BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 LÊ THỊ THANH HOA ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC XÁC SUẤT CÓ KÌ VỌNG TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 604601 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS. Hà Đức Vượng Hà Nội - 2010 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS Hà Đức Vượng, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quí báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn quan tâm, động viên, khích lệ và tận tình hướng dẫn để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong quá trình hoàn thành luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 9 năm 2010 Tác giả Lê Thị Thanh Hoa LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác giả dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tác giả đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 9 năm 2010 Tác giả Lê Thị Thanh Hoa Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mở đầu 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 6 1.1. Không gian metric xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Hàm phân bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Chuẩn tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3. Một số chuẩn tam giác cơ bản . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4. Không gian metric xác suất . . . . . . . . . . . . . 10 1.2. Không gian định chuẩn xác suất . . . . . . . . . . . . . . . 23 Chương 2. Điểm bất động trong không gian metric cầu 30 2.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.2. Ánh xạ co và điểm bất động trong không gian metric 45 2.1.3. Một số ví dụ ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . 48 iv 2.2. Không gian metric cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Chương 3. Điểm bất động trong không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học 59 3.1. Không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học . . . . . . 59 3.2. Điểm bất động trong không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Trong khoa học cũng như trong kỹ thuật nhiều bài toán dẫn tới việc nghiên cứu vấn đề sau: Với không gian X bất kỳ, M là một tập hợp con của X, A: M −→ M là ánh xạ từ M vào chính nó. Xét phương trình Ax = x, với các điều kiện cụ thể ta khẳng định sự tồn tại nghiệm của nó. Khi đó, điểm x ∈ M thỏa mãn phương trình Ax = x được gọi là điểm bất động của ánh xạ A trên tập hợp M. Việc nghiên cứu về điểm bất động đã thu hút đông đảo các nhà toán học quan tâm. Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này đã hình thành nên “Lý thuyết điểm bất động”. Sự phát triển của “Lý thuyết điểm bất động” gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học lớn trên thế giới như: Banach, Brouwer, Schauder, Tykhonov, Kakutani, Ky Fan,. . . Một trong những định lý nổi tiếng trong lý thuyết này là định lý điểm bất động Banach hay chính là Nguyên lý ánh xạ co Banach. Theo dòng lịch sử, Lý thuyết điểm bất động được nghiên cứu theo hai hướng chính: Hướng thứ nhất nghiên cứu về điểm bất động của các ánh xạ liên tục, mở đầu là Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912). Hướng thứ hai nghiên cứu về điểm bất động của các ánh xạ dạng co, mở đầu là Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922). 2 Năm 1942, K. Menger đã đưa ra khái niệm “metric xác suất”. Đó là sự mở rộng “xác suất” của khái niệm metric thông thường: thay cho việc xét khoảng cách d(x, y) giữa hai điểm x, y trong không gian metric (X, d), người ta xét hàm phân bố F x,y (t) biểu diễn xác suất để cho d (x, y) < t, với t là một số thực. Khái niệm này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, đặc biệt là Schweizer và Sklar đã xây dựng lý thuyết về không gian metric xác suất, viết thành sách chuyên khảo xuất bản năm 1983. Đặc biệt, năm 1972, V. M. Sehgal và A. T. Bharucha – Reid đã công bố kết quả về dạng xác suất của nguyên lý ánh xạ co Banach. Năm 2009, một kết quả rất mới được công bố trong bài báo: “Mathe- matical Expectation of Probabilistic Metric Spaces and Banach Fixed Point Theorem” của hai nhà Toán học: Gao Junyu và Su Yongfu. Đó là nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học. Không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học được định nghĩa với metric là tích phân suy rộng:  +∞ 0 tF x,y (t) dt < +∞. Sự hữu hạn của tích phân này dẫn đến khả năng xác định được của một metric