theo trên, ta có m = n + k, k > Như vậy, với ∀n ≥ 1, tồn số k > cho (n + k)2 ≤ yn < (n + k + 1)2 Ta chứng minh pn+1 > 2(n + k) + Giả sử ngược lại, ta có pn+1 ≤ 2(n + k) + Nhưng với n ≥ 2, pn+1 ≥ pn + 2, suy pn ≤ 2(n + k) + − = 2(n + k) − 1, pn−1 ≤ 2(n + k) + − = 2(n + k) − 3, pn−j ≤ 2(n + k) + − 2(j + 1) = 2(n + k) − (2j + 1), 35 3.1 Bài tập có hướng dẫn giải = p2 ≤ 2(n + k) + − 2(n − 1) = 2(n + k) − (2n − 3), = p1 ≤ 2(n + k) + − 2n = 2(n + k) − (2n − 1) Cộng vế bất đẳng thức trên, ta có yn =p1 + p2 + · · · + pn ≤ 2n(n + k) − (1 + + · · · + (2n − 1)) =2n(n + k) − n2 = n2 + 2nk + k − k = (n + k)2 − k Điều mâu thuẫn với yn ≥ (n + k)2 Như pn+1 > 2(n + k) + Khi yn+1 = yn + pn+ > (n + k)2 + 2(n + k) + = (n + k + 1)2 > yn Nghĩa yn < (n + k + 1)2 < yn+1 Vậy (n + k + 1)2 nằm yn yn+1 Bài 3.3 Cho dãy số (an) xác định sau a1 = 1, a2 = 2, an+2 = 2an+1 − an + 2, ∀n ≥ Chứng minh rằng, với m ∈ N∗ , amam+1 số hạng dãy Hướng dẫn Tìm công thức số hạng tổng quát dãy số an = (n − 1)2 + Khi amam+1 = [(m − 1)2 + 1][m2 + 1] = (m2 + m + 1)2 + = am2+m+2 Bài 3.4 Cho dãy số (an) xác định sau a1 = 1, an+1 = an + , ∀n ≥ an √ Chứng minh an > + √ ( n − 1) Hướng dẫn an < an+1 , ∀n ≥ ⇒ an ≥ 1, ∀n ≥ Mặt khác, 1 = a2 + + ≤ a2 + 3, ∀n ≥ a2 = an−1 + n n−1 n−1 an−1 an−1 √ ⇒ a2 ≤ a2 + 3(n − 1) = 3n − ⇒ an ≤ 3n − n 1 1 Từ ta Suy >√ √ an−1 n−1 an = an−1 + an−1 = a1 + 1 + ··· + a2 an−1 36 3.1 Bài tập có hướng dẫn giải ≥1+ √ Mà 1 √ + √ + ··· + √ n−1 √ 1 √ + √ + ··· + √ ≥ 2( n − 1) (∗) n−1 2 √ Vậy an > + √ ( n − 1) Đpcm Chú ý Chứng minh (*) phương pháp sai phân Bài 3.5 Cho dãy số (an) xác định sau a1 = 0, |an+1 | = |an + 1|, ∀n ≥ n Chứng minh S = a1 + a2 + · · · + an ≥ − Hướng dẫn Từ giả thiết ta có a2 = (an + 1)2 = a2 + 2an + 1, ∀n ≥ n n+1 ⇒ a2 + a2 + · · · + a2 = a2 + a2 + · · · + a2 + 2S + n n+1 n n ⇒ 2S + n = a2 − a2 = a2 ≥ ⇒ S ≥ − n+1 n+1 (Đpcm.) Bài 3.6 Xét dãy số (an) có a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4, a5 = 5, a6 = 119, an+1 = a1a2 an − 1, ∀n ≥ Chứng minh a2 + a2 + · · · + a2 = a1 a2 a70 70 Hướng dẫn Đặt bn = a1 a2 an − a2 − a2 − · · · − a2 = an+1 + − a2 − a2 − · · · − a2 n n Với ∀n ≥ ta có bn+1 = a1 a2 anan+1 − a2 − a2 − · · · − a2 n+1 = (an+1 + 1)an+1 − a2 − a2 − · · · − a2 n+1 = an+1 − a2 − a2 − · · · − a2 = bn − 1 n ⇒ bn+1 = b5 − (n − 4) ⇒ b70 = b5 − 65 = Bài 3.7 Cho dãy số (xn) thỏa mãn