Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn A - đặt vấn đề 1. Lời nói đầu: Toán học là một môn khoa học có từ lâu đời, có ứng dụng hầu hết trong các lĩnh vực của cuộc sống, từ xa xa con ngời đã biết đến toán học thông qua việc đo đạc, tính toán Môn toán là nền tảng cho các môn khoa học tự nhiên khác. Trong nhà trờng, môn toán giữ một vai trò quan trọng, bởi môn toán có tính trừu tợng cao, tính logic, chính xác và không bỏ tính thực nghiệm. Vì vậy, làm thế nào để học giỏi toán, đó là câu hỏi đặt ra của nhiều thế hệ học sinh, thầy cô và cha mẹ học sinh hay bất cứ ai quan tâm đến giáo dục và dạy học. Phơng trình là một dạng toán quan trọng, xuyên suốt quá trình học toán từ cấp II đến cấp III và các cấp cao hơn. Bởi vậy, các em học sinh cần phải trang bị cho mình những kiến thức thật vững chắc về phơng trình. Trong chơng trình toán ở THCS hiện nay, sách giáo khoa chỉ đa ra cách giải phơng trình bậc nhất và bậc hai đơn giản. Đối với các em học sinh thì việc giải các phơng trình đó không gây khó khăn nhiều. Nhng khi gặp một số phơng trình bậc cao thì các em thờng lúng túng, cha tìm ngay đợc các cách giải cho bài toán. Ngay cả các giáo viên THCS cũng gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết ph- ơng trình này. Vỡ vy, tụi xin xut mt s phng phỏp gii phng trỡnh bc cao trong chng trỡnh toỏn THCS v cỏc bi tp minh ha. 2 Mục đích - nhiệm vụ đề tài. - Phơng pháp giải các phơng trình bậc cao một ẩn: Bằng cách đa về các ph- ơng trình đã biết cách giải hoặc các dạng quen thuộc. - Các ví dụ minh hoạ. - Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức để giải phơng trình bậc cao một ẩn. - Củng cố và hớng dẫn học sinh làm bài tập. 3. Đối t ợng nghiên cứu. - Học sinh ở lứa tuổi 14 - 15 ở trờng THCS vì đa số các em chăm học, thích học toán và bớc đầu thể hiện năng lực tiếp thu một cách tơng đối ổn định. - Đối tợng khảo sát Học sinh lớp 9 trờng THCS xã Bình Lơng huyện Nh Xuân - Thanh Hoá đợc phân loại theo học lực Giỏi - Khá - Trung Bình - Yếu- Kém. 4. Ph ơng pháp nghiên cứu - Tham khảo, thu thập tài liệu. - Phân tích, tổng kết kinh nghiệm. - Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra chất lợng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học. 5. Dự kiến các kết quả đạt đ ợc của đề tài. Tôi hy vọng đề tài này sẽ giúp ích cho các em học sinh ở trờng THCS trong việc học và giải phơng trình bậc cao một ẩn. Qua đó các em có phơng pháp giải nhất định tránh tình trạng định hớng giải cha đúng, lúng túng trong việc trình bày cách giải, giúp học sinh hứng thú, tích cực học tập hơn, đạt kết quả cao trong các kỳ thi. Trang 1 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn B. Nội dung đề tài I. Một số kiến thức cơ sở về ph ơng trình bậc cao I.1.Cơ sở lý luận 1> Khái niệm về ph ơng trình một ẩn: Cho A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa biến x. Khi nói A(x) = B(x) là một phơng trình ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tơng ứng của hai biểu thức này bằng nhau. Biến x gọi là ẩn Giá trị tìm đợc của ẩn gọi là nghiệm Mỗi biểu thức là một vế của phơng trình Việc tìm nghiệm gọi là giải phơng trình 2> Định nghĩa hai ph ơng trình t ơng đ ơng Hai phơng trình gọi là tơng đơng nếu tập hợp các nghiệm của chúng bằng nhau. 3> Các phép biến đổi t ơng đ ơng các ph ơng trình Định nghĩa phép biến đổi tơng đơng các phơng trình: Biến đổi một phơng trình đã cho thành một phơng trình khác tơng đơng với nó, nhng đơn giản hơn gọi là phép biến đổi tơng đơng. a) Định lý 1: Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn số vào hai vế của phơng trình thì đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho. Ví dụ: 3x= 27 3x + 2x = 27 + 2x Hệ quả 1: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phơng trình đồng thời đổi dấu của hạng tử ấy thì đợc một phơng trình mới tơng đơng với ph- ơng trình đã cho Ví dụ: 5x + 7 = 16x - 3 5x - 16x = -3 -7 Hệ quả 2: Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phơng trình thì đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho Ví dụ: 7x 3 + 8x - 5=14 + 7x 3 8x -5 = 14 b. Định lý 2: Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phơng trình thì đợc phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho. Ví dụ: 204181029 2 1 =+=+ xxxx I-2. Các dạng ph ơng trình 1. Ph ơng trình bậc nhất một ẩn: 1.1. Định nghĩa: Phơng trình dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a 0, đợc gọi là phơng trình bậc nhất một ẩn . 1.2. Tập xác định: Tập xác định của phơng trình là R 1.3.Cách giải Phơng trình bậc nhất ax + b = 0 có nghiệm duy nhất a b x = 2.Ph ơng trình bậc hai một ẩn số : 2.1.Định nghĩa: Phơng trình bậc hai có một ẩn số là phơng trình có dạng: ax 2 + bx + c = 0 trong đó x là ẩn số, a, b, c là các hệ số đã cho, a 0. Nghiệm của phơng trình bậc hai là những giá trị mà khi thay vào vế trái của phơng trình ta đợc giá trị của vế trái bằng 0. 2.2. Cách giải Trang 2 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn - Ta dùng các phép biến đổi tơng đơng, biến đổi phơng trình đã cho về các dạng phơng trình đã biết cách giải (phơng trình bậc nhất, phơng trình dạng tích) để tìm nghiệm của phơng trình. - Khi nghiên cứu về nghiệm số của phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) cần đặc biệt quan tâm tới biệt số của phơng trình: = b 2 - 4ac gọi là biệt số của phơng trình bậc hai vì biểu thức = b 2 - 4ac quyết định nghiệm số của phơng trình bậc hai Ta thấy có các khả năng sau xảy ra : a) < 0 phơng trình bậc hai vô nghiệm b) =0 phơng trình bậc hai có nghiệm kép ( hai nghiệm trùng nhau ) a b xx 2 21 == c) >0 phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: a b x 2 1 + = ; a b x 2 2 = 2.3. Hệ thức Viet. Nếu phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là : S = x 1 +x 2 = - a b P = x 1 .x 2 = a c 3. Ph ơng trình bậc cao một ẩn. 3.1. Dạng tổng quát của ph ơng trình bậc cao một ẩn Phơng trình tổng quát bậc n có dạng: a n x n + a n-1 x n-1 + +a 1 x+a 0 = 0 (a n 0) Trong đó: x là ẩn số, a n , ,a 0 : là các hệ số Đối với phơng trình bậc cao hơn bậc 4 không có công thức tổng quát để tìm nghiệm của nó. Ngay cả trong trờng hợp là phơng trình bậc 3 và bậc 4 mặc dù có công thức nhng việc tìm nghiệm của phơng trình cũng hết sức