Một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến f(x)=0

68 545 0
Một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến f(x)=0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Lời cảm ơn Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng Sau đại học, thầy giáo, giáo, tồn thể anh chị em học viên khóa 15 chuyên ngành Tốn giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội động viên, giúp đỡ để tác giả có điều kiện tốt suốt q trình hồn thành luận văn Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Khuất Văn Ninh định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Trần Văn Cường Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh, luận văn Thạc sĩ chun ngành Tốn giải tích với đề tài “Một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến” hồn thành nhận thức thân tác giả Trong suốt trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Trần Văn Cường Mục lục Mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức giải tích hàm 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Không gian định chuẩn 1.2 Phương pháp dây cung 1.3 Phương pháp Newton mở rộng 1.3.1 Phương pháp Newton (Phương pháp tiếp tuyến) 1.3.2 Phương pháp Newton - Raphson 11 1.3.3 Phương pháp Newton - Kantorovich 13 Chương PHƯƠNG PHÁP LẶP 18 2.1 Phân loại hàm lặp 18 2.1.1 Một số khái niệm 18 2.1.2 Hàm lặp điểm 19 2.1.3 Hàm lặp nhiều điểm 20 2.1.4 Bậc hội tụ 20 2.2 Các định lý tổng quát phương pháp lặp 22 2.2.1 Một số mệnh đề điểm bất động 22 2.2.2 Sự hội tụ tuyến tính tuyến tính 24 i 2.2.3 Thực phép lặp Chương 29 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LẶP 46 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 ii Mở đầu Lí chọn đề tài Nhiều vấn đề thực tế dẫn tới việc giải phương trình hệ phương trình Chúng phương trình, hệ phương trình đại số, vi phân, hay đạo hàm riêng Việc giải phương trình nói chung khó Ta mong muốn tìm nghiệm gần chúng Có nhiều phương pháp để tìm nghiệm gần phương trình Mỗi phương pháp có ưu điểm riêng, phù hợp với loại phương trình khác Nhưng thấy nhiều thuật tốn giải phương trình mơ tả hàm lặp Việc trình bày cách hệ thống lý thuyết thuật toán lặp bậc hội tụ chúng việc giải gần phương trình hệ phương trình giúp cho ta có nhìn sâu tổng quát phương pháp lặp riêng biệt biết, tìm ứng dụng phương pháp việc giải phương trình Vì lí trên, định hướng PGS TS Khuất Văn Ninh, chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết phương pháp lặp giải gần phương trình f (x) = không gian chiều Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu sở lý thuyết, tính chất phương pháp lặp biểu diễn dạng hàm lặp, việc giải phương trình Trong nghiên cứu thuật tốn, bậc hội tụ Nghiên cứu ứng dụng phương pháp lặp việc giải phương trình cụ thể Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các phương pháp lặp việc giải gần phương trình f (x) = không gian chiều Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu tư liệu sách, báo - Sử dụng phương pháp Giải tích cổ điển, Giải tích hàm, Giải tích số - Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài Dự kiến đóng góp đề tài Trình bày cách hệ thống phương pháp lặp bậc hội tụ ứng dụng tốn cụ thể Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương trình bày số kiến thức chuẩn bị giải tích hàm giải tích số, phương trình tốn tử, số phương pháp lặp giải phương tình phi tuyến f (x) = Phương pháp Newton số mở rộng Nội dung chương tham khảo tài liệu [1,3,5,7,8,9] 1.1 Một số kiến thức giải tích hàm 1.1.1 Khơng gian metric Định nghĩa 1.1 Cho tập X = ∅ Ánh xạ d : X × X → R gọi metric X thỏa mãn điều kiện sau: i) ∀x, y ∈ X, d (x, y) ≥ 0, d (x, y) = ⇔ x = y; ii) ∀x, y ∈ X, d (x, y) = d (y, x); iii) ∀x, y, z ∈ X, d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z) Cặp (X, d) gọi không gian metric Các phần tử Xgọi điểm, tiên đề i), ii), iii) gọi hệ tiên đề metric, d(x, y) gọi khoảng cách hai phần tử x y Định nghĩa 1.2 Cho không gian metric (X, d) Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy (hay dãy Cauchy) ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀m, n ≥ n0 : d (xm , xn ) < ε hay lim d (xm , xn ) = m,n→∞ Định nghĩa 1.3 Không gian metric (X, d) gọi đủ dãy Cauchy X hội tụ đến điểm thuộc X Định nghĩa 1.4 Cho không gian metric (X, d) Ánh xạ A từ khơng gian (X, d) vào gọi ánh xạ co tồn số α, ≤ α < 1, cho d (Ax, Ax ) ≤ αd (x, x ) , ∀x, x ∈ X Định lý 1.1 (Nguyên lý Banach ánh xạ co) Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đủ (X, d) vào có điểm bất động x ¯ nhất, nghĩa x ∈ X thỏa mãn hệ thức A¯ = x ¯ x ¯ Ví dụ 1.1 Trong không gian R1 cho ánh xạ A xác định công thức Ax = π − a sin x, |a| < Khi A ánh xạ khơng gian đủ R1 vào Hơn nữa, |Ax − Ax | = |a sin x − a sin x | = |a| cos ≤ |a| x+x sin x−x x−x = |a| |x − x | Suy A ánh xạ co, |a| < Theo nguyên lý Banach ánh xạ co, ánh xạ A có điểm bất động x Ta dễ dàng kiểm tra điểm bất động x = π ¯ ¯ Ví dụ 1.2 Cho ánh xạ A ánh xạ nửa khoảng [1, +∞) vào xác định công thức Ax = x + x Ta có [1, +∞) tập hợp đóng R1 với metric d(x, y) = |x − y| Do [1, +∞) với metric R1 lập thành không gian metric đủ Giả sử ánh xạ A : [1, +∞) → [1, +∞) x → A(x) ánh xạ co, suy tồn x0 ∈ [1, +∞) cho Ax0 = x0 ⇔ x0 + 1 = x0 ⇔ = (vô lý) x0 x0 Vậy A khơng có điểm bất động, A khơng ánh xạ co 1.1.2 Khơng gian định chuẩn Định nghĩa 1.5 Không gian định chuẩn (hay khơng gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính X trường P (P = R P = C) với ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu · đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau đây: i) ∀x ∈ X, x ≥ 0, x = ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không θ); ii) ∀x ∈ X, ∀α ∈ P , αx = |α| x ; iii) ∀x, y ∈ X, x + y ≤ x + y Số x gọi chuẩn véctơ x Ta ký hiệu không gian định chuẩn (X, · ) Nếu X trang bị chuẩn ta ký hiệu X Các tiên đề i), ii), iii) gọi hệ tiên đề chuẩn Định nghĩa 1.6 Dãy điểm {xn } không gian định chuẩn X gọi dãy lim m,n→∞ xn − xm = Định nghĩa 1.7 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy X hội tụ Ví dụ 1.3 Cho khơng gian véctơ thực n chiều Rn Đối với véctơ x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn ta đặt n |xj |2 x = (1.1) j=1 Từ công thức x = d(x, θ) hệ tiên đề metric suy công thức (1.1) cho chuẩn Rn Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu Rn Dễ thấy Rn không gian Banach Ví dụ 1.4 Cho khơng gian véctơ C[a,b] Đối với véctơ x(t) ∈ C[a,b] ta đặt x = max |x(t)| a≤t≤b (1.2) Từ công thức x = d(x, θ) hệ tiên đề metric suy công thức (1.2) cho chuẩn C[a,b] Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu C[a,b] Dễ thấy C[a,b] khơng gian Banach Ví dụ 1.5 Cho không gian véctơ L[a,b] Đối với véctơ x(t) ∈ L[a,b] ta đặt b |x(t)| dt x = a (1.3) Giải Trường hợp 1: Ta có x3 − 3x2 + = ⇔ x2 (x − 3) + = ⇔x=√ , ∀x ∈ [0, 1] 3−x Phương trình trở thành x = ϕ(x), với ϕ(x) = √ 3−x Ta có ϕ(x) : [0; 1] → [0; 1] |ϕ (x)| = 1 ≤ √ := q < 1, ∀x ∈ [0, 1] 2 (3 − x)3 Do phương trình có nghiệm ξ ∈ (0; 1) Chọn xấp xỉ ban đầu x0 = Theo phương pháp lặp, dãy xấp xỉ liên tiếp xây dựng sau xn+1 = ϕ(xn ), n ≥ Khi x1 = ϕ(x0 ) = √ 0, 707106781 x2 = ϕ(x1 ) 0, 660401551 x3 = ϕ(x2 ) 0, 653776548 x4 = ϕ(x3 ) 0, 652852864 x5 = ϕ(x4 ) 0, 652724392 x6 = ϕ(x5 ) 0, 652706529 50 Ta có ϕ(x6 ) 0, 652704045 x6 Vậy nghiệm xấp xỉ phương trình x 0, 652706529 Trường hợp 2: Ta có x3 − 3x2 + = ⇔ x2 (x − 3) + = ⇔ x = −√ , ∀x ∈ [−1, 0] 3−x Phương trình trở thành x = ϕ(x), với ϕ(x) = − √ 3−x Ta có ϕ(x) : [−1; 0] → [−1; 0] |ϕ (x)| = 1 ≤ √ := q < 1, ∀x ∈ [−1, 0] 27 (3 − x)3 Do phương trình có nghiệm ξ ∈ (−1; 0) Chọn xấp xỉ ban đầu x0 = −1 Theo phương pháp lặp, dãy xấp xỉ liên tiếp xây dựng sau xn+1 = ϕ(xn ), n ≥ Khi x1 = ϕ(x0 ) = −0, x2 = ϕ(x1 ) −0, 534522483 x3 = ϕ(x2 ) −0, 531905677 x4 = ϕ(x3 ) −0, 532102686 51 x5 = ϕ(x4 ) x6 = ϕ(x5 ) −0, 532088964 x7 = ϕ(x6 ) Ta có ϕ(x7 ) −0, 532087846 −0, 53208888 −0, 532088886 x7 Vậy nghiệm xấp xỉ phương trình −0, 53208888 x Trường hợp 3: Ta có x3 − 3x2 + = ⇔ x2 (x − 3) + = ⇔x=3− , ∀x ∈ [2, 3] x2 Phương trình trở thành x = ϕ(x), với ϕ(x) = − x2 Ta có ϕ(x) : [2; 3] → [2; 3] |ϕ (x)| = ≤ := q < x3 Do phương trình có nghiệm ξ ∈ (2; 3) Chọn xấp xỉ ban đầu x0 = Theo phương pháp lặp, dãy xấp xỉ liên tiếp xây dựng sau xn+1 = ϕ(xn ), n ≥ Khi x1 = ϕ(x0 ) 2, 888888889 52 x2 = ϕ(x1 ) x3 = ϕ(x2 ) 2, 879451589 x4 = ϕ(x3 ) 2, 8793908 x5 = ϕ(x4 ) 2, 879385707 x6 = ϕ(x5 ) 2, 879385281 x7 = ϕ(x6 ) Ta có ϕ(x7 ) 2, 880177515 2, 879385245 2, 879385242 x7 Vậy nghiệm xấp xỉ phương trình x 2, 879385245 Nhận xét Qua ví dụ ta thấy với khoảng tách nghiệm phương trình f (x) = ta đưa dạng x = ϕ(x), với hàm ϕ(x) khác Ví dụ 3.3 Giải phương trình x4 − 4x + = Giải Hàm lặp ϕ có bậc (phương pháp lặp đơn) Trường hợp 1: Ta có x4 − 4x + = ⇔x= , ∀x ∈ [0; 1] − x3 Phương trình trở thành x = ϕ(x), với ϕ(x) = − x3 Ta có ϕ(x) : [0; 1] → [0; 1] 6x2 |ϕ (x)| = ≤ := q < 1, ∀x ∈ [0, 1] (4 − x3 )2 53 Do phương trình có nghiệm ξ ∈ (0; 1) Chọn xấp xỉ ban đầu x0 = 0, Theo phương pháp lặp, dãy xấp xỉ liên tiếp xây dựng sau xn+1 = ϕ(xn ), n ≥ Khi x1 = ϕ(x0 ) x2 = ϕ(x1 ) 0, 517798171 x3 = ϕ(x2 ) 0, 517977634 x4 = ϕ(x3 ) 0, 517997006 x5 = ϕ(x4 ) 0, 517999098 x6 = ϕ(x5 ) 0, 517999324 x7 = ϕ(x6 ) 0, 517999349 x8 = ϕ(x7 ) 0, 517999351 x9 = ϕ(x8 ) Ta có ϕ(x9 ) 0, 516129032 0, 517999352 0, 517999352 x9 Vậy nghiệm xấp xỉ phương trình x 0, 517999352 Trường hợp 2: Ta có x4 − 4x + = √ ⇔ x = 4x − 2, ∀x ∈ [1; 2] Phương trình trở thành x = ϕ(x), với ϕ(x) = 54 √ 4x − Ta có ϕ(x) : [1; 2] → [1; 2] ≤ √ := q < 1, ∀x ∈ [1, 2] (4x − 2)3 |ϕ (x)| = Do phương trình có nghiệm ξ ∈ (1; 2) Chọn xấp xỉ ban đầu x0 = Theo phương pháp lặp, dãy xấp xỉ liên tiếp xây dựng sau xn+1 = ϕ(xn ), n ≥ Khi x1 = ϕ(x0 ) = 1, 56508458 x2 = ϕ(x1 ) 1, 436683229 x3 = ϕ(x2 ) 1, 391275649 x4 = ϕ(x3 ) 1, 374098951 x5 = ϕ(x4 ) 1, 367430138 x6 = ϕ(x5 ) 1, 36481449 x7 = ϕ(x6 ) 1, 363784459 x8 = ϕ(x7 ) 1, 363378197 x9 = ϕ(x8 ) 1, 363217859 x10 = ϕ(x9 ) 1, 363154564 x11 = ϕ(x10 ) 1, 363129575 x12 = ϕ(x11 ) 1, 36311971 x13 = ϕ(x12 ) 1, 363115814 x14 = ϕ(x13 ) 1, 363114276 x15 = ϕ(x14 ) 1, 363113669 x16 = ϕ(x15 ) 1, 363113429 55 x17 = ϕ(x16 ) x18 = ϕ(x17 ) 1, 363113297 x19 = ϕ(x18 ) 1, 363113283 x20 = ϕ(x19 ) 1, 363113277 x21 = ϕ(x20 ) 1, 363113274 x22 = ϕ(x21 ) Ta có ϕ(x22 ) 1, 363113335 1, 363113273 1, 363113273 x22 Vậy nghiệm xấp xỉ phương trình x 1, 363113273 Nhận xét Qua phương pháp ta thấy với khoảng tách nghiệm phương trình f (x) = ta đưa dạng x = ϕ(x), với hàm ϕ(x) khác Hàm lặp ϕ có bậc (phương pháp Newton) Xét f (x) = x4 − 4x + Trường hợp 1: · f (1) < nên f (x) có nghiệm khoảng Ta có f ,1 f (x) = 4x3 − < 0; f (x) = 12x2 > > 0, nên điểm Fourier x = Chọn xấp xỉ ban đầu x0 = Theo phương pháp Newton, dãy xấp xỉ liên tiếp xây dựng sau Ta có f ·f xn+1 = xn − f (xn ) ; n = 1, 2, f (xn ) 56 Do f 1 x1 = − 0, 517857142 f f (x1 ) x2 = x1 − 0,517999342 f (x1 ) f (x2 ) 0, 517999352 x3 = x2 − f (x2 ) Ta có f (x3 ) = nên nghiệm phương trình x 0, 517999352 Trường hợp 2: Ta có f (1) · f (2) < nên f (x) có nghiệm khoảng (1, 2) f (x) = 4x3 − > 0; f (x) = 12x2 > Ta có f (2) · f (2) > 0, nên điểm Fourier x = Chọn xấp xỉ ban đầu x0 = Theo phương pháp Newton, dãy xấp xỉ liên tiếp xây dựng sau xn+1 = xn − f (xn ) ; n = 1, 2, f (xn ) Do f (2) 1, 642857143 f (2) f (x1 ) = x1 − 1,445344598 f (x1 ) f (x2 ) = x2 − 1, 373213854 f (x2 ) f (x3 ) = x3 − 1, 363293937 f (x3 ) f (x4 ) = x4 − 1, 363113332 f (x4 ) f (x5 ) = x5 − 1, 