RƯỜN I HỌ SƯ PH M HÀ N I R N H R N H N R N PHƯ N N R NH S N N N H H N S NH N HỌ N PH N LỜI CẢ N Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo trường h m i nh c i n h ih c 15 - Toán Giải t ch qu n tâm giú đỡ tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Tơi xin y tỏ lịng iết ơn âu c t i thầy T T uy hư ng - người tận tình hư ng dẫn cho tơi uốt q trình tìm hiểu nghi n cứu đề t i Đ uyế í Do thời gian nghiên cứu có h n n n đề tài khơng tránh khỏi h n chế, thiếu sót định, kính mong nhận đư c quan tâm góp ý thầy cô b n để đề tài nghiên cứu đư c hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nộ , y 10 c i n 07 ă 2013 N LỜ Tôi xin c m đo n số liệu kết nghiên cứu luận ăn n y trung thực không trùng lặp v i đề t i hác Tôi xin c m đo n m i giú đỡ cho iệc thực luận ăn n y đư c cảm ơn thông tin trích dẫn luận ăn đư c rõ nguồn gốc Hà Nộ , y 10 c i n 07 ă 2013 M C L C MỞ U N H 1.1 N hương trình i hân đ i ố tuyến t nh t ố 1.2 1.3 H đề t l thuyết iến đ i m trận hương há đ 18 c n giải hương trình i hân thường 24 1.4 Sai phân hữu h n 26 1.5 hương há truy đu i đường ch o Ả PHƯ N R NH N PH N 27 R S N N NH H P HAI 30 2.1 Phương trình i hân đ i ố cấ hai 30 hương trình i hân đ i số cấ cao 39 hương há giải ố 41 PHƯ N PH P S Ả PHƯ N R NH PH N i i thiệu c đồ N S R C P HAI N 42 42 i hân 43 d 50 54 N H HẢ 55 S H N R N N N det A định thức củ m trận A diag(M , N ) m trận hối đường ch o im( A) ảnh củ ánh x A ker( A) không gi n hông củ A nhân củ A) rank A(t ) h ng củ m trận A(t ) degdet( A(t )  B(t )) m 0,1 ậc củ đ thức det( A(t )  B(t )) h m i cấ m tr n đo n  0,1 MỞ U Lý chọ đề tài Nhiều i toán thực tế dẫn t i mơ hình tốn h c mơ tả i hương trình i hân hơng giải đư c hiển thông qu đ o hàm cấp cao hương trình n y đư c g i l củ ác ẩn M t d ng thường gặp hương trình i hân n hệ gồm m t (hệ) hương trình i hân thường m t ràng bu c đ i số (không đ o hàm) ác hương trình n y thường đư c g i is h ng h n m t ố i toán h c đư c mô tả b i hệ gh hương trình i hân thường ậc t hương trình i hân thường ậc m t ràng bu c ( hương trình) đ i ố i chung t c thể đư hương trình i hân đ i ố ậc c o ề hương trình i hân đ i ố ậc u đ nghi n cứu giải ố hương trình i hân đ i ố ậc (xem, thí d , [7], [8]) Tuy nhi n cách tiế cận n y dẫn đến tăng ố chiều củ hức t iến đ tăng (cost) củ t nh toán đ t nh toán tăng l n cần nhiều ô nh Lí thuyết ch m m trận đ ng thuyết hân t ch i trò ản iệc nghiên cứu lí xây dựng thuật tốn giải ố hương trình i hân tuyến t nh ậc m t Tuy nhiên lí thuyết n y nói chung khơng thật phù h p cho hương trình i hân đ i ố tuyến t nh ậc c o n i cách hác l thuyết chùm ma trận c thể bậc cao d ng cho m t l h hương trình ể hân t ch hương trình i hân đ i ố ậc cao t cần d ng lí thuyết đ thức m trận m trix olynomi l ) Mặc dù m i đư c b t đầu nghiên