1 MỤC LỤC Mục lục 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn 4 1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn . 8 2 Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn xác định bởi hàm Orlicz 11 2.1. Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn xác định bởi hàm Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. Một số tính chất của không gian con của không gian l M (E). . . 19 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 MỞ ĐẦU Trong giải tích hàm, lớp không gian tuyến tính định chuẩn có vai trò quan trọng là lớp không gian các dãy. Không gian các dãy cổ điển được xét với dãy nhận giá trị trong trường vô hướng, các tính chất của không gian các dãy là những ví dụ khá điển hình của giải tích hàm cổ điển. Trong [6] sử dụng ý tưởng của Orlicz các tác giả J. Lindenstrauss và L. Tzafriri đã xây dựng không gian tuyến tính định chuẩn các dãy nhận giá trị vô hướng từ lớp các hàm thực đặc biệt, mà chúng được gọi là các hàm Orlicz. Các tính chất của các không gian dãy Orlicz cũng được nghiên cứu khá sâu sắc thông qua cấu trúc của hàm Orlicz bởi J . Lindenstrauss và L. Tzafriri. Mục đích của luận văn là xây dựng không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn xác định bởi các hàm Orlicz, vì vậy chúng tôi lựa chọn đề tài: Về không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn xác định bởi hàm Orlicz. Nội dung của luận văn trình bày một số kết quả đã biết về không gian định chuẩn các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn, xây dựng không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn xác định bởi các hàm Orlicz và đưa ra một số tính chất của chúng. Các nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương: Chương 1 trình bày kết quả căn bản về không gian định chuẩn các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn đã được đề cập ở dạng tổng quát hơn trong [4]. Chương 2 nghiên cứu cách xây dựng không gian các dãy nhận giá trị 3 trong không gian định chuẩn xác định bởi các hàm Orlicz và các tính chất của chúng. Nội dung trình bày trong chương này là mới, chúng tôi đề xuất dựa trên phương pháp của J. Lindenstrauss và L. Tzafriri đã thực hiện cho trường vô hướng. Các kết quả trên đã được chúng tôi viết thành một bài báo đang gửi đăng. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo T.S. Kiều Phương Chi. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy. Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán học, Ban lãnh đạo Phòng Sau đại học, quí Thầy Cô trong tổ Giải tích khoa Sư phạm Toán học-Trường Đại học Vinh đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu, tổ Toán trường THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh, gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các học viên cao học khóa 20 Toán-Giải tích tại Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt quá trình học tập. Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng nhưng vì năng lực còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các thầy cô và những góp ý của bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Nghệ An, tháng 10 năm 2014 Trương Thị Thu Hiền 4 CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN CÁC DÃY NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN Chương này trình bày những kiến thức cơ sở cần dùng về sau, đặc biệt là lớp không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn. 1.1. Một số kiến thức chuẩn bị Mục này nhắc lại một số kết quả về không gian định chuẩn, không gian Banach cần dùng về sau. Các kết quả này có thể tìm thấy trong [3]. 1.1.1 Định nghĩa. Cho E là không gian tuyến tính trên trường K. Hàm . : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều kiện sau: 1) x  0, với mọi x ∈ E và x = 0 ⇔ x = 0; 2) λx = |λ|x, với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ E; 3) x + y  x + y, với mọi x, y ∈ E. Khi đó (E, .) được gọi là một không gian định chuẩn. Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn d(x, y) = x−y, ∀x, y ∈ E. Không gian định chuẩn E được gọi là không gian Banach nếu E đầy đủ với metric sinh bởi chuẩn. Với tôpô sinh bởi mêtric sinh bởi chuẩn các phép toán cộng và nhân vô hướng trên E là liên tục. Cho E, F là các không gian định chuẩn. Ký hiệu L(E, F ) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Ta đã biết L(E, F ) là không 5 gian định chuẩn với chuẩn f = sup x=1 f(x), ∀f ∈ L(E, F ). Nếu F là không gian Banach thì L(E, F ) là không gian Banach. Đặc biệt, L(E, K) := E ∗ là không gian liên hợp thứ nhất của E cũng là không gian Banach. Các lớp không gian Banach quen thuộc sau được quan tâm nhiều trong luận văn của chúng tôi. 1.1.2 Ví dụ. Giả sử K là trường các số thực hoặc các số phức. Ký hiệu l ∞ =  x = (x n ) ⊂ K : (x n ) là dãy bị chặn  ; C =  x = (x n ) ⊂ K : (x n ) là dãy hội tụ  ; C 0 =  x = (x n ) ⊂ K : lim n→∞ x n = 0  ; và l p =  x = (x n ) ⊂ K : ∞  n=1 |x n | p < ∞  , p  1. Với các phép toán cộng các dãy và nhân một số với một dãy thông thường ta có l ∞ (E) là không gian tuyến tính và C, C 0 và l p là các không gian con của l ∞ . Hơn nữa l p ⊂ C 0 ⊂ C ⊂ l ∞ . Ta đã biết l ∞ là không gian Banach với chuẩn xác định bởi x = sup n1 |x n |, ∀x ∈ l ∞ . (1.1) Đặc biệt C 0 , C là các không gian con đóng của l ∞ , vì thế chúng cũng là các không gian Banach với chuẩn trên. Tuy nhiên l p không đóng trong l ∞ . Đối với l p , người ta xét chuẩn xác định bởi công thức x p =  ∞  n=1 |x n | p  1/p , ∀x ∈ l p . (1.2) 6 Khi đó, l p cũng là một không gian Banach. 1.1.3 Định nghĩa. Cho (X, d), (Y, ρ) là các không gian mêtric và ánh xạ f : X → Y . 1) ánh xạ f được gọi là liên tục nếu với mọi dãy {x n } ⊂ X và x n → x thì f(x n ) → f(x). 2) ánh xạ f được gọi là liên tục đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ = δ(ε) sao cho: ρ(fx, fy) < ε, ∀x, y ∈ X, d(x, y) < δ. Ta chứng minh được mọi ánh xạ liên tục đều là liên tục. Mệnh đề ngược lại là không đúng. 1.1.4 Định nghĩa. Cho d, ρ là các mêtric trên X. 1) d và ρ được gọi là tương đương nếu ánh xạ đồng nhất i d : (X, d) → (X, ρ) và ánh xạ ngược của nó liên tục. 2) d và ρ được gọi là tương đương đều nếu ánh xạ đồng nhất i d : (X, d) → (X, ρ) và ánh xạ ngược của nó liên tục đều. Người ta chứng minh được d và ρ được là tương đương đều nếu và chỉ nếu tồn tại a, b > 0 sao cho ad(x, y)  ρ(x, y)  bd(x, y) với mọi x, y ∈ X. Hai chuẩn . 1 và . 2 trên không gian tuyến tính E được gọi là tương đương nếu tồn tại a, b > 0 sao cho ax 1  x 2  bx 1 với mọi x ∈ E. Rõ ràng hai chuẩn tương đương sinh tương ứng ra hai mêtric tương đương đều. 7 1.1.5 Định lý. Nếu E, F là các không gian định chuẩn và f : E → F là một song ánh. Khi đó, nếu mx  f(x)  Mx với mọi x ∈ E thì f là một đẳng cấu. Như vậy, nếu hai chuẩn . 1 và . 2 trên không gian tuyến tính E là tương đương thì (E, . 1 ) và (E, . 2 ) là đẳng cấu. Sau đây, ta nhắc lại khái niệm về hàm lồi. Các kết quả sau có thể tìm thấy ở trong [1]. 1.1.6 Định nghĩa. Cho hàm thực f : (a, b) → R. Hàm f được gọi là lồi nếu f  λx + (1 − λ)y   λf(x) + (1 − λ)f(y) (1.3) với mọi x, y ∈ (a, b) và 0  λ  1. 1.1.7 Nhận xét. Điều kiện (1.3) tương đương với điều kiện sau: f(t) − f(s) t − s  f(u) − f(t) u − t (1.4) với mọi a < s < t < u < b. 1.1.8 Mệnh đề. Cho f : (a, b) → R là hàm lồi và c ∈ (a, b). Khi đó, hàm p : (a, b) \ {c} → R xác định bởi p(x) = f(x) − f(c) x − c là không giảm. Ngược lại, nếu với mọi c ∈ (a, b) hàm p không giảm thì f là hàm lồi. 1.1.9 Hệ quả. Giả sử f là hàm khả vi trên (a, b). Khi đó, f là lồi khi và chỉ khi f  là hàm đơn điệu tăng trên (a, b). 1.1.10 Hệ quả. Nếu f : (a, b) → R có đạo hàm cấp 2 trên (a, b) và f  (x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) thì f là hàm lồi. 1.1.11 Ví dụ. Từ hệ quả trên ta thấy hàm f(x) = e x lồi trên R và y = x p là các hàm lồi trên (0, ∞) với p  1. 8 1.2. Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn Các kết quả trong mục này cơ bản đã được trình bày ở dạng tổng quát trong [4]. Để tiện cho việc trình bày các kết quả chính trong chương 2 chúng tôi trình bày lại theo mục đích của mình. Giả sử E là không gian định chuẩn trên trường K. Ký hiệu l ∞ (E) =  x = (x n ) ⊂ E : (x n ) : là dãy số bị chặn  ; C(E) =  x = (x n ) ⊂ E : (x n ) hội tụ  ; C 0 (E) =  x = (x n ) ⊂ E : lim n→∞ x n = 0  ; và l p (E) =  x = (x n ) ⊂ E : ∞  n=1 x n  p < ∞  , p  1. Với các phép toán cộng các dãy và nhân một số với một dãy thông thường ta có l ∞ (E) là không gian tuyến tính và C(E), C 0 (E) và l p (E) là các không gian con của l ∞ (E). Hơn nữa l p (E) ⊂ C 0 (E) ⊂ C(E) ⊂ l ∞ (E). Nếu E = K thì ta nhận được các không gian đã trình bày ở Ví dụ 1.1.2. 1.2.1 Định lý. ([4]) l ∞ (E) là không gian định chuẩn với chuẩn được xác định bởi x = sup n1 x n , (1.5) với mọi x ∈ l ∞ (E). Hơn nữa, nếu E là không gian Banach thì l ∞ (E) là không gian Banach. Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra được (1.5) là một chuẩn trên l ∞ (E). Ta chứng minh phần còn lại của định lý. Giả sử E là không gian Banach và 9 (x k ) ⊂ l ∞ (E) là dãy Cauchy. Khi đó, với mọi ε > 0 tồn tại k 0 sao cho x k − x l  = sup n1 x k n − x l n  < ε, ∀k, l  k 0 . (1.6) Suy ra, với mỗi n = 1, 2, ta có x k n − x l n  < ε với mọi k, l  k 0 , tức là dãy (x k n ) ∞ k=1 là dãy Cauchy trong E. Vì E là không gian Banach nên lim k→∞ x k n = x n ∈ E, với mỗi n = 1, 2, Đặt x = (x 1 , x 2 , , x n , ). Khi đó, từ (1.6) cố định k  k 0 cho l → ∞ ta nhận được sup n1 x k n − x n  < ε, ∀k  k 0 , (1.7) tức là x k − x < ε với mọi k  k 0 , hay x k → x khi k → ∞. Từ (1.7) suy ra x k 0 n − x n  < ε với mọi n. Vì vậy x n   x k 0 n − x n  + x k 0 n  < c < ∞ với mọi n, tức là x ∈ l ∞ (E). Như vậy l ∞ (E) là không gian Banach. 1.2.2 Định lý. ([4]) C(E) và C 0 (E) là các không gian con đóng của l ∞ (E). Đặc biệt, nếu E là không gian Banach thì C(E) và C 0 (E) cũng vậy. Chứng minh. Ta chứng minh C 0 (E) đóng trong l ∞ (E). Giả sử (x k ) ⊂ C(E) và x k → x trong l ∞ (E). Khi đó, với mỗi ε > 0 tồn tại k 0 sao cho x k − x = sup n1 x k n − x n  < ε, ∀k  k 0 . (1.8) Vì x k 0 ∈ C 0 (E) nên tồn tại n 0 sao cho x k 0 n  < ε, ∀n  n 0 . (1.9) Từ (1.8) và (1.9) ta nhận được x n   x k 0 n − x n  + x k 0 n  < 2ε 10 với mọi n  n 0 , tức là x ∈ C 0 (E). Vì thế C 0 (E) đóng trong l ∞ (E). Nếu E là không gian Banach thì l ∞ (E) cũng là không gian Banach. Do đó, không gian con đóng C 0 (E) của nó cũng là không gian Banach. Chứng minh tương tự ta được kết luận cho C(E). 1.2.3 Định lý. ([4]) l p (E) là không gian định chuẩn với chuẩn xác định bởi x p =  ∞  n=1 x n  p  1/p , ∀x ∈ l p (E). (1.10) Hơn nữa, nếu E là không gian Banach thì l p (E) là không gian Banach. Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra được (1.10) là một chuẩn trên l ∞ (E). Ta chứng minh phần còn lại của định lý. Giả sử E là không gian Banach và (x k ) ⊂ l ∞ (E) là dãy Cauchy. Khi đó, với mọi ε > 0 tồn tại k 0 sao cho x k − x l  p =  ∞  n=1 x k n − x l n  p  1/p < ε, ∀k, l  k 0 . (1.11) Suy ra, với mỗi n = 1, 2, ta có x k n − x l n  p < ε với mọi k, l  k 0 , tức là dãy (x k n ) ∞ k=1 là dãy Cauchy trong E. Vì E là không gian Banach nên lim k→∞ x k n = x n ∈ E, với mỗi n = 1, 2, Đặt x = (x 1 , x 2 , , x n , ). Khi đó, từ (1.11) cố định k  k 0 cho l → ∞ ta nhận được  ∞  n=1 x k n − x n  p  1/p < ε, ∀k  k 0 , (1.12) tức là x k − x p < ε với mọi k  k 0 , hay x k → x khi k → ∞. Từ (1.12) suy ra x k 0 n − x ∈ l p (E). Vì vậy x = x k 0 − (x k 0 − x) ∈ l p (E). Như vậy l p (E) là không gian Banach. [...]... KHÔNG GIAN CÁC DÃY NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN XÁC ĐỊNH BỞI HÀM ORLICZ Chương này nghiên cứu cách xây dựng không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn xác định bởi hàm Orlicz và một số tính chất ban đầu của chúng Các kết quả của chương này do chúng tôi đề xuất dựa trên các kết quả đã biết đối với dãy nhận giá trị vô hướng đã trình bày trong tài liệu [6] 2.1 Không gian các. .. liệu [6] 2.1 Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn xác định bởi hàm Orlicz Mục này trình bày cách xây dựng lớp không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn xác định bởi hàm Orlicz 2.1.1 Định nghĩa ([6]) Hàm M : [0, +∞) → R được gọi là hàm Orlicz nếu 1) M là hàm không giảm, liên tục; 2) M (0) = 0 và lim M (t) = ∞; t→∞ 3) M là hàm lồi Hàm Orlicz M gọi là suy biến nếu... thiết lM (E) không chứa không gian con nào đẳng cấu với l∞ (E) 28 Kết luận Luận văn đã thu được các kết quả chính sau: 1 Trình bày một số tính chất cơ bản của không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn 2 Xây dựng cấu trúc tuyến tính (Định lý 2.1.3), cấu trúc định chuẩn (Định lý 2.1.4) cho không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn xác định bởi các hàm Orlicz và đưa... chúng thể hiện ở Định lý 2.1.6, Định lý 2.1.8 và Định lý 2.1.10 3 Đưa ra một số tính chất của một lớp không gian con của không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn xác định bởi các hàm Orlicz thể hiện ở các Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.6 và Định lý 2.2.7 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Ân và Kiều