SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ÔN THI THPT QUỐC GIA TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU1 LẦN 1 - NĂM 2015 . MÔN TOÁN ( Thời gian làm bài 180 phút không kể giao đề ) Câu 1 . (2 điểm ) Cho hàm số y = 2 1 ( ) 2 x C x + − 1. Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C ) 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C ) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5 . Câu 2 .( 0.5 điểm )Giải bất phương trình : log 3 (x – 3 ) + log 3 (x – 5 ) < 1 Câu 3 .(1 điểm ) Tính tích phân : I = 2 1 1x x dx− ∫ Câu 4 ( 1 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A,D, SA vuông góc với đáy . SA = AD= a ,AB = 2a . 1 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . 2 . Tính khoảng cách giữa AB và SC . Câu 5 .(1 điểm ) Trong không gian O.xyz cho A(1;2;3) , B(-3; -3;2 ) 1. Viết phương trình mặt cầu đường kính AB . 2. Tìm điểm M nằm trên trục hoành sao cho M cách đều hai điểm A, B . Câu 6 . (1 điểm ) Giải phương trình : 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 Câu 7 .(0.5 điểm ) Gọi T là tập hợp các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các số 1,2,3,4,5,6,7 . Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập T . Tính xác suất để số được chọn lớn hơn 2015 . Câu 8 . ( 1điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông tại A . B,C là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ .Đường phân giác trong góc B của tam giác có phương trình x + 2y - 5= 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết đường thẳng AC đi qua K(6;2) Câu 9. ( 1 điểm ) Giải hệ phương trình ( ) 2 2 9 9 5 4 9 7 2 1 9 7 7 x xy x y y x y x y x y  + + − + =   − + + = − + −   Câu 10 .(1 điểm ) Cho a,b,c thuôc đoạn [1;2] . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( ) ( ) 2 2 4 a b c ab bc ca + + + + . - Hết - Họ và tên thí sinh ……………………………… số báo danh……………………………. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN 1 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu 1 y = 2 1 ( ) 2 x C x + − 1 TXĐ : D = R \ { } 2 y’ = ( ) 2 5 2x − − < 0 với mọi x thuộc D Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ∞ ;2 ) và (2 ; + ∞ ) , hàm số không có cực trị 0.25 2 lim , x y − → =−∞ 2 lim x y + → =+∞ nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị lim lim 2 x x y y →−∞ →+∞ = = nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị 0.25 Bảng biến thiên x - ∞ 2 + ∞ y’ - - + ∞ 2 2 - ∞ 0.25 Đồ thị cắt trục tung tại (0 ; 1 2 − ) , cắt trục hoành tại ( 1 2 − ; 0) . điểm I(2;2) là tâm đối xứng của đồ thị . y 2 O 2 x 0.25 2 Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm , k là hệ số góc của tiếp tuyến . phương trình