điều kiện x1 = 1, xn+1 = n xn + , ∀n ≥ xn n Chứng minh ∀n ≥ ta ln có [xn ] = n 37 3.1 Bài tập có hướng dẫn giải Hướng dẫn 49 49 · 12 x2 = 3; x3 = , x4 = + + Rõ ràng + < x4 < + 12 49 · 12 Như vậy, bất đẳng thức kép n + < xn < n + 1(∗) với n = n Giả sử (∗) với n = k, k ≥ 4, nghĩa k + < xk < k + k Ta chứng minh (∗) với n = k + 1, nghĩa chứng minh k+1+ < xk+1 < k + k+1 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp k2 k2 =k−1+ > xk < k + ⇒ xk k+1 k+1 xk 2 k2 + xk > k + ⇒ > = + 3 k k k k k 1 k xk + + >k−1+ + >k−1+ Từ suy xk k k+1 k k k+1 ⇒ xk+1 > k + + k+1 Mặt khác, từ giả thiết quy nạp ta có xk+1 − = Như n + k+1 k xk k3 + + < xk k k + 21 k + 2k + − k k 3, ta có an ∈ N, ∀n 2010 = ak = a2 + a2 + a2 ⇒ a2 < 2010 ⇒ ak−1 ≤ 44 (∗) k−1 k−2 k−3 k−1 Mặt khác ak−1 = a2 + a2 + a2 (do k > 3) k−2 k−3 k−4 ⇒ ak−1 ≥ a2 + a2 ⇒ ak−1 + a2 ≥ 2010 ⇒ ak−1 ≥ 45 (∗∗) k−2 k−3 k−1 (∗) (∗∗) mâu thuẫn với hay giả sử sai Vậy ta có đpcm Bài 3.10 Cho dãy số (an ), (bn ), (cn ), (dn ) thỏa mãn điều kiện an+1 = an + bn , bn+1 = bn + cn , cn+1 = cn + dn , dn+1 = dn + an , ∀n ≥ Giả sử tồn hai số nguyên dương k, r cho ak+r = ak , bk+r = bk , ck+r = ck , dk+r = dk , Chứng minh a1 = b1 = c1 = d1 = Hướng dẫn Đặt sn = an + bn + cn + dn Từ giả thiết suy sk+r = sk ; sn+1 = 2sn , ∀n ≥ 39 3.1 Bài tập có hướng dẫn giải Bằng quy nạp ta tìm sn = 2n s0 , ∀n ≥ Vì ta có 2k+r s0 = 2r s0 ⇒ s0 = ⇒ sn = ∀n ≥ Lại có ∀n ≥ an + cn = (an−1 + bn−1 ) + (cn−1 + dn−1 ) = sn−1 = Đặt wn = a2 + b2 + c2 + d2 Ta có wk+r = wk n n n n wn+1 = (an + bn )2 + (bn + cn )2 + (cn + dn )2 + (dn + an )2 = 2(a2 + b2 + c2 + d2 ) + (an bn + bn cn + cn dn + dn an ) n n n n = 2wn + 2(an + cn )(bn + dn ) Do (3.3) nên wn+1 = 2wn , với n ≥ Theo quy nạp ta wn = 2n−1 w1 , ∀n ≥ Từ 2k+r−1 w1 = 2k−1 w1 ⇒ w1 = ⇒ a1 = b1 = c1 = d1 = Đpcm Bài 3.11 Cho hai dãy số (xn ), (yn) thỏa mãn điều kiện x0 = y0 = 1, xn+1 = xn + y2 + , yn+1 = n , xn + 2yn ∀n ≥ Chứng minh yn = x2n −1 , ∀n ≥ Hướng dẫn Xét hai dãy số (an ), (bn ) xác định √ √ xn − yn − √ , bn = √ , ∀n ≥ an = xn + yn + √ 1− √ := λ Từ chứng minh an+1 = λan , bn+1 = b2 Ta có a0 = b0 = n 1+ Bằng quy nạp ta chứng minh an = λn+1 , n bn = λ2 , ∀n ≥ n Thay n 2n − ta a2n −1 = λ(2 −1)+1 n = λ2 = bn Khi √ √ √ √ x2n −1 − yn − 2 2 √ = √ ⇒1− √ =1− √ ⇒ x2n −1 = yn x2n −1 + yn + x2n −1 + yn + (3.3) 40 3.2 Bài tập tự giải 3.2 Bài tập