cứu, lí thuyết đ thức m trận đầu c đ ng g t nghi n cứu định t nh xây dựng thuật toán tìm nghiệm ằng ố củ hương trình i hân đ i ố ậc h i c o i toán uchy i toán giá trị i n) Trong [ ] đư r m t số nghiên cứu m i đ thức ma trận ứng d ng hương trình i hân đ i số tuyến t nh bậc c o để giải trị n đầu giải ố t nh ậc h i i toán i n đối i tốn giá i hương trình i hân đ i ố tuyến ậc c o (xem [2], [5]) Nhằm tìm hiểu m t vấn đề thời c ý nghĩ ứng d ng, ch n đề tài cho luận ăn th c ĩ Đ i s tuyến tính Trong luận ăn n y tơi trình y t nh chất củ l ác tính chất n y đư c dựa theo báo [2]-[5] đ thức m trận d ng để hân rã hương trình i hân đ i ố tuyến t nh ậc m thành m hệ gồm hương trình i hân thường ậc m, m  1, tuyến t nh m t hệ hương trình đ i ố t hiểu hệ hương trình i hân đ i số ậc m l hệ hương trình i hân c đ o hàm đến ậc m i m trận hệ ố củ đ o h m ậc m l uy iến Mụ đí nghiên c u Dự tr n t nh chất củ đ thức m trận, luận ăn nghi n cứu m t ố t nh chất định t nh, giải số i toán giá trị hương trình i hân đ i ố tuyến tính ậc h i n đầu giải số i toán i n ậc c o Nhi m vụ nghiên c u Nghiên cứu vấn đề sau: hái niệm đặc thù củ hái niệm tính chất củ đ thức m trận Giải số tốn giá trị hương trình i hân đ i số n đầu toán biên hương trình i hân đ i ố tuyến tính dự tr n t nh chất củ đa thức m trận ố t ợng phạm vi nghiên c u thức m trận; t nh chất định t nh hương há ố giải hương trình i hân đ i ố tuyến tính P p áp ê u Thu thập tài liệu đ c, phân tích t ng h p t i liệu; S d ng cơng c củ i số tuyến tính, Giải tích, Giải tích hàm Giải tích số để viết m t luận ăn nghiên cứu t ng quan đề t i đặt óng góp đề tài Luận ăn l m t tài liệu t ng quan đ thức ma trận nghiên cứu định t nh giải số hương trình i hân đ i số tuyến tính Hy v ng Luận ăn l m t tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên h c viên cao h c c đầu nghiên cứu hương trình i hân đ i số N H Chương n y trình y m t ố đặc thù củ tính, iến thức hương há 1.1 P N hương trình i hân đ i số tuyến củ lí thuyết ch m m trận, đ thức m trận (matrix ti u chu n h ng - ậc r n - degree) polynomials) chương H hương há đ c i hân giải hương trình i hân thường cần thiết u t p đạ ố t tí ác hương trình i hân thường d ng dx  f (t , x), x  dt đư c nghi n cứu há òng n , t  (a, b), (1.1.1) i ba trăm năm tr l i T thường kí hiệu đ o hàm hàm số x(t ) t i điểm t b i m t ba kí hiệu x(t ), dx x(t ) dt t ố d ng đặc biệt đư c gr ng ẩ icc ti nghi n cứu t cách khoảng nhi n nhu cầu củ F (t , x, x)  cấ m t i toán ĩ thuật thực tế hương trình i hân n ề lí thuyết định t nh hương há ố năm gần ếu det hân năm Tuy hương trình i hân n cấ c o m i đư c qu n tâm nghi n cứu m nh m hoảng F (t , x, x)  F  lân cận nghiệm th o định l h m n x n F (t , x, x)  c x  f (t , x) thể đư ề hương trình hương trình i i hân thường hư ậy c thể coi