TRƯ ỜNG THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG HÀ N ỘI TỔ TOÁN – TIN Đ Ề THI TH Ử K Ỳ THI THPT QU Ố C GIA NĂM 2015 Môn: Toán Ngày thi: 14/3/2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số 3 2 3y x x mx   (1), với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0. b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị. Gọi 2 điểm cực trị đó là A, B và G là trọng tâm tam giác OAB (với O là gốc tọa độ). Tìm m để đoạn thẳng OG ngắn nhất. Câu 2 (1,0 điểm). a) Giải phương trình sin3 sin2 sinxx x  . b) Một đội văn nghệ của nhà trường gồm có 5 học sinh nữ và 10 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh trong đội văn nghệ để lập một tốp ca. Tính xác suất để tốp ca có ít nhất 3 học sinh nữ. Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình   3 3 3 1 4 1 2 ( 1) 3 x log x log x log       . Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân 2 0 sin 2 cos )I x.ln(1+ x dx    . Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết góc 0 120BAC  , tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB tới mặt phẳng (SAC). Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1;-1) và hai đường thẳng 1 2 : 1 0, : 2 5 0d x y d x y      . Gọi A là giao điểm của 1 d và 2 d . Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M cắt 1 d và 2 d lần lượt tại điểm B và C sao cho ba điểm A, B, C tạo thành tam giác có 3.BC AB . Câu 7 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0P x y z    và hai điểm A(1;-2;3), B(3;2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B và vuông góc với (P). Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho khoảng cách từ M tới (Q) bằng 17 . Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình     2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( , ). 2 9 7 7 2 x x x y y x y x y y x y x y                      Câu 9 (1,0 điểm). Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 3 16 ( ) x y z P x y z      . Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Đ Ề CHÍNH THỨ C DeThiThu.Net - Đ󰗂 thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!! Tham gia Group ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan TRƯỜNG THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG HÀ NỘI ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 (Bao gồm 0 5 t ran g ) CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1 (2,0điểm) a) 1,0 điểm Khi m = 0 ta có: 32 3y x x  TXĐ: D  .  Sự Biến thiên. +) 2 3 6 ; 0; 0, 2y x x y x x       +) giới hạn: 3 2 3 2 lim( 3 ) ; lim( 3 ) xx x x x x         0,25 +) Bảng biến thiên: x  0 2  y  + 0 - 0 + y 0   -4 0,25 +) Hàm số đồng biến trên từng khoảng (  ;0) và (2;  ) + Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2). +) Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y CĐ = 0; đạt cực tiểu tại x = 2, y CT = -4. 0,25  Đồ thị -3 -2 -1 1 2 3 -4 -3 -2 -1 1 2 x y O 0,25 b) (1,0 điểm) 2 36y x x m     . Để hàm số có 2 điểm cực trị thì 0y   có 2 nghiệm p hâ n b i ệt 0,25 9 3 0 3.mm         0,25 DeThiThu.Net - Đề thi Th󰗮 Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!! Tham gia Group ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan Khi đó đồ thị có hai điểm c ực trị là 1 1 2 2 ( ; ); ( ; )A x y B x y với 12 ;xx là 2 nghiệm của phương trình 2 3 6 0x x m    1 2 1 2 2; 3 m x x x x   Từ đó tính được 2 2 4 ; 33 m G     0,25  2 2 4 (2 4) 2 2 2 ( 2) 1 ; 2 9 9 3 3 3 m OG m OG m           thỏa mãn điều kiện m < 3. Vậy m = 2. 0,25 2 (1,0điểm) a) (0,5điểm) . Giải phương trình sin3 sin2 sinxxx . Phương trình  (sin3 sinx) sin2 0xx   . 2cos2x.sinx + 2sinx.cosx = 0 2sinx(2cos 2 x +cosx-1) = 0 0,25  cos 1 2 2 1 cos 2 ( ) 3 23 sinx=0 x x k xk x x k k xk xk                                  0,25 b) (0,5điểm).  Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh trong 15 học sinh thì có 8 15 6435C  cách  Số cách chọn 8 học sinh mà có ít nhất 3 học sinh nữ là: 3 5 4 4 5 3 5 10 5 10 5 10 3690C C C C C C   0,25 Vậy x á c s u ất cần tìm là 3690 82 0,573 6435 143  0,25 3 (1,0điểm)  ĐK: 1 4 x  0,25  PT      3 3 3 3 4 1 3 9 ( 1)log x log x log log x      0,25 … ( 4x – 1)(x + 3) = 9(x + 1) 0,25    2 loai 3 2 x x        . KL: 3 2 x  0,25 4 (1,0điểm)  Đặt t = cosx, dt = - sinxdx, đổi cận: x = 0 t = 1; 2  x  t = 0. Vậy :        0,25  Đặt          0,25              0,25 DeThiThu.Net - Đề thi Th󰗮 Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!! Tham gia Group ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan  1 2 0 1 22 t t       0,25 5 (1,0điểm) Hình vẽ SAB=SAC (c.c.c)  AB = AC   ABC cân tại A. tính được 3 3 a AB   22 6 3 a SA SB AB   0,25 tam giác cân ABC (có BC = a, 0 120BAC ) có diện tích là 2 0 13 . .sin120 2 12 ABC a S AB AB . Vì vậy : 3 . 12 . 3 36 S ABC ABC a V S SA (đvtt) 0,25 Gọi I là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB. Do 2 3 SG SI   2 ( ,( )) . ( ,( )) 3 d G SAC d I SAC 0,25 Trong mp(ABC) kẻ IH vuông góc với AC tại H (H nằm ngoài đoạn AC và góc HAI = 60 0 )  IH  (SAC)  IH = d(I,(SAC)). Trong tam giác vuông AIH có IH = AI.sin60 0 = 1 3 3 2 3 2 4 aa   22 ( ,( )) . . 3 3 4 6 aa d G SAC IH   0,25 6 (1,0điểm) Vì 12 (2;1)A d d A   . Lấy điểm I ( 3 ; 2 ) d 1 (I  A). ta tìm điểm Jd 2 (J  A) sao cho IJ = 3AI. Do J  d 2  J(x; 5-2x). 0,25 Khi đó IJ = 3AI  2 2 2 ( 3) (3 2 ) 18 5 18 0x x x x       0,25 a S A B C I H G DeThiThu.Net - Đề thi Th󰗮 Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!! Tham gia Group ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan  (0;5) 0 18 11 18 ; 55 5 JA x JA x                  (thỏa mãn). Vì 3 3 BC AB IJ BC BC IJ IJ IJ AI AI AB           0,25 + Với J(0; 5)  1 ( 3;3) : 0IJ x y     + Với 18 11 ; 55 J      2 3 21 ; :7 6 0 55 IJ x y          0,25 7 (1,0điểm)  Ta có (2;4; 4)AB  và véctơ pháp tuyến của (P) là (2;1; 2) P n  Gọi Q n là véc tơ pháp tuyến của (Q). ta có , ( 4; 4; 6) 2(2;2;3) Q QP QP n AB n AB n nn                  0,25  (Q): ): 2(x-1) + 2(y+2) + 3(z-3) = 0  2x + 2y + 3z – 7 = 0. 0,25  Vì M  Ox  M(m; 0; 0), do 27 ( ;( )) 17 17 17 m d M Q     0,25 12 2 7 17 5 m m m           M(12; 0; 0) hoặc M(-5; 0; 0). 0,25 8 (1,0điểm) Giải hệ PT     22 22 2 2 1 1 1 (1) ( , ). 2 9 7 7 2 (2) x x x y y xy x y y x y x y                      Ta có 2 2 2 1 1 0y y y y y y        , nhân hai vế phương trình (1) với 2 10yy   . (1)  22 ( 1) ( 1) 1 ( ) 1 (3)x x y y         0,25 Xét hàm số 2 ( ) 1f t t t   trên , có 2 22 1 '( ) 0, 11 tt tt f t t tt         f(t) đồng biến trên . Vậy ( 3 )  ( 1) ( ) 1 1f x f y x y y x           . 0,25 Thay vào (2) ta có 22 (2) 2 9 8 6 3 1 2 9 8 3 1 6 0x x x x x x x x               2 2 9 5 ( 3 1 4) (1 6 ) 0x x x x          3( 5) 5 ( 5)(2 1) 0 3 1 4 1 6 xx xx xx            0,25 DeThiThu.Net - Đề thi Th󰗮 Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!! Tham gia Group ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan 5 3 1 2 1 0 (4) 3 1 4 1 6 x x x x                Từ điều kiện 1 6 3 x    (4) vô nghiệm. Vậy nghiệm của hệ là (x;y) = (5; - 6). 0,25 9 (1,0điểm) Ta chứng minh được 3 3 3 ( ) (1) 4 y z y z    . Thật vậy, 3 3 3 ( ) 4 y z y z      3 3 3 3 3 3 3 2 2 4 4 ( ) 4 4 3 3y z y z y z y z y z yz         3 3 2 2 2 2 0 ( ) ( ) 0y z y z yz y y z z y z          2 ( ) ( ) 0y z y z    luôn đúng. Dấu “=” xảy ra khi y = z. 0,25 Thay (1) vào P và đặt x + y +z = a, khi đó 3 3 3 3 3 3 3 3 64 ( ) 64 ( ) 4 64 (1 ) x y z x a x P t t a a          (với , 0 1 x t t a    ) Xét hàm số   3 3 ( ) 64 (1 ) , 0;1f t t t t    0,25 Ta có   2 2 1 '( ) 3. 64 (1 ) , '( ) 0 0;1 9 f t t t f t t            . Lập bảng biến thiên hàm số f(t), suy ra   0;1 64 1 min ( ) 81 9 t f t khi t    0,25 hay là giá trị nhỏ nhất của 4P là 64 81  giá trị nhỏ nhất của P là 16 81 khi 4 0 1 ( ) 9 y z y z y z x x at x x y z                    . 0,25 Ghi chú: Học sinh giải theo cách khác đáp án mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo biểu điểm của câu (ý) đó. DeThiThu.Net - Đề thi Th󰗮 Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!! Tham gia Group ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan . TRƯ ỜNG THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG HÀ N ỘI TỔ TOÁN – TIN Đ Ề THI TH Ử K Ỳ THI THPT QU Ố C GIA NĂM 2015 Môn: Toán Ngày thi: 14/3 /2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu. ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan TRƯỜNG THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG HÀ NỘI ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 (Bao gồm 0 5 t ran g ) CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1 (2,0điểm) a). khác đáp án mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo biểu điểm của câu (ý) đó. DeThiThu.Net - Đề thi Th