tiếp tuyến tại M có dạng : y = k(x- x 0 ) + y 0 , y’ ( ) 2 5 2x − − 0.25 Hệ số góc k = -5 ⇔ y’(x 0 ) = -5 ⇔ (x 0 – 2) 2 = 1 ⇔ x 0 = 3 hoặc x 0 = 1 0.25 Với x 0 = 3 thì M(3;7) phương trình tiếp tuyến là y = -5x + 22 0.25 Với x 0 = 1 thì M(1;-3) phương trình tiếp tuyến là y = -5x + 2 0.25 Câu 2 Giải bất phương trình : log 3 (x – 3 ) + log 3 (x – 5 ) < 1 (*) ĐK: x > 5 (*) ⇔ log 3 (x – 3 )(x - 5) < 1 ⇔ (x – 3 )( x - 5) < 3 0.25 ⇔ x 2 – 8x +12 < 0 ⇔ 2 < x < 6 Kết hợp ĐK thì 5 < x < 6 là nghiệm của bất phương trình 0.25 Câu 3 Tính tích phân : I = 2 1 1x x dx− ∫ Đặt 1x − = t thì x = t 2 + 1 , dx = 2tdt Đổi cận : x = 1 thì t = 0 ; x = 2 thì t = 1 0.25 I = 2 ( ) 1 2 2 0 1t t dt + ∫ = 2 ( ) 1 4 2 0 t t dt + ∫ 0.25 = 2 ( 5 3 5 3 t t + ) 1 0 = 16 15 0.5 Câu 4 H E C B D A S 1 Tính thể tích khối chóp S.ABC SA vuông góc với mp đáy nên SA là đường cao của khối chóp , SA = a Trong mặt phẳng đáy từ C kẻ CE // DA , E thuộc AB suy ra CE vuông góc với AB và CE = DA = a là đường cao của tam giác CAB 0.25 Diện tích tam giác là S = 1 2 CE.AB = a 2 Thể tích khối chóp S.ABC là V = 1 3 a 3 0.25 2 Tính khoảng cách giữa AB và SC Ta có AB//DC nên d(AB,SC) = d(AB, SDC ) . Trong mặt phẳng (SAD)từ A kẻ AH vuông góc với SD (1) , H thuộc SD Ta có DC vuông góc với AD , DC vuông góc SA nên DC vuông góc với mp(SAD) suy ra DC vuông góc AH (2) . Từ (1) và (2) suy ra AH vuông góc với (SDC) AH = d(AB, SDC) = d(AB , SC ) 0.25 Trong tam giác vuông SAD ta có 2 2 1 1 AH AD = + 2 2 1 2 SA a = ⇒ AH = 2 a 0.25 Câu 5 1 Gọi I là trung điểm của AB thì I(-1; 1 2 − ; 5 2 ) là tâm mặt cầu . Bán kính mặt cầu R 2 = IA 2 = 21/2 0.25 Phương trình mặt cầu (x+1) 2 +(y + 1 2 ) 2 +(z 5 2 − ) 2 = 21/2 0.25 2 M nằm trên trục hoành nên M(x;0;0) . MA uuur (1-x ;2;3) , MB uuur (-3-x;-3;2). 0.25 M cách đều A , B tức là MA 2 = MB 2 Hay (1-x) 2 +13 = (-3-x) 2 +13 ⇔ x = 1 Vậy M(1;0;0) thỏa mãn yêu cầu bài toán . 0.25 Câu 6 Giải phương trình : 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 ⇔ 4sinxcosx – 2cosx +2sin 2 x - 1– 7sinx + 4 = 0 ⇔ 2cosx(2sinx -1) + 2sin 2 x -7sinx +3 = 0 0.25 ⇔ 2cosx(2sinx -1) + (sinx -3)(2sinx – 1) = 0 ⇔ (2sinx -1) (sinx + 2cosx – 3) =0 0.25 ⇔ sinx = 1 2 Hoặc sinx + 2cosx – 3 =0 Ta có : sinx + 2cosx – 3 =0 vô nghiệm vì 1 2 +2 2 < 3 2 0.25 Phương trình tương đương sinx = 1 2 ⇔ x= 2 6 k π π + hoặc x= 5 2 6 k π π + 0.25 Câu 7 Số phần tử của tập hợp T là 4 7 A = 840 Gọi abcd là số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 và lớn hơn 2015. Vì trong các chữ số đã cho không chứa chữ số 0 nên để có số cần tìm thì a ≥ 2 0.25 Vậy có 6 cách chọn a . Sau khi chọn a thì chọn b,c,d có 3 6 A cách chọn Xác suất cần tìm là P = 3 6 4 7 6A A = 6 7 0.25 