hương trình i hân n l d ng t ng 10 quát củ hương trình i hân thường, m i hương trình i hân thường ề d ng n F (t , x, x)  v i F (t , x, x) : x  f (t , x) ) đư t d ng đơn giản củ hương trình n F (t , x, x)  l uyến tính d ng E (t ) x(t )  A(t ) x(t )  f (t ), t  (a, b) (1.1.2) i det E (t )  T định nghĩ th o nghĩ c điển) củ hương trình i hân n F (t , x, x)  tr n m t hoảng (a, b) n o đ l m t h m i li n t c x(t ) (a, b) cho F (t , x(t ), x(t ))  (a, b) i t hân t ch uyế í thơng qua m t số ví d Thí dụ 1.1.1 Xét hệ phương trình vi phân đ i số tuyến tính v i hệ số Ex(t )  Ax(t )  0, t   a, b  ,     x1 (t )  1   x1 (t )   0   x (t )   1   x (t )   0, t   a, b        Hệ cho c (1.1.3) (1.1.4) 1 2 E  v i det E  0, khơng thể đư hệ (1.1.4) 0   d ng hương trình i hân thường Thực chất (1.1.4) hệ gồm m t hương trình vi phân (1.1.4a) (chứ đ o hàm) m t ràng bu c đ i số (1.1.4b) (không đ o hàm) Hệ (1.1.4) viết dư i d ng   x(t )  x2 (t )  x1 (t )  x2 (t )  0; (1.1.4)    x1 (t )  x2 (t )  (1.1.4a) (1.1.4b) 42 PHƯ N PHƯ N PH P S R NH hương n y trình hân đ i ố cấ Ả N PH N S R N TUY N TÍNH C P HAI y hương há giải ố i toán i n củ hương trình i theo [4] [5] t 3.1 t hương trình i hân đ i ố tuyến t nh ậc h i th o iến thời gi n A(t ) x(t )  B(t ) x(t )  C (t ) x(t )  f (t ), t [0,1] (3.1.1) v i điều iện i n x(0)  x0 , x(1)  xN , (3.1.2) đ A(t ), B(t ), C (t ) l h m m trận ậc n  n f (t ) l h m - ctơ n chiều iả T giả det A(t )  Khi hương trình điều iện i n (3.1.2) c nghiệm ghiệm )l ỉ , tức l hương trình uy iến i tốn i n )- (3.1.2) đư c hiểu l h m li n t c i c đ o h m cấ liên t c) l m cho hương trình 1.1) thỏ mãn i m i t [0,1] v thỏ mãn điều iện biên (3.1.2) ối i iệc tìm nghiệm ố củ [4] đư r đ i ố tuyến t nh h xấ xỉ th o i toán giá trị i n (3.1.1)-(3.1.2), [3] điểm ết thu đư c hệ hương trình i a m trận đường ch o hối hệ hương trinh i hân đ i ố tuyến t nh đư c giải th o [10]-[11] ể l m đư c điều đ t cần m t ố định nghĩ t t i liệu [3], [4] 43 3.2 ợ đ hi đo n [ i toán a p i điểm ti  ih, i  1,2, , N , h  ] 1.1)-(3.1.2), t giải hệ hương trình N i hân ể tìm nghiệm củ u: Ai 1xi 1  hBi 2 xi 1  h2 C i 3 xi 1  h2 fi , i  1,2, , N , (3.2.1) x0  x(0), xN  x(1), (3.2.2) đ f i k hiệu l giá trị củ Ai , Bi , C i A(t ), B(t ), C (t ) f (t ) đư c t nh th o điểm ti [ti 1, ti 1 ], tức l Ai  A( ti ), Bi  B( ti ), Ci  C ( ti ) Các toán t đư c xác định i phân 1gi1, 2 gi1, 3 gi1, đ g (t ) m t h m n o đ i 1gi1  gi1  gi  gi1, 2 gi1  0 gi1  1gi  2 gi1, 3 gi1   gi1  1gi   gi1 Ch n c thể mốc sai phân ti tham số 0 , 1, 2 ;  ,1, s đư c dẫn sau Như ậy hương trình ) đư c đư ề d ng Ai ( xi 1  xi  xi 1 )  hBi ( 0 xi 1  1 xi  2 xi 1 )  h C i ( xi 1   1xi   xi 1 )  h2 fi , i  1,2, , N ,  Ai xi 1  Ai xi  Ai xi 1  hB i 0 xi 1  hB i 1 xi  hB i  xi 1  h C i xi 1  h C i xi  h C i xi 1  h f i , i  1,2, , N ,  Ai xi 1  hBi 0 xi 1  h C i xi 1  Ai xi  hB i 1 xi  h C i xi  Ai xi 1  hBi 2 xi 1  h C i xi 1  h f i , i  1,2, , N ,  ( Ai  hBi 2  h C i ) xi 1  (2 Ai  hB i 1  h C i ) xi  ( Ai  hBi 0  h C i ) xi 1  h f i , i  1,2, , N 44 h xấ xỉ n y cho t hệ hương trình tuyến t nh i hối m trận đường ch o Ri xi1  Li xi  M i xi 1  Fi (3.2.3) v i m trận Ri  Ai   hB i   h C i , Li  2 Ai  1hB i   1h C i , (3.2.4) M i  Ai  0 hB i   0h C i , Fi  h2 fi , i  1,2, , N ệ ) c thể đư c giải bày Chương m c Thực chất củ i hương há truy đu i đường ch o trình [10], trang 522, hương há l hệ E 0  0      x0  x(0), xN  x(1) 0 E  0 đ m trận  i 1 E 0 ) đư u ề d ng khối h i đường chéo: 0   x0   1      0   x1      0   x2   3  ,        E  N   xN 1    N      E   xN    N 1      ctơ i 1 đư c xác định i công thức truy hồi i1  ( Li  Rii )1 M i , i  1,2, , N  1, 1  0,  V i i  1:   ( L1  R11 )1 M1   L1 1M1, i  :   ( L2  R2 ) 1 M , i  N  1:  N  ( LN 1  RN 1 N 1 ) 1 M N 1 , (3.2.5a) 45 i1  ( Rii  Li )1 ( Fi  Ri i ), i  1,2, , N  1, (3.2.5b) 1  x(0), V i i  1: 2  ( R11  L1 )1 ( F1  R11 )  ( L1 )1 ( F1  R11 ), i  : 3  ( R2  L2 ) 1 ( F2  R2  ), i  N  1:  N  ( RN 1 N 1  LN 1 ) 1 ( FN 1  RN 1 N 1 ) d ng hương há u t nh ngư c t cuối, t đư c x j   j 1x j 1   j 1,  N 1  x(1), j  N  1, N  2, ,1 Nhằm hân t ch r đặc thù củ hương há (3.2.6) i hân hữu h n áp d ng cho toán biên giải hương trình i hân đ i số tuyến tính cấp hai, ta xét ví d sau Thí ụ t hệ hương trình i hân đ i ố tuyến t nh ậc h i i hệ ố Ax(t )  Bx(t )  Cx(t )  f (t ), t [0,1] (3.2.7) i điều iện i n x(0)  x0 , x(1)  xN , đ 1 0 0 0 0 0 A   0  , B    , C   0        0 0 0 1 0 1       ể giải ố hệ ), d ng cách xấ xỉ truyền thống tức l xấ xỉ t i điểm mốc ti b i sai phân bậc bậc hai Thay 46 x(ti )  o hương trình xi 1  xi  xi 1 x x ; x(ti )  i 1 i 1 h 2h ) t đư c h A( xi 1  xi  xi 1 )  B( xi 1  xi 1 )  h 2Cxi  h f i Hệ n y đư c viết dư i d ng hệ hương trình i hân B B ( A  h ) xi 1  (2 A  h 2C ) xi  ( A  h ) xi 1  h f i 2 hay Rxi1  Lxi  Mxi1  h2 fi , (3.2.8) v i   1 0  1 0 0 0    0 0  h 0    h R ,      0 0 0 1       0  h   1 0  0   2 0  L  2  0   h  0    0  ,       0 0  0   0 h2         1 1 0 0 0  1 M   0 0  h 0   h      0 0 0 1      0  Nếu d ng hương há truyền thống để giải hương trình m trận a) )       h  ) t đư c ) T c 1  nên   ( L1  R11 )1 M1   L1M ,  hông thể t nh đư c L uy iến 47 ođ hông thể d ng đư c hương há truy đu i c điển (xấp xỉ t i điểm mốc ti ) Lí l ì ch m m trận 1 0 0 0  0  A(t )  C (t )    0    0    0        0 0 0 1  0 1       d n y l không ch nh qui det   A(t )  C (t )   v i m i  m i t Kéo theo Li  2 A (ti )  h2C (ti ) suy biến Ta giải th ch điều n y sau Thông thường để giải ố hương trình i hân thường t xấ xỉ t i điểm ti , đ  g  ( gi 1  gi 1 ), 3 g  gi , Fi (t )  h 2C (ti ) m