tự giải Bài 3.12 Cho x1 , x2 , , xn số thực Chứng minh rằng: √ x2 x2 x1 + + ··· + < n + x2 + x2 + x2 + x2 + · · · + x2 n 1 1 1 Bài 3.13 Tìm phần nguyên tổng S = + √ + √ + · · · + √ 100 Bài 3.14 Cho dãy số (an) xác định sau a0 = 1, a1 = a, an+2 = 2an+1 − an + 2, ∀n ≥ Chứng minh rằng, với a ∈ N∗ ∀n ∈ N tồn m ∈ N cho an an+1 = am Bài 3.15 Cho dãy số (an) xác định sau a1 = a, a > 1, 2011an+1 = a2 + 2010an , ∀n ≥ n n Chứng minh rằng, với ∀n ∈ N∗ ta có i=1 2011 < ai+1 − a−1 HDG Sử dụng phương pháp sai phân Bài 3.16 Cho dãy số (an) xác định sau a1 = 3, an+1 = a2 − 3an + 4, ∀n ≥ n n < Chứng minh rằng, với ∀n ∈ N∗ ta có ui − i=1 HDG Sử dụng phương pháp sai phân Bài 3.17 Cho dãy số (an) thỏa mãn < a1 < 1, an+1 = a2 n + an , ∀n ≥ n2 Chứng minh rằng, dãy số (an ) bị chặn HDG Sử dụng phương pháp sai phân Bài 3.18 Cho dãy số thực (an) thỏa mãn an+1 = a2 − n , ∀n ≥ 2an Chứng minh rằng, dãy số (an ) chứa vô hạn số hạng âm, vô hạn số hạng dương 41 3.2 Bài tập tự giải HDG Sử dụng phương pháp phép lượng giác, đặt a0 = cot πt Bài 3.19 Cho dãy số (an) thỏa mãn a1 = 1.2.3, an = n(n + 1)(n + 2) Kí hiệu Sn = a1 + a2 + · · · an Chứng minh 4Sn + số phương HDG Sử dụng phương pháp sai phân, với an+1 = ((n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) − n(n + 1)(n + 2)(n + 3)) Bài 3.20 Cho dãy số (an) thỏa mãn a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = 1, an+6 an+1 = an+2 an+5 + an+3an+4 ∀n ≥ Chứng minh an ∈ N, n ∈ N∗ HDG Sử dụng phương pháp quy nạp Đã có n + số hạng số tự nhiên, ta cần chứng minh an+6 ∈ N cách chứng minh an+2 an+5 ≡ −an+3 an+4 ( mod an+1 ) Bài 3.21 Cho dãy số (an) thỏa mãn a1 < ; an+1 = an − ∀n ≥ an Chứng minh tồn k, ≤ k ≤ 2010 thỏa mãn ak < HDG Chứng minh tồn k, ≤ k ≤ 1626 thỏa mãn ak < Bài 3.22 Cho dãy số (an) thỏa mãn a1 = 2, a2 = 3, an+1 = 2an−1 an+1 = 3an − 2an−1 , ∀n ≥ Chứng minh khơng có số hạng dãy nằm đoạn từ 1600 đến 2010 HDG Sử dụng phương pháp quy nạp chứng minh an = 2xn + an = 2yn với xn , yn ∈ N xn = xn−1 ; yn = yn−1 + xn = xn−1 + 1; yn = yn−1 Bài 3.23 Cho dãy số (an) thỏa mãn a0 = 0, a1 = 1, an+2 = 3an+1 − 2xn , ∀n ≥ Đặt yn = x2 + 2n+2 Chứng minh yn số phương lẻ n HDG Tìm số hạng tổng quát (xn ) 42 3.2 Bài tập tự giải n Bài 3.24 Xét số dương x1 , x2, , xn thỏa mãn xi = i=1 n Chứng minh i=1 HDG Đặt yn = n i=1 xi ≤ n − + xi Khi ta cần chứng minh n − + xi n