Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hồng LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 LUYỆ QUỐ Mai Nguyễn Minh Hồng Nguyễ Hồ MƠN TỐN TỐ Quyển " CĨ CƠNG MÀI SẮT, CĨ NGÀY NÊN KIM " NGÀ Đà Nẵng, tháng năm 2015 Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thơng Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng LỜI MỞ ĐẦU ĐẦU Các bạn thân mến! thâ Khi bạn cầm tài liệu tay ắc hẳn bạn chuẩn bị bước vào năm lớp 12 - năm kết thúc cấp năm đánh dấu trưởng thành bạn sau 12 năm cắp sách đến trường Mình nghĩ bạn năm tâm học hành chăm để có chỗ ngồi tốt trường Đại học mà mong muốn Hiểu cố gắng bạn, viết tập tài liệu để nhằm giúp cho bạn nắm kiến thức mơn Tốn dạng Tốn thường gặp kì thi, đặc biệt kì thi THPT Quốc Gia bạn tới Mình hy vọng bạn cố gắng rèn luyện, đọc thật kĩ tài liệu làm tập tài liệu cách kĩ cẩn thận Việc làm giúp bạn tự tin học trường, kiểm tra 15 phút, tiết, học kỳ thi THPT Quốc Gia tới Các bạn à, bạn nghĩ năm lâu phải khơng? Mình đồng ý năm lâu thật theo bạn cố gắng học tập chăm chỉ, hội năm quý báu Các bạn thử nghĩ xem đến tết năm cịn có nửa năm đến giỗ tổ Hùng Vương, 30/4, 1/5 đến ngày bế giảng bạn Sau bế giảng tháng cuối để ôn tập lại lên đường, đến lúc bạn cảm nhận tháng giống tuần thôi, nhanh bạn Đây cảm nhận thật mà rút ra, xin chia sẻ với bạn Hè năm ngoái lên 12 sợ Hình khơng gian lắm, nên hạ tâm tháng hè lên 12 phải cố học cho xong hình khơng gian Nhưng với suy nghĩ : " Thôi để mai học ", ngày qua ngày chẳng học Rồi đến ngày khai giảng, tâm học cho xong hình học kì I với suy nghĩ: " Thời gian dài mà, học chi cho sớm, để mai học " Thế học kì I trơi qua mà đầu chẳng có chữ hình khơng gian Rồi có người thầy nói với tụi mình: " Em có suy nghĩ để mai làm bỏ nhé, giết chết em " Thế sợ qua, sang học kì II cố gắng học hình khơng gian bỏ suy nghĩ đó, ngày làm việc ngày đó, nhờ chinh phục thành cơng câu Hình khơng Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hồng gian đề thi Mình nghĩ nhiều bạn có suy nghĩ : "Thơi để mai học, để mai làm" Mình khun bạn cố gắng bỏ suy nghĩ tâm làm việc làm ngày hôm nay, cố gắng học hành chăm để sau làm xong việc ln cảm thấy mãn nguyện hồn thành mình, đừng hối hận việc chưa làm mà cố gắng tương lai bạn Mình khuyên bạn đọc tài liệu giữ tự tin vào thân, đừng sợ hãi kiến thức nghĩ ln đồng hành với bạn dòng viết Các bạn nghĩ bạn học cho mà cho làm vui lịng cha mẹ, thầy người, nghĩ bạn cảm thấy việc học nhẹ nhàng nhiều Chúc bạn thành công đạt kết tốt kì thi THPT Quốc Gia tới Hãy ln vững tin vào sức mạnh thân, bạn nhé! l thâ Có thắc mắc bạn inbox thơng qua facebook: Minh Hoang Mai Mình hứa tận tình giải đáp thắc mắc bạn cách chu đáo Xin cảm ơn bạn! Mình muốn soạn tài liệu Lý, Hóa cho bạn Nếu bạn ủng hộ bắt đầu thực Xin chân thành cảm ơn bạn! Đà Nẵng tháng năm 2015 Người viết Mai Nguyễn Minh Hoàng Nội dung 1: quyể Phần I: Khảo sát, vẽ đồ thị vấn đề liên quan hàm số Phầ Phần II: Lượng giác Phầ Phần III: Hình học khơng gian Phầ Ghi *Ghi chú: Mỗi học tháng Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thơng Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng PHẦN I: HÀM SỐ PHẦ Các bạn thân mến! thâ Hàm số phần kiến thức quan trọng, thường xuất chủ yếu đề thi học kì, học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, Tốt nghiệp THPT Quốc Gia Trong phần I này, xin đề cập đến mảng kiến thức khảo sát, vẽ đồ thị hàm số vấn đề liên quan Đây kiến thức thuộc chương trình 12, mong bạn nghiên cứu cẩn thận, đọc kĩ lý thuyết, tập minh họa rèn luyện việc làm tập áp dụng Đây phần kiến thức khơng q khó, cần đọc kĩ phần làm tốt điểm đề thi THPT Quốc Gia tới Mình trình bày phương pháp cụ thể với tập minh họa sát với chương trình để giúp cho bạn thuận lợi việc học Mình hy vọng phần giúp ích cho bạn việc học toán trường luyện thi Chúc bạn thành công đạt kết tốt sau học xong phần Hãy vững tin vào sức mạnh thân, bạn nhé! luô thâ Có thắc mắc inbox thơng qua facebook: Minh Hoang Mai Mình hứa tận tình giải đáp thắc mắc bạn cách chu đáo Xin cảm ơn bạn! MỘT SỐ KÍ HIỆU, TỪ VIẾT TẮT TRONG TÀI LIỆU HIỆ VIẾ LIỆ 1) TXĐ : Tập xác định 2) CĐ : Cực đại; CT: Cực tiểu 3) // : Song song ; ⊥ : Vng góc 4) ∠ : Góc 5) d(SA, BC) : Khoảng cách SA BC 6) VS.ABC : Thể tích khối chóp S.ABC 7) TCĐ: Tiệm cận đứng; TCN: Tiệm cận ngang Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thơng Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 BÀI Mai Nguyễn Minh Hoàng KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC KHẢ THỊ THỨ y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ I) Phương pháp giải: Phươ phá giả ương Bước •Bước 1: Tìm TXĐ: Tất toán dạng TXĐ thuộc R (D=R) Bước •Bước 2: Sự biến thiên: a) Giới hạn: + Nếu a > thì: lim y = +∞ ; lim y = −∞ x → +∞ x → −∞ + Nếu a < thì: lim y = +∞ ; lim y = −∞ x → −∞ x → +∞ b) Chiều biến thiên: Tính y': y' = 3ax2 + 2bx + c Tìm nghiệm y' = có Cịn y' = khơng có nghiệm (tức ∆ < 0) ta thực sau: Nếu a > y' > => Hàm số cho đồng biến R Nếu a < y' < => Hàm số cho nghịch biến R c) Bảng biến thiên: x -∞ +∞ y' Dấu y' y Chiều biến thiên y' Bước •Bước 3: Điểm uốn: Ta có: y'' = 6ax + 2b y'' = 6ax + 2b = x = => y = Suy đồ thị cho có điểm uốn I( ; ) Bước •Bước 4: Tìm điểm đặc biệt: x=0 => y = y=0 => x = Bước •Bước 5: Vẽ đồ thị Vẽ hệ trục Ghi điểm CĐ, CT ( có ) điểm uốn Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thơng Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Ghi điểm đặc biệt Vẽ đồ thị theo điểm * Chú ý: Hình vẽ đối xứng qua điểm uốn Chú II) Bài tập minh họa: Bài 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: y = x3 - 3x2 + 6x Giải •TXĐ: D=R •Sự biến thiên: + Giới hạn: lim y = +∞ ; lim y = −∞ x →+∞ x → −∞ + Chiều biến thiên: Ta có: y' = 3x2 - 6x + = (x2 - 2x + 2) = 3(x-1)2 + > => Hàm số đồng biến R + Bảng biến thiên: x -∞ y' +∞ + y +∞ -∞ •Điểm uốn: + Ta có: y'' = 6x - y'' = x = => y(1) = => Đồ thị có điểm uốn I(1; 4) •Điểm đặc biệt: x = => y = x = => y = •Đồ thị: Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hồng Bài 2: (Đề thi THPT QG năm 2015) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: y = x3 - 3x Giải Bài 3: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: y = 2x3 - 3x2 + (HD trực tiếp) Bài 4: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: y = -x3 + 2x2 - x (HD trực