SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT HIỆN VÀ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI I PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong trình giảng dạy thực tế lớp số năm học, phát nhiều học sinh thực hành kỹ giải toán “căn bậc hai – bậc ba” yếu, có nhiều học sinh chưa thực hiểu kỹ bậc hai – bậc ba thực phép toán bậc hai – bậc ba hay có nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực sai mục đích… Việc giúp học sinh nhận nhầm lẫn giúp em tránh nhầm lẫn công việc vô cần thiết cấp bách mang tính đột phá mang tính thời cao, giúp em có am hiểu vững trắc lượng kiến thức bậc hai (đại diện cho bậc chẵn) bậc ba (đại diện cho bậc lẻ) tạo móng để tiếp tục nghiên cứu dạng toán cao sau a Cơ sở ký luận Theo tình thực tế việc giải toán HS cho thấy em yếu, thường không nắm vững kiến thức bản, hiểu vấn đề chưa chắc, nắm bắt kiến thức chậm, thiếu suy luận sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học chưa xác, thiếu thận trọng tính toán.Vì dẫn đến điều ta chia làm hai nguyên nhân: - Nguyên nhân khách quan: + Số tiết luyện tập lớp theo phân phối chương trình + Lượng kiến thức phân bố cho số tiết học tải + Phần nhiều tập cho nhà dẫn dắt, giúp đỡ trực tiếp GV - Nguyên nhân chủ quan: + Số lượng HS lớp đông nên thời gian GV hướng dẫn cho HS thường gặp phải khó khăn hạn chế + Một số GV thường dùng tiết tập để chữa tập cho HS + Một số tiết dạy GV chưa phát huy khả tư HS + Một số GV có sử dụng phương pháp dạy học mà chưa phát huy hết đặt thù môn + Một phận nhỏ HS chưa chăm chỉ, lơ việc học,chưa tự giác khắc phục kiến thức bị hỏng trình giải tập Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Từ nguyên nhân dẫn đến số tồn sau: HS thường mắc phải sai lầm giải tập không nắm vững kiến thức bản, tiếp thu kiến thức chậm, học tập thụ động, giải tập cẫu thả, chép HS giỏi để đối phó cách máy móc làm ảnh hưởng đến kết học tập b Cơ sở thực tiễn Qua nhiều năm giảng dạy môn toán tham khảo ý kiến đồng nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, nhận thấy : trình hướng dẫn học sinh giải toán Đại số bậc hai học sinh lúng túng vận dụng khái niệm, định lý, bất đẳng thức, công thức toán học Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải tập cụ thể học sinh chưa linh hoạt Khi gặp toán đòi hỏi phải vận dụng có tư học sinh không xác định phương hướng để giải toán dẫn đến lời giải sai không làm Một vấn đề cần ý kỹ giải toán tính toán số học sinh yếu Để giúp học sinh làm tốt tập bậc hai phần chương I đại số người thầy phải nắm khuyết điểm mà học sinh thường mắc phải, từ có phương án “phát khắc phục sai lầm giải toán bậc hai” Nhiệm vụ nghiên cứu - Tôi nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm với mục đích sau: + Giúp giáo viên toán THCS quan tâm đến phương pháp dạy học tích cực dễ thực + Giúp giáo viên toán THCS nói chung GV dạy toán THCS nói riêng có thêm thông tin PPDH tích cực nhằm giúp họ dễ dàng phân tích để đưa biện pháp tối ưu áp dụng phương pháp vào dạy học sáng kiến tạo sở để GV khác xây dựng sáng kiến khác có phạm vi quy mô xuyên suốt + Qua sáng kiến muốn đưa số lỗi mà học sinh hay mắc phải trình lónh hội kiến thức chương bậc hai để từ giúp học sinh khắc phục lỗi mà em hay mắc phải trình giải Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM tập thi cử, kiểm tra… Cũng qua sáng kiến muốn giúp GV toán có thêm nhìn sâu sắc hơn, ý đến việc rèn luyện kỹ thực hành giải toán bậc hai cho học sinh để từ khai thác hiệu đào sâu suy nghó tư lôgic học sinh giúp học sinh phát triển khả người học sinh + Qua sáng kiến tự đúc rút cho thân kinh nghiệm để làm luận cho phương pháp dạy học năm Phương pháp tiến hành Lập kế hoạch nghiên cứu nội dung viết sáng kiến kinh nghiệm Trao đổi thảo luận đồng nghiệp Đăng ký sáng kiến, làm đề cương Thu thập, tập hợp số liệu nội dung phục vụ cho việc viết sáng kiến Qua khảo sát, kiểm tra, luyện tập, ôn tập Phân loại sai lầm học sinh giải toán bậc hai thành nhóm Đưa định hướng, phương pháp tránh sai lầm Vận dụng vào ví dụ cụ thể Tổng kết, rút học kinh nghiệm Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy môn toán giáo viên có kinh nghiệm trường năm học trước vốn kinh nghiệm thân rút số vấn đề có liên quan đến nội dung sáng kiến Trong năm học vừa qua quan tâm đến vấn đề mà học sinh mắc phải Qua học sinh làm tập lớp, qua kiểm tra hình thức khác nhau, bước đầu nắm sai lầm mà học sinh thường mắc phải giải tập Sau tổng hợp lại, phân loại