yi ≤ Sử dụng phương i=1 pháp phản chứng Bài 3.25 Xét dãy số (an ) thỏa mãn an+2 = an+1 − an Giả sử tổng 2009 số hạng 2011, tổng 2011 số hạng 2009 Hỏi tổng 2020 số hạng bao nhiêu? HDG Chứng minh dãy số tuần hoàn với chu kì 3.2 Bài tập tự giải 43 Kết luận Chuyên đề trình bày số phương pháp giải tốn dãy số có liên quan đến tính chất, với ví dụ minh họa, áp dụng chúng để chứng minh tính chất dãy số Trong phần áp dụng này, người viết có giới thiệu số tính chất thường gặp dãy số, chủ yếu minh họa qua ví dụ hướng dẫn giải kết hợp với nhận xét lời giải chất toán để người đọc hiểu nắm bắt vấn đề dễ dàng Cuối cùng, người viết đưa tập liên quan, số có hướng dẫn giải chi tiết để lần người đọc thấy rõ toán dạng này, số có đưa định hướng phương pháp giải không hướng dẫn chi tiết để người đọc tự giải, rèn luyện, thu hoạch kết đọc chuyên đề Trong trình thực chuyên đề, người viết giới thiệu, giảng dạy kiến thức chuyên đề cho đội tuyển học sinh giỏi Toán Quốc gia tỉnh Qua chuyên đề này, người viết thấy cần phải nghiên cứu sâu tính chất nêu dãy số, nhiều phương pháp giải khác chưa đưa ra, nhiều tính chất khác dãysố chưa khám phá Người viết mong quý đọc giả quan tâm bổ sung thêm Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, Chuyên đề chọn lọc dãy số áp dụng, NXB Giáo Dục, 2008 [2] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Văn Tiến, Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông, NXB Giáo Dục Việt Nam, 2009 [3] Nguyễn Hữu Điển, Phương pháp quy nạp toán học, NXB Giáo Dục, 2001 [4] Nguyễn Văn Nho, Tuyển tập toán từ thi Trung Quốc, NXB Giáo Dục, 2003 [5] Andrei Negut, Problems for the Mathematical Olympiad [6] Tạp chí tốn học tuổi trẻ, Tuyển tập năm, NXB Giáo Dục, 2003 [7] Tài liệu từ Internet 44 ... 2.1.2 Dãy số nguyên Như nói trên, dãy số ngun có liên quan nhiều đến tính chất số học dãy số Trong nhiều trường hợp dãy số bề ngồi, chất tốn lại tốn số học Chính vậy, ngồi kiến thức dãy số, cần... ⇒ d = 2.2 Tính chất giải tích Tính chất giải tích dãy số thể tính bị chặn, tính hội tụ hay phân kì, tính tăng giảm, quy luật dãy số cấp số cộng, cấp số nhân, Ngồi tính chất giải tích dãy thể biểu... minh số 2010 số lớn 1340" Một dãy số truy hồi tuyến tính với hệ số nguyên số hạng đầu ngun dãy số dãy số ngun Nhưng có dãy số mà cơng thức truy hồi phi tuyến tính (có phân thức, có thức) mà số