1 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học s phạm hà nội 2 ***&*** PHM VN HI DAO NG MNG TINH TH BIN DNG R(q) V THNG Kấ LNG T CA CHNG Chuyờn ngnh: Vật lý chất rắn Mó s: Luận văn thạc sĩ vật lý Ngời hớng dẫn khoa học PGS- TS. Nguyn Th H Loan hà nội - 2011 2 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới PGS - TS Nguyễn Thị Hà Loan, người đã giảng dạy và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Cô đã cung cấp tài liệu, hướng dẫn, giải thích cho tôi những phần kiến thức khó mà bản thân tôi không thể tự lĩnh hội được. Cô còn luôn động viên tôi mỗi khi tôi gặp khó khăn. Sự quan tâm chỉ bảo của cô đã giúp tôi rất nhiều trong việc hoàn thành luận văn này. Nhân dịp đây cho phép tôi bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý - Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy cô giáo đã giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như hoàn thành luận này. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 11 năm 2011 HỌC VIÊN Phạm Văn Hợi 3 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trông luận văn là trung thực.Đó là sự phấn đấu và tìm tòi, tính toán của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Hà Nội, tháng 11 năm 2011 HỌC VIÊN Phạm Văn Hợi 4 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU………………………………………………… …….… … 4 NỘI DUNG……………………………………………… … … … … . . 6 Chương I : DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG…………………………… .6 1.1 Dao động bozon biến dạng q……………………………… … 6 1.2 Dao động fecmion biến dạng q……………………………… 9 1.3 Dao động biến dạng R(q)…………………………………… 12 Chương II : DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG MẠNG TINH THỂ….….15 2.1 Dạo động mạng tinh thể biến dạng… … …….…………………….15 2.1.1. Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi nguyên tử cùng loại… 15 2.1.2. Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi hai nguyên tử khác loại 20 2.1.2.1. Dao động biến dạng q cho hệ nhiều thành phần…………… 20 2.1.2.2. Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi hai nguyên tử khác loại… 23 2.2 Dao động mạng tinh thể biến dạng R(q)……………………… 30 Chương III : THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ CỦA DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ……………………………………………………………….……36 3.1 Phân bố thống kê của các dao động biến dạng q…………….……36 3.2 Thống kê của các dao động biến dạng R(q)…………………… 37 3.3 Thống kê của các dao động mạng tinh thể biến dạng R(q)……….38 KẾT LUẬN…………………………………………………….…….40 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………… …. … 41 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nhóm lượng tử hoặc đại số lượng tử là sự biến dạng của đại số Lie cổ điển. Việc nghiên cứu đại số biến dạng q đã được quan tâm ngày càng nhiều trong những năm gần đây. Bởi cấu trúc toán học mới của chúng liên quan đến những vấn đề đa dạng trong vật lí lí thuyết như lí thuyết tán xạ ngược lượng tử, mẫu hòa tan chính xác trong cơ học thống kê, lí thuyết trường Comfomal hữu tỉ, lí thuyết trường hai chiều với thống kê phân số… Đại số Heisenberg biến dạng R là sự biến dạng bao gồm toán tử phản xạ R đã được đưa ra khi tiếp cận đại số spin cao và đã được phát triển bởi các tác giả khác, trong khảo sát cơ lượng tử n mode. Biến dạng R(q) láuwj tổhowpjcuarbieens dạng R và biến dạng q. Hầu hết các tính chất quan