363113273 f (x5 ) x1 = − x2 x3 x4 x5 x6 57 Ta có f (x6 ) = nên nghiệm phương trình x 1, 363113273 Nhận xét Qua phương pháp ta thấy với khoảng tách nghiệm phương trình f (x) = điểm Fourier khác Hàm lặp ϕ có bậc (Hàm lặp Halley) Xét f (x) = x4 − 4x + Dễ thấy nghiệm phương trình f (x) = nghiệm đơn hay m = ϕ(x) = x − u(x)H(x), H(x) = f , A2 (x) = − A2 (x)u(x) 2f Ta có 3x2 f = 2f 2(x3 − 1) f (x) x4 − 4x + u(x) = = f (x) 4x3 − = H(x) = − A2 (x)u(x) − A2 (x) = 3x2 2(x3 −1) · x4 −4x+2 4x3 −4 Vậy x4 − 4x + ϕ(x) = x − u(x)H(x) = x − · 4x3 − 1− 3x2 2(x3 −1) · x4 −4x+2 4x3 −4 Theo Ví dụ 2.8, hàm lặp Halley có bậc Trường hợp 1: Chọn xấp xỉ ban đầu x0 = 0, Theo phương pháp lặp, dãy xấp xỉ liên tiếp xây dựng sau xn+1 = ϕ(xn ), n ≥ 58 Khi x1 = ϕ(x0 ) 0, 518181818 x2 = ϕ(x1 ) 0, 517999373 x3 = ϕ(x2 ) 0, 517999352 Ta có f (x3 ) = nên nghiệm phương trình x 0, 517999352 Trường hợp 2: Chọn xấp xỉ ban đầu x0 = Theo phương pháp lặp, dãy xấp xỉ liên tiếp xây dựng sau xn+1 = ϕ(xn ), n ≥ Khi x1 = ϕ(x0 ) = 1, 485294118 x2 = ϕ(x1 ) 1, 366024193 x3 = ϕ(x2 ) 1, 363113332 x4 = ϕ(x3 ) 1, 363113273 Ta có f (x4 ) = nên nghiệm phương trình x 1, 363113273 Hàm lặp ϕ1 có bậc (Định lý 2.5) Ở phương pháp Newton hàm lặp ϕ(x) = x − f (x) có bậc f (x) Ta đặt ϕ1 (x) = ϕ [ϕ(x)] = ϕ(x) − f [ϕ(x)] f [ϕ(x)] 3(3x4 − 2) − 2(4x3 − 4) = (4x3 − 4) 4(3x4 59 − 2) − 4(4x3 − 4) Theo Định lý 2.5 hàm lặp ϕ1 có bậc Trường hợp 1: Chọn xấp xỉ ban đầu x0 = 0, Theo phương pháp lặp, dãy xấp xỉ liên tiếp xây dựng sau xn+1 = ϕ1 (xn ), n ≥ Khi x1 = ϕ1 (x0 ) = 0, 517999342 x2 = ϕ1 (x1 ) 0, 517999352 Ta có f (x2 ) = nên nghiệm phương trình x 0, 517999352 Trường hợp 2: Chọn xấp xỉ ban đầu x0 = Theo phương pháp lặp, dãy xấp xỉ liên tiếp xây dựng sau xn+1 = ϕ1 (xn ), n ≥ Khi x1 = ϕ1 (x0 ) = 1, 445344598 x2 = ϕ1 (x1 ) 1, 363293937 x3 = ϕ1 (x2 ) 1, 363113273 Ta có f (x3 ) = nên nghiệm phương trình x 1, 363113273 Nhận xét Qua Ví dụ 3.3 ta thấy hàm lặp ϕcó bậc cao tốc độ hội tụ đến nghiệm nhanh 60 Với sai số ε = 10−9 ta thấy Trường hợp 1: Cùng xuất phát từ điểm x0 = 0, Phương pháp lặp đơn (ϕ có bậc 1) cần bước lặp Phương pháp Newton (ϕ có bậc 2) cần bước lặp Hàm lặp Halley (ϕ có bậc 3) cần bước lặp Hàm hợp (ϕ1 có bậc 4) cần bước lặp Trường hợp 2: Cùng xuất phát từ điểm x0 = Phương pháp lặp đơn (ϕ có bậc 1) cần 22 bước lặp Phương pháp Newton (ϕ có bậc 2) cần bước lặp Hàm lặp Halley (ϕ có bậc 3) cần bước lặp Hàm hợp (ϕ1 có bậc 4) cần bước lặp 61 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau Trong chương trình bày số kiến thức chuẩn bị giải tích hàmkhơng gian metric, khơng gian định chuẩn, phương pháp lặp đơn, phương pháp dây cung, phương pháp Newton mở rộng Trong chương trình bày khái niệm bậc hàm lặp, số định lý bậc hàm lặp Nhờ kết ta xây dưng hàm lặp có bậc hội tụ cao tùy ý Trong chương nêu số ví dụ minh họa Trong chương trình bày ứng dụng phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến Các ví dụ phép lặp có bậc hội tụ tuyến tính, bậc bình phương, bậc bậc Đặc biệt áp dụng nhiều hàm lặp có bậc khác để giải phương trình 62 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải tích số, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Minh Chương, Ya D Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình tốn tử, NXB Khoa học kỹ thuật [4] Phạm Huy Điển (2002), Tính tốn, Lập trình giảng dạy tốn học Maple, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [5] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật [B] Tài liệu tiếng Anh [6] Argyros I K (2008), Convergence and Applications of Newton – type Iterations, Springer Science + Business Media LLC [7] Ferreira O P., Svaiter B F (2009), Kantorovich’s majorants principle for Newton’s method, J Comput Optim Appl, 42(2), 213229 [8] Kung - Ching Chang (2005), Methods in Nonlinear Analysis, Springer –Verlag Berlin Heidelberg 63 [9] Ortega J M., Rheinboldt W C (1970), Iterative solution of nonlinear equations in several variables, Academic Press New York and London [10] Traub J F (1982), Iterative methods for the solutions of equations, Chelsea Publishing Company New York, N Y 64 ... chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết phương pháp lặp giải gần phương trình f (x) = không gian chiều Nhiệm... thuật toán lặp bậc hội tụ chúng việc giải gần phương trình hệ phương trình giúp cho ta có nhìn sâu tổng quát phương pháp lặp riêng biệt biết, tìm ứng dụng phương pháp việc giải phương trình Vì... việc giải phương trình hệ phương trình Chúng phương trình, hệ phương trình đại số, vi phân, hay đạo hàm riêng Việc giải phương trình nói chung khó Ta mong muốn tìm nghiệm gần chúng Có nhiều phương

Ngày đăng: 21/07/2015, 16:17

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Mở đầu

  • KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

    • Một số kiến thức về giải tích hàm

      • Không gian metric

      • Không gian định chuẩn

      • Phương pháp dây cung

      • Phương pháp Newton và các mở rộng

        • Phương pháp Newton (Phương pháp tiếp tuyến)

        • Phương pháp Newton - Raphson

        • Phương pháp Newton - Kantorovich

        • PHƯƠNG PHÁP LẶP

          • Phân loại các hàm lặp

            • Một số khái niệm cơ bản

            • Hàm lặp một điểm

            • Hàm lặp nhiều điểm

            • Bậc hội tụ

            • Các định lý tổng quát về phương pháp lặp

              • Một số mệnh đề về điểm bất động

              • Sự hội tụ tuyến tính và trên tuyến tính

              • Thực hiện phép lặp

              • MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LẶP

              • Kết luận

              • Tài liệu tham khảo

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan