/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/hld1438051718- 1768428-14380517184830/hld1438051718.doc SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN: TOÁN - THCS Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu1( 3,0 điểm) a) Giải phương trình trên tập nguyên 0128y4x4xy5yx 22 =−−+−+ b)Cho 214x3xxP(x) 23 −+−= . Tìm các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 mà P(x) chia hết cho 11 Câu 2( 4,0 điểm) a) Tính gía trị biểu thức 25a4aa 23aa P 23 3 −+− +− = , biết 33 302455302455a −++= b) Cho số thực x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn 13zz1,3yy1;3xx 333 −=−=−= Chứng minh rằng 6zyx 222 =++ Câu 3( 4,0 điểm) a) Giải phương trình 13x 4x 1x 13x += − +− b) Giải hệ phương trình:      =−++− =−++−+ 03y2xyx 048yx4xy2y3x 22 22 Câu 4( 7,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC không đi qua tâm .Gọi A là chính giữa cung nhỏ BC.Góc nội tiếp EAF quay quanh điểm A và có số đo bằng α không đổi sao cho E và F khác phía với điểm A qua BC ;AE và AF cắt BC lần lượt tại M và N .Lấy điểm D sao cho tứ giác MNED là hình bình hành . a)Chứng minh tứ giác MNEF nội tiếp . b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF .Chứng minh rằng khi góc nội tiếp EAF quay quanh A thì I chuyển động trên đường thẳng cố định. c) Khi 0 60= α và BC=R ,tính theo R độ dài nhỏ nhất của đoạn OI. Câu 5( 2,0 điểm) Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=3 Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 x y z y x z z y x xyz yz xz yx + + + + + + + + ≥ − − − Hêt— Họ và tên thí sinh số báo danh Thí sinh không sử dụng tài liệu,Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 1 HƯỚNG DẪNCâu1( 3,0 điểm) a) Giải phương trình trên tập nguyên HD: 0(*12)8y5y()1(40128y4x4xy5yx 2222 =−−−−−⇔=−−+−+ yxx ) để PT(*) có nghiệm nguyên x thì / ∆ chính phương 1616 2/ ≤−=∆ y từ đó tìm được ( ) ( ){ ( ) ( ) ( ) } ;4;6;4;10;0;6;0;2; −−−∈yx b)Cho 214x3xxP(x) 23 −+−= . Tìm các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 mà P(x) chia hết cho 11 HD 2212)x-2)(x-(x214x3xxP(x) 223 ++=−+−= để P(x) chia hết 11 thì 1112)x-2)(x-(x 2 + mà 1111)-x(x12)x-(x 2 ++=+ ta có 1)1( +−xx không chia hết cho 11 suy ra 12)x-(x 2 + không chia hết cho 11 nên x-2 chia hết co 11 mà x<100 ; Nx ∈ suy ra { } 90;79;68;57;47;35;22;13;2∈x Câu 2( 4,0 điểm) a)Tính gía trị biểu thức 25a4aa 23aa P 23 3 −+− +− = , biết 33 302455302455a −++= HD tính a=5 thay vào 3 7 =P b)Cho số thực x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn 13zz1,3yy1;3xx 333 −=−=−= Chứng minh rằng 6zyx 222 =++ HD công cả ba đảng thức ta có hệ      =++ =++ =++ ⇔      −=− −=− −=− ⇔      −= −= −= )3(3 )2(3 )1(3 )(3 )(3 )(3 13 13 13 22 22 22 33 33 33 3 3 3 zxzx zzyy yxyx xzxz zyzy yxyx zz yy xx trừ (1) cho (2) ta được 00))(( =++⇔=++− zyxzyxzx cộng (1) ;(2) ;(3) ta có 9)(2 222 =+++++ xzyzxyzyx (*) mà tù x+y+z=0 suy ra 2 222 zyx xzyzxy ++ −=++ thay vaò (*) ta có đpcm Câu 3( 4,0 điểm) a) Giải phương trình 13x 4x 1x 13x += − +− HD đkxđ 3 1− ≥x ( )     ++=− ++= ⇔++=⇔+= − +− 1324 1324 1321613x 4x 1x 13x 2 2 xxx xxx xxx giải ra pt có 2 nghiệm x=1; 72 1533 − =x b) Giải hệ phương trình:      =−++− =−++−+ 03y2xyx 048yx4xy2y3x 22 22 2 HD      =−++− =−++−+ ⇔      =−++− =−++−+ 0(2)6y24xy22x 0(1)48yx4xy2y3x 03y2xyx 048yx4xy2y3x 22 22 22 22 lấy pt(1) trù pt(2) ta được ( )    += += ⇔ =−−−−⇔=+−−− 22 12 0)22)(12(02)2(32 2 yx yx yxyxyxyx thay vào phương trình 032 22 =−++− yxyx hệ có 4 nghiệm ( ) ( ) ( )                   −−−−         +−+− −−∈ 6 10913 ; 3 1097 ; 6 10913 ; 3 1097 ;35;0;1; yx Câu 4( 7,0 điểm) a) ∠ ENB= ∠ EFM suy ra ∠ ENM+ ∠ EFM=180 0 b)gọi giao (O) và (I) tiếp tam giác MDF tại P ta có ∠ DPF= ∠ DMF = ∠ EAF= α mặt khác ∠ EAF= ∠ EPF nên ∠ EPF=DPF nên E;D;P thẳng hàng suy ra EP//BC mà EPAOBCAO ⊥⇒⊥ gọi AO cắt EP tại H ;OI cắt PF tại K thì K là trung điểm FP và OI vuông góc FP nên tứ giác OHKP nội tiếp suy ra ∠ HOI= ∠ HPF= α ( không đổi) suy ra I thuộc tia Ox tạo với tia AO một góc bằng α c) khi BC=R ; ∠ EAF==60 0 thì tam giác OBC đều suy ra IO đi qua B ta chứng minh được OI min khi F trùng P khi đó EF//BC tam giác AMN; MDF đều khi đó IM//AO áp dụng Talet tam giác BIM có AO//IM tính được OI Hướng dẫn ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 1 4 4 4 4 4 4 9 ( ) 12 ( ) 12 ( ) 9 3( ) 12 ( ) 12 ( ) 12 36 12 ( ) 12 3 x y z P x y z yz xz yx yz xz yx x y z x y z P xy yz xz xy yz xz xy yz xz xy yz xz P xy yz xz xy yz xz xy yz xz x y z P xy yz xz x   + +    ÷ = + + + + + − − −  ÷  ÷ − − −    ÷   + + + + ≥ + − + + − + + + + + + ≥ + − + + − + + + + ≥ ≥ − + + − 2 2 3 y z Đặt 3 1 3 x y z xyz t + + = ≤ = Xét hiệu 2 3 2 2 2 36 4 12 ( 1)( 3) 0 12 3 t t t t t t t − ⇔ − + − ≥ − Bất đẳng thức được chứng minh dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1 GVHD Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao 3 4 . GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN: TOÁN - THCS Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu1( 3,0 điểm) a) Giải. nghiệm ( ) ( ) ( )                   −−−−         +−+− −−∈ 6 1 091 3 ; 3 1 097 ; 6 1 091 3 ; 3 1 097 ;35;0;1; yx Câu 4( 7,0 điểm) a) ∠ ENB= ∠ EFM suy ra ∠ ENM+ ∠ EFM=180 0 b)gọi. x< ;100 ; Nx ∈ suy ra { } 90 ; 79; 68;57;47;35;22;13;2∈x Câu 2( 4,0 điểm) a)Tính gía trị biểu thức 25a4aa 23aa P 23 3 −+− +− = , biết 33 302455302455a −++= HD tính a=5 thay vào 3 7 =P b)Cho số