Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 tỉnh Thanh Hóa số 19

7 383 1
Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 tỉnh Thanh Hóa số 19

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá Cộng hoà x hội chủ nghĩa ã việt nam Độc lập Tự do Hạnh phúc đề thi học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh bảng a Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1 (2điểm) Cho họ đờng cong 1 :)( 2 ++ = x nmxx yC m với 1+nm Chứng minh rằng: Nếu a để đờng thẳng : y=a không cắt họ đ- ờng cong )( m C thì họ đờng cong có cực đại và cực tiểu. Bài 2 (2điểm) Chứng minh rằng: 0 sin 2 dxe x > 2 3 Bài 3 (2điểm) Giải phơng trình: 6 32 13 352 2 22 = ++ + + xx x xx x Bài 4 (2điểm) Giải phơng trình: 55 2 =++ xx Bài 5 (2điểm) Giải phơng trình: xxx 7cossin33cos = Bài 6 (2điểm) Cho hàm số + = t t tf cos1 sin )( Chứng minh rằng: ABC ta luôn có: 2 33 )()()( ++ CfBfAf . Bài 7 (2điểm) Cho hàm số ** : f thoả mãn 2 điều kiện i. 2)1( =f ii. n >1 thì )()( )2()1( 2 nfnnfff =+++ Hãy xác định công thức đơn giản tính )(nf ? Bài 8 (2điểm) Giải hệ phơng trình , nếu 0 < t /2 , nếu /2 < t <      =++ =++ =++ 2logloglog 2logloglog 2logloglog 16164 993 442 xyz zxy zyx Bµi 9 (2®iÓm) Cho tø diÖn ABCD, chøng minh r»ng: 22 )()( BCADBDAC +++ > 2 )( CDAB + Bµi 10 (2®iÓm) Chøng minh r»ng: )12 (5.3.1 2 6.4.2 12 )1( 53 1 21 + = + − +++− n n n CCC n n n nn , Ν∈∀ n Đáp án - thang điểm đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh bảng a Nội dung Thang điểm Bài 1 ( 2 điểm) Vì m+n 1 nên họ đờng cong )( m C có cực đại, cực tiểu khi m+n > -1. Đờng thẳng không cắt )( m C nên phơng trình: a x nmxx = ++ 1 2 vô nghiệm Nên suy ra phơng trình: 0)( 2 =++ anxmax vô nghiệm nmmaa 4)2(2 22 ++= < 0 có nghiệm a 444 ++= nm a > 0 nm + > -1 )( m C có cực đại, cực tiểu Bài 2 ( 2 điểm) Bổ đề: x>0 thì e x >x+1 Thật vậy: Đặt f(x) = e x - x - 1 0 x Ta có: 01)( = x exf , 0x x > 0 thì f(x) > f(0) = 0 x e > x+1 x >0 áp dụng bổ đề ta có: x ex 2 sin ),0( > x 2 sin1+ 0 sin 2 dxe x > 2 3 )sin1( 0 2 =+ dxx Bài 3 ( 2 điểm) Điều kiện 2 3 1 x x Nhận thấy 0=x không phải là nghiệm nên phơng trình 6 1 3 2 13 5 3 2 2 = ++ + + x x x x Đặt t x x =+ 3 2 phơng trình trở thành: 6 1 13 5 2 = + + tt = = 2 11 1 t t Với t =1 thì phơng trình vô nghiệm 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25 0.5 0.25 1.0 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 Với 2 11 =t thì phơng trình có nghiệm = = 3 2 2 x x Kết luận: Phơng trình có nghiệm = = 3 2 2 x x Bài 4 ( 2 điểm) Điều kiện: 5x Đặt 505 2 +==+ xttx Phơng trình trở thành: = =+ 5 5 2 2 xt tx =++ =+ 0)1)(( 5 2 txtx tx + = = = = =+ += = = 2 171 2 211 2 171 1 2 211 0 04 01 05 0 2 2 x x x x x x xx xt xx xt Bài 5 ( 2 điểm) Biến đổi tơng đơng phơng trình đã cho [ ] =+ = =+ = = = 2 33 )2cos21(4sin2 0sin 033)2cos21(4sin2sin 0sin33)sin43(sin4sin2 0sin334sin3sin2 0sin337coscos 2 xx x xxx xxxx xxx xxx Giải (1) ta đợc x=k với k Giải (2): Ta có (2) =+ xxx 4sin2cos4sin 2 33 2 33 4sin2cos2sin4 2 =+ xxx (3) áp dụng BĐT Côsi cho 3 số: 2 2cos , 2 2cos ,2sin 22 2 xx x ta đợc =1 3 22 22 2 4 )2cos2(sin 3 2 2cos 2 2cos 2sin xx xx x ++ 0.25 0.25 0.5 1.