phức tạp nằm ngoài chơng trình THCS, THPT. Ta cũng có hệ thức Viet liên quan giữa các nghiệm của phơng trình đại số bậc cao. 3.2. Định lí Viet cho ph ơng trình bậc n một ẩn: Cho phơng trình bậc n: a n x n + a n-1 x n-1 + +a 1 x+a 0 = 0 (a n 0) Giả sử phơng trình có n nghiệm x 1 , ,x n , trong các nghiệm đợc kê ra một số lần bằng bội của nó, khi đó ta có hệ thức Viet sau: n n n a a xx 1 1 =++ n n nn a a xxxxxx 2 14321 =+++ k n kn iii a a xxx k )1( 21 = với 1i 1 <i 2 < <i k Trang 3 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn n n n a a xxx 0 21 )1( = Đảo lại: Cho trớc n số bất kỳ x 1 x 2 , x n Đặt S 1 = x 1 + +x n S 2 =x 1 x 2 + x 3 x 4 + +x n-1 x n S k = k iii xxx 21 với 1 i 1 < i 2 < < i k <n S n =x 1 x 2 x n Khi đó x 1 x 2 , ,x n là nghiệm của phơng trình sau: x n - S 1 x n-1 + S 2 x n-2 + +(-1) k S n = 0 Ví dụ: Định lý Viet cho phơng trình bậc ba có dạng sau: Cho phơng trình bậc ba: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm x 1 , x 2 , x 3 . Khi đó: a b xxx =++ 321 a c xxxxxx =++ 433221 a d xxx = 321 - Hệ thức Viet cho phơng trình bậc bốn : ax 4 + bx 3 +cx 2 +dx +e =0 Có dạng nh sau: a b xxxx =+++ 4321 a c xxxxxxxxxxxx =+++++ 434232413121 a d xxxxxxxxxxxx =+++ 432421431321 a c xxxx = 4321 II. Một số ph ơng pháp giải một số loại ph ơng trình đại số bậc cao một ẩn : Khi gặp các phơng trình đại số bậc cao một ẩn thì có nhiều cách giải song trong đề tài này tôi đề cập đến hai phơng pháp cơ bản để giải phơng trình đại số bậc cao. Đó là: + Phân tích đa thức thành nhân tử, đa phơng trình về dạng phơng trình tích. + Đặt ẩn phụ II.1. Sử dụng ph ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 1.Cơ sở lý luận: Ta biết rằng phơng trình: = = = 0)( 0)( 0)().( xg xf xgxf Vì vậy phơng trình bậc cao nếu ta phân tích đợc vế trái thành nhân tử thì sẽ đa phơng trình về dạng phơng trình tích của các nhân tử có bậc thấp hơn, dạng phơng trình quen thuộc đã biết cách giải. 2. Nội dung Trong nội dung nghiên cứu khi phân tích đa thức thành nhân tử tôi thờng hớng dẫn học sinh sử dụng các phơng pháp sau: a. Đặt nhân tử chung b. Dùng hằng đẳng thức Trang 4 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn c. Nhóm nhiều hạng tử d. Tách hạng tử e. Thêm bớt cùng một hạng tử đ. Phối hợp nhiều phơng pháp Ví dụ: Giải phơng trình sau: a) 7x 3 - 63 x=0 7x(x 2 -9)=0 7x (x-3)(x+3)=0 =+ = = 03 03 0 x x x = = = 3 3 0 x x x Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm: x=0; x=3; x=-3 b) x 3 -6x 2 + 12x - 8 =0 (x-2) 3 =0 x-2=0 x=2 Vậy phơng trình đã cho có 1 nghiệm x=2; c)x 3 - 3x 2 + 6x - 18 = 0 (x 3 - 3x 2 ) + ( 6x - 18 ) = 0 x 2 (x-3) + 6( x-3) = 0 ( x 2 + 6 )(x-3) = 0 ( 1) Vì x 2 0 x nên x 2 + 6 6 x x 2 + 6 > 0 x ( 2) Từ (1) và (2) x-3=0 x=3 Vậy phơng trình đã cho có 1 nghiệm : x= 3 d) x 4 + 3x 2 - 28 = 0 x 4 + 7x 2 - 4x 2 - 28 =0 x 2 (x 2 -4) + 7(x 2 -4) = 0 (x 2 + 7)(x 2 - 4) =0 (x 2 +7 )(x-2)(x+2)=0 (1) Vì x 2 0 x nên x 2 + 7 7 x x 2 + 7 > 0 x ( 2) Từ (1), (2) (x-2) (x+2)=0 =+ = 02 02 x x = = 2 2 x x Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm x=2; x=-2 e) x 3 - 7x-6 =0 x 3 + 8 -7x - 6- 8=0 (x 3 + 