trọng của chất rắn đều liên quan đến dao động mạng tinh thể. Mỗi tinh thể cho một kiểu dao động riêng gọi là phổ phonon của nó. Phổ phonon quyết định phần lớn các tính chất quan trọng của chất rắn như: nhiệt dung, độ dẫn nhiệt, hệ số dãn nở nhiệt Chính vì vậy mà bài toán dao động mạng tinh thể là một phần quan trọng của vật lý chất rắn. Bên cạnh đó nghiên cứu dao động biến dạng mạng tinh thể cũng đã thu hút được sự quan tâm của các nhà vật lý bởi chúng có rất nhiều ứng dụng trong các mô hình vật lý. Vì vậy tôi chọn nghiên cứu đề tài “dao động mạng tinh thể biến dạng R(q) và thống kê lượng tử của chúng”. 2. Mục đích nghiên cứu - Xây dựng dao động mạng tinh thể lượng tử biến dạng R(q). - Tìm phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng R(q). - Tính thống kê của dao động mạng tinh thể biến dạng R(q). 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 3.1. Nghiên cứu các dao động tử biến dạng. 3.2. Nghiên cứu dao động mạng tinh thể biến dạng R(q) 6 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu dao động tử biến dạng R(q) và dao động mạng tinh thể biến dạng R(q) 5. Phương pháp nghiên cứu - Dùng phương pháp của nhóm đối xứng lượng tử . - Dùng các phương pháp nghiên cứu của vật lý chất rắn. - Dùng các phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết. 6. Giả thuyết khoa học (hoặc: Dự kiến đóng góp mới) Đưa ra một công cụ hiện đại để nghiên cứu dao động tử biến dạng và dao động của mạng tinh thể biến dạng. 7. Cấu trúc luận văn. Chương I : Dao động biến dạng 1.1 Dao động bozon biến dạng q 1.2 Dao động fecmion biến dạng q 1.3 Dao động biến dạng R(q) Chương II : Dao động biến dạng mạng tinh thể. 2.1 Dạo động mạng tinh thể biến dạng 2.1.1. Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi nguyên tử cùng loại… 2.1.2. Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi hai nguyên tử khác loại 2.1.2.1. Dao động biến dạng q cho hệ nhiều thành phần. 2.1.2.2. Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi hai nguyên tử khác loại 2.2 Dao động mạng tinh thể biến dạng R(q) Chương III : Thống kê lượng tử của dao động mạng tinh thể 3.1 Thống kê của các dao động biến dạng q 3.2 Thống kê của các dao động biến dạng R(q) 3.3 Thống kê của các dao động mạng tinh thể biến dạng R(q) 7 NỘI DUNG Chương 1: DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG 1.1. Dao động tử Boson biến dạng q. Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử hủy và toán tử sinh dao động tử â, â + thỏa mãn hệ thức giao hoán sau:  aa ˆˆ - N qaaq   ˆˆ (1.1) Với q là thông số biến dạng. Toán tử số dao động biến dạng q thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng: qq nnnN  || ˆ (1.2) Toán tử hủy, sinh â, â + và toán tử số dao động N ˆ thỏa mãn hệ thức:     aaN aaN ˆˆ , ˆ ˆˆ , ˆ    (1.3) Chúng ta đưa vào cơ sở không gian Fock :     0| ! ) ˆ ( | q n q n a n (1.4) Ở đây  0| là trạng thái nền và dùng ký hiệu:             qqqqq nn q nnnn qq qq n 1 2 1.! 