Câu 8 Điểm B nằm trên đường thẳng x + 2y – 5 = 0 nên B(5 – 2b ; b) B ; C đối xứng nhau qua O nên C(2b – 5 ; - b ) và O thuộc BC 0.25 Gọi I là điểm đối xứng của O qua phân giác góc B suy ra I(2;4) BI uur (2b – 3 ; 4 – b ) , CK uuur (11 – 2b ; 2 + b) Tam giác ABC vuông tại A nên .BI CK uuuruuur = 0 ⇔ - 5b 2 + 30b – 25 = 0 ⇔ b= 1 hoặc b= 5 0.25 Với b= 1 thì B(3;1) , C(-3;-1) suy ra A(3;1) nên loại 0.25 Với b= 5 thì B(- 5, 5 ), C(5 ; -5) suy ra A( 31 17 ; 5 5 ) 0.25 Câu 9 Giải hệ phương trình ( ) 2 2 9 9 5 4 9 7 (1) 2 1 9 7 7 (2) x xy x y y x y x y x y  + + − + =   − + + = − + −   Đk : x 0y ≥ ≥ . Nếu x = y thì (2) vô nghiệm nên x > y (2) ⇔ 2x y − + - 7 7x y − + 1 – [3(x- y )] 2 = 0 ⇔ ( ) ( ) 2 6 6 1 3 3 1 3 3 0 2 7 7 x y x y x y x y x y − + + − + + − = − + + − 0.25 ⇔ ( ) ( ) 2 1 3 3 1 3 3 0 2 7 7 x y x y x y x y   − + + + − =   − + + −     x > y ≥ 0 nên ( ) 2 1 3 3 2 7 7 x y x y x y   + + −   − + + −     > 0 suy ra 1–3x + 3y =0 0.25 Thay y = x – 1 3 vào phương trình (1) ta được 9x 2 + 9x(x - 1 3 ) + 5x – 4(x - 1 3 ) + 9 1 3 x − = 7 ⇔ 18x 2 – 8x + 6x - 8 3 + 9 1 3 x − - 3 = 0 ⇔ 2x(9x – 4 ) + 2 3 (9x – 4 ) +3( 9 3x − - 1 ) = 0 0.25 ⇔ (9x – 4 ) 2 3 2 3 9 3 1 x x   + +  ÷  ÷ − +   = 0 ⇔ x = 4 9 vì x > 0 Với x = 4 9 thì y = 1 9 . Vậy hệ có nghiệm (x;y) = ( 4 9 ; 1 9 ) 0.25 Câu 10 Cho a,b,c thuôc đoạn [1;2] . Tìm GTNN của P = ( ) ( ) 2 2 4 a b c ab bc ca + + + + . P = ( ) ( ) 2 2 4 a b c ab bc ca + + + + = ( ) ( ) 2 2 4 4 a b c a b c ab + + + + Ta có 4ab ≤ (a + b) 2 nên P ≥ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 a b c a b c a b + + + + + = 2 2 1 4 a b c c a b a b c c c c   +  ÷       + + + +  ÷  ÷     0.25 Đặt t = a b c c + vì a, b , c thuộc [1;2] nên t thuộc [1;4] Ta có f(t) = 2 2 4 4 t t t+ + , f’(t) = ( ) 2 2 2 4 2 1 4 t t t t + + + > 0 với mọi t thuộc [1;4] 0.25 Hàm số f(t) đồng biến trên [1;4] nên f(t) đạt GTNN bằng 1 6 khi t = 1 0.25 Dấu bằng xảy ra khi a = b ; a b c + = 1, a,b,c thuộc [1;2] ⇔ a =b = 1 và c =2 Vậy MinP = 1 6 khi a =b = 1 và c = 2 0.25 ( MỌI CÁCH GIẢI ĐÚNG ĐỀU CHO ĐIỂM THEO THANG ĐIỂM TƯƠNG ỨNG . điểm của AB thì I(-1; 1 2 − ; 5 2 ) là tâm mặt cầu . Bán kính mặt cầu R 2 = IA 2 = 21 /2 0 .25 Phương trình mặt cầu (x+1) 2 +(y + 1 2 ) 2 +(z 5 2 − ) 2 = 21 /2 0 .25 2 M nằm trên trục hoành. 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 ⇔ 4sinxcosx – 2cosx +2sin 2 x - 1– 7sinx + 4 = 0 ⇔ 2cosx(2sinx -1) + 2sin 2 x -7sinx +3 = 0 0 .25 ⇔ 2cosx(2sinx -1) + (sinx -3)(2sinx – 1) = 0 ⇔ (2sinx -1). ;2; 3) , MB uuur (-3-x;-3 ;2) . 0 .25 M cách đều A , B tức là MA 2 = MB 2 Hay (1-x) 2 +13 = (-3-x) 2 +13 ⇔ x = 1 Vậy M(1;0;0) thỏa mãn yêu cầu bài toán . 0 .25 Câu 6 Giải phương trình : 2sin2x