trận Li t đ ng thức (3.2.4) c d ng Li  2 A (ti )  h2C (ti ) Vì   Li  h2   A (ti )  C (ti )   h   A (ti )  C (ti )   h  Nên m trận Li hông uy iến hi hi ch m m trận  A (t )  C (t ) hơng uy iến ể xây dựng thuật tốn giải toán (3.1.1)nghĩ ị u x m[ ] [ ị a) (3.2.5b) - ( Rii  Li ) hông uy iến a 2.2 Thuật toán i  o m t số định ]) a 2.1 Thuật toán m trận L0, LN ) t đư a) )l ị ) l ổ ị h i  i  N  (3.2.5b) - i i  1,2, , N  chu n ma trận A   aik  , (i  1, , m; k  1, , n ) đư c xác định công thức A  max(max aik ) 1i m 1k n i 48 hương n y củ luận ăn trình h i t cấp h i xấ ym t h cho phép giải xấ xỉ hác theo [4] [5], đ i toán t ng quát ch ng h n h xỉ n y thực đư c trường h  A (ti )  C (ti ) uy iến t xấ xỉ i toán ch m m trận )-(3.2.2) t i điểm ti  ti 1 hay ti  ti 1 t i ti  ti 1 iều kiện xấp xỉ cấp hai s (xem [7]):  0  1    0;   0     0;       0;  (3.2.9)       1;       Hệ (3.2.9) có nghiệm 0   , 1  2, 2   2 Các hệ số  , 1 ,  thỏa mãn hệ thức 2     ,     ,   hi đ m trận Ri , Li , M i đư c tính b i cơng thức sau   Ri  Ai 1  hBi 1  1    h 2Ci 1 ,   (3.2.10) Li  2 Ai1  2hBi1  1h2Ci1, (3.2.11) 1 M i  Ai 1  hBi 1   1h2Ci 1 2 (3.2.12) Fi  h2 f (ti1 ), i  1,2, , N  (3.2.13) Nếu ch n hệ số   1, 1  2,   cơng thức u Ri , Li , M i đư c t nh i 49 Ri  Ai 1  hBi 1 , (3.2 ’) Li  2 Ai1  2hBi1  2h2Ci1, M i  Ai 1  hBi 1  h 2Ci 1 ếu t lấy xấ xỉ (3.2.1 ’) (3.2.1 ’) i toán (3.1.1)-(3.1.2) t i điểm ti  ti 1 điều kiện xấp xỉ cấp hai s 0  , 1  2, 2    0, 1  2,   1 2 Các ma trận Ri , Li , M i đư c t nh i công thức u Ri  Ai 1  hBi 1  h2Ci 1 , (3.2.14) Li  2 Ai1  2hBi1  2h2Ci1, (3.2.15) M i  Ai 1  hBi 1 , (3.2.16) Fi  h2 f (ti1 ), i  1,2, , N  (3.2.17) ếu B đề 1.2 đư c thỏ mãn m trận Li hơng uy iến t c thể d ng hương há giải hệ hương trình tuyến t nh [10] ị (i) í 3.2.1 uộ l [0,1] ;  A(t )  B(t ) (ii)  A(t )  B(t )  C (t ) có cấu (3.2.6) í ị ộ (3.1.1) A(t ), B(t ), C (t ) ỏ ổ ề 1.1.2 ho n l ó e (3.2.10)-(3.2.13) hay theo (3.2.14)-(3.2.17) l ấ , c ma tr n l x j  x(t j )  O(h2 ), j  1,2, , N  (3.2.5)á ị ổ 50 3.3 í ụ í ụ 3.1 t hệ hương trình i hân đ i ố tuyến t nh     t   x1 (t )   0   x1 (t )   0  x(t )    2t     (3.3.1)  0   x(t )    x (t )  t  x(t )            t  t  6t  i điều iện i n x(0)  (0,0)T , x(1)  (1,1)T    x1 (t )  tx2 (t )   2t     x1 (t )  x2 (t )  x1 (t )  tx2 (t )  t  t  6t v i điều iện i n x(0)  (0,0)T , x(1)  (1,1)T Ta có   t  det( A(t )  B(t ))  det    2  t  0, t  0,1, 1  rankA(t )  degdet( A(t )  B(t ))   const, t 0,1 Vậy ch m m trận  t   0    t     0 0 1 2    A(t )  B(t )    thỏ mãn ti u chu n h ng - ậc Thật vậy, thay x(t )  (t , t )T i toán c nghiệm x(t )  (t , t )T o hương trình ) t đư c   t   t   0   t   0   t    2t   0    2    t       t    t     t   t  t  6t    t    0  2t   0   t    2t             0     2t   t   t   t  t  6t  2  2t   2t ,  3 2t  4t  t  t  t  t  6t i m i t  0,1 51 ết ằng ố đư c cho Bảng (xem [9]) ảng h 0,1 0,05 0,025 O,0125 0,00625 er1 0,01630 0,00575 0,00176 0,00049 0,00013 er2 0,00136 0,00371 0,00097 0,00025 0,00004 í ụ 3.3.2 t hệ hương trình i hân đ i ố tuyến t nh  (2  t   )et  1 t     1  0 y(t )     0  y(t )    y (t )   t  (2  t )et     0 1   (3.3.2) v i điều iện i n y(0)  (1,1)T , y(1)  (e, e)T T c rank(A) = 1, rank(A|B) = 2, v   v(1   )  det( A (t )  vB(t )  C (t ))  det      v (1   )  v T thấy a0 (t )  tức l điều iện i ) củ đề hông thỏ mãn B i toán c nghiệm y(t )  (et , et )T Thật vậy, thay y(t )  (et , et )T o ) t đư c t  t   et     1  et   0   et   (2  t   )e         0  t    t   et     et   (2  t )et e        et  tet  (  1)et  (2  t   )et ,   t t t t e  te  e  (2  t )e ,  2et  tet   et  (2  t   )et ,   t t t 2e  te  (2  t )e  i m i t  0,1 52 ết ằng ố đư c cho Bảng (xem [9]) ảng h 0,05 0,025 O,0125 0,00625 er1 0,0206 0,0110 0,0060 0,0033 0,0017 er2 u 0,1 0,0201 0,0124 0,0069 0,0036 0,0018 d n y t thấy tồn t i i toán m điều iện củ thỏ mãn thuật toán (3.2.5)-(3.2.6) ẫn n định tức l điều iện ii) củ í ụ ịnh lí c đ h it hơng ậc ịnh lí 3.2.1 l điều iện đủ t hệ hương trình i phân đ i ố tuyến t nh 0 0 0 0 1 0             (3.3.3)  0  x (t )   0  x (t )    x(t )    0 0 0 0 0 1  e2t               x1 (t )     x1 (t )   0   x1 (t )       x(t )    0   x (t )      x (t )       0            0   x(t )   0   x (t )   0   x (t )   e 2t                x2 (t )  x2 (t )  x1 (t )  0,      x3 (t )  x3 (t )  x2 (t )  0,  2 t  x3 (t )  e v i điều iện i n x(0)  (4,  2, 1)T , x(1)  (4e2 ,  2e2 , e2 )T ệ hương trình c nghiệm l x(t )  (4e2t ,  2e2t , e2t )T Thật vậy, thay x(t )  (4e2t , 2e2t , e2t )T o ) t đư c 2 t  2 t  2 t    4e     4e   0   4e               0   2e2t    0   2e2t      2e2t     ,   0   e2t   0   e2t   0   e2t   e2t             53 (2e2t )  (2e2t )  4e2t  0,   (e2t )  (e2t )  2e2t  0, e2t  e2t  8e2t  4e2t  4e2t  0,   4e2t  2e2t  2e2t  0, e2t  e2t  i m i t  0,1 ết ằng ố đư c cho ảng (xem [9]) ảng h 0,1 0,05 0,025 0,0125 0,00625 er1 127,94 553,52 2303,9 3079,15 9004,1 er2 24,20 94,36 384,44 1504,5 6324,5 d n y thuật toán đư r i hương há (3.2.5)-(3.2.6) xác định (3.2.7)-(3.2.10) (3.2.11)-(3.2.14) l hông n định i 54 N uận ăn trình i tốn giá trị ứng d ng củ n n đầu cho hương trình i hân đ i ố cấ hai ul to ố y l thuyết đ thức m trận ing Gong L i toán auchy đề xuất năm [2] o giải cấ c o hương há giải i giá trị i n cho hương trình i hân đ i ố cấ hai h lo M V Bulatov T uy hư ng đề xuất năm 2009 [4] 2011 [5] Trong trình trình mỉ y luận ăn cố g ng giải mã t nh toán tỉ c n thận chứng minh định lí biến đ i hương trình i hân đ i ố tuyến t nh cấ hai ề m t hệ gồm m t hương trình i hân thường cấ m t hương trình i hân thường cấ d ng hương há m t r