1      (1.5) Tác dụng  aa ˆˆ , aa ˆˆ  lên trạng thái riêng q n| ta được: *        0|) ˆ )( ˆˆ (0|) ˆ ( ˆ 0| ! ) ˆ ( ˆˆ | ˆˆ 1nNn q n q aqaaqaa n a aanaa =     0|) ˆ ( ˆˆ ) ˆ ( 11 nnN aaaqaq =     0|) ˆ )( ˆˆ ( ˆ ) ˆ ( 21 nNnN aqaaqaqaq =     0|) ˆ ( ˆ ) ˆ () ˆ () ˆ ( 222121 nnNnN aaaqaqaq 8 ………………… =       0| ˆ ) ˆ () ˆ ( 1222 aaqaqqq nnnnNNN       0| ˆ ) ˆ () ˆ ( 0|) ˆ ( ˆˆ 11231 aaqaqqqaaa nnnnNNNn Vậy:   q nnn q nqqqnaa   | | ˆˆ 131 = q nn n qq qq      | 1 =   q q nn | *          0| ! ) ˆ ( ) ˆˆ (0| ! ) ˆ ( ˆˆ | ˆˆ q n N q n q n a qaaq n a aanaa          0| ! ) ˆ ( 0| ! ) ˆ ( ˆˆ q n N q n n a q n a aaq q N q nqnaaq   || ˆˆ q n q nn nqn qq qq q        || 1 q nnnn n qq qqqq       | 1 1111 q nn n qq qq       | 1 11   q q nn  1 Vậy :     qqq q q q nnnaa nnnaa     1| ˆˆ || ˆˆ (1.6) Hamiloniam được biểu diễn qua toán tử tọa độ x ˆ và toán xung lượng p ˆ có dạng: 22 2 ˆ 2 1 2 ˆ ˆ xm m p H   (1.7) 9 Toán tử hủy và sinh dao động tử  aa ˆ , ˆ của dao động biến dạng q:                p m i x m a p m i x m a ˆˆ 2 ˆ ˆˆ 2 ˆ       (1.8) Các toán tử tọa độ và xung lượng có thể biểu diễn ngược lại qua các toán tử hủy và sinh dao động tử  aa ˆ , ˆ :         aa m ip aa m x ˆˆ 2 ˆ ˆˆ 2 ˆ     (1.9) Thay (2.9) vào (2.7) ta được:      aaaa m p ˆˆˆˆ 2 ˆ 2     22 ) ˆ ( ˆˆˆˆˆ 2   aaaaaa m        aaaa m x ˆˆˆˆ 2 ˆ 2     22 ) ˆ ( ˆˆˆˆˆ 2   aaaaaa m       2222 ) ˆ ( ˆˆˆˆˆ 4 ) ˆ ( ˆˆˆˆˆ 4 ˆ   aaaaaaaaaaaaH     aaaaH ˆˆˆˆ 2 ˆ     (1.10) Phổ năng lượng của dao động biến dạng q: qq nEnH  || ˆ   qq nEnaaaa   || ˆˆˆˆ 2         qq qq nEnnn  ||1 2   10 Vậy       qq n nnE  1 2   (1.11) (1.11) chính là công thức tính phổ năng lượng của dao động tử bozon biến dạng q. Tiếp sau đây chúng ta đi nghiên cứu dao động tử fermion biến dang q. 1. 2. Dao động tử Fermion biến dạng q Dao động tử Fermion biến dạng q được biểu diễn thông qua các toán tử sinh dao động tử  b ˆ và hủy dao động tử b ˆ thỏa mãn các hệ thức phản giao hoán như sau: 0) ˆ ( ˆ ˆˆˆˆ 22     bb qbbqbb N (1.11) Với q là thông số biến dạng. Trong phương trình (1.11) nếu q = 1 thì trở về hệ thức phản giao hoán của dao động tử điều hòa. Toán tử số dao động biến dạng q thỏa mãn phương trình hàm riêng và trị riêng: qq nnnN  || (1.12) Toán tử sinh, hủy dao động b + , b và toán tử số dao động N ˆ thỏa mãn hệ thức:     bbN bbN ˆˆ , ˆ ˆˆ , ˆ    (1.13) Chúng ta đưa vào cơ sở của không gian Fock:       0| ! | q n q n b n (1.14) Ở đây:  0| là trạng thái chân không và dùng ký hiệu:   1 )1(      qq qq n nnn q (1.15) [...]... (2.14) Mạng tinh thể đơn giản trong lý thuyết lượng tử biến dạng q có thể được biểu diễn bằng Hamiltonian (2.6) với các toán tử sinh dao động và toán ˆ ˆ tử hủy dao động a  , a thỏa mãn các thệ thức giao hoán (2.4) thì có thể coi mạng tinh thể dao động như một hệ nhiều hạt có phổ năng lượng En phụ thuộc vào thông số biến dạng q ở công thức (2.14)  ˆ a  k | 0 21 2.1.2 Dao động mạng tinh thể biến dạng. .. (2.38) Dao động mạng tinh thể của chuỗi hai nguyên tử khác loại trong thuyết lượng tử biến dạng q có thể được biểu diễn bằng Hamiltonian (2.31) với các ˆ ˆ toán tử sinh dao động, hủy dao động ak(i )  , ak(i ) thỏa mãn các hệ thức giao hoán (2.29), thì có thể coi dao động mạng tinh thể như một hệ nhiều hạt Phổ năng lượng En của hệ phụ thuộc vào thông số biến dạng q ở công thức (2.38) 2.2 Dao động mạng tinh. .. 