Phương Chi (2014), Độ đo và tích phân, Dự án phát triển giáo viên THPT... thuyết không gian dãy Orlicz, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Khuê và Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm, Tập I và Tập II, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Thị Phương Loan (2001), Không gian các dãy Kothe, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh [5] Kiều Phương Chi và Trương Thị Thu Hiền (2014), Một vài tính chất của không gian các dãy Orlicz nhận giá trị trong không gian định. .. vậy ∞ n=1 M ( 26 Định lý sau mô tả tính chất của hàm Orlicz thông qua không gian dãy xác định bởi nó 2.2.7 Định lý Giả sử M là hàm Orlicz không suy biến và E là không gian định chuẩn Nếu lM (E) không chứa không gian con nào đẳng cấu với l∞ (E) thì M thỏa mãn điều kiện ∆2 tại 0 Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng Giả sử M không thỏa mãn điều kiện ∆2 tại 0 Khi đó, tồn tại dãy (tn ) ⊂ (0,... suy biến nếu tồn tại t > 0 sao cho M (t) = 0 2.1.2 Ví dụ Các hàm M (t) = tp ; M (t) = tet là hàm Orlicz Giả sử M là hàm Orlicz và E là một không gian định chuẩn trên trường 12 K Ta ký hiệu ∞ lM (E) = x = (xn ) ⊂ E : xn ρ M n=1 < ∞, với ρ > 0 nào đó 2.1.3 Định lý lM (E) là không gian tuyến tính với các phép toán cộng các dãy và nhân một số với một dãy thông thường Chứng minh Giả sử x = (xn ), y = (yn... xk0 − xn n ρ ≤ 1 < ∞, tức là xk0 − x ∈ lM (E) Do lM (E) là không gian tuyến tính nên x = xk0 − (xk0 − x) ∈ lM (E) Ta nhận được lM (E) là không gian Banach Ta nhận được hệ quả sau đã được trình bày trong [6] 2.1.7 Hệ quả lM (K) là không gian Banach 2.1.8 Định lý Nếu E là không gian định chuẩn thì lM (E) là không gian con của l∞ (E) Chứng minh Do các phép toán trên lM (E) được cảm sinh từ l∞ (E) nên ta... x + y Do đó lM (E) là không gian định chuẩn Để chứng minh tính Banach của lM (E) ta cần bổ đề sau 2.1.5 Bổ đề Nếu dãy (xk ) ⊂ lM (E), trong đó xk = (xk , , xk , ), k = n 1 1, 2, hội tụ tới 0 trong lM (E) thì lim xk = 0 trong E với mọi n = n k→∞ 1, 2, Chứng minh Giả sử khẳng định không đúng Khi đó, tồn tại n0 sao cho dãy (xk 0 ) không hội tụ tới 0 trong E Vì vậy, tồn tại dãy (kj ) và r > 0 n k sao... của không gian lM (E) Mục này dành cho nghiên cứu một số tính chất của một không gian con quan trọng của lM (E) Với mỗi hàm Orlicz M và không gian định chuẩn E ta đặt ∞ hM (E) = x = (xn ) ⊂ E : M n=1 xn ρ < ∞ với mọi ρ > 0 20 2.2.1 Định lý hM (E) là không gian con đóng của lM (E) Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh hM (E) là không gian con của lM (E) Giả sử x, y ∈ hM (E) và α ∈ K Khi đó, nếu α = 0 thì . định chuẩn . 8 2 Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn xác định bởi hàm Orlicz 11 2.1. Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn xác định bởi hàm Orlicz. tài: Về không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn xác định bởi hàm Orlicz. Nội dung của luận văn trình bày một số kết quả đã biết về không gian định chuẩn các dãy nhận giá trị trong. l p (E) là không gian Banach. 11 CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN CÁC DÃY NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN XÁC ĐỊNH BỞI HÀM ORLICZ Chương này nghiên cứu cách xây dựng không gian các dãy nhận giá trị trong không