Đề số 3 ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 – Nâng cao Thời gian làm bài 90 phút Bài 1 (2,5 điểm) Giải các phương trình : 1) 2sin( 2x + 15 0 ).cos( 2x + 15 0 ) = 1 2) cos2x – 3cosx + 2 = 0 3) x x x x 2 2 sin 2sin2 5cos 0 2sin 2 − − = + Bài 2 (0,75 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y x x3sin 3 4cos 3 6 6 π π     = + + +  ÷  ÷     Bài 3 (1,5 điểm) 1) Tìm hệ số của số hạng chứa x 31 trong khai triển biểu thức x x 3 15 (3 )− . 2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số khác nhau. Bài 4 (1,5 điểm) Một hộp chứa 10 quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ, các quả cầu chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu. 1) Có bao nhiêu cách lấy đúng 3 quả cầu đỏ. 2) Tìm xác suất để lấy được ít nhất 3 quả cầu đỏ . Bài 5 (1,5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(– 2; 3) , B(1; – 4); đường thẳng d: x y3 5 8 0− + = ; đường tròn (C ): x y 2 2 ( 4) ( 1) 4+ + − = . Gọi B’, (C′) lần lượt là ảnh của B, (C) qua phép đối xứng tâm O. Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ AB uuur . 1) Tìm toạ độ của điểm B’, phương trình của d’ và (C′) . 2) Tìm phương trình đường tròn (C′′) ảnh của (C) qua phép vị tâm O tỉ số k = –2. Bài 6 (2,25 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD và P là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AP = 2PB . 1) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (ABCD). 2) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD). 3) Tìm giao điểm Q của CD với mặt phẳng (MNP). Mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện là hình gì ? . 4) Gọi K là giao điểm của PQ và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng NK, PM và SB đồng qui tại một điểm. Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 Đề số 3 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 – Nâng cao Thời gian làm bài 90 phút Bài Câu Hướng dẫn Điểm 1 1 2sin( 2x + 15 0 ).cos( 2x + 15 0 ) = 1 ⇔ sin(4x +30 0 ) = 1 ⇔ x k , k Z 0 0 0 4 30 90 360+ = + ∈ x k , k Z 0 0 15 .90⇔ = + ∈ 0,5 2 cos2x – 3cosx + 2 = 0 ⇔ 2cos 2 x – 1 – 3cosx + 2 = 0 ⇔ 2cos 2 x – 3cosx + 1 = 0 ⇔ x k x , k Z x k x 2 cos 1 1 2 cos 3 2 π π π   = =   ⇔ ∈  = ± +  =   1 3 x x x x 2 2 sin 2sin2 5cos 0 2sin 2 − − = + (1) ĐK : x m x , m,n Z x n 2 2 4 sin 5 2 2 4 π π π π  ≠ − +  ≠ − ⇔ ∈   ≠ +  (*) Với điều kiện (*) ta có: (1) ⇔ sin 2 x – 4sinx.cosx – 5cos 2 x = 0 • cosx = 0 không thoả mãn phương trình (1) • cosx ≠ 0 , chia hai vế của (1) cho x 2 cos ta được: (1) ⇔ tan 2 x – 4tanx – 5 = 0 ⇔ x x tan 1 tan 5  = −  =  ⇔ x k x k 4 arctan5 π π π  = − +   = +  Kết hợp với điều kiện (*), ta được nghiệm của phương trình đã cho là: x k , x k , k Z(2 1) arctan5 4 π π π = − + + = + ∈ 1 2 y x x3sin(3 ) 4cos(3 ) 6 6 π π = + + + x5sin 3 6 π α     = + +  ÷       với cosα = 3 5 và sinα = 4 5 Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng – 5 khi xsin 3 1 6 π α     + + = −  ÷       Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5 khi xsin 3 1 6 π α     + + =  ÷       0,75 3 1 Tìm hệ số chứa x 31 trong khai triển biểu thức ( 3x – x 3 ) 15 . Số hạng tổng quát của khai trển trên là : k k k k k k k T C x x C x 15 3 15 15 2 15 15 .(3 ) .( ) .( 1) .3 . − − + = − = − với 0 ≤ k ≤ 15 , k ∈Z Số hạng cần tìm chứa x 31 nên 15 + 2k = 31 ⇔ k = 8 ( thoả mãn) Hệ số của số hạng cần tìm là : C 8 8 7 15 .( 1) .3− = C 8 7 15 .3 14073345= 0,75 2 Số cần tìm có dạng abcd , trong đó a , b , c , d ∈ { } 1,2,3,4,5,6,7 và đôi một khác nhau . Vì số cần lập là số chẵn nên { } d 2, 4, 6∈ Do đó chữ số d có 3 cách chọn . 0,75 2 Có A 3 6 cách chọn ba chữ số a, b, c . Vậy có 3 6 3.A 360= số thoả yêu câu bài toán . 4 1 Số cách lấy đúng 3 quả cầu màu đỏ là C C 3 2 8 10 . 2520= 0,5 2 Không gian mẫu, (của phép thử ngẫu nhiên lấy 5 quả cầu từ 18 quả cầu khác màu ) có số phần tử là : C 5 18 =8568 Gọi A là biến cố lấy được ít nhất 3 quả cầu màu đỏ . – Số cách lấy được đúng 3 quả cầu màu đỏ là : 2520 – Số cách lấy được 4 quả cầu đỏ là C C 4 1 8 10 . 700= – Số cách lấy được 5 quả cầu đều màu đỏ là : C 5 8 56= Xác suất của biến cố lấy được ít nhất 3 quả caàu màu đỏ là : P A 2520 700 56 ( ) 0,38 8568 + + = ≈ 1 5 1 Ta có : B’ = (–1; 4), d’: –3x + 5y + 8 = 0 Đường tròn (C) có tâm I(–4 ; 1) và bán kính R = 2 Đường tròn (C’) có tâm I’(4 ; – 1) và R’ = 2 ⇒ (C’) : (x – 4) 2 + (y + 1) 2 = 4 0,75 2 Gọi I’’ là tâm của đường tròn (C’’) , khi đó OI OI'' 2= − uuur uur mà OI ( 4;1)= − uur Suy ra OI '' (8; 2)= − uuur ⇒ I '' (8; 2)= − và R’’ = 2R = 4 Vậy (C’’) : (x – 8) 2 + (y + 2) 2 = 16 0,75 6 1 K Q I P N M D A B C S MN là đường trung bình của tam giác SAD . Vì MN nằm ngoài mặt phẳng (ABCD) và MN // AD nên MN // (ABCD). 0,75 2 Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) là đường thẳng đi qua S và song song với AD . 0,25 3 3/ Tìm giao điểm Q của CD với mặt phẳng (MNP). Mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện là hình gì ? . Ba mặt phẳng (MNP), (SAD) và (ABCD) cắt nhau theo ba giao tuyến MN, PQ, AD, đồng thời MN //AD nên ba đường thẳng PQ, MN, AD đôi một song song . Trong mặt phẳng (ABCD), qua điểm P kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại Q. Điểm Q là giao điểm cần tìm. 0,75 4 Trong mặt phẳng (SAB), hai đường thẳng SB và PM không song song nên chúng cắt nhau tại I . Suy ra I là điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và (SBD) . Lại có (SBD) và (MNP) cắt nhau theo giao tuyến KN nên điểm I phải thuộc đường thẳng NK . Vậy ba đường thẳng SB, MP, NK đồng qui tại I . 0,5 3 . . 1 Đề số 3 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 – Nâng cao Thời gian làm bài 90 phút Bài Câu Hướng dẫn Điểm 1 1 2sin( 2x + 15 0 ).cos( 2x + 15 0 ) = 1 ⇔ sin(4x +30 0 ) = 1 ⇔. Đề số 3 ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 – Nâng cao Thời gian làm bài 90 phút Bài 1 (2,5 điểm) Giải các phương trình : 1) 2sin( 2x + 15 0 ).cos( 2x + 15 0 ) = 1 2) cos2x. x 3 ) 15 . Số hạng tổng quát của khai trển trên là : k k k k k k k T C x x C x 15 3 15 15 2 15 15 .(3 ) .( ) .( 1) .3 . − − + = − = − với 0 ≤ k ≤ 15 , k ∈Z Số hạng cần tìm chứa x 31 nên 15 +