16 Chương 2: DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG MẠNG TINH THỂ 2.1 Dao động mạng tinh thể biến dạng 2.1.1 Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi nguyên tử cùng loại: ˆ 2 1 ˆ p ˆ H  k  m 2 x 2 2m 2 (2.1) ˆ ˆ ˆ Ở đây x  uk là tọa độ suy rộng của nguyên tử ở vị trí thứ k và pk là xung lượng tương ứng của chuỗi nguyên tử cùng loại  Các toán tử sinh và hủy tương ứng với vecto sóng k có dạng: ˆ ak  1 i   ˆ ˆ... n  k  1qv  n k qv 2   (2.46) Mạng tinh thể đơn giản trong lý thuyết lượng tử biến dạng (q, R) có thể ˆ được biểu diễn bằng Hamiltonian (2.39) với các toán tử sinh dao động ak  và ˆ toán tử hủy dao động ak  thỏa mãn các thệ thức giao hoán (2.40) thì có thể coi mạng tinh thể dao động như một hệ nhiều hạt có phổ năng lượng En phụ thuộc vào thông số biến dạng (q, R) ở công thức (2.46) ...  n   j q j q (2.25) 2.1.2.2 Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi 2 nguyên tử khác loại: Chúng ta xem xét một chuỗi nguyên tử có hai loại khác nhau Khối lượng của loại thứ nhất M1 và khối lượng của loại thứ hai là M2, được xếp liền kề nhau và cách nhau một khoảng là a Hằng số mạng tinh thể 2a 25 Hamiltonian của chuỗi nguyên tử đó có thể được biểu diễn dưới dạng: ˆ ˆ p2 q2 1 1 2 2 ˆ ˆ ˆ H...  (1.22) Phổ năng lượng của dao động Bozon biến dạng q được cho bởi: ˆ H | n q  E | n q (1.23)  ˆ ˆ  ˆ  ˆ b b  b b | n q  E | n q 2    n  1q  nq | n q  E | n q 2 Vậy En   n  1q  nq  2 (1.24) Chúng ta đã nghiên cứu dao động tử bozon biến dạng q và dao động tử fermion biến dạng q Đó là những hạt có spin thấp Bây giờ chúng ta nghiên cứu dao động của những hạt có spin... hạt có spin cao, thông qua dao động biến dạng R(q) 1.3 Dao động biến dạng R(q) Đại số Heisenberg biến dạng R(q) được sinh ra bởi các toán tử sinh, ˆ ˆ hủy a  , a và toán tử phản xạ R thỏa mãn các hệ thức sau: ˆˆ ˆ ˆ aa   a  a = 1+ R ˆ ˆ aR  qRa ˆ ˆ a  R  q 1 Ra  (1.25) 2 R 1 Ở đây q là thông số biến dạng thực  là một thông số nào đó Cho phép chúng ta đưa vào cơ sở của không gian Fock | m... trường hợp đặc biệt: v  p 1 (1.29) R  qN q  1 và N , a   a Chúng ta có kết quả của dao động Paraboson đơn mode ˆ ˆ a, a   1  ( p  1)  (1)  N 1  ˆ ˆ ˆˆ ( a a  aa   p ) 2 N (1.30) Chúng ta tìm phổ năng lượng của dao động biến dạng R(q): 15 x  ˆ ˆ a  a 2m   m ˆ ˆ pi a  a 2  (1.31)  Hamitolnion của dao động biến dạng R(q) có dạng: ˆ p2 ˆ 1 ˆ H  m 2 x 2  2 2m ˆ  aa ... | 0 21 2.1.2 Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi hai nguyên tử khác loại 2.1.2.1 Dao động biến dạng q cho hệ nhiều thành phần Hamiltonian của hệ dao động biến dạng q được cho bởi: n  p2 ˆ 1 ˆ  ˆ H    j  m j 2 x 2  j j   2m j 2 j 1   (2.15) Ở đây n là số dao động ˆj ˆ Ta định nghĩa toán tử sinh (hủy) a  (a j ) của dao động biến dạng q: ˆ aj   m j j   xj  i pj  ˆ ˆ 2 ... toán tử tọa độ x và toán tử xung lượng ˆ p có dạng: ˆ2 ˆ p  1 m 2 x 2 ˆ H 2m 2 (1.19) ˆ ˆ Toán tử sinh (hủy) b, b  của dao động biến dạng q: ˆ b m  i  ˆ ˆ p x  2  m  m  i  ˆ ˆ p x  2  m  ˆ b   (1.20) Các toán tử tọa độ và xung lượng có thể biểu diễn ngược lại qua các ˆ ˆ toán tử sinh, hủy b, b  : ˆ x  ˆ ˆ bb 2m   m ˆ ˆ ˆ p  i bb 2  (1.21)  Thay (2.3) vào (2.1) . 2.2 Dao động mạng tinh thể biến dạng R(q) Chương III : Thống kê lượng tử của dao động mạng tinh thể 3.1 Thống kê của các dao động biến dạng q 3.2 Thống kê của các dao động biến dạng R(q). tài dao động mạng tinh thể biến dạng R(q) và thống kê lượng tử của chúng . 2. Mục đích nghiên cứu - Xây dựng dao động mạng tinh thể lượng tử biến dạng R(q). - Tìm phổ năng lượng của dao động. Dao động biến dạng R(q) Chương II : Dao động biến dạng mạng tinh thể. 2.1 Dạo động mạng tinh thể biến dạng 2.1.1. Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi nguyên tử cùng loại… 2.1.2. Dao