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.5 33 2 2cos2sin2cos2sin 22 xxxx do đó 1 33 2 4sin2cos2sin4 2 ++ xxx < 2 33 suy ra (3) vô nghiệm nên (2) vô nghiệm. Kết luận: Phơng trình có nghiệm x=k với k Bài 6 ( 2 điểm) Trờng hợp 1: Tam giác ABC không tù, ta có 2 33 )()()( ++ CfBfAf 2 33 sinsinsin ++ CBA Chứng minh bất đẳng thức trên. Trờng hợp 2: Tam giác ABC tù, không giảm tính tổng quát giả sử góc C tù, ta có: 2 33 )()()( ++ CfBfAf 2 33 cos1sinsin +++ CBA 2 33 sinsinsin ++ CBA Vì ta có nhận xét: CC sincos1 + với C là góc tù. Chứng minh ở trờng hợp 1. Bài 7 ( 2 điểm) Vì )2(4)2()1( fff =+ 3 2 )2( = f Với 3 n , theo giả thiết: =+++ =++++ )1()1()1( )2()1( )()()1( )2()1( 2 2 nfnnfff nfnnfnfff )1()1()()( 2 = nfnnfnnf )1( 1 1 )( + = nf n n nf vậy với )1( 4 )2( 4 )1( 2) 2)(1( )(3 + = + = nn f nn nn nfn vì 3 2 )2(;2)1( == ff thoả mãn công thức trên nên * )1( 4 )( + = n nn nf Bài 8 ( 2 điểm) Điều kiện x,y,z>0 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 Với điều kiện trên hệ phơng trình =++ =++ =++ 2logloglog 2logloglog 2logloglog 1616 2 16 99 2 9 44 2 4 xyz zxy zyx = = = 2log 2log 2log 2 16 2 9 2 4 yxz xzy yzx = = = 256 81 16 2 2 2 yxz xzy yzx Giải hệ phơng trình ta đợc = = = 3 32 8 27 3 2 z y x là nghiệm của hệ phơng trình. Bài 9 ( 2 điểm) Gọi O,M,N,P,Qlần lợt là trung điểm các cạnh: CD, AC, CB, BD, DA Suy raMNPQ là hình bình hành và O không thuộc (MNPQ) Ta có (MO+OP) 2 + (NO+OQ) 2 >MP 2 +NQ 2 =2(PQ 2 +QM 2 )>(PQ+QM) 2 Vậy: (MO+OP) 2 +(NO+OQ) 2 >(PQ+QM) 2 Hay 22 ) 2 1 2 1 () 2 1 2 1 ( ACBDBCAD +++ >( 2 1 AB+ 2 1 CD) 2 22 )()( BCADBDAC +++ > 2 )( CDAB + (đpcm) Bài 10 ( 2 điểm) Ta có *24 2 212 )1( 1)1( +++= nxCxCxCx nn n nn n n +++= 1 0 24 2 21 1 0 2 ))1( 1()1( dxxCxCxCdxx nn n nn n n = = 12 )1( 5 1 3 1 1 21 + +++ n C CC n n n nn (1) Tính I n = 1 0 2 )1( dxx n 0.5 0.75 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 đặt x= cost, = 2 ,0,cos ttx tdtdx sin= + = 2 0 12 sin tdtI n n đặt = = tdtdv tu n sin sin 2 nn nn n nInItdttntdttnI 22sin)sin1(2sincos2 1 12 2 0 2 2 0 122 === 01 )12 (5.3 2 4.2 12 2 I n n I n n I nn + = + = Vậy I n = )12 (5.3.1 2 6.4.2 +n n (2) Từ (1) và (2) đpcm 0.5 0.25 Lu ý: Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa Phần nhận xét ở bài 6 nếu không chứng minh thì cho 0.25 điểm . Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá Cộng hoà x hội chủ nghĩa ã việt nam Độc lập Tự do Hạnh phúc đề thi học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh bảng a Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Bài. + Bµi 10 (2®iÓm) Chøng minh r»ng: )12 (5.3.1 2 6.4.2 12 )1( 53 1 21 + = + − +++− n n n CCC n n n nn , Ν∈∀ n Đáp án - thang điểm đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh bảng a Nội dung Thang điểm Bài. sin= + = 2 0 12 sin tdtI n n đặt = = tdtdv tu n sin sin 2 nn nn n nInItdttntdttnI 22sin)sin1(2sincos2 1 12 2 0 2 2 0 122 === 01 )12 (5.3 2 4.2 12 2 I n n I n n I nn + = + = Vậy I n = )12 (5.3.1 2

Ngày đăng: 26/07/2015, 09:28

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Néi dung

    • Bµi 2 ( 2 ®iÓm)

    • Bµi 3 ( 2 ®iÓm)

    • Bµi 4 ( 2 ®iÓm)

    • Bµi 5 ( 2 ®iÓm)

    • Bµi 6 ( 2 ®iÓm)

    • Bµi 7 ( 2 ®iÓm)

    • Bµi 8 ( 2 ®iÓm)

    • Bµi 9 ( 2 ®iÓm)

    • Bµi 10 ( 2 ®iÓm)

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan