Các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

132 526 0
Các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

512 C101B NGUYEN THAI HOE CAC BAI TOAN TRI LON NHA^ CD NHA XUAT BAN GIAO DUG VIET NAM NGUYEN THAI HOE ve CAC BAI TOAN GlA TRILON NHAT VA GlA TRI NHO NHAT NHA XUAT BAN GIAO DUG VIET NAM Nhitng ki hi$u va each viet gon dx^gfc dung trong sach : - MXD : Mien xac dinh - GTLN : Gia tri Idrn nhat - GTNN : Gia tri nho nhat - : Gia tri eye dai - • tri etie tieu - Vx : Vdri moi x - Dau xay ra : DSng thuTe xay ra f V Cong ty Co ph^n D^u ta va Phat trig'n Giao dgc Phirong Nam - Nha xucit bin Giao due Viet Nam giO quyin eong bo tac pham. Ma so': 8I598P9-DTN 05-2009/CXB/87-2170/GD PHAN MOT GIAI CAC BAI TOAN GTLN, GTNN BANG PHUONG PHAP CAO CAP (dung dao hdm) §1. PHifdNG PHAP DUNG BJ^O HAM DE GIAI BAI TOAN I. CAC DINH NGHIA (,'ho ham y = fix) c6 mien xac dinh X. - So M dtroc goi la GTLN cua ham f(x) trong mien X va viet la max fix) neu * vdi moi X e X thi f(x) < M va * ton tai so XQ e X ,sao cho fCxg) = M . - So m diroc goi la GTNN cua ham so fix) trong mien X va viet la min fix) neu * vdi moi x e X thi fix) > m va * ton tai so XQ e X sao cho fCxg) = m. Cdc luu y khi sit dung cdc dinh nghia - Phai phan biet ro rang hai khai niem : Cifc dai, circ tieu va GTLN, GTNN cua ham so. Su phan biet do du'Oc mo ta mot each hinh hoc cho bori hinh ve sau day la do thi ciia ham so fix) tren [a ; b | Ta CO - Gia tri bien : fla), fib) - Cac gia tri eye dai : f(x2), fix^) - Cac gia tri cUe tieu : fCx^), f(x3), f(xg). 5 max f(x) = f(b) min f(x) = fcTi^u = ^x^) Luu y : - Tai diem c6 hoanh do X3, ham khong c6 dao ham nhtftig do vin la diem CLTC tieu. - Tai diem c6 hoanh do X4 thi f'(x4) = 0 nhifng khong la diem CLTC tri. - Khong the bo quen dieu kien thuf hai trong dinh nghia : ton tai XQ sao cho f(xo) = M hoSc f(xo) = m . Vi nhii ta biet : sinx < 15 la bat dSng thufc diing vo'i moi x e R nhimg khong the ket luan max sinx = 15 vi trong R khong c6 XQ de sin XQ = 15. TCr dinh nghia va cac liAi y da neu ta c6 II. PHtfOfNG PHAP CHUNG DE TIM GTLN vA GTNN CUA HAM SO Cho ham so y = fix). Buac 1. Tim MXD ciia ham so (neu bai toan khong cho trifdc) va goi mien xac dinh la X. Buac 2. Tim trong X cac diem ma tai do thi 'f'(x) = o , ^ : f'(x) khong ton tai Goi tat ca cac diem do la x^, X2, , x^^ Buac 3. • ^1 - Tinh gia tri cua fix) tai cac bien cua fix) (neu c6) . ;., . 6 r - Max f(x) = so 16'n nhat trong - min fix) = so nho nhat trong • - Tinh gia tri cua fix) tai moi diem thuoc mien xac dinh ma f'(x) = 0 hoac f'(x) khong xac dinh - So sanh cac gia tri bien va moi f(xi), i = l,2, ,k Buac 4. Ket luan bai toan. cac gia tri bien va c^c f(xi) (i = l,2, ,k)' cac gia tri bien va cac f(Xi),(i = l,2, ,k)" Lilu y : Neu bai toan chi doi hoi tim GTLN va GTNN ciia ham so thi khong nen tim gia tri ctfc tri de suy ra GTLN va GTNN cua ham so. III. CAC BAI TOAN MINH HOA Bai loan 1. Tim GTLN va GTNN cua y - 2sinx sin"^ x trong [0; n]. Ldl GlAl isin'^ = S'cos X. COS 2x 9 2 Cdch i. Ta CO y' = 2 cos x - 4 sin x cos x = 2 cos x(l - 2 sin x) y' = 0o cosx = 0 cos 2x = 0 (k, I e Z) Trong doan [0; TI] , y = 0 khi x = -, x =^ -, x = — 4 2 4 X = — + krt 2 x = - + l- 4 2 Tinh y(0), yin), y Ta CO y(0) - y{Tt) = 0 f — . y , y [ 4 > V 2. = y 371 I 4 (2 goc bu nhau c6 sin bang nhau) ^7:^ 2 7 — = y V4; [ 4 J Ta ket luan dugfc : max y = y min y = y(0) = y(7r) = 0 Cdch 2. Dat t = sinx Wdi moix e [0; TI] thi t e [0 ; 1] Ta CO y(t) = 2t t^. 3 Tim GTLN va GTNN cua y(t) trong [0, 1] : Ta CO y'(t) = 2 - 4t2 - 2(1 - 2t'^) ^/2 272 y'(t) = 0 t = ± Trong doan [0 ; 1] , y'(t) = 0 chi khi t = 72 Tinh y(0), y V2 v2, va yd) : 273 Tac6y(0) = 0, y(l) = |, y .2; Va ket luan : 273 3 max y = , dat tai moi xma t = sinx = — x = - 72 2 "4 miny = 0, dat tai moi x ma t = sinx = 0=>x = 0, x = 7i Bai toan 2. Tim GTLN va GTNN cua ham so 1 9 Q y = — In X trong [1; e ] x Ta CO y' = x.21nx ln^x . X ^ Ldl GIAI In x(2 - In x) => y' = 0 o X "In X = 0 lnx = 2 X x-1 x-e^ 8 Tinh yd), y(e^), y(e^) Taco yd) = 0, y(e^) = 4 l^^^^ "4 y(e^) = 4ln2e^=4 Ta ket luan : max y = yd) = 0 mmy Bai toan 3. Tim GTLN va GTNN cua ham so x + 1 y = trong [-1 ; 2] Ldl GIAI Ta CO y' = Vx^+l-(x + l) J- •2x 2Vx2 +1 1 - X x2+l (x2+1)3^2 y' = 0 o X = 1. Tinh y(-l), yd), y(2) va y(-l) = 0, y(l) = V2 , y(2) = Ket luan : min y = y(-l) = 0 max y = yd) = \/2 Bai toan 4. Tim GTLN va GTNN cua ham so y = if^ + ^1-x Ldl GIAI MXD = [0 ; 1] = 4x 4 +i-(l-x) 4 4 ^/5 f n t 1" Ta CO y' = x4 + a-x)4 4 ila-x)Kx^ Giai bat phircfng trinh y' > 0 de xac dinh dau y' Ta dtro-c y' > 0 <^ ijil - > (1 - x)^ > x^ <=> 1 - X > X C:> 0 < X < - 2 Ta CO dau y' va bien thien ciia y cho hdi bang : 0 Ta CO ket luan max y = y '1' [2) -4/ miny = y(0) = yd) = 1 (Lau y : - Vi ham y c6 dang phufc tap nen ta dung bang bien thien de hieu ro hcfn ve bien thien cua ham so do, tat nhien khong dung bang ta van ket luan dirgrc bai toan. - Chuyen cac ham chufa cSn thufc ve ham luy thCra de lay dao ham thi dofn gian hcfn) r , Bai toan 5. Tim GTLN va GTNN cua ham so y = X + 10 Ldl GIAI Cdch 1. MXD = [-2 ; 2] 1 Ta CO y' = 1 + - (-2x)= => y' = 0 o yji-x^ = x <=> V4-x^ -X X > 0 4-x2=x2 <=> X = V2 Tinhy(-2), y(V2),y(2). Ta CO y(-2) =-2; y(2) = 2 ; y (N/2) = 2V2 Vay : maxy = y(V2) = 2N/2 min y = y(-2) = -2 . Cdc/i 2. Ap dung bat dang thufc Bunhia copxki cho 4 so : x, 1, ^4 - x^ , 1 ta duoc x^ +(4-x2) [l2+l2] = 8 X 'J 4t — /— dau = xay ra khi : j = x = \j2 . Vay ta duoc y^ < 8, dau = xay ra khi x = V2 TCr do -2V2 < y < 2N/2 va khi x = V2 thi y = V2 + V2 = 2%/2 ta chi thu diroc -2V2 < y < 2N/2 , dau = xay ra khi x = N/2 va ta chi ket luan duoc maxy = y(72) = 2V2 {Li/u y : nhieu hoc sinh ket luan min y = -2N/2 la sai vi khong c6 xo e[-2; 2] de y(xo) = -2V2). De tim miny, ta nhan xet rkng : Khi X = -2 thi ca 2 so hang x va V4-x^ dong thcfi dat GTNN, vay min y = y(-2) =-2 + 0 =-2 Cdch 3. (Liio'ng giac hoa ham y) Do -2 < X < 2 ta chon x = 2 cos cp Khi do y = 2 cos (p> ^4 - 4 cos^ (p = 2 cos cp + 2 |sin cp 11

Ngày đăng: 16/07/2015, 19:18

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan