1 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 2 CHƯƠNG I: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 5 1.1. Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính 5 1.2. Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson 13 Kết luận chương I: 17 CHƯƠNG II: CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ 18 2.1. Xây dựng thống kê lượng tử bằng phương pháp GIBBS 18 2.1.1. Phương pháp GIBBS 18 2.1.2. Phân bố Bose - Einstein 19 2.1.3. Phân bố Fermi - Dirac 20 2.2. Xây dựng các phân bố thống kê bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử. 21 2.2.1. Xây dựng thống kê Bose - Einstein 21 2.2.2. Xây dựng thống kê Fermi - Dirac. 23 Kết luận chương II 29 CHƯƠNG III: CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ BIẾN DẠNG 30 3.1. Lý thuyết q - số 30 3.2. Dao động tử điều hòa biến dạng q 32 3.1.1. Dao động tử Boson biến dạng q 32 3.1.2. Dao động tử Fermion biến dạng q 34 3.3. Phân bố thống kê 35 3.2.1. Phân bố thống kê Bose-Einstein biến dạng q 35 3.2.2. Phân bố thống kê Fermi - Dirac biến dạng q 36 3.3. Dao động tử biến dạng R 37 3.3.1. Dao động tử Boson biến dạng R 37 3.3.2. Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng R 39 Kết luận chương III 41 CHƯƠNG IV: ĐẠI SỐ LƯỢNG TỬ SU (2) 42 4.1. Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2) 42 4.2. Đại số lượng tử một thông số SU(2) q 49 Kết luận chương IV 53 KẾT LUẬN CHUNG 54 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH Đà ĐƯỢC CÔNG BỐ 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 2 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu Vật lý vi mô nói chung và lý thuyết trường lượng tử nói riêng đã tạo nên cơ sở của thế giới quan vật lý để lý giải bản chất của các hạt vi mô về mặt cấu trúc và các tính chất của nó. Cùng với sự phát triển của lịch sử loài người, vật lý học cũng đã trải qua nhiều giai đoạn phát triển và đạt được nhiều thành tựu quan trọng. Từ cơ học cổ điển của Niutơn đến thuyết điện từ trường của Maxwell và Faraday, ngày nay vật lý học hiện đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất người ta thấy rằng ngoài các quy luật tìm thấy trong vật lý cổ điển ở đây xuất hiện các quy luật mới là quy luật thống kê. Vật lý thống kê là một bộ phận của vật lý hiện đại nó nghiên cứu các hệ nhiều hạt bằng phương pháp thống kê. Để tìm các định luật phân bố thống kê lượng tử có rất nhiều phương pháp trong đó có phương pháp lý thuyết trường lượng tử. Lý thuyết trường lượng tử đã tạo nên cơ sở của thế giới quan vật lý để lý giải bản chất của các hạt vi mô về mặt cấu trúc và các tính chất của nó. Từ đó lý thuyết trường lượng tử đã mở ra con đường để nhận biết các quá trình vật lý xảy ra trong thế giới vi mô, thế giới của các phân tử, nguyên tử, hạt nhân và các hạt cơ bản. Một trong những phương pháp đó là phương pháp biến dạng của lý thuyết nhóm lượng tử và đại số lượng tử. Việc nghiên cứu các dao động tử biến dạng mà trong đó các toán tử sinh, huỷ dao động tử tuân theo các hệ thức giao hoán biến dạng nhằm giải quyết các bài toán phi tuyến tính trong quang học lượng tử, nhóm lượng tử trong đó có đại số lượng tử SU(2) q , các bài toán phi tuyến của dao động mạng trong vật lý chất rắn, làm chính xác và phong phú thêm những hiểu biết về thế giới hạt vi mô. Việc mở rộng nhóm lượng tử 3 và đại số lượng tử đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý trong nước và trên thế giới cùng với sự quan tâm ngày càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với Bose - Einstein, Fermi - Dirac quen thuộc như thống kê vô hạn, thống kê biến dạng, thống kê Para boson Đề tài: “Biểu diễn dao động của đại số SU(2) q ” cũng nằm trong hướng nghiên cứu này, với hy vọng góp phần hiểu biết đầy đủ hơn về thế giới quanh ta, đặc biệt là thế giới các hạt vi mô. Vì vậy, chúng tôi đã lựa chọn hướng nghiên cứu về đề tài này. 2. Mục đích nghiên cứu Từ hình thức luận dao động tử điều hoà chúng tôi tìm được biểu diễn ma trận của các toán tử sinh hủy số hạt của dao động tử Bozon, Fermion biến dạng q. Từ đó chúng tôi đi xây dựng đại số lượng tử SU(2) q . 