HỌc phẦn: Lý thuyẾt xác suẤt thỐng kê toán Tên học: Dãy phép thử Bernoulli Tiết theo chương trình: Tiết thứ Lớp dạy: Lý tin K30 Giảng viên thực hiện: Nguyễn Thị Hồng Nhung B E R N O U L L I Một xạ thủ bắn viên đạn độc lập vào bia, xác suất bắn trúng khơng đổi lần bắn 0,8 Tìm xác suất để: a Cả ba viên trúng đích b Hai viên trúng đích c Một viên trúng đích d Cả ba viên bắn trượt Jacob Bernoulli • Sinh: 27 tháng 12, 1654, Basel, Thụy Sĩ • Mất : 16 tháng 8, 1705 (50 tuổi), • Nổi tiếng vì: Phép thử Bernoulli, Số Bernoulli Lời giải Gọi A biến cố “xạ thủ bắn trúng vào bia lần bắn” a Cả ba viên trúng đích P( AAA)  P( A).P( A).P( A)  0,83  0,512 b Hai viên trúng đích P( AAA  AAA  AAA)  P( AAA)  P( AAA)  P( AAA)  3.P( A).P( A).P( A)  3.0,82.0, 21  0,384 Bài toán: Một xạ thủ bắn viên đạn độc lập vào bia, xác suất bắn trúng không đổi lần bắn 0,8 Gọi A biến cố “xạ thủ bắn trúng vào bia lần bắn” P điểm dãy AAA thử c Một viên trúng đích xét đặc ( AAA  AAA phép ) Nhận toán P( AAA)  P( AAA)  P( AAA)  Dãy phép thử Bernoulli - Số biến cố 3.P( A).P( A).P( A) {A, A} phép thử  3.0,81.0, 22  0, 096 - Xác suất biến cố : Không đổi d Cả ba viên bắn trượt P( AAA)  P( A).P( A).P( A)  0, 23  0, 008 Tiết DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI Định nghĩa dãy phép thử Bernoulli D·y phÐp thö G1, G2, , Gn mà phép thử tơng ứng với không gian biến cố sơ cấp có biến cố {A, A} đợc gọi dóy phép thử Becnuli thoả mÃn: (i) DÃy phép thử độc lập (ii) Xác suất để A xảy phép thử không đổi p 2 Công thức xác suất nhị thức Bài toán: Tỡm xác suất ®Ĩ d·y n phÐp thư Bernouli biÕn cè A xuất k lần ( k = 0,1, n) Hướng dẫn giải: k Cn - Có tất dãy biến cố A xuất k lần ? - Mỗi dãy phép thử Bernoulli có xác suất ? AA A AA A k nk   P  AA A AA A   p k (1  p) k nk  k  k Pn (k )  Cn p k (1  p)nk Công thức xác suất nhị thức Ví dụ 1: Một bác sĩ có xác suất chuẩn đốn bệnh 0,7 Có người đến khám, tính xác suất để: a) Khơng có chuẩn đốn bệnh b) Có người chuẩn đốn bệnh c) Có người chuẩn đốn bệnh d) Có người cho rằng: Cứ người đến khám có người chuẩn đốn bệnh” điều có khơng? Lời giải Nhận xét: Phép thử Bernoulli với n=5, p=0,7 - Gọi A biến cố ”chuẩn đốn bệnh” - a) Khơng có chuẩn P (0)  C5 0,70.(1  0,7)5  0, 243 đốn bệnh b) Có người chuẩn đoán P (2)  C52 0,72.(1  0,7)3  0,1323 bệnh c) Có người chuẩn đốn bệnh P (4)  C54 0,74.(1  0,7)1  0,36015 d) Có người cho rằng: Cứ người đến khám có người khỏi bệnh” điều có khơng ? - Khơng đúng! - Chỉ khẳng định có người đến khám xác suất để người khỏi bệnh cao Có cách tìm xác suất cao mà khơng phải tính tất khả xảy không? Khảo sát biến thiên hàm xác suất, biến k Gợi ý: k Pn (k )  Cn p k (1  p)nk Pn (k  1) 1 Pn (k ) Hàm đồng biến Pn (k  1) 1 Pn (k ) Hàm nghịch biến Pn (k  1) (n  k ) p  1 Pn (k ) (k  1)(1  p)  (n - k) p  k q + q (q=1-p)  k  np - q Vậy Pn(k) tăng k tăng từ đến np – q Pn (k  1) (n  k ) p T-¬ng tù q   víi k > np – Pn (k ) (k  1)(1  p) Vậy k tăng từ np đến n Pn(k) giảm q Khi k = np q k Pn(k) Pn (k  1)  , nghÜa lµ Pn(k+1) = Pn(k) Pn (k ) np - q max n Song k nhận giá trị nguyên, vậy: - Nếu np số nguyên k có hai giá trị k0 = np k1 = np – + mµ q q q Pn(k) đạt cực đại - Nếu np không nguyên k có giá trị k0 = [np + Pn(k) q q] đạt cực đại d) Cú ngi cho rng: C ngi đến khám có người khỏi bệnh” điều có khơng ? np  q  5.0,7  0,3  3,  Z , MaxP (k )  P5 (4) Ví dụ Tín hiệu thơng tin phát lần độc lập Xác suất thu lần 0.4 a) Tìm xác suất để nguồn thu nhận thông tin lần b) Tìm xác suất để nguồn thu nhận thơng tin c) Nếu muốn xác suất thu tin ≥ 0,9 phải phát lần Có thể xem lần phát tin phép thử Bernoulli mà thành công phép thử nguồn thu nhận tin, theo giả thiết xác suất thành công lần thử 0,4 Vậy: a) Xác suất để nguồn thu nhận thông tin lần P2 (3)  C32  0,   0,   0, 288 b) Xác suất để nguồn thu nhận thông tin P    0,   0, 784 c) Xác suất để nguồn thu nhận thông tin phát n lần P    0,  n Vậy muốn xác suất thu tin ≥ 0,9 phải phát n lần cho:   0,   0,9  0,1   0,  n n n5 n lg  0,1 1   4,504 lg  0,  0, 778 Tổng kết học - Định nghĩa dãy phép thử Bernoulli - Cơng thức tính xác suất nhị thức - Giá trị max xác suất nhị thức ... 23  0, 008 Tiết DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI Định nghĩa dãy phép thử Bernoulli D·y phép thử G1, G2, , Gn mà phép thử tơng ứng với không gian biến cố sơ cấp có biến cố {A, A} đợc gọi dãy phÐp thư Becnuli... Becnuli nÕu tho¶ m·n: (i) D·y phÐp thử độc lập (ii) Xác suất để A xảy phép thử không đổi p 2 Công thức xác suất nhị thức Bài toán: Tỡm xác suất để dÃy n phép thử Bernouli biến cố A xuất k lần... xét đặc ( AAA  AAA ? ?phép ) Nhận toán P( AAA)  P( AAA)  P( AAA)  Dãy phép thử Bernoulli - Số biến cố 3.P( A).P( A).P( A) {A, A} phép thử  3.0,81.0, 22  0, 096 - Xác suất biến cố : Không