tiếp) Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thơng Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng III) Bài tập áp dụng: Bài 1.1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = x3 + 3x2 + 3x +1 b) y = (x - 1)3 c) y = - x3 - 3x + d) y = - x3 + 3x2 - 3x - Bài 1.2) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = x3 +3x2 - 9x + c) y = − x − x − 3x + e) y = ( x − 3x − x − 5) Quyển - Tháng năm 2015 b) y = x − x + 3x + d) y = - 2x3 + 9x2 - 12x + g) y = − x + 3x − x + Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thơng Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 BÀI Mai Nguyễn Minh Hoàng KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC TRÙNG PHƯƠNG KHẢ THỊ TRÙ PHƯƠ ƯƠNG y = f(x) = ax4 + bx2 + c, a ≠ I) Phương pháp giải: Phươ phá giả ương Bước •Bước 1: Tìm TXĐ: Tất tốn dạng TXĐ thuộc R (D=R) Bước •Bước 2: Sự biến thiên: a) Giới hạn: + Nếu a > thì: lim y = +∞ ; lim y = +∞ x → +∞ x → −∞ + Nếu a < thì: lim y = −∞ ; lim y = −∞ x → −∞ x → +∞ b) Chiều biến thiên: Tính y': y' = 4ax3 + 2bx Tìm nghiệm y' = c) Bảng biến thiên: x -∞ +∞ y' Dấu y' y Chiều biến thiên y' Bước •Bước 3: Điểm uốn: Ta có: y'' = 12ax2 + 2b y'' = 12ax2 + 2b = x = ± => y = Suy đồ thị cho có điểm uốn I1( - ; ) , I2( + ; ) Bước •Bước 4: Tìm điểm đặc biệt: y=c => x = Bước •Bước 5: Vẽ đồ thị Vẽ hệ trục Ghi điểm CĐ, CT ( có ) điểm uốn Ghi điểm đặc biệt Vẽ đồ thị theo điểm * Chú ý: Hình vẽ đối xứng qua điểm trục tung Oy Chú II) Bài tập minh họa: Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thơng Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Bài 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: y = x4 + x2 - Giải •TXĐ: D=R •Sự biến thiên: + Giới hạn: lim y = +∞ ; lim y = +∞ x →+∞ x → −∞ + Chiều biến thiên: Ta có: y' = 4x3 + 2x = 2x(2x2 + 1) Vì 2x2 + > nên y' = 2x = x = => y(0) = - + Bảng biến thiên: x -∞ y' - y +∞ + -∞ +∞ -2 Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số nghịch biến khoảng (- ∞ ; 0) đồng biến khoảng (0 ; + ∞ ) đạt cực đại x = ; yCĐ = -2 •Điểm uốn: + Ta có: y'' = 12x2 + > , ∀x ∈ R => Đồ thị hàm số lõm R •Điểm đặc biệt: x = ± => y = Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thơng Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng BÀI NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ NHỮ LIÊ * Nhận xét: Bài toán tương giao tiếp tuyến đồ thị hai dạng toán Nhậ thường gặp đề thi nên tập tài liệu xin đưa dạng tốn xoay quanh vấn đề Hy vọng bạn nghiên cứu, rèn luyện kĩ lưỡng để hoàn thành tốt dạng tốn liên quan tới hai dạng Cịn tốn khác hàm số đưa vào tập tài liệu tiếp theo, bạn có nhu cầu theo dõi tập A) VẤN ĐỀ 1: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ: ƯƠNG THỊ I) Bài tốn tìm giao điểm hai đồ thị hàm số : toá thị 1) Phương pháp giải: Phươ phá giả ương Cho hai đồ thị hàm số y = f(x) y = g(x) Để tìm giao điểm hai đồ thị ta làm sau: Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị cho Sau giải ước phương trình để tìm giá trị x (nếu có) Nếu phương trình vơ nghiệm đồ thị cho khơng cách Nếu phương trình có nghiệm, nghiệm, nghiệm, đồ thị cắt nhạu điểm, điểm, điểm Bước 2: Thay giá trị x vừa tìm vào biểu thức f(x) g(x) Sau ước suy tọa độ giao điểm đồ thị cho 2) Bài tập minh họa: Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hàm số sau đây: y = x + x + 3x y=x Giải Ta có phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị cho là: x =0⇒ y =0 3 x + x + 3x = x x + x + x = x = −3 − ⇒ y = −3 − 3 x = −3 + ⇒ y = −3 + Vậy đồ thị cho giao điểm là: A(0;0), B(-3- ;-3- ), C(-3+ ;-3- ) Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hồng x2 + x + Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hàm số sau đây: y = y = x −1 2x + Giải Ta có phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị cho là: x2 + x + = 2x + x + x + = x − x − , x ≠ x −1 x − 3x − = , x ≠ + 17 ⇒ y = + 17 − 17 x= ⇒ y = − 17 x= Vậy đồ thị cho giao điểm là: A( + 17 − 17 ;4 + 17 ), B( ;4 − 17 ) 2 Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hàm số sau đây: y = x + x y = x2 − (HD trực tiếp) Bài 4: Với giá trị m đường thẳng y = m - x cắt đồ thị hàm số y= x2 − x + điểm phân biệt x −1 (HD trực tiếp) 3) Bài tập áp dụng: Bài 4.1: Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hàm số sau đây: y = x + 3x − 3x − y=0 Bài 4.2: Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hàm số sau đây: y = x + 3x + y = x2 + Bài 4.3: Chứng minh với giá trị m, đường thẳng y = x - m cắt đường cong y = − x2 + x điểm phân biệt x −1 Bài 4.4: Với giá trị m đường thẳng y = m cắt đường cong y = x − x − điểm phân biệt Hướng dẫn: Lập phương trình hồnh độ giao điểm đường cho Sau đặt t Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thơng Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng PHẦN II: LƯỢNG GIÁC PHẦ ƯỢNG GIÁ Các bạn thân mến! thâ Lượng giác phần kiến thức thường xuất đề thi, đặc biệt kì thi THPT Quốc Gia Câu hỏi thường khơng q khó để giải để giải bạn cần phải nắm vững số kiến thức Vì phần II này, bạn nắm phần lượng giác mà lâu học lâu nên quên củng cố rèn luyện Mình hy vọng sau học xong phần câu hỏi lượng giác trở nên đơn giản nằm tầm tay bạn Chúc bạn thành công! Hãy vững tin vào sức mạnh thân, bạn nhé! l thâ Có thắc mắc inbox thơng qua facebook: Minh Hoang Mai Mình hứa tận tình giải đáp thắc mắc bạn cách chu đáo Xin cảm ơn bạn! Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thơng Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng BÀI BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN BIẾ ĐỔI ƯỢNG GIÁ I) Vòng tròn lượng giác: trò ượng giá Trục Sin Chiều quay lượng giác Cos < Sin > Cos > Sin > Trục Cos O Cos > Sin < Cos < Sin < VÒNG TRÒN LƯỢNG GIÁC TRÒ ƯỢNG GIÁ * Ghi chú: Chiều quay lượng giác giống chiều mở nắp chai nước, II) Một số cơng thức liên hệ góc: thứ liê giữ * Thần chú: "cos đối sin bù phụ chéo khác pi tan, cot " Thầ 1) Hai góc đối nhau: " cos đối " đối cos(-x) = cos x Cịn sin, tan, cot thì: sin(-x) = - sin x ; tan(-x) = - tan x ; cot(-x) = - cot x 2) Hai góc bù nhau: " sin bù " sin ( π - x ) = sin x ; cos ( π - x ) = - cos x tan ( π - x ) = - tan x ; cot ( π - x ) = - cot x 3) Hai góc phụ : "phụ chéo - nghĩa sin với cos, tan với cot " phụ π sin ( - x ) = cos x Quyển - Tháng năm 2015 ; π cos ( - x ) = sin x Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 π tan ( - x ) = cot x Mai Nguyễn Minh Hoàng π ; cot ( - x ) = tan x 4) Hai góc π : " khác pi tan , cot " sin ( π + x ) = - sin x ; cos ( π + x ) = - cos x tan ( π + x ) = tan x ; cot ( π + x ) = π ; cos ( + x ) = - sin x π ; cot ( + x ) = - tan x cot x π 5) Hai góc : sin ( + x ) = cos x tan ( + x ) = - cot x π π III) Một số công thức bản: thứ 1) sin2x + cos2x = 2) + tan2x = 3) + cot2x = cos2 x sin x 4) tan x cot x = 5) Công thức tổng hiệu: thứ hiệ sin(a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a cos(a ± b) = cos a cos b m sin a sin b tan a ± tan b tan( a ± b) = m tan a tan b 6) Công thức nhân đôi, nhân ba: thứ nhâ đôi, nhâ a) Sin2x = 2sinx.cosx b) Cos2x = cos2x - sin2x = 2cos2x - = - 2sin2x c) Sin3x = 3sinx - 4sin3x Thần chú: sin 3,4 cos 4,3 Thầ d) Cos3x = 4cos3x - 3cosx tan x e) tan2x = − tan x ; tan x − tan x tan3x = − tan x 7) Công thức biến đổi tổng thành tích: thứ biế đổi * Thần chú: sin cộng sin sin cos, sin trừ sin cos sin, cos cộng cos Thầ Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hồng cos cos, cos trừ cos trừ sin sin a+b a−b cos 2 a −b a+b sin a − sin b = sin cos 2 a+b a −b cos a + cos b = cos cos 2 sin a + sin b = sin a+b a−b sin 2 π π sin a + cos a = sin(a + ) = cos(a − ) 4 π π sin a − cos a = sin(a − ) = − cos(a + ) 4 cos a − cos b = −2 sin BÀI MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN VỀ LƯỢNG GIÁC LIÊ ƯỢNG GIÁ * Nhận xét: Đây dạng toán học lớp 10, nhiều bạn theo thời gian Nhậ quên nên sau xin tóm tắt số kiến thức trọng tâm dạng tập chủ yếu Các bạn cần ý dạng toán xuất vào đề thi THPT Quốc gia năm 2015 năm trước chưa có, bạn cần nghiên cứu cẩn thận rèn luyện tập để vững hơn, tự tin kì thi THPT Quốc Gia tới I) Một số phép tính lượng giác: phé ượng giá 1) Một số lưu ý: Cần ý công thức sau: + Nếu toán cho giá trị sin hay cos sử dụng cơng thức sin2x + cos2x = để tìm giá trị cịn lại + Nếu cần tìm tanx, cotx, sin2x, cos2x, sin3x, cos3x nhớ sử dụng công thức nêu + Nếu toán cho x thuộc khoảng sử dụng vịng trịn lượng giác để tính xác giá trị dương âm sinx, cosx π x ∈ (0; ) => sin x > 0; cos x > π x ∈ ( ;π ) => sin x > 0; cos x < 3π π x ∈ (π ; )hay _ x ∈ ( −π ;− ) => sin x < 0; cos x < 2 3π π x ∈ ( ;2π )hay _ x ∈ ( − ;0) => sin x < 0; cos x > 2 2) Bài tập minh họa: Bài 1: (Đề thi THPTQG năm 2015) Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hồng Tìm giá trị biểu thức: P = (1 − cos 2α )( + cos 2α ) , biết sin α = Giải 3 14 Ta có: cos 2α = − sin α = − 2.( )2 = 9 Suy ra: P = (1 − )( + ) = = π cot 2α + tan α Bài 2: Cho góc α ∈ ( −π ;− ) thoả mãn: sin α = Tính A = sin(α − π ) Giải Ta có: cos2 α = − sin α = − = π Do α ∈ ( −π ;− ) nên cos α < => cos α = − π Ta có: sin(α − ) = − cos α = Suy ra: A = sin α => tan α = =− cos α − tan α − 1/ cot 2α = = =− tan α 2.( −1 / 2) cot 2α + tan α − / − / 5 = =− π 2/ sin(α − ) Bài 3: Cho góc α thỏa mãn tan α = Tính A = 2 sin(α + π ) cos3 α Giải π ) = sin α + cos α = sin α + cos3 α cos3 α cos α cos2 α cos2 α sin(α + Ta có: A = = tan α (1 + tan α ) + + tan α = (1 + tan α )(tan α + 1) 1 15 = (1 + )(1 + ) = = 4 π tan α − sin α Bài 4: Cho góc α ∈ ( ;π ) thoả mãn: sin α = Tính A = ĐS: − sin α ; ( HD trực tiếp ) 3π 2 Bài 5: Cho góc α ∈ (π ; ) thoả mãn: cos α = Tính A = sin α + cos6 α + sin α Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hồng ; ( HD trực tiếp ) ĐS: III) Bài tập áp dụng: π π Bài 1: Cho góc α ∈ ( ;π ) thoả mãn: cos α = − Tính A = tan(α + ) + ĐS: − cos α + sin α 14 3π Bài 2: Cho góc α ∈ ( ;2π ) thoả mãn: sin α = − Tính A = ĐS: − Bài 3: 10 tan 2α + cot α Cho góc π α ∈ ( − ;0) thoả mãn: cos 2α = − Tính A = cos3 α − sin α + cos α cos α − sin α ĐS: 29 18 Bài 4: ( Đề thi minh họa THPTQG năm 2015) π Cho góc α ∈ ( ;π ) thoả mãn: sin α = Tính A = ĐS: − tan α + tan α 12 25 II) Một số hệ thức lượng giác tam giác: thứ ượng giá giá 1) Phương pháp giải: Phươ phá giả ương + Để giải tốt phần này, cần nắm vững cơng thức biến đổi tổng thành tích Để đơn giản nhớ câu thần sau: * Thần chú: sin cộng sin sin cos, sin trừ sin cos sin, cos cộng cos Thầ cos cos, cos trừ cos trừ sin sin a+b a−b cos 2 a −b a+b sin a − sin b = sin cos 2 a+b a −b cos a + cos b = cos cos 2 sin a + sin b = sin a+b a−b sin 2 π π sin a + cos a = sin(a + ) = cos(a − ) 4 π π sin a − cos a = sin(a − ) = − cos(a + ) 4 cos a − cos b = −2 sin *Chú ý: Khi gặp tốn biến đổi có liên quan đến góc A, B, C tam giác *Chú Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hồng PHẦN III: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN PHẦ KHƠ Các bạn thân mến! thâ Hình học khơng gian phần kiến thức quan trọng, khơng thể thiếu kì thi, đặc biệt kì thi THPT Quốc Gia Trong năm gần đây, đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng hình học khơng gian khơng cịn q khó đặc biệt năm 2015 vừa qua, với xu đề chung vừa xét tốt nghiệp tuyển sinh đại học, cao đẳng phần hình học KG trở nên câu hỏi trung bình, khơng q khó để giải, cần nắm vững kiến thức làm câu Nhưng theo biết, nhiều bạn lại sợ phần này, cách vẽ hình tìm lời giải cho câu hình học KG Mình nghĩ bạn cần nắm vững kiến thức hình KG lớp 11 kết hợp với phần kiến thức lớp 12 bạn giải câu cách đơn giản Trong phần này, tóm tắt kiến thức hình lớp 11, phân tích đưa cách vẽ hình lời giải cụ thể để bạn tiếp thu dễ dàng Mình hy vọng sau học xong, bạn tự tin nói rằng: " A, Hình học Khơng gian thật dễ !" để bạn hồn thành tốt kì thi tới với số điểm bạn mong muốn Chúc bạn thành công tự tin sau học xong phần Hãy vững tin vào sức mạnh thân, bạn nhé! l thâ Có thắc mắc bạn inbox thơng qua facebook: Minh Hoang Mai Mình hứa tận tình giải đáp thắc mắc bạn cách chu đáo Xin cảm ơn bạn! Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thơng Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng BÀI MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÌNH KHƠNG GIAN KIẾ THỨ KHƠ I) Cơng thức tính chu vi, diện tích số hình phẳng: thứ diệ phẳ 1) Tam giác: giá Cho ∆ ABC có độ dài canh a, b, c Gọi p nửa chu vi tam giác R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác Ta có: a) Chu vi: CV = 2p = a + b + c b) Diện tích: Có cơng thức tính diện tích tam giác: S= = = 1 a.ha = b.hb = c.hc với , hb , hc đường cao kẻ từ đỉnh A,B,C 2 1 ab sin C = ac sin B = bc sin A 2 p ( p − a )( p − b )( p − c ) với p = a + b + c , (công thức công thức Hê-rông thứ -rông) = abc = p.r 4R * Cần ý trường hợp đặc biệt sau: nhữ trườ ường đặc biệ • Cho ∆ ABC vng A