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu và viết tổng quan về các dao động tử lượng tử, các toán tử sinh huỷ số hạt của dao động tử Bozon, Fermion - Xây dựng các hình thức luận dao động tử điều hoà thu được biểu diễn ma trận của các toán tử sinh huỷ số hạt, dao động tử điều hoà biến dạng q. - Xây dựng phân bố thống kê của các dao động tử điều hoà biến dạng q đại số lượng tử đơn giản nhất SU(2) q . - Trên các cơ sở đó nghiên cứu các dao động tử có thống kê lượng tử. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các dao động tử lượng tử trong lý thuyết trường lượng tử và các nhóm lượng tử trong đó có đại số lượng tử SU(2) cho hệ hạt vi mô. 5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng tử - Phương pháp vật lý thống kê và các phương pháp giải tích khác 4 - Đề tài đã sử dụng kết hợp hình thức luận dao động tử điều hòa và hình thức luận các trạng thái kết hợp cho các hệ hạt vi mô để nghiên cứu các dao động tử lượng tử. 6. Tên đề tài, kết cấu của luận văn. - Tên đề tài: “Biểu diễn dao động của đại số SU(2) q ” - Kết cấu của luận văn: Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được kết cấu làm 4 chương: Chương I: Hình thức luận dao động tử điều hòa Chương II: Các thống kê lượng tử Chương III: Các thống kê lượng tử biến dạng Chương IV: Đại số lượng tử SU(2) q 5 CHƯƠNG I: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 1.1. Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m, chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f = -kx dọc theo một đường thẳng nào đó. Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa một chiều [1], [6]:    2 2 x P m H x 2m 2    (1.1) Trong đó: ˆ ˆ x q x  là toán tử tọa độ x d ˆ ˆ p p i dx     là toán tử xung lượng. Hệ thức giao hoán giữa p ˆ và q ˆ     d d d d p,q pq qp i x x i i x i x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ dx dx dx dx                d d p,q i x i x i ˆ ˆ dx dx              p,q i ˆ ˆ     (1.2) Do đó ta có thể biểu diễn toán tử Hamiltonian theo p ˆ và q ˆ như sau:     2 2 2 p ˆ m H q ˆ 2m 2 (1.3) Ta đặt:   m ˆ ˆ ˆ p i a a 2        h ˆ ˆ ˆ q a a 2m     Khi đó ta biểu diễn ˆ H theo ˆ a a và ˆ a  như sau: 6      2 2 2 2 2 2 2 ˆ p m m m 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H q .i . . a a . a a 2m 2 2m 2 2 2m                            2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ . a a a a 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ . a a a a a a a a 2 2 1 ˆˆ ˆ ˆ . 2aa 2a a 2 2                                     ˆˆ ˆ ˆ aa a a 2       (1.4) Ta biểu diễn các toán tử ˆ a và ˆ a  a ngược lại qua ˆ p và ˆ q :   ˆ p m 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p i a a a a ip 2 m m i 2                  ˆ q 2m ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ q a a a a q 2m 2m               Từ đó ta thu được: ˆ p m ˆ ˆ a q i 2 m            (1.5) ˆ p m ˆ ˆ a q i 2 m             a (1.6) Dễ dàng chứng minh được các toán tử ˆ a và ˆ a  thỏa mãn hệ thức giao hoán:   ˆ ˆ a,a 1   (1.7) 7 Thật vậy:   ˆ ˆ p p m m ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a,a aa a a q i q-i 2 m 2 m                          ˆ ˆ p p m m ˆ ˆ q i q i 2 m 2 m                          1 i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2i pq 2i qp pq qp 1 2          Vậy ta thu được toán tử Hamiltonian có dạng:  1 ˆ ˆ H a a 2            (1.8) Ta đưa vào toán tử mới     ˆ ˆ ˆ N a a 1 , 5   (1.9) Hệ thức giao hoán giữa toán tử  N với các toán tử ˆ a và ˆ a  là: +   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ N,a Na aN a aa aa a a a aa a 1.a a                   Hay:   ˆ ˆ ˆ ˆ Na a N 1  (1.10) +   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ N,a Na a N a aa a a a a aa a a a .1                       Hay   ˆ ˆ ˆ ˆ Na a N 1     (1.11) Ta ký hiệu n là véc tơ riêng của toán tử ˆ N ứng với trị riêng n. Khi đó ta có phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử ˆ N như sau: ˆ N n n n  (1.12) ˆ n N n n n n n n n    ˆ ˆ ˆ n N n n a a n n n n n n     (1.13) Vì:   2 n n n r dr 0        2 n ˆ ˆ ˆ n a a n a r dr 0        8 Kết luận 1: Các trị