Chủ đề 10 : NHỊ THỨC NEWTƠN A/ BÀI TẬP MẪU: 1. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển của biểu thức: 11 7 2 2 1 1 A x x x x     = − + +  ÷  ÷     Giải: Cơng thức khai triển của biểu thức là: ( ) ( ) 11 7 7 11 2 11 7 2 0 0 11 7 11 3 14 3 11 7 0 0 1 1 1 k n k k n n k n k k k n n k n A C x C x x x A C x C x − − = = − − = =   = − +  ÷   ⇔ = − + ∑ ∑ ∑ ∑ Để số hạng chứa x 5 vậy k=2 và n=3 Vậy hệ số của x 5 là 2 3 11 7 90C C+ = 2. Tính tổng: 0 1 2 1004 2009 2009 2009 2009 = + + + +S C C C C Giải: 0 1 2 1004 2009 2009 2009 2009 = + + + +S C C C C (1) ⇔ 2009 2008 2007 1005 2009 2009 2009 2009 = + + + +S C C C C (2) (vì − = k n k n n C C ) ⇒ ( ) 2009 0 1 2 1004 1005 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2 1 1= + + + + + + + = +S C C C C C C 2008 2⇒ =S 3. Khai triển và rút gọn biểu thức n xnxx )1( )1(21 2 −++−+− thu được đa thức n n xaxaaxP +++= )( 10 . Tính hệ số 8 a biết rằng n là số ngun dương thoả mãn n CC nn 171 32 =+ . Giải: Ta cã      = −− + − ≥ ⇔=+ nnnnnn n n CC nn 1 )2)(1( !3.7 )1( 2 3 171 32 §ã lµ .89.9.8 8 9 8 8 =+ CC .9 0365 3 2 =⇔    =−− ≥ ⇔ n nn n Suy ra 8 a lµ hƯ sè cđa 8 x trong biĨu thøc .)1(9)1(8 98 xx −+− 4. Tính tổng 0 1 2 2009 2009 2009 2009 2009 S C 2C 3C 2010C= + + + + . Giải: Xét đa thức: = + = + + + + 2009 0 1 2 2 2009 2009 2009 2009 2009 2009 f(x) x(1 x) x(C C x C x C x ) = + + + + 0 1 2 2 3 2009 2010 2009 2009 2009 2009 C x C x C x C x . * Ta có: = + + + + / 0 1 2 2 2009 2009 2009 2009 2009 2009 f (x) C 2C x 3C x 2010C x ⇒ = + + + + / 0 1 2 2009 2009 2009 2009 2009 f (1) C 2C 3C 2010C (a) * Mặt khác: = + + + = + + / 2009 2008 2008 f (x) (1 x) 2009(1 x) x (1 x) (2010 x) ⇒ = / 2008 f (1) 2011.2 (b) • Từ (a) và (b) suy ra: = 2008 S 2011.2 . • 5. Chöùngminh + ∀ ∈k,n Z thõa mãn ≤ ≤3 k n ta luôn có: − − − − + + + = − − k k 1 k 2 k k 3 k 2 n n n n 3 n n C 3C 2C C C C . Giaûi: Ta có: − − − − − − − + + + + = − − ⇔ + + + = k k 1 k 2 k k 3 k 2 k k 1 k 2 k 3 k n n n n 3 n n n n n n n 3 C 3C 2C C C C C 3C 3C C C (5) ( ) ( ) ( ) − − − − − − − − − − + + + + + + + = + + + + + = + + = + + + k k 1 k 1 k 2 k 2 k 3 k k 1 k 2 k k 1 k 1 k 2 n n n n n n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 VT(5) C C 2 C C C C C 2C C C C C C = − + + + + = k k 1 k n 2 n 2 n 3 C C C ( điều phải chứng minh) 6. Giải phương trình 1 2 2 3 2 2 x x x x x x x x C C C C − − − + + + = ( k n C là tổ hợp chập k của n phần tử) Giaûi: ĐK : 2 5x x N ≤ ≤   ∈  Ta có 1 1 2 2 3 1 2 3 2 3 2 1 1 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C C C C C C C C C C − − − − − − − + + + + + + + + + = ⇔ + = ⇔ = (5 )! 2! 3x x⇔ − = ⇔ = 7. Tính giá trị biểu thức: 2 4 6 100 100 100 100 100 4 8 12 200A C C C C= + + + + . Giaûi: Ta có: ( ) 100 0 1 2 2 100 100 100 100 100 100 1 x C C x C x C x+ = + + + + (1) ( ) 100 0 1 2 2 3 3 100 100 100 100 100 100 100 1 x C C x C x C x C x− = − + − + + (2) Lấy (1)+(2) ta được: ( ) ( ) 100 100 0 2 2 4 4 100 100 100 100 100 100 1 1 2 2 2 2x x C C x C x C x+ + − = + + + + Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được ( ) ( ) 99 99 2 4 3 100 99 100 100 100 100 1 100 1 4 8 200x x C x C x C x+ − − = + + + Thay x=1 vào => 99 2 4 100 100 100 100 100.2 4 8 200A C C C= = + + + 8. Tìm hệ số x 3 trong khai triển n x x       + 2 2 biết n thoả mãn: 2312 2 3 2 1 2 2 =+++ − n nnn CCC Khai triển: (1+x) 2n thay x=1;x= -1 và kết hợp giả thiết được n=12 Giaûi: Khai trin: = = + 12 0 324 12 12 2 2 2 k kkk xC x x h s x 3 : 77 12 2C =101376 9. Tìm hệ số của số hạng chứa x 2 trong khai triển nhị thức Niutơn của n x x + 4 2 1 biết rằng n là số nguyên dơng thỏa mãn: 1 6560 1 2 3 2 2 2 2 1 2 3 1 2 0 + = + ++++ + n C n CCC n n n nnn ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử) Giaỷi: ( ) ++++=+= 2 0 nn n 22 n 1 n 0 n 2 0 n dxxCxCxCCdx)x1(I 2 0 1nn n 32 n 21 n 0 n xC 1n 1 xC 3 1 xC 2 1 xC + ++++= + suy ra I n n 1n 2 n 3 1 n 2 0 n C 1n 2 C 3 2 C 2 2 C2 + ++++= + (1) Mặt khác 1n 13 )x1( 1n 1 I 1n 2 0 1n + =+ + = + + (2) Từ (1) và (2) ta có n n 1n 2 n 3 1 n 2 0 n C 1n 2 C 3 2 C 2 2 C2 + ++++= + 1n 13 1n + = + Theo bài ra thì 7n65613 1n 6560 1n 13 1n 1n == + = + + + Ta có khai triển ( ) = = + 7 0 4 k314 k 7 k k 7 0 4 k7 k 7 7 4 xC 2 1 x2 1 xC x2 1 x Số hạng chứa x 2 ứng với k thỏa mãn 2k2 4 k314 == Vậy hệ số cần tìm là 4 21 C 2 1 2 7 2 = 10. Tỡm h s ca x 8 trong khai trin (x 2 + 2) n , bit: 49CC8A 1 n 2 n 3 n =+ . iu kin n 4 Giaỷi: Ta cú: ( ) = =+ n 0k knk2k n n 2 2xC2x H s ca s hng cha x 8 l 4n4 n 2C Ta cú: 3 2 1 n n n A 8C C 49 + = (n 2)(n 1)n 4(n 1)n + n = 49 n 3 7n 2 + 7n 49 = 0 (n 7)(n 2 + 7) = 0 n = 7 Nờn h s ca x 8 l 2802C 34 7 = B- BAỉI TAP Tệẽ LUYEN : 1. (CĐ_Khối D 2008) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 18 5 1 2         + x x , (x>0). 2. (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 2048 12 2 3 2 1 2 =+++ −n nnn CCC  . ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). 3. (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển thành đa thức của x(1−2x) 5 +x2(1+3x) 10 . 4. (ĐH_Khối D 2005) Tính giá trị biểu thức ( ) !1 3 34 1 + + = + n AA M nn , biết rằng 14922 2 4 2 3 2 2 2 1 =+++ ++++ nnnn CCCC (n là số nguyên dương, k n A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử) 5. (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 7 4 3 1         + x x với x>0. 6. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a 3n − 3 là hệ số của x 3n − 3 trong khai triển thành đa thức của (x 2 +1) n (x+2) n . Tìm n để a 3n − 3 =26n. 7. (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho 2048242 210 =++++ n n n nnn CCCC  . 8. (ĐH_Khối B 2008) Chứng minh rằng k n k n k n CCC n n 111 2 1 1 11 =         + + + + ++ (n, k là các số nguyên dương, k≤n, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). 9. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x) n , biết: 3 n C n 0 −3 n − 1 C n 1 +3 n − 2 C n 2 −3 n − 3 C n 3 + … +(−1) n C n n =2048 (n là số nguyên dương, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). 10.(ĐH_Khối B 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng n n n nnn C n CCC 1 12 3 12 2 12 1 2 3 1 2 0 + − ++ − + − + +  , ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử) 11.(ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x) n =a 0 +a 1 x+ … +a n x n , trong đó n∈N* và các hệ số a 0 , a 1 ,…a n thỏa mãn hệ thức 4096 2 2 1 0 =+++ n n a a a  . Tìm số lớn nhất trong các số a 0 , a 1 ,… a n . 12.(ĐH_Khối A 2007) Chứng minh rằng 1 2 2 12 2 5 2 3 2 1 2 12 12 2 1 6 1 4 1 2 1 n n n nnnn C n C n CCC + − =++++ −  , ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). 13. (ĐH_Khối A 2006) Tìm số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Newton của n x x       + 7 4 1 , biết rằng 12 20 12 2 12 1 12 −=+++ +++ n nnn CCC  , (n nguyên dương và k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). 14.(ĐH_Khối A 2005) Tìm số ngun dương n sao cho ( ) 20052.122.42.32.2 12 12 24 12 33 12 22 12 1 12 =+++−+− + +++++ n n n nnnn CnCCCC  , ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). 15.(ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x 8 trong khai triển thành đa thức của [1+x 2 (1−x)] 8 . 16.(ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Newton của n x x       + 5 3 1 , biết rằng ( ) 37 3 1 4 +=− + + + nCC n n n n , (n ngun dương, x>0, ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). 17. (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức n x n n n x x n n x n x n n x n n x x CCCC         +                 ++                 +         =         + − − − − − − − −− − − 3 1 3 2 1 1 3 1 2 1 1 2 1 0 3 2 1 22222222  (n là số ngun dương). Biết rằng trong khai triển đó 13 5 nn CC = và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x. 18. (ĐH-A DB2-2005) Tìm hệ số của số hạng chứa 7 x trong khai triển đa thức: ( ) 2 2 3 n x− biết rằng n là số ngun dương thoả mãn: 1 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1024 n n n n n C C C C + + + + + + + + + = ( k n C là tổ hợp chập k của n phần tử ) 19. (ĐH A–DB1-2006) p dụng công thức Newtơn (x 2 +x) 100 . Chứng minh rằng: 99 100 198 199 0 1 99 100 100 100 100 100 1 1 1 1 100 101 199 200 0 2 2 2 2 C C C C         − + − + =  ÷  ÷  ÷  ÷         20. (ĐH-D-2004) Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 7 3 4 1 x x   +  ÷   với x > 0. 21.(ĐH-A-2004) Tìm hệ số của 8 x trong khai triển của biểu thức: ( ) 8 2 1 1 .x x   + −   22. (ĐH-A-2003) Tìm hệ số của số hạng chứa 8 x trong khai triển nhị thức Newton của: 5 3 1 n x x   +  ÷   , biết rằng: 1 4 3 7( 3) n n n n C C n + + + − = + ( n là số ngun dương, x > 0 ). 23.(ĐH-D-2003) Với n là số ngun dương, gọi 3 3n a − là hệ số của 3 3n x − trong khai triển thành đa thức của ( ) ( ) 2 1 2 . n n x x+ + Tìm n để 3 3 26 . n a n − = 24.(ĐH-A-2006) Tìm hệ số của số hạng chứa 26 x trong khai triển nhị thức Newton của: 7 4 1 n x x   +  ÷   , biết rằng: 1 2 3 20 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1. n n n n n C C C C + + + + + + + + = − ( n là số ngun dương, x > 0 ). 25. (ĐH B –DB2-2007) Tìm hệ số của x 8 trong khai triển (x 2 + 2) n , biết: 49CC8A 1 n 2 n 3 n =+− . 26. (ĐH D -DB1-2007) Chứng minh với mọi n ngun dương ln có ( ) ( ) ( ) 0C1C1 C1nnC 1n n 1n 2n n 2n 1 n 0 n =−+−++−− − − − − . 27. (ĐH A –DB2-2008) Tìm hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển nhị thức Newton (1+3x) 2n biết rằng 1002 23 =+ nn AA (n là số nguyên dương) 28. (ĐH B –DB1-2008) Cho số nguyên n thỏa mãn )3(35 )2)(1( 33 ≥= −− + n nn CA nn . Tính tổng n n n nnn CnCCCS )1( 43.2 2423222 −+−+−= 29. (ĐH B –DB2-2008) Khai triển nhị thức Newton n n n n n n n n n CxCxCxCx ++++=+ −− )1( 22110 30. (ĐH D –DB1-2008) Chứng minh rằng với n là số nguyên dương n 0 n 1 1 n 1 n 1 n n n n.2 C (n 1).2 C 2C 2n.3 − − − + − + + = 31. (ĐH-A-2008) Cho khai triển: ( ) 0 1 1 2 . n n n x a a x a x+ = + + + Trong đó * n N∈ và các hệ số 0 1, , , n a a a thỏa mãn hệ thức: 1 0 4096 2 2 n n a a a + + + = . Tìm số lớn nhất trong các số: 0 1 , , , . n a a a 32. (ĐH-A-2002) Cho khai triển nhị thức: 1 1 1 1 1 1 0 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n x x x x x x x x n n n n n n C C C C − − − − − − − − − − −               + = + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷              ( n là số nguyên dương ). Biết rằng trong khai triển đó 3 1 5 n n C C= và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x. 33. (ĐH-A-2005) Tìm số nguyên dương n sao cho: ( ) 1 2 2 3 3 4 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2.2 3.2 4.2 2 1 .2 2005. n n n n n n n C C C C n C + + + + + + − + − + + + = 34. (ĐH-B-2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng: 2 3 1 0 1 2 2 1 2 1 2 1 . 2 3 1 n n n n n n C C C C n + − − − + + + + + 35. (ĐH-D-2002) Tìm số nguyên dương n sao cho: 0 1 2 2 4 2 243. n n n n n n C C C C+ + + + = 36. (ĐH-D-2005) Tính giá trị của biểu thức: ( ) 4 3 1 3 , 1 ! n n A A M n + + = + biết rằng: 2 2 2 2 1 2 3 4 2 2 149 n n n n C C C C + + + + + + + = ( n là số nguyên dương ). . 10 : NHỊ THỨC NEWTƠN A/ BÀI TẬP MẪU: 1. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển của biểu thức: 11 7 2 2 1 1 A x x x x     = − + +  ÷  ÷     Giải: Cơng thức khai triển của biểu thức. D 2008) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 18 5 1 2         + x x , (x>0). 2. (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 2048 12 2 3 2 1 2 =+++ −n nnn CCC. + + . Giải: Xét đa thức: = + = + + + + 2009 0 1 2 2 2009 2009 2009 2009 2009 2009 f(x) x(1 x) x(C C x C x C x ) = + + + + 0 1 2 2 3 2009 2010 2009 2009 2009 2009 C x C x C x C x . * Ta có: =