thành hai nhóm Trong trình thực sáng kiến kinh nghiệm sử dụng phương pháp sau : - Quan sát trực tiếp đối tượng học sinh để phát vấn đề mà học sinh thấy lúng túng, khó khăn giáo viên yêu cầu giải vấn đề Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - Điều tra toàn diện đối tượng học sinh lớp với tổng số 117 học sinh để thống kê học lực học sinh Tìm hiểu tâm lý em học môn toán, quan điểm em tìm hiểu vấn đề giải toán có liên quan đến bậc hai (bằng hệ thống phiếu câu hỏi trắc nghiệm) - Nghiên cứu sản phẩm hoạt động GV HS để phát trình độ nhận thức, phương pháp chất lượng hoạt động nhằm tìm giải pháp nâng cao chất lượng giáo dục - Thực nghiệm giáo dục giải mới, tiết luyện tập, tiết trả kiểm tra … Tôi đưa vấn đề hướng dẫn học sinh trao đổi, thảo luận nhiều hình thức khác hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để học sinh khắc sâu kiến thức, tránh sai lầm giải tập Yêu cầu học sinh giải số tập theo nội dung sách giáo khoa đưa thêm vào yếu tố mới, điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức suy luận học sinh - Phân tích tổng kết kinh nghiệm giáo dục áp dụng nội dung nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm tìm nguyên nhân sai lầm mà học sinh thường mắc phải giải tốn Từ tổ chức có hiệu dạy Cơ sở thời gian tiến hành Những giảng dạy lớp, qua kiểm tra đầu giờ, qua luyện tập, ôn tập GV cần lưu ý đến toán bậc hai, xem xét kó phần giải học sinh, gợi ý để học sinh tự tìm sai sót (nếu có) giải, từ giáo viên đặt câu hỏi để học sinh trả lời tự sửa chữa phần giải cho xác Qua kiểm tra 15 phút tỉ lệ học sinh mắc sai lầm giải toán tìm bậc hai 120 học sinh lớp năm học 2007-2008 là: 33/120 em chiếm 27,5% Trong kiểm tra chương I - Đại số năm học 2007-2008 120 học sinh số học sinh mắc sai lầm giải toán có chứa bậc hai 43/120 em chiếm 35,8% (nghiên cứu tổng hợp qua giáo viên dạy toán năm học 2007-2008) Như số lượng học sinh mắc sai lầm giải toán bậc hai tương đối cao, việc sai lầm học sinh để em tránh làm tập năm học 2008-2009 công việc vô quan trọng cấp thiết trình giảng dạy trường THCS Tăng Bạt Hổ Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Như trình bày nên sáng kiến nghiên cứu hai nhóm đối tượng cụ thể sau : Giáo viên dạy toán THCS Học sinh lớp THCS: bao gồm lớp với tổng số 117 học sinh Thời gian nghiên cứu chia làm giai đoạn : Giai đoạn : Bắt đầu từ ngày 05 tháng năm 2007 đến ngày 30 tháng 10 năm 2007 Giai đoạn : Bắt đầu từ ngày 25 tháng năm 2008 đến ngày 29 tháng 10 năm 2008 Giai đoạn : Hoàn thành đánh giá sáng kiến kinh nghiệm 15 tháng 11 năm 2008 II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: A KIẾN THỨC CƠ BẢN: - Căn bậc hai số a không âm số x cho x2 = a - Số dương a có hai bậc hai hai số đối : sốdương kí hiệu a số âm kí hiệu - a - Số có bậc hai số 0, ta viết = x≥0 - Căn bậc hai số học: x = a ⇔  x = a ( a) - Liên hệ phép khai phương với phép bình phương(với a ≥ 0, có = a ; với a có a =| a | ) - Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự(SGK thể Định lý so sánh bậc hai số học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta coù : a < b ⇔ a < b ”) - Liên hệ phép khai phương với phép nhân phép chia(thể bởi: định lý “ Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : ab = a b ” định lý “ Với a ≥ 0, b > 0, ta có: a = b Nguyễn Văn Thuận a b ”) THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM * Các phép biến đổi biểu thức chứa bậc hai mà SGK giới thiệu cho công thức sau : A tồn ⇔ A ≥ (với A biểu thức đại số) A2 = A AB = A = B (với A biểu thức đại số) (với A, B hai biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0) A B A (với A, B hai biểu thức mà A ≥ 0, B > 0) B A B =| A | B (với A, B hai biểu thức mà B ≥ ) A = AB B B (với A, B hai biểu thức màA B ≥ 0, B ≠ 0) A (với A, B biểu thức B > 0) B = A B B C A±B = C A± B C ( A B) A − B2 = (với A, B hai biểu thức màA ≥ 0, A ≠ B2) C( A  B ) (với A, B, C biểu thức mà A, B ≥ 0, A ≠ B) A− B B PHÂN TÍCH NHỮNG ĐIỂM KHÓ VÀ MỚI TRONG KIẾN THỨC VỀ CĂN BẬC HAI : So với chương trình cũ chương I - Đại số chương trình có điểm khó chủ yếu sau : Điểm : - Khái niệm số thực bậc hai giới thiệu lớp tiếp tục sử dụng qua số tập lớp Do đó, SGK tập trung vào giới thiệu bậc hai số học phép khai phương - Phép tính khai phương bậc hai số học giới thiệu gọn, liên hệ thứ tự phép khai phương mô tả rõ sách cũ ( bổ sung phần nêu lớp 7) - Các phép biến đổi biểu thức chứa thức bậc hai trình bày nhẹ (nhẹ lý thuyết, nhẹ mức độ phức tạp