riêng của toán tử ˆ N là các số không âm. Xét véc tơ trạng thái thu được ˆ a n bằng cách tác dụng toán tử ˆ a lên véc tơ trạng thái n . Tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử ˆ N và sử dụng công thức (1.10) ta có:       ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Na n a N 1 n aN n a n ˆ ˆ a n 1 n n 1 a n         (1.14) Hệ thức trên có ý nghĩa là: Véc tơ trạng thái ˆ a n cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử ˆ N N ứng với trị riêng (n - 1). Tương tự như vậy 2 3 ˆ ˆ a n ;a n cũng là véc tơ trạng thái của toán tử ˆ N ứng với trị riêng (n - 2), (n - 3)… Ta tiếp tục xét véc tơ trạng thái ˆ a n , tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử ˆ N , sử dụng công thức (1.11) ta có:       ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Na n a N 1 n a N n a n ˆ ˆ a n 1 n n 1 a n              (1.15) Hệ thức trên có ý nghĩa là: Véc tơ trạng thái ˆ a  cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử ˆ N ứng với trị riêng (n + 1). Tương tự như vậy 2 3 ˆ ˆ a n ;a n   cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử ˆ N ứng với trị riêng (n + 2), (n + 3)… Kết luận 2: Nếu n là một véc tơ riêng của toán tử ˆ N ứng với trị riêng n thì p ˆ a n cũng là một véc tơ riêng của toán tử ˆ N ứng với trị riêng n – p (p = 1,2,3…) 9 Kết hợp kết luận 1 và kết luận 2 ta thấy n là một trị riêng của toán tử ˆ N thì chuỗi các số không âm n – 1, n – 2, n – 3… cũng là trị riêng của toán tử ˆ N . Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ thì: min ˆ a n 0 (1.16) Vì nếu min ˆ a n 0 thì đó là véc tơ trạng thái ứng với trị riêng min min n 1 n  trái với giả thiết n min là trị riêng nhỏ nhất. Từ (1.16) ta có: min min ˆ ˆ ˆ a a n N n 0    (1.17) Mặt khác theo định nghĩa min min min ˆ N n n n  (1.18) So sánh hai phương trình (1.17) và (1.18) ta đi đến kết luận như sau: Kết luận 3: Trị riêng nhỏ nhất của toán tử ˆ N là n min có giá trị bằng 0. Véc tơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của ˆ N được ký hiệu 0 . Véc tơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện ˆ a 0 0 . Ta có: + ˆ a 0  tỉ lệ với véc tơ riêng l của ˆ N N ứng với trị riêng n = 1. Thật vậy ta có:   ˆ N 1 1 1 *  Mà ˆ a 0  là một véc tơ riêng của toán tử ˆ N ứng với trị riêng 0 + 1 = 1, tức là   ˆ ˆ ˆ Na 0 1a 0 . **    Từ (*) và (**) ta thấy: 1 là véc tơ riêng của toán tử ˆ N ứng với trị riêng là 1. ˆ a 0  là véc tơ riêng của toán tử ˆ N ứng với trị riêng là 1. Vì vậy ˆ a 0  phải tỉ lệ với véc tơ riêng l của toán tử ˆ N ứng với trị riêng n = 1. 10 + Tương tự 2 ˆ a 0  tỉ lệ với véc tơ riêng 2 của toán tử ˆ N ứng với trị riêng n = 2, …, n ˆ a 0  tỉ lệ với véc tơ riêng n của toán tử ˆ N ứng với trị riêng n. Từ biểu thức: 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H a a N N 2 2 2                            ˆ ˆ H 0 N 0 0 2        . Vì ˆ N 0 0 0 0  0 ˆ H 0 0 E 0 2     Nên: 0 là véc tơ riêng của ˆ H ứng với trị riêng 0 1 E 2   1 là véc tơ riêng của ˆ H ứng với trị riêng 1 1 E 1 2           ………………………………………………………… n là véc tơ riêng của ˆ H ứng với trị riêng n 1 E n 2           Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng thaí kề nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng  . 2 1 1 5 E 2 2 2 1 3 E 1 2 2                           12 2 1 E E E       Trạng thái 0 có năng lượng thấp nhất là E 0 , trạng thái tiếp theo 1 với năng lượng 0 E   có thể được xem như là kết quả việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0 . Trạng thái tiếp theo 2 ứng với năng lượng 1 0 E E 2      có thể được xem như là kết quả của việc thêm một [...]... trở về phổ năng lượng của dao động tử điều hoà một chiều (3.13) 3.1.2 Dao động tử Fermion biến dạng q Dao động tử Fermion biến dạng q được biểu diễn qua các toán tử sinh dao động tử b+ và huỷ dao động tử b như sau: b b+ - qb+ b = q-N b2 = (b+)2 = 0 (3.14) Trong phương trình (3.12) nếu q=1 thì trở về hệ thức dạng phản giao hoán của các Fermion thông thường Toán tử số dao động tử điều hoà N thoả mãn:... hạt, đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa Trong cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hóa có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng  [1], [3], [5] ˆ Như ta đã lập luận ở trên khi toán tử a tác dụng lên n cho một trạng  ˆ thái tỉ lệ với n  1 và toán tử a khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n  1 Do đó chúng ta sẽ tính các hệ số tỉ lệ...  