8) -(7x+14)=0 (x+2)(x 2 -2x+4) - 7(x+2) =0 (x+2)(x 2 -2x-3)=0 = =+ 032 02 2 xx x =++ =+ 0)1(2)1)(1( 02 xxx x Trang 5 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn = =+ =+ 03 01 02 x x x = = = 3 1 2 x x x Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm x=-1; x=-2; x=3 * Ngoài các phơng pháp trên ta còn sử dụng định lí Bơzu giúp các em nhẩm nghiệm để phân tích đa thức thành nhân tử . Định lí Bơzu đợc phát biểu nh sau : Phần d của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x- a là một hằng số bằng giá trị f(a) của f(x) khi x=a . - Khai thác cách nhẩm nghiệm : a n x n + a n-1 x n-1 + +a 1 x+a 0 = 0 (1) ( a i Z ) +) Nếu a n + a n-1 + +a 1 + a 0 = 0 thì phơng trình (1) có một nghiệm x = 1 +) Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì phơng trình (1) có nghiệm x = - 1 +) Nếu số hữu tỉ x = q p ( p , q nguyên tố cùng nhau ) là nghiệm của phơng trình (1) thì p là ớc của a 0 , q là ớc của a n . Ví dụ : Giải phơng trình : x 4 - 2x 3 + x 2 - 4 = 0 (*) Ta thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên phơng trình (*) nhận x =- 1là nghiệm . Theo định lí Bơzu ta thấy vế phải của phơng trình (*) chia hết cho x + 1, do đó phơng trình (*) có thể viết đợc dới dạng : (x +1 ). ( x 3 - 3x 2 + 4x - 4 ) = 0 x + 1 = 0 (1) x 3 - 3x 2 + 4x - 4 = 0 (2) (1) x+1 = 0 x = - 1 (2) x 3 - 3x 2 + 4x - 4 = 0 T a thử các ớc của 4 và thấy x = 2 là nghiệm của (2), nên (2) phân tích đợc thành : ( x - 2) . ( x 2 -x + 2 ) = 0 x -2 = 0 x = 2 x 2 - x + 2 = 0 '< 0 : vô nghiệm Vậy phơng trình (*) có hai nghiệm là x = -1 ; x = 2 . Bài toán áp dụng: 1. Giải phơng trình: a) 3x 4 -12x 2 = 0 b) x 3 + 14x 2 - 4x - 56 =0 c) 2x 3 + 11x +9 =0 d) x 16 +x 8 -2 =0 e) 2x 4 + 5x 3 -35x 2 + 40x-12=0 2. Cho phơng trình : 2x 3 -(1+4m)x 2 + 4(m 2 -m+1)x -2m 2 + 3m -2=0 a. Xác định m để phơng trình đã cho có 3 nghiệm dơng phân biệt b. Giải phơng trình với m=1 H ớng dẫn 2a) 2x 3 -(1+4m)x 2 + 4(m 2 -m+1)x - 2m 2 +3m -2 =0 (*) 2x 3 -x 2 -4mx 2 + 2x(2m 2 -3m+2+m)-2m 2 +3m-2=0 x 2 (2x - 1) -4mx 2 + 2mx +2x(2m 2 -3m+2) -(2m 2 -3m +2)=0 x 2 (2x - 1) -2mx(2x-1) + (2m 2 -3m+2)=0 =++ = 02322 012 22 mmmxx x (1) 2x-1=0 2 1 =x (2) x 2 -2mx+2m 2 -3m+2=0 Trang 6 (1) (2) Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn Ta thấy phơng trình (*) luôn có 1 nghiệm 2 1 =x Muốn phơng trình (*) có 3 nghiệm dơng phân biệt thì phơng trình (2) phải có 2 nghiệm dơng phân biệt khác 2 1 Đặt f(x)=x 2 -2mx +2m 2 -3m +2 thì f(x) phải thỏa mãn các điều kiện sau: > > > 0 0 0' 0) 2 1 ( P S f >+ > >++ + 0232 02 033 09168 2 2 2 mm m mm mm >+ > > + 0 4 1 2 3 2 0 0)2)(1( 01)1(8 2 2 m m mm m > << 0 21 m m 21 << m Vậy với 1<m<2 thì phơng trình (2) có 2 nghiệm dơng phân biệt khác 2 1 Phơng trình (*) có 3 nghiệm dơng phân biệt khi 1<m<2 II.2. Sử dụng ph ơng pháp đặt ẩn phụ 1.Cơ sở lí luận Khi giải phơng trình bậc cao ta còn dùng đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn để đa phơng trình về dạng phơng trình quen thuộc đã biết cách giải 2. Nội dung ph ơng pháp Trong chơng trình THCS học sinh thờng gặp các dạng phơng trình sau: 2.1. Ph ơng trình trùng ph ơng: a. Dạng tổng quát: Phơng trình trùng phơng là phơng trình có dạng: ax 4 +bx 2 +c =0 (1) (a 0) Trong đó: x là ẩn số a, b, c là các hệ số b.Cách giải: Khi giải phơng trình loại này ta thờng dùng phơng pháp đổi biến số Đặt y=x 2 ( y 0) (2) Khi đó phơng trình trùng phơng sẽ đa về dạng phơng trình bậc hai trung gian: ay 2 + by + c=0 Giải phơng trình bậc hai trung gian rồi thay giá trị tìm đợc của y vào (2) ta đợc phơng trình bậc hai rút gọn với biến x ( y 0). Giải phơng trình này ta đợc nghiệm của phơng trình trùng phơng ban đầu. c.Ví dụ: * Ví dụ 1 : Giải phơng trình x 4 -3x 2 +2 =0 (1) Giải : Đặt y=x 2 (y 0). Phơng trình (1) trở thành : y 2 -3y +2 =0 Trang 7 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn (y-1)(y-2)=0 = = 02 01 y y = = 2 1 y y Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn y 0 + Với y=1 ta có x 2 =1 x 1 =1 x 2 =-1 + Với y=2 ta có x 2 =2 x 3 = 2 x 4 = 2 Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm là: x 1 =1;x 2 =-1; x 3 = 2 ; x 4 = 2 * Ví dụ 2 : Xác định a để phơng trình: ax 4 - ( a - 3 ) x 2 + 3a = 0 (a 0 ) (1) Có bốn nghiệm phân biệt đồng thời một nghiệm nhỏ hơn -2 ; ba nghiệm kia lớn hơn -1 Giải : Đặt y= x 2 0 (1) ay 2 - ( a - 3 ) y + 3a = 0 (2) Giả sử (2) có nghiệm 0 < y 1 < y 2 thì (1) có 4 nghiệm phân biệt : - 2 y < - 1 y < 1 y < 2 y Muốn phơng trình (1) có đồng thời một nghiệm nhỏ hơn -2 ; ba nghiệm kia lớn hơn -1 thì : - 2 y < - 2 y 2 >4 1 y > - 1 y 1 < 1 Vậy phơng trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt y 1 , y 2 thoả mãn : 0 < y 1 < 1 < 4 < y 2 a .f(0) < 0 a . 3a < 0 3a 2 < 0 a . f(1) < 0 a . (a -a +3 +3a ) < 0 3a 2 + 3a < 0 a. f(4) < 0 a . ( 16a - 4a + 12 + 3a ) < 0 15a 2 -12a < 0 a 0 a 0 3a ( a + 1 ) < 0 - 1 < a < 0 - 5 4 < a < 0 3a ( 5a + 4 ) < 0 - 5 4 < a < 0 Vậy với a ( - 5 4 , 0 ) thì phơng trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt , trong đó một nghiệm nhỏ hơn - 2 và ba nghiệm kia lớn hơn - 1 Bài tập áp dụng : 1) Giải phơng trình : 4x 4 -5x 2 +1 =0 2) Cho phơng trình:x 4 -2(2m-1)x 2 +4m 2 -3 =0 (*) a. Với giá trị nào của m thì phơng trình 4 có 4 nghiệm phân biệt b. Giải phơng trình với m= 10 9 H ớng dẫn: 2a) Đặt y=x 2 (y 0) phơng trình (*) trở thành: y 2 -2(2m-1)y +4m 2 -3 = 0 (1) =(2m-1) 2 -4m 2 +3 = -4(m-1) Để (*) có 4 nghiệm phân biệt thì (1) phải có hai nghiệm dơng phân biệt tức là (1) thỏa mãn: Trang 8 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn > > > 0 2 0)0( 0' S af > > < 012 034 1 2 m m m 2 3 2 1 ; 2 3 1 > > < < m m m m 1 2 3 << m 2.2. Ph ơng trình bậc bốn đối xứng: a. Dạng tổng quát : Phơng trình bậc bốn đối xứng là phơng trình dạng:ax 4 +bx 3 +cx 2 +bx +a=0 (a 0) b. Cách giải : Vì x=0 không phải là nghiệm của phơng trình nên ta chia cả hai vế của ph- ơng trình cho x 2 rồi đặt: x xy 1 += )2( y c. Ví dụ *Ví dụ 1: Giải phơng trình: 3x 4 +2x 3 -34x 2 +2x +3=0 Giải: Phơng trình trên là phơng trình đối xứng( các hệ số có tính đối xứng ) Hiển nhiên x=0 không là nghiệm của phơng trình. Chia cả hai vế cho x 2 . 3x 2 +2x -34 + 0 32 2 =+ xx 034) 1 (2) 1 (3 2 2 =+++ x x x x Đặt y x x =+ 1 thì ,2 1 2 2 2 =+ y x x ta có: 3(y 2 -2) +2y-34 =0 3y 2 +2y -40 =0 3 10 ;4 21 == yy Với y= - 4 thì 4 1 =+ x x x 2 + 4x + 1=0 32 1 += x 32 2 = x Với 3 10 =y thì 3 101 =+ x x 3x 2 - 10x + 3 =0 3; 3 1 43 == xx Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm: 32 1 +=x ; 32 2 = x ; 3; 3 1 43 == xx . * Ví dụ 2: Giải phơng trình : 2x 5 +5x-13x 2 +5x +2 =0 (1) Giải: Ta thấy x=-1 là nghiệm của phơng trình (1) Phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình sau: (x+1)(2x 4 +3x 3 -16x 2 +3x +2) = 0 Trang 9 (2) (3) Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn =+++ =+ 0231632 01 234 xxxx x (2) x+1=0 1 = x (3) 2x 4 +3x 3 -16 x 2 +3x+2 =0 Ta thấy x=0 không là nghiệm của phơng trình (3) Chia cả hai vế của phơng trình (3) cho x 2 ta có: 0 23 1632 2 2 =+++ xx xx 016) 1 (3) 1 (2 2 2 =+++ x x x x Đặt x xy 1 += 2 22 1 2 x xy += ( ) 2 y Ta có: 2(y 2 - 2) +3y -16 =0 2y 2 + 3y - 20 = 0 Ta có =9+160=169 2 5 1 = y ; 4 2 = y + Với 2 5 1 = y ta có: 2 51 =+ x x 0252 2 =+ xx =25-16=9 2; 2 1 21 == xx +Với y= - 4 ta có: 0144 1 2 =++=+ xx x x 314' == 32;32 43 =+= xx Vậy phơng trình đã cho có 5 nghiệm: 2; 2 1 21 == xx ; 32;32 43 =+= xx ;x 5 =-1. d. Bài tập áp dụng : 1. Cho phơng trình: x 4 +mx 3 +3mx 2 +mx +1 =0 (1) a) Xác định m để phơng trình (1) có nghiệm. b) Giải phơng trình 2. Giải phơng trình : x 4 +2x 3 + 4x 2 +2x +1 = 0 Hớng dẫn: 1a) x=0 không là nghiệm của (1) nên chia cả hai vế của (1) cho x 2 ta đợc: 0 1 3 2 2 =++++ x x m mmxx 03 11 2 2 =+ ++ + m x xm x x Đặt x xy 1 += ( )2y Phơng trình (1) trở thành : y 2+ my + 3m - 2 = 0 (2) ( )2y Trang 10 [...]... năng giải các phơng trình quy về phơng trình bậc hai - Phát triển t duy của học sinh II Chuẩn bị Bài soạn và một số kiến thức bổ tự cho bài giảng Học sinh : ôn cách giải phơng trình bậc hai, phơng trình chứa ẩn ở mẫu, phơng trình tích III Tiến trình giờ dạy : A Kiểm tra bài cũ : Phơng trình bậc hai một ẩn số là gì ? Viết công thức nghiệm của phơng trình bậc hai ? Trong các phơng trình sau phơng trình. .. trình (*) có hai nghiệm phân biệt Trang 17 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn 2.b) Thay m = 40 vào (2) sau đó giải phơng trình: y2 + 3y - 40 = 0 Tìm y rồi thay trở lại (*) tìm x Trang 18 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn C kết luận Đề tài ''Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn'' tuy là một vấn đề khó và rộng nhng trong quá trình tìm hiểu và. .. đó có một nhân tử bậc 2 ở ví dụ 2 : Việc giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu ta cũng quy về giải phơng trình bậc hai ở ví dụ 3 : để giải phơng trình trùng phơng ta hạ bậc bằng cách đặt ẩn phụ để giải phơng trình bậc hai và lu ý ẩn phụ có điều kiện không âm D Hớng dẫn về nhà : - Xem lại các ví dụ và bài tập đã làm - Làm bài tập 1(a ;d) ; bài 2 ; bài 3 ; bài 4 ; bài 5b - GV hớng dẫn bài 5b - Khai thác số nghiệm... đây là một đề tài rất hữu ích cho giáo viên toán trờng THCS Trong đề tài này, tôi chỉ nêu ra một số phơng pháp giải phơng trình bậc cao đa về phơng trình bậc nhất và bậc hai trong chơng trình giảng dạy môn toán ở lớp 8 và lớp 9 hiện nay mà bản thân tôi đã đúc kết trong quá trình giảng dạy Trớc khi áp dụng các phơng pháp trên tôi thấy hầu hết học sinh lúng túng không tìm ra đợc hớng giải khi gặp các phơng... lọc đại số của Vũ Dơng Thuỵ- Trơng Công Thành - Nguyễn Ngọc Đặng Và một số tài liệu khác có liên quan Trang 19 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn Trang 20 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn E Giáo án tiết dạy chuyên đề Tiết 54 : Phơng trình quy về phơng trình bậc hai I Mục tiêu : - Học sinh biết giải một số phơng trình có thể biến đổi về dạng phơng trình bậc hai... làm các bài tập sau: - Giải các phơng trình sau: a) (x2 -5x-4).(2x2 -7x+3)=0 b) (2x2 -x-1)2 -(x2 -7x+6)2=0 c) 2x4 -7x2 -4=0 1 3 1 + 2 = d) 2( x 1) x 1 4 - Làm bài tập 5a( SGK/92) * Các bài toán giải phơng trình mà ta đã làm ở tiết học hôm nay có đặc điểm gì chung ? ( đều quy về phơng trình bậc 2) - GV chốt lại: ở ví dụ 1 để giải một phơng trình bậc lớn hơn 2 ta có thể đa về phơng trình tích trong. .. + 2 5 4 Vậy phơng trình đã cho có 5 nghiệm: Trang 13 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn 1 5 + 22 2 5 1 5 22 2 5 1 5 + 22 + 2 5 1 5 22 + 2 5 ; ; ; 1; 4 4 4 4 2.4 Một số dạng phơng trình khác Ngoài các dạng phơng trình đã nêu ở trên, trong một số kỳ thi học sinh giỏi vào trung học phổ thông học sinh còn gặp một số dạng phơng trình sau: 2.4.1 Phơng trình dạng : ax2n... b) Phơng trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một trong các nghiệm là x=-1 c) Phơng trình đối xứng bậc chẵn 2n đợc đa về phơng trình bậc n bằng cách đặt ẩn phụ 2.3 Phơng trình bậc bốn phản đối xứng a Dạng tổng quát: Phơng trình có dạng ax4 + bx3 +cx2 bx +a =0 ( a 0) gọi là phơng trình bậc bốn phản đối xứng b Cách giải : Vì x=0 không là nghiệm của phơng trình nên chia cả 2 vế của phơng trình cho...Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (2) có một nghiệm thỏa mãn điều kiện y 2 Ta xét bài toán tìm các giá trị của m để phơng trình (2) vô nghiệm: + Phơng trình ( 1) vô nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (2) vô nghiệm hoặc phơng trình ( 2) có hai nghiệm thuộc (-2,2) + Phơng trình (2) vô nghiệm: < 0 =m2 -(3m-2... phơng trình bậc hai một ẩn : x3 +7x2 -8x=0 (1) x2 -7x -8=0 (2) 1 1 + =1 x x 1 (3) x2 -3x +1=0 (4) x4 -5x2 +4 =0 (5) Hãy giải các phơng trình bậc hai đó ? Đặt vấn đề : Các phơng trình (1), (3), (5) không phải là phơng trình bậc hai Tuy nhiên để giải đợc các phơng trình nh thế này ta có thể biến đổi đa về dạng phơng trình bậc hai bài mới B- Tổ chức cho học sinh tiếp nhận nội dung kiến thức : Ví dụ 1 : Giải . pháp giải một số loại ph ơng trình đại số bậc cao một ẩn : Khi gặp các phơng trình đại số bậc cao một ẩn thì có nhiều cách giải song trong đề tài này tôi đề cập đến hai phơng pháp cơ bản để giải. bc cao trong chng trỡnh toỏn THCS v cỏc bi tp minh ha. 2 Mục đích - nhiệm vụ đề tài. - Phơng pháp giải các phơng trình bậc cao một ẩn: Bằng cách đa về các ph- ơng trình đã biết cách giải hoặc các. đây là một đề tài rất hữu ích cho giáo viên toán trờng THCS. Trong đề tài này, tôi chỉ nêu ra một số phơng pháp giải phơng trình bậc cao đa về phơng trình bậc nhất và bậc hai trong chơng trình