tương ứng, gọi là metric cầu. Đồng thời trong bài báo này, hai nhà Toán học nói trên đã đưa ra mối quan hệ của không gian metric cầu và không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học, từ đó mở rộng được nguyên lý ánh xạ co cho không gian metric xác suất. Với mong muốn được tìm hiểu về lý thuyết điểm bất động và được tiếp cận với những kết quả mới trong lĩnh vực này tác giả chọn đề tài nghiên cứu: "ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC XÁC SUẤT CÓ KÌ VỌNG TOÁN HỌC" Luận văn được trình bày gồm ba chương nội dung và một danh mục tài liệu tham khảo. 3 Chương 1 trình bày các khái niệm về hàm phân bố, chuẩn tam giác để từ đó xây dựng định nghĩa về không gian metric xác suất và không gian định chuẩn xác suất. Như ta đã biết, “Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922)” là kết quả kinh điển của “Lý thuyết điểm bất động”. Năm 1972, V. M. Sehgal và A. T. Bharucha – Reid mở rộng kết quả về điểm bất động của ánh xạ co Banach trong không gian metric sang không gian metric xác suất. Kết quả đó được trình bày trong Định lý 1.1.1. Trong không gian metric xác suất Menger (X, F, ∆), nếu t - chuẩn thỏa mãn điều kiện ∆ (a, a)  a, ∀a ∈ [0; 1) thì (X, F, ∆) chứa một họ giả metric. Đó chính là nội dung Định lý 1.1.2. Phần cuối của chương này, tác giả trình bày về không gian định chuẩn xác suất. Với mỗi không gian định chuẩn xác suất (X, F, min) ta có thể xây dựng được một không gian lồi địa phương tách {X, p λ : λ ∈ (0; 1)} (với p λ là nửa chuẩn trên X) mà tôpô của chúng trùng nhau. Chương 2 nói về điểm bất động trong không gian metric cầu. Đầu chương, tác giả trình bày những kiến thức cơ bản về không gian metric như: định nghĩa không gian metric, sự hội tụ, dãy Cauchy, không gian metric đầy đủ. Tiếp đó, tác giả trình bày nguyên lý ánh xạ co Banach và một số ví dụ ứng dụng của nó. Phần cuối tác giả trình bày một khái niệm mới là không gian metric cầu. Không gian metric cầu được định nghĩa gần như tương tự không gian metric. Tuy nhiên ở điều kiện cuối cùng thay vì bất đẳng thức tam giác thông thường, bất đẳng thức tam giác ở đây xuất hiện một hằng số K  1 : d K (x, y)  K (d K (x, z) + d K (z, y)) . Trong không gian metric cầu, những định nghĩa về hội tụ, dãy Cauchy, tính đầy đủ cũng tương tự như trong không gian metric. 4 Nội dung quan trọng của chương này là định lý 2.2.1 về điểm bất động trong không gian metric cầu. Chương 3 tác giả trình bày về điểm bất động trong không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học. Trong chương này tác giả trình bày về định nghĩa không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học, sau đó trình bày mối quan hệ giữa không gian metric cầu và không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học (Định lý 3.1.1). Tiếp theo tác giả trình bày cách xây dựng tôpô trong không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học (Định lý 3.1.2). Cuối cùng là Định lý 3.2.2 nói về điểm bất động của ánh xạ co xác suất trong không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của Luận văn là tổng kết, hệ thống lại các kết quả về nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric xác suất, không gian metric cầu và không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học. Luận văn dựa trên kết quả của Gao Junyu và Su Yongfu trong bài báo: “Mathematical Expectation of Probabilistic Metric Spaces and Banach Fixed Point Theorem”. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các kết quả đã đạt được về điểm bất động không gian metric xác suất, không gian metric cầu và không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về: “Điểm bất động trong không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học”. 5. Phương pháp nghiên cứu - Đọc sách, nghiên cứu tài liệu chuyên khảo. 5 - Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6. Những đóng góp mới Trình bày một cách hệ thống các kiến thức cơ bản về nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học. [...]