Các hàm cơ bản của biến dạng q:  n e  ax    a x [n]! n q n 1  2n sin  x     1 x  1 [2n+1]! n q n 0  2n cos  x     1 x [2n]! q n 1 n 32 3.2 Dao động tử điều hòa biến dạng q 3.1.1 Dao động tử Boson biến dạng q Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử huỷ và sinh dao động tử a, a+ theo hệ thức sau a a+ - qa+ = q-N (3.4) với q là thông số biến dạng Trong... ˆ tử số năng lượng Toán tử a khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với ˆ n  1 do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng Toán tử a  khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n  1 do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng ˆ ˆ ˆ lượng là một hạt thì toán tử N sẽ là toán tử số hạt, a sẽ là toán tử hủy hạt, a  sẽ là toán tử. .. Tính toán được các toán tử sinh hạt và hủy hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính, biểu diễn các toán tử sinh Boson, hủy Boson, toán tử số hạt dưới dạng ma trận tạo cơ sở tính toán cho các chương sau 18 CHƯƠNG II: CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ 2.1 Xây dựng thống kê lượng tử bằng phương pháp GIBBS 2.1.1 Phương pháp GIBBS Cơ sở của phương pháp Gibbs là thay việc khảo sát sự biến đổi vi mô của hệ đã cho với thời... n q với Toán tử Hamiltonian được biểu diễn qua toán tử toạ độ Q và xung lượng P có dạng: H 1 2 1 1 p  m2 Q 2  (a  a  aa 2 )  2m 2 2 H 1 N q  N  lq  2 (3.11) Phổ năng lượng của dao động điều tử điều hoà biến dạng q: Hn q  En n 1 N q  N  lq  = E n n 2  En = (3.12) q 1 n q  n  lq  2 q n=0, 1, 2,… (3.13) 34 Khi q=1 thì phổ năng lượng của dao động tử điều hoà biến... (1.24) Hệ thức giao hoán trên được thực hiện trong không gian Fock với véc ˆ tơ cơ sở riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N ˆ n  1 a 0 n! n  ˆ ˆ Tác dụng toán tử a , a lên các véc tơ trạng thái n ta được: ˆ a n  n n 1  ˆ a n  n 1 n 1 ˆ Với toán tử số hạt N được biểu diễn theo các toán tử sinh hạt và hủy hạt: ˆ ˆ ˆ Na a  14 Ta sẽ xem xét là đối với các hạt Boson là các hạt có Spin nguyên...  n  1 n   ˆ ˆ a a n n n ˆˆ ˆ ˆ Như vậy các trị riêng của các tích những toán tử aa  và a  a lần lượt bằng n + 1 và n Do đó ma trận của những toán tử này trong biểu diễn riêng của chúng là những ma trận chéo 15 ˆˆ  aa  ˆ ˆ   n  1  và  a a   n   nm nm nm nm ˆ ˆ Giả sử biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson a  , hủy Boson a là: a  a ˆ a  a   a 00 a a 10 20 a a 11 21... cho tính chất nhiệt động của hệ và có dạng:  Z  Tr e  ˆ ˆ  H H    n e  ˆ ˆ  H N  n n0 Với   1 kT k: là hằng số Boltzman T: là nhiệt độ của hệ H: là Hamiltonian của hệ Ở trên ta đã chọn mốc tính năng lượng E   2 0 ˆ ˆ Khi đó N n  n,H  N Với  là năng lượng của một dao động tử ˆ Mặt khác ta lại có N n  n n và điều kiện trực chuẩn: m n  m ,n Sử dụng các biểu thức trên ta được:... được bài toán của dao động tử phi điều hòa Đó là điều mà chúng ta đang quan tâm đến 30 CHƯƠNG III: CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ BIẾN DẠNG 3.1 Lý thuyết q - số Chúng ta biết rằng q- số tương ứng với số thông thường x được định nghĩa [12], [13], [16]: x [x]  q q q qq x (3.1) 1 Với q là một tham số, nếu x là một toán tử cũng có định nghĩa giống như biểu thức (2.1) Chúng ta chú ý rằng q – số là bất biến với . các dao động tử lượng tử, các toán tử sinh huỷ số hạt của dao động tử Bozon, Fermion - Xây dựng các hình thức luận dao động tử điều hoà thu được biểu diễn ma trận của các toán tử sinh huỷ số. thức luận dao động tử điều hoà chúng tôi tìm được biểu diễn ma trận của các toán tử sinh hủy số hạt của dao động tử Bozon, Fermion biến dạng q. Từ đó chúng tôi đi xây dựng đại số lượng tử SU(2) q THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 1.1. Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m, chuyển động dưới tác dụng của lực