Ta có diện tích tam giác là: S = Và đường cao h kẻ từ đỉnh A tính cơng thức: • Định lý sin Định sin: 1 AB AC = BC.ha 2 1 = 2+ 2 h b c a b c = = = 2R sin A sin B sin C • Định lý hàm số cos: Định a = b2 + c − 2bc cos A b2 = a + c − 2ac cos B c = a + b2 − 2ab cos C 2) Tứ giác: giá a) Hình vng có cạnh a: Chu vi: CV = 4a; Diện tích: S = a2 ; Đường chéo: d = a b) Hình chữ nhật có cạnh a, b: Chu vi: CV = 2(a+b); Diện tích: S = ab c) Hình bình hành cạnh a,b: Chu vi: CV = 2(a+b); S = absinA = aha = bhb d) Hình thoi cạnh a: Chu vi: CV = 4a ; Diện tích: S = tích đường chéo Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thơng Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hồng e) Hình thang: Chu vi: CV = tổng cạnh; Diện tích: S = (tổng đáy).chiều cao 3) Đường trịn bán kính R: Chu vi: CV = π R; Diện tích: S = π R2 Đường trị II) Cơng thức tính Sxq, Stp, V hình khơng gian: thứ khơ 1) Hình lăng trụ: trụ Cho hình lăng trụ có đường cao h Ta có cơng thức sau: a) Diện tích xung quanh: Sxq = Tổng diện tích mặt bên b) Diện tích tồn phần: Stp = Sxq + 2.Sđáy c) Thể tích khối lăng trụ: V = Sđáy Chiều cao h 2) Hình chóp: chó Cho hình chóp có đường cao h Ta có cơng thức sau: a) Diện tích xung quanh: Sxq = Tổng diện tích mặt bên b) Diện tích tồn phần: Stp = Sxq + Sđáy c) Thể tích khối lăng trụ: V = Sđáy Chiều cao h * Chú ý: Khi hình chóp bị cắt mặt phẳng ta có cơng thức tính tỉ số Chú thể tích sau: Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên đoạn SA, SB, SC lấy điểm M, N, P ( không trùng S ) S Khi ta có: M VS MNP SM SN SP = VS ABC SA SB SC P N C A B * Ghi chú: Hình lăng trụ hình chóp hình quan trọng, thường xuất Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thơng Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hồng đề thi học kì, học sinh giỏi kì thi tuyển sinh đại học, tốt nghiệp THPT Quốc Gia Cịn hình khác hình nón, hình chóp cụt, hình cầu gặp học tháng III) Quan hệ song song, vng góc đường thẳng mặt phẳng không vuô đường thẳ phẳ khô gian: 1) Quan hệ song song: a) Đường thẳng song song đường thẳng: a // mpα => a//b b // mpβ b = (α ) ∩ ( β ) mpα // mpβ a = (α ) ∩ (γ ) => a//b b = ( β ) ∩ (γ ) a//c, b//c => a//b a, b khơng có điểm chung a ⊥ mpα , b ⊥ mpα => a//b a, b khơng có điểm chung a // mpα , a ⊂ mpβ b = (α ) ∩ ( β ) => a//b b) Đường thẳng song song mặt phẳng: a // b // mpα => a//mp α M ∈ a ⇒ M ∉ (α ) a // b ⊂ mpα => a//mp α M ∈ a ⇒ M ∉ (α ) a ⊥ b, b ⊥ mpα => a//mp α M ∈ a ⇒ M ∉ (α ) c) Mặt phẳng song song mặt phẳng: a // mpβ , b // mpβ => mpα // mpβ a, b ⊂ mpα a ⊥ mpα , a ⊥ mpβ => mpα // mpβ M ∈ mpα ⇒ M ∉ mpβ mpα // mpγ , mpγ // mpβ => mpα // mpβ M ∈ mpα ⇒ M ∉ mpβ Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thơng Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng BÀI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ HÌNH KHƠNG GIAN KHƠ I) Phương pháp giải: Phươ phá giả ương Để tìm thể tích, diện tích, khoảng cách ta xác định xác yếu tố liên quan sử dụng cơng thức để tính Một số toán phức tạp nên vẽ riêng phần hình có liên quan giấy ( nhìn góc độ mặt phẳng, khơng cịn khơng gian ) để dễ phát tính chất việc giải đơn giản II) Bài tập minh họa: Bài 1: (Đề thi THPTQG năm 2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD), góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) 45o Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB, AC Phân tích định hướng cách giải * Về cách vẽ hình: _ Trước tiên ta cần vẽ đáy trước Theo đề, đáy ABCD hình vng khơng gian tất tứ giác ta vẽ hình bình hành hình vng nên ta kí hiệu góc vng kí hiệu cạnh Lưu ý cạnh nhìn thấy vẽ nét liền, cịn khơng nhìn thấy vẽ nét đứt, _ Tiếp theo, ta vẽ đường cao SA Vì SA ⊥ (ABCD) nên từ A ta kẻ đường thẳng vng góc với cạnh nằm ngang AD Theo tính chất đường thẳng vng góc mặt phẳng SA vng góc với tất cạnh mp (ABCD) _ Sau vẽ xong SA ta nối SB, SC, SD Tiếp theo ta xác định góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) Vì AC hình chiếu SC lên đáy nên góc SCA góc tạo SC mặt phẳng (ABCD) _ Nên kí hiệu giả thiết vào hình để dễ theo dõi _ Sau hình vẽ: Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hồng 45o a a * Hướng dẫn giải: ướng giả • Tính VS.ABCD : Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA đường cao khối chóp S.ABCD Do ta có: VS.ABCD = SA.S ABCD (1) Vì ABCD hình vng cạnh a => SABCD = a2 (2) AC = a Vì SA ⊥ (ABCD) => AC hình chiếu vng góc SC lên (ABCD) Do đó: ∠SCA = ∠( SC , ( ABCD )) = 45° ∆ SCA vng A có ∠SCA = 45° nên ta có: SA = AC.tanSCA = a tan45o = a (3) Từ (1),(2) (3) suy ra: VS.ABCD = a3 (đvtt) a a = 3 • Tính d(SB,AC): Để tính khoảng cách SB AC ta làm sau: Vì SB AC đường thẳng chéo nên để tính khoảng cách ta cần dựng mp chứa SB AC Khi khoảng cách SB AC khoảng cách từ A đến mp vừa dựng Sau lời giải: Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC Kẻ AM ⊥ d M AH ⊥ SM H Vì BM//AC => d( BM, AC ) = d( AC, (SBM) ) = d( A, (SBM) ) (4) Ta có: SA ⊥ BM ( SA ⊥ (ABCD) BM ⊂ (ABCD) ) Và AM ⊥ BM ( theo cách dựng ) => BM ⊥ (SAM) Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thơng Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng THỜI GIAN BIỂU THỜ BIỂ Thứ Thứ CN Sáng Chiều Chiề Tối * Các bạn nên xếp thời gian học tập hợp lý, ghi vào thời gian biểu kẻ sẵn thờ thờ biể để học tập làm việc hiệu bạn Mỗi ngày nên dành thời trê việ hiệ ngà thờ gian để học tập nghỉ ngơi hợp lý, có hiệu cao Đừng nghỉ ngơ hiệ Đừng thức khuya có hại cho sức khỏe thứ khỏ " Học, học nữa, học " Lê-nin " Có cơng mài sắt, có ngày nên kim " Tục ngữ Việt Nam " Sự học thuyền dòng nước ngược, không tiến lùi " Danh ngôn " Thiên tài 1% bẩm sinh, 99% lại chuyên cần " Edison Hãy vững tin vào sức mạnh thân, bạn nhé! luô thâ Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học ... thị: Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thơng Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Bài 2: (Đề thi THPT QG năm 2015) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị... năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hồng đề thi học kì, học sinh giỏi kì thi tuyển sinh đại học, tốt nghiệp THPT Quốc Gia. .. x > 2 2) Bài tập minh họa: Bài 1: (Đề thi THPTQG năm 2015) Quyển - Tháng năm 2015 Học, học nữa, học Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thơng Quốc Gia Mơn Tốn Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hồng Tìm giá