BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ĐẶNG ĐỨC QUÂN BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH Hà Nội-2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ĐẶNG ĐỨC QUÂN BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học: TS Khuất Văn Ninh Hà Nội-2009 Lời cảm ơn Tôi xi n chân thành cảm ơn các Giáo sư, Tiến sĩ giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích; các thầy, cô Phòng Sau Đại học tr ường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt sâu sắc đến TS. Khuất Văn Ninh đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài. Hà Nội, tháng 9 năm 2009 Tác giả Lời cam đoan Tôi xin cam đo an luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Khuất Văn Ninh. Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 9 năm 2009 Tác giả Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN 9 1.1. Các khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1. Các số đạo hàm. Nửa vi phân . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2. Nghiệm của bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 1 0 1.2. Bất đẳng thức vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chương 2. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 19 2.1. Bất đẳng thức t ích phân Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1. Một số định lý cơ bản về bất đẳng thức tích phân . . . 19 2.1.2. Bất đẳng thức tích phân Volterra . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Bất đẳng thức t ích phân Volterra – Fredholm . . . . . . . . . 30 2.3. Bất đẳng thức t ích phân Volterra trên nửa trục số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Chương 3. ỨNG DỤNG 43 3.1. Phương pháp đường gấp khúc Euler . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.1. Nội dung phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2. Phương pháp xấp xỉ l iên tiếp Picard . . . . . . . . . . . . . . 5 3 3.2.1. Nội dung phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5 3.3. Phương pháp Chaplyghin và Chaplyghin cải tiến . . . . . . . . 66 3.3.1. Nội dung phương pháp C haplyghi n . . . . . . . . . . . 66 3.3.2. Phương pháp Chaplyghin cải tiến thứ nhất . . . . . . . 69 3.3.3. Phương pháp Chaplyghin cải tiến thứ hai . . . . . . . 7 4 3.3.4. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 Bảng ký hiệu R : Đường thẳng thực R = [0; T] × [a; b] : Hình chữ nhật trong R 2 D ∗ : Số đạo hàm phải dưới ∗ D : Số đạo hàm trái dưới D ∗ : Số đạo hàm phải trên ∗ D : Số đạo hàm trái trên sign {x (t)} : Hàm dấu của x (t) Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Vấn đề giải được (hay sự tồn tại nghiệm) các bất phương trình vi phân, bất phương t rình tích phân,. . . nghĩa là thu được các đánh giá về hàm thoả mãn các bất đẳng thức được biểu diễn thông qua các điều kiện cho trước. Đây là một trong những lĩnh vực quan trọng của toán học, bởi vì khi nghiên cứu các tính chất khác nhau về nghiệm của cá c phương trình vi phân, phương trì nh tích phân,. . . thườ ng dẫn đến vấn đề về tính gi ải được của các bất phương trình tương ứng. Nhiều bài toán khoa học kỹ thuật đưa về việc tìm nghiệm phương trình vi phân thỏa mãn một số đi ều kiện nào đó (điều kiện ban đầu, đi ều kiện biên, ). Tuy nhiên những bài toán phức tạp đó không có hy vọng giải đúng, dẫn đến việc phải giải gần đúng . Bài toán g iải gần đúng phương trình vi phân gắn li ền với lý thuyết về bất đẳng thức vi phân, bất đẳng t hức tích phân. Tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy từ lâu đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, nhờ những kết quả về bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân các nhà toán học đã xây dựng được các phương pháp, thuật toán tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy. Ngoài các phương pháp số của Euler, Runge-Kutt a, các phương pháp gi ải tích cũng đã ra đời và không ngừng phát triển. Với sự đóng góp lớn của các nhà toán học Euler, Picard, Chaplyghi n, với nền tảng là bất đẳng thức vi phâ n, bất đẳ ng thức tích phân các phương pháp giải tích đưa ra nghiệm g ần đúng của bài toán Cauchy dưới dạ ng biểu thức giải tích. Với ý nghĩa quan trọng của các bất đẳng v i phân, bất đẳng thức tích phân trong việc đánh giá nghiệm, xây dựng thuật toán giải gần đúng các phương trình vi phân, phương trình tích phân, đặc biệt là các phương pháp giải 8 tích tìm công thức nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy em đã mạnh dạn chọn đề tài: “BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG”. 