... Một không gian định chuẩn xác suất được gọi là đầy đủ tương ứng với không gian lồi địa phương tương ứng của nó là đầy đủ 29 Một không gian định chuẩn xác suất đầy đủ được gọi là không gian Banach xác suất Trong chương này chúng ta đã hệ thống lại một số kiến thức quan trọng về không gian metric xác suất, cũng như việc xây dựng tô pô trong không gian metric xác suất Menger, không gian định chuẩn xác suất. .. xác suất Chương 2 Điểm bất động trong không gian metric cầu Nguyên lý ánh xạ co Banach là một kết quả kinh điển của “Lý thuyết điểm bất động Trong chương này, tác giả hệ thống lại một số kiến thức quan trọng về không gian metric, ánh xạ co và nguyên lý điểm bất động Banach trong không gian metric Không gian metric cầu được đưa ra dựa trên cơ sở là không gian metric Ở đó định nghĩa metric gắn với một... (t + s) = 1 t∈R Vậy không gian metric xác suất Menger là trường hợp riêng của không gian metric xác suất Nhận xét 1.1.3 Nếu (X, F, ∆) là một không gian metric xác suất Menger thì nó là một không gian tô pô Hausdorff, tô pô sinh bởi một họ (ε, λ)lân cận: {Ux (ε, λ) : x ∈ X, ε > 0, λ > 0} , ở đây Ux (ε, λ) = {y ∈ X : Fx,y (ε) > 1 − λ} Định nghĩa 1.1.7 [22] Cho không gian metric xác suất Menger (X, F,... Khi đó Fx,z (t + s) = P {d(x, z) < t + s} = 1 Vậy họ F = {Fx,y (·)}, ∀x, y ∈ X là một metric xác suất trên X và (X, F) là một không gian metric xác suất 2 Định nghĩa 1.1.6 [22] Không gian metric xác suất Menger (Menger probabilistic metric space) là một bộ ba có thứ tự (X, F, ∆) Trong đó (X, F) là không gian metric xác suất, ∆ là t- chuẩn thỏa mãn các điều kiện sau: 1 Fx,y (0) = 0, ∀x, y ∈ X 2 Fx,y (t)... về không gian metric xác suất, hàm phân bố, chuẩn tam giác và kết quả về điểm bất động của V M Sehgal và A T Bharucha – Reid Sau đó giới thiệu về không gian định chuẩn xác suất và xây dựng tôpô trong không gian này 1.1 Không gian metric xác suất 1.1.1 Hàm phân bố Định nghĩa 1.1.1 [2] Cho X và Y là hai không gian tôpô Ánh xạ bất kỳ T : X → Y được gọi là nửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu với mọi tập mở... Menger vào chính nó gọi là ánh xạ co xác suất nếu có một hằng số k ∈ (0; 1) sao cho FT x,T y (t) Fx,y t k Năm 1972, V M Sehgal và A T Bharucha – Reid đã mở rộng kết quả về điểm bất động của ánh xạ co Banach trong không gian metric sang không gian metric xác suất Sau đây tác giả trình bày kết quả này 16 Định lý 1.1.1 [22] Cho (X, F, ∆) là không gian metric xác suất Menger đầy đủ, T : X −→ X là một ánh... bị chặn, compact, trong không gian định chuẩn xác suất (X, F, min) được hiểu như trong không gian lồi địa phương tương ứng (X, {pλ }) Định nghĩa 1.2.3 [14] Một dãy {xn } ⊂ X, {pλ } được gọi là hội tụ tới x ∈ X nếu với mỗi λ ∈ (0; 1) : pλ (xn − x) → 0 khi n → ∞ Tức là lim pλ (xn − x) = 0 n→∞ Điều này có nghĩa là trong không gian định chuẩn xác suất (X, F, min) tương ứng với không gian (X, {pλ }, λ... trên X được xác định bởi họ nửa chuẩn {pλ : λ ∈ (0, 1)} trùng với (ε, λ)- tôpô Ta đã biết một không gian tuyến tính X mà tôpô sinh bởi một họ nửa chuẩn {pλ } là một không gian lồi địa phương và nếu pλ (x) = 0 =⇒ x = 0 28 thì không gian đó là tách Vậy với mỗi không gian định chuẩn xác suất (X, F, min) ta có thể xây dựng được một không gian lồi địa phương tách X, {pλ : λ ∈ (0; 1)} mà tôpô trong chúng... bất kỳ ta có t 2m hn−1 Vì sup Fx1 ,x2 t 2m hn−1 → ∞, khi n → ∞ = 1 nên với λ > 0 và n đủ lớn ta được Fx1 ,x2 t 2m hn−1 > 1 − λ Suy ra Fxn ,xn+m (t) > 1 − λ Khi đó ta có lim Fxn ,xn+m (t) = 1 n→∞ Vậy {xn } là dãy Cauchy 2 Định nghĩa 1.1.10 [27] Cho (X, F, ∆) là không gian metric xác suất Menger Giả sử ∆ (a, b) = min {a, b} Ánh xạ T từ không gian metric xác suất Menger vào chính nó gọi là ánh xạ co xác. .. thức chuẩn bị Khái niệm Metric xác suất được nhà toán học Menger đưa ra vào năm 1942, thay cho việc xét khoảng cách d (x, y), người ta xét hàm phân bố Fx,y (t) biểu diễn xác suất để d (x, y) < t, với t là một số thực nào đó Khái niệm này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới Chương này tác giả trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian metric xác suất, hàm phân bố, chuẩn . trong không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học (Định lý 3.1.2). Cuối cùng là Định lý 3.2.2 nói về điểm bất động của ánh xạ co xác suất trong không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học. 2 48 iv 2.2. Không gian metric cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Chương 3. Điểm bất động trong không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học 59 3.1. Không gian metric xác suất có kỳ vọng toán. động trong không gian metric cầu. Chương 3 tác giả trình bày về điểm bất động trong không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học. Trong chương này tác giả trình bày về định nghĩa không gian metric