ng u c đ i ố, t đ áp ố để tìm nghiệm xấp xỉ ể chứng minh đ h i t cấp hai thuật toán hải d ng điều kiện [ ] để xác định hệ số M t câu hỏi đặt r l : c h y hơng hác giải i tốn i n tốt hệ ố n u trong chương hác c thể xây dựng hương há giải c o hệ ố ố t ng quát t đ ch n r hệ i i toán i n chương i ố tốt cho tốc đ h i t ) hơng Các ết trình y theo [4] [5] m i ch n r hệ ố để giải ố i toán i n chứng minh đ h i t cấp hai chư giải t ng quát nêu i toán 55 DANH M C CÁC TÀI LI U THAM KHẢO [1] R Bellman (1978), Mở ầu lí thuyết ma tr n, Nhà xuất Khoa h c ĩ thuật, Hà N i [2] M V Bulatov and Ming-Gong Lee (2008), Application of Matrix Polynomials to the Analysis of Linear Differential-Algebraic Equations of Higher Order, Journal Differential Equations, Vol 44, No10, pp 1-8 [3] M V Bulatov, Lee Ming-Gong and L S Solovarova (2010), On the difference schemes of first and second order for solving the DifferentialAlgebraic Equations of index or 2, Journal Numerical Mathematics and Mathematical physis, Vol 50, No11, pp 1909-1918 [4] M V Bulatov, N P Rakhvalov, and Ta Duy Phuong, (2009), Numerical solution of boundary–value problem for linear differential–algebraic equations of the second order, MVMS Journal, Vol 11, No 2, pp 1-7 [5] M V Bulatov, N P Rakhvalov, and Ta Duy Phuong, (2011), hương há truy đu i giải m t l p hệ hương trình i hân đ i số tuyến tính cấp hai, Journal News of Irkutsk State University, Series Mathematics, No 4, pp 2-11 (Tiếng Nga) [6] V F Chistyakov (1996), Toán t i s v i h ch hữu h n chiều, Novosibirsk, Nauka (Tiếng Nga) [7] Hairer, E and Wanner, G (1996) Solving Ordinary Differential Equations II Stiff and Differential-Algebraic Problems, Berlin: SpringerVerlag [8] Ming-Gong Lee (2003), Proceeding of the International Conference on Computational Methods in Sciences and Engineering, Kastoria, Greece September 12 - 16, pp 350 - 359 56 [9] N P Rakhvalov (2013), Numerical methods for Solving the Differential Algebraic Equations, Ph.D Thesis (in Russian) [10] A A Samarskii (1989), Theory of Difference Systems, Nauka, Moscow, (in Russian) [11] A A Samarskii, E.C Nikolaev (1978) Methods for Solving Equations Nauka, Moscow, (in Russian), ... thấy, tính qui cặp ma trận  E , A đ ng tr ng, nhiều định, cấu trúc tập nghiệm củ i trị qu n hương trình i hân đ i số v i hệ số Thí dụ 1.1.2 Xét hệ hương trình vi phân tuyến tính v i hệ số biến... quan đ thức ma trận nghiên cứu định t nh giải số hương trình i hân đ i số tuyến tính Hy v ng Luận ăn l m t tài liệu tham khảo tốt cho sinh vi? ?n h c vi? ?n cao h c c đầu nghiên cứu hương trình i... hương trình i hân đ i số 9 N H Chương n y trình y m t ố đặc thù củ tính, iến thức hương há 1.1 P N hương trình i hân đ i số tuyến củ lí thuyết ch m m trận, đ thức m trận (matrix ti u chu n h ng