2. Mục đích nghiê n cứu • Nội dung bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân. • Ứng dụng của bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tí ch phân giải g ần đúng phương trình vi phân thường. 3. Nhiệm vụ n ghiên cứu Luận văn trình bày một cách hệ thống nội dung các bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân và ứng dụng trong việc tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy. 4. Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu các bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân và ứng dụng tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy. 5. Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu lý luận, đọc tài liệu chuyên khảo. • Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài . Chương 1 BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN 1.1. Các khái niệm mở đầu 1.1.1. Các số đạo hàm. Nửa vi phân 1. Các số đạo hàm Định nghĩa 1.1. Cho hàm v(t) xác định trên khoảng (a; b) v ới t 0 ∈ (a; b) ta định nghĩa: • Số đạo hàm phải dưới, kí hiệu D ∗ v (t) và D ∗ v (t) = lim t→t + 0  v (t) − v (t 0 ) t − t 0  . • Số đạo hà m trái dưới, kí hiệu ∗ Dv (t) và ∗ Dv (t) = lim t→t − 0  v (t) − v (t 0 ) t − t 0  . • Số đạo hàm phải trên, kí hiệu D ∗ v (t) và D ∗ v (t) = lim t→t + 0  v (t) − v (t 0 ) t − t 0  . • Số đạo hàm trái trên, kí hiệu ∗ Dv (t) và ∗ Dv (t) = lim t→t − 0  v (t) − v (t 0 ) t − t 0  . Nếu đ ặt v t (∆t) = v (t + ∆t) − v (t) ∆t thì định nghĩa trên tương đương: • D ∗ v (t) = sup δ>0 { inf 0<∆t<δ v t (∆t) }. • ∗ Dv (t) = sup δ>0 { inf −δ<∆t<0 v t (∆t) }. • D ∗ v (t) = inf δ>0 { sup 0<∆t<δ v t (∆t) }. • ∗ Dv (t) = inf δ>0 { sup −δ<∆t<0 v t (∆t) }. Nhận xét 1.1. Nếu hàm số v (t) có đạo hàm thì tất cả các số đạo hàm bằng nhau và bằng đ ạo hàm, nghĩa là D ∗ v (t) = ∗ Dv (t) = D ∗ v (t) = ∗ Dv (t) = v  (t) . [...]... Từ bất đẳng thức này ta áp dụng định lý 2.2 sẽ thu được bất đẳng thức (2.10) Trường hợp α = 1 Để chứng minh bất đẳng thức (2.9) ta chỉ cần chỉ ra rằng vế phải của bất đẳng thức đã cho chính là nghiệm t {ϕ1 (s) u (s) + ϕ2 (s) [u (s)]α } ds u (t) = u0 + 0 của bài toán u = ϕ1 (t) u + ϕ2 (t) uα , u (0) = u0 Khi đó (2.9) được chứng minh * Sau đây ta xét trường hợp tổng quát hơn của bất đẳng thức tích phân. .. Kết hợp (1.20) và (1.21) suy ra v1 (τ ) ≤ ω (τ ) Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu rằng ω (τ ) < v1 (τ ) Như vậy (1.19) được chứng minh Bất đẳng thức (1.19) thỏa mãn với ω (t) nghiệm đúng (1.20) chính là sự tồn tại v2 (t) thỏa mãn (1.17) Đồng thời từ bất đẳng thức (1.19) cũng suy ra (1.18) Định lý được chứng minh Chương 2 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 2.1 2.1.1 Bất đẳng thức tích phân Volterra Một... Một số định lý cơ bản về bất đẳng thức tích phân * Nhờ những kết quả có được từ vi c nghiên cứu bất đẳng thức vi phân ta có thể xây dựng được những kết quả sau đây về bất đẳng thức tích phân Định lý 2.1 Giả sử hàm hai biến ϕ (t, u) xác định trên miền D, trong đó D = {0 ≤ t ≤ T; |u| < γ ≤ +∞} (trong trường hợp γ là một số hữu hạn thì dấu “ . ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG”. 2. Mục đích nghiê n cứu • Nội dung bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân. • Ứng dụng của bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tí ch phân giải g ần đúng. minh. Chương 2 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 2.1. Bất đẳng thức tích phân Volterra 2.1.1. Một số định lý cơ bản về bất đẳng thức tích phân * Nhờ những kết quả có được từ vi c nghiê n cứu bất đẳng t hức vi phân. phương trình vi phân, phương trình tích phân, đặc biệt là các phương pháp giải 8 tích tìm công thức nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy em đã mạnh dạn chọn đề tài: “BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH