Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 Tính ổn định của các phương trình hàm dạng Cauchy 4 1.1 Tính ổn định của các phương trình hàm cộng tính . . . . . . 5 1.2 Tính ổn định của các phương trình hàm nhân tính . . . . . . 11 1.3 Tính ổn định của các hàm logarit . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Tính ổn định của các hàm lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Tính ổn định của các phương trình hàm chuyển tiếp các đại lượng trung bình cơ bản 25 2.1 Tính ổn định của phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình cộng vào trung bình cộng . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Tính ổn định của phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình cộng vào trung bình nhân . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Tính ổn định của phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình cộng vào trung bình điều hòa . . . . . . . . . . . . 29 2.4 Tính ổn định của phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình cộng vào trung bình bậc hai . . . . . . . . . . . . 31 3 Tính ổn định của một số dạng phương trình hàm khác 33 3.1 Tính ổn định của phương trình sóng . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Tính ổn định của phương trình đa thức . . . . . . . . . . . . 37 3.3 Tính ổn định của phương trình dạng toàn phương . . . . . . 40 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết phương trình hàm là một trong những chủ đề lâu đời nhất của toán học phân tích. Nó được ra đời từ rất sớm và có mặt ở hầu hết mọi nơi và có ứng dụng trong mọi lĩnh vực của đời sống và kỹ thuật. Đã có rất nhiều nhà toán học lớn nghiên cứu lĩnh vực này như: Cauchy, D’Alembert, Banach, Gauss, . . .và họ đã có rất nhiều đóng góp to lớn. Trong một bài giảng nổi tiếng của S.M.Ulam tại câu lạc bộ toán của trường đại học Wisconsin vào năm 1940 đã đưa ra một số vấn đề chưa được giải quyết. Một trong số các vấn đề đó đã dẫn đến một hướng nghiên cứu mới mà ngày nay đã biết đến đó là nghiên cứu tính ổn định của phương trình hàm. Thông thường khái niệm ổn định trong toán học đã nghiên cứu thường có một điểm khá chung là ta thường giải quyết bài toán: Khi nào điều này còn đúng nếu thay đổi "một chút" giả thiết của định lý mà vẫn khẳng định được các kết quả của định lý vẫn còn đúng hoặc "xấp xỉ" đúng.Như vậy câu hỏi đặt ra là tính ổn định của phương trình hàm là gì, có điểm chung giống như trên không và nếu trong phương trình hàm tìm được nghiệm thì tính ổn định nghiệm của phương trình hàm là gì? Để lý giải một phần các vấn đề trên và giới thiệu quá trình xây dựng các công thức, giải quyết các vấn đề tôi đã thực hiện luận văn với đề tài "Tính ổn định của một số lớp phương trình hàm với cặp biến tự do". Bố cục luận văn gồm 3 chương. Chương 1. Tính ổn định của các phương trình hàm dạng Cauchy. Mục đích của chương này là đưa ra các định nghĩa và điều kiện ổn định của phương trình hàm Cauchy cộng tính, phương trình hàm Cauchy nhân tính, phương trình hàm logarit và phương trình hàm lũy thừa cùng một số ví dụ minh họa. Chương 2. Tính ổn định của các phương trình hàm chuyển tiếp các đại lượng trung bình cơ bản. Chương này đưa ra các bài toán tìm nghiệm và xét tính ổn định nghiệm của các phương trình chuyển tiếp các đại lượng trung bình cơ bản. 2 Chương 3. Tính ổn định của một số phương trình hàm dạng khác Các kết quả chính trong luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo [1]-[12]. Luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu.Thầy đã dành rất nhiều thời gian quý báu của mình để hướng dẫn, giải đáp những thắc mắc của tôi. Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy cùng toàn thể ban lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội đã giúp tôi có thêm nhiều kiến thức để có thể hoàn thành luận văn và khóa học một cách tốt đẹp. Các thầy cô phòng Sau Đại học đã tạo những điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ luận văn cũng như học tập. Các thầy và các bạn trong seminar Toán Giải Tích về những góp ý để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những sự giúp đỡ và đóng góp quý giá ấy. Cuối cùng do bản thân kiến thức còn có nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Nguyễn Thị Thanh Tâm 3 Chương 1 Tính ổn định của các phương trình hàm dạng Cauchy Định nghĩa 1.1. Phương trình hàm là các phương trình mà hai vế của phương trình là các biểu thức được xây dựng từ một số hữu hạn các hàm chưa biết và từ một số hữu hạn các biến độc lập. Thông thường một phương trình hàm tổng quát đã cho thường không kèm theo các giả thiết có đặc trưng giải tích lên các hàm như tính đo được, tính bị chặn, khả tích, khả vi, liên tục,. . . Như ta đã biết, phương trình hàm là một phương trình thông thường mà nghiệm của nó là các hàm. Để giải quyết tốt vấn đề này, cần phân biệt tính chất hàm với đặc trưng hàm. Sau đây là đặc trưng hàm của một số hàm sơ cấp. i) Hàm bậc nhất f(x) = ax + b; a = 0; b = 0 có tính chất f  x + y 2  = 1 2  f(x) + f(y)  , en∀x, y ∈ R. ii) Hàm tuyến tính: f(x) = ax; a = 0 có tính chất: f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R. iii) Hàm mũ: f(x) = a x , a > 0, a = 1 có tính chất: f(x + y) = f(x)f(y), ∀x, y ∈ R. iv) Hàm logarit: f(x) = log a |x|; a > 0, a = 1 có tính chất: f(xy) = f(x) + f(y), ∀x, y = 0 x, y ∈ R. 4 v) Hàm lũy thừa: f(x) = |x| a có tính chất: f(xy) = f(x)f(y) ∀x, y = 0 x, y ∈ R. vi) Các hàm lượng giác: +) Hàm f(x) = sin x có tính chất f(3x) = 3f(x) −4f 3 (x), ∀x ∈ R. +) Hàm f(x) = cos x có tính chất: f(2x) = 2f 2 (x) − 1, ∀x ∈ R. Tiếp theo, ta đề cập đến tính ổn định của phương trình hàm Cauchy cộng tính và một số phương trình hàm dạng Cauchy. 1.1 Tính ổn định của các phương trình hàm cộng tính Trước hết ta nhắc lại phương trình hàm Cauchy cộng tính: Giả sử hàm f : R → R là hàm thỏa mãn tính chất f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R, (∗) thì f được gọi là hàm cộng tính. Định nghĩa 1.2. Giả sử f : R → R sao cho với mọi ε > 0 cho trước nếu tồn tại số δ > 0 sao cho |f(x + y) − f(x) −f(y)| < δ, ∀x, y ∈ R và một hàm cộng tính M : R → R để |f(x) − M(x)| < ε, ∀x ∈ R. thì phương trình hàm Cauchy (*) được gọi là ổn định. Định lý 1.1. Giả sử hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện: Với mọi ε > 0 cho trước ta có |f(x + y) − f(x) −f(y)| ≤ ε với ∀x, y ∈ R. (1.1) 5 Khi đó với mỗi x ∈ R, giới hạn sau tồn tại : A(x) = lim n→∞ 2 −n f(2 n x) và xác định duy nhất một hàm cộng tính A : R → R thỏa mãn điều kiện |f(x) − A(x)| ≤ ε, ∀x ∈ R. Chứng minh. Thay x = y vào (1.1) ta được     1 2  f(2x) − f(x)    ≤  1 2  ε. (1.2) Sử dụng phương pháp quy nạp ta được |2 −n f(2 n x) − f(x)| ≤ (1 − 2 −n )ε. (1.3) Trong (1.3) thay x bởi 2x ta được    1 2 f(2 2 x) − f(2x)    ≤ 1 2 ε. Khi đó     1 2 f(2 2 x) − 2f(x)  −  f(2x) − 2f(x)     =    1 2 f(2 2 x) − f(2x)    ≤ 1 2 ε. Hay    1 2 2 f(2 2 x) − f(x)    −    1 2 f(2x) − f(x)    ≤ 1 2 2 ε. Nên    1 2 2 f(2 2 x) − f(x)    ≤ ε  1 2 + 1 2 2  . Do đó    1 2 n f(2 n x) − f(x)    ≤ ε  1 2 + 1 2 2 + ··· + 1 2 n  = ε  1 − 1 2 n  . Bây giờ ta sẽ chứng minh dãy 1 2 n f(2 n x) là dãy Cauchy với mỗi x ∈ R. Chọn m > n khi đó    1 2 n f(2 n x) − 1 2 m f(2 m x)    = 1 2 n | 1 2 m−n f(2 m−n .2 n x) − f(2 n x)| ≤ 1 2 n ε  1 − 1 2 m−n  6 = ε  1 2 n − 1 2 m ). Do đó dãy { 1 2 n f(2 n x)} là dãy Cauchy với mỗi x ∈ R và do R là không gian Banach nên tồn tại A : R → R sao cho A(x) = lim n→∞ 2 −n f(2 n x), với mỗi x ∈ R hay    A(x) − 1 2 n f(2 n x)    ≤ 1 2 n ε. Tiếp theo ta chứng minh A là hàm cộng tính. Thay x, y bởi 2 n x và 2 n y ta được    1 2 n f(2 n (x + y)) − 1 2 n f(2 n x) − 1 2 n f(2 n y)    ≤ 1 2 n ε với mỗi n ∈ Z ∗ + , x, y ∈ R. Cho n → ∞ ta được |A(x + y) − A(x) −A(y)| ≤ ε. Với mỗi x ∈ R ta có |f(x) − A(x)| = |[f(x) − 1 2 n f(2 n x)] + [ 1 2 n f(2 n x − A(x))]| ≤ |f(x) − 1 2 n }f(2 n x)| + | 1 2 n f(2 n x) − A(x)| ≤ ε(1 − 1 2 n ) + ε 1 2 n = ε. Cuối cùng ta cần chứng minh hàm A là duy nhất. Thật vậy giả sử tồn tại hàm cộng tính A 1 : R → R. Khi đó với mỗi x ∈ R |A(x) − A 1 (x)| = 1 n |[A(nx) − f(nx)] + [A 1 (nx) − f(nx)]| ≤ 2ε n . Vậy A 1 = A. Như vậy định lý này cho ta một kết quả là mọi phương trình Cauchy cộng tính đều ổn định. 7 Ví dụ 1.1. Tìm tất cả các hàm f, g, h : R → R thỏa mãn phương trình sau f(x + y) = g(x) + h(y), ∀x, y ∈ R. (1.4) Thay y = 0 vào ta được f(x) = g(x) + h(0), ∀x ∈ R, hay f(x) = g(x) + α, với α = h(0). Do đó g(x) = f(x) − α với mọi x ∈ R. Thay x = 0 vào , ta được f(y) = h(x) + β, với β = g(0), hay h(x) = f(x) − β, với mọi x ∈ R. Phương trình trở thành f(x + y) = f(x) + f(y) −α − β, ∀x, y ∈ R. (1.5) Đặt f(x) = A(x) + α + β. Thay vào (1.5) được A(x + y) + α + β = A(x) + α + β + A(y) + α + β − α −β, hay A(x + y) = A(x) + A(y), ∀x, y ∈ R. Vậy A là một hàm cộng tính trên R nên    f(x) = A(x) + α + β g(x) = A(x) + β h(x) = A(x) + α Nhận xét 1.1. Nếu bài toán có thêm giả thiết: hàm f, g, h liên tục thì nghiệm tìm được sẽ là    f(x) = ax + α + β g(x) = ax + β h(x) = ax + α với a, α, β là các hằng số tùy ý. Tiếp theo ta xét tính ổn định của phương trình (1.5). 8 Mệnh đề 1.1. Giả sử hàm f, g, h : R → R thỏa mãn điều kiện |f(x + y) − g(x) − h(y)| ≤ ε (1.6) với ε là số dương tùy ý cho trước và với mọi x, y ∈ R. Khi đó tồn tại duy nhất một hàm cộng tính A : R → R sao cho    |f(x) − A(x) −f(0)| ≤ 6ε |g(x) − A(x) − g(0)| ≤ 4ε |h(x) − A(x) −h(0)| ≤ 6ε với mọi x ∈ R. Chứng minh. Thay y = 0 vào (1.6), ta được |f(x) − g(x) − h(0)| ≤ ε, ∀x ∈ R, (1.7) suy ra |f(0) − g(0) −h(0)| ≤ ε. (1.8) Thay y = 0 vào (1.6), ta được |f(y) − h(y) − g(0)| ≤ ε, ∀t ∈ R. (1.9) Từ (1.7) và (1.9) |h(x) − g(x) − h(0) + g(0)| = |f(x) − g(x) − h(0) + h(x) + g(0) − f(x)| ≤ |f(x) −g(x) − h(0)| + |f(x) −h(x) −h(0)| hay |h(x) − g(x) − h(0) + g(0)| ≤ 2ε, ∀x ∈ R. (1.10) Sử dụng (1.7), ta được |f(x + y) − g(x + y) − h(0)| ≤ ε, ∀x, y ∈ R. (1.11) Ta có |f(x+y)−g(x+y)−h(0)| = |f(x+y)−g(x)−h(y)−g(x+y)+g(x)+h(y)−h(0)|. Kết hợp (1.6) và (1.11) thu được |g(x + y) − g(x) −h(y) + h(0)| ≤ |f(x + y) − g(x + y) −h(0)| 9 + |f(x + y) − g(x) −h(y)| ≤ 2ε. Mặt khác |g(x + y) − g(x) −h(y) + h(0)| = |g(x + y) −g(x) − g(y) + g(0) − h(y) + g(y) − g(0) + h(0)|. Từ (1.10) có |g(x + y) − g(x) −g(y) + g(0)| ≤ |g(x + y) −g(x) − h(y) − h(0)| + |h(y) −g(y) + g(0) − h(0)| ≤ 4ε. Hay |[g(x + y) − g(0)] −[g(x) − g(0)] − [g(y) − g(0)]| ≤ 4ε, (1.12) với x, y ∈ R. Đặt G(x) = g(x) − g(0), ∀x, y ∈ R. (1.13) Thế vào (1.12) được |G(x + y) − G(x) −G(y)| ≤ 4ε, ∀x ∈ R. Theo định lý về tính ổn định của hàm cộng tính, tồn tại duy nhất một hàm cộng tính A : R → R sao cho |G(x) − A(x)| ≤ 4ε, ∀x ∈ R. (1.14) Từ (1.13) và (1.14) ta được |g(x) − A(x) − g(0)| ≤ 4ε, ∀x ∈ R. (1.15) Từ (1.7), (1.8) và (1.15) ta được |f(x)−A(x) − f(0)| = |f(x) −g(x) − h(0) + g(x) − A(x) −g(0) + g(0) + h(0) − f(0)| ≤ |f(x) −g(x) − h(0)| + |g(x) − A(x) −g(0)|+ |g(0) + h(0) − f(0)| ≤ ε + 4ε + ε = 6ε. 10 [...]... (2.14) 31 Mệnh đề 2.4 Giả sử hàm f thỏa mãn điều kiện f x+y 2 − (f (x))2 + (f (y))2 ≤ ε, ∀x, y ∈ R 2 với ε > 0 tùy ý cho trước Khi đó, tồn tại duy nhất một hàm cộng tính A : R → R sao cho |(f (x))2 − A(x) − (f (0))2 | ≤ 4ε, ∀x ∈ R 32 (2.15) Chương 3 Tính ổn định của một số dạng phương trình hàm khác 3.1 Tính ổn định của phương trình sóng Trước hết ta tìm hiểu về phương trình sóng Giả sử f : R2 → R... các hàm trên cũng thỏa mãn phương trình đã cho Vậy nghiệm của phương trình là  f (x) = abec x g(x) = aec x  h(x) = bec x Hoặc  f (x) ≡ 0 g(x) ≡ 0  h(x) là hàm tùy ý liên tục trên R Hoặc  f (x) ≡ 0 h(x) ≡ 0  g(x) là hàm tùy ý liên tục trên R 24 Chương 2 Tính ổn định của các phương trình hàm chuyển tiếp các đại lượng trung bình cơ bản 2.1 Tính ổn định của phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng... Hay f (x) = 0 với ∀x ∈ R Xét f (x) > 0 với x ∈ R Lấy logarit hai vế của phương trình (2.5) ta được x+y ln f (x) + ln f (y) = , 2 2 ln f ∀x, y ∈ R Đặt g(x) = ln f (x)), ta có g x+y g(x) + g(y) = 2 2 ∀x, y ∈ R Hay g là một nghiệm của phương trình Jensen, tức là g(x) = ax + b Suy ra nghiệm của phương trình (2.5) là f (x) = eax+b với a, b ∈ R Tiếp theo ta xét tính ổn định nghiệm của phương trình (2.5) Mệnh... 2ε + 4ε = 6ε 1.2 Tính ổn định của các phương trình hàm nhân tính Trong phần này ta nghiên cứu phương trình f (xy) = f (x)f (y) (1.16) Giả sử hàm f : R → R thỏa mãn điều kiện (1.16) Khi đó f được gọi là hàm nhân tính Định nghĩa 1.3 Giả sử f : R → R thỏa mãn điều kiện: Với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại số δ > 0 sao cho |f (xy) − f (x)f (y)| < δ, ∀x, y ∈ R Khi đó nếu tồn tại một hàm nhân tính M : R → R... (2.4) ta được |g(x + y) − g(x) − g(y)| ≤ 4ε Theo tính ổn định của hàm cộng tính tồn tại duy nhất hàm cộng tính A sao cho |g(x) − A(x)| ≤ 4ε Vậy |f (x) − A(x) − f (0)| = |g(x) − A(x)| ≤ 4ε 26 2.2 Tính ổn định của phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình cộng vào trung bình nhân Bài toán 2.2 Tìm tất cả các hàm liên tục f : R → R thỏa mãn phương trình x+y f = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R (2.5) 2 Giải... Theo tính ổn định của hàm cộng tính sẽ tồn tại duy nhất hàm cộng tính A sao cho |g(x) − A(x)| ≤ 4ε Vậy 1 1 − A(x) − = |g(x) − A(x)| ≤ 4ε f (x) f (0) 2.4 Tính ổn định của phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình cộng vào trung bình bậc hai Bài toán 2.4 Tìm tất cả các hàm f : R → R liên tục sao cho f x+y 2 (f (x))2 + (f (y))2 , ∀x, y ∈ R 2 = (2.14) Giải Từ công thức trên ta có f (x) ≥ 0 với mọi... ∈ R Vậy f là một hàm nhân tính |f (xy) − f (x)f (y)| ≤ 12 1.3 Tính ổn định của các hàm logarit Trước hết ta nhắc lại hàm logarit (L) f (xy) − f (x) − f (y) = 0, ∀x, y ∈ R+ (L) Giả sử hàm f : R+ → R thỏa mãn điều kiện (L) Khi đó f được gọi là hàm logarit Định lý 1.3 Giả sử f : R+ → R, với ε > 0 cho trước thỏa mãn |f (xy) − f (x) − f (y)| ≤ ε (1.20) với mọi x, y > 0 Khi đó tồn tại một hàm logarit L... ta thấy các hàm số f, g, h thỏa mãn bài toán Vậy nghiệm của phương trình là  f (x) = m ln x + a + b g(x) = m ln x + a  h(x) = m ln x + b 1.4 Tính ổn định của các hàm lũy thừa Giả sử (S, +) là nửa nhóm giao hoán, E là không gian Banach phức, X là đại số phức với phần tử đơn vị là 1X và C là trường số phức Cho f : S → X và g : S → C Trong phần này ta xét hàm lũy thừa f (x + y) = g(x)f (y) Định nghĩa... với mọi x, y ∈ R Do đó (2.14) tương đương với f x+y c 2 (f (x))2 + (f (y))2 = , ∀x, y ∈ R 2 Đặt F (x) = (f (x))2 ≥ 0 với mọi x ∈ R Phương trình trên trở thành F x+y 2 = F (x) + F (y) ∀x, y ∈ R 2 Theo Bài toán 3.1.1 ta có F (x) là nghiệm của phương trình Jensen, tức là F (x) = ax + b √ Vậy f (x) = ax + b, trong đó a=0 b>0 hoặc a>0 b ≥ 0 Tiếp theo ta xét tính ổn định nghiệm của phương trình (2.14) 31... là hàm số dương liên tục trên R+ Do trên ta có f (x) g x+y g(x) + g(y) = , ∀x, y ∈ R+ 2 2 29 Hay g chính là nghiệm của phương trình Jensen tức là g(x) = ax + b 1 Vậy f (x) = trong đó a = 0; b > 0 hoặc a > 0; b ≥ 0 ax + b Tiếp theo ta xét tính ổn định nghiệm của phương trình (2.11) Mệnh đề 2.3 Giả sử hàm f thỏa mãn điều kiện f 1 x+y 2 1 1 + f (x) f (y) − ≤ε 2 (2.12) với ε > 0 tùy ý cho trước và với mọi . 2 1 Tính ổn định của các phương trình hàm dạng Cauchy 4 1.1 Tính ổn định của các phương trình hàm cộng tính . . . . . . 5 1.2 Tính ổn định của các phương trình hàm nhân tính . . . . . . 11 1.3 Tính. văn với đề tài " ;Tính ổn định của một số lớp phương trình hàm với cặp biến tự do& quot;. Bố cục luận văn gồm 3 chương. Chương 1. Tính ổn định của các phương trình hàm dạng Cauchy. Mục đích của. . . . . . . . 31 3 Tính ổn định của một số dạng phương trình hàm khác 33 3.1 Tính ổn định của phương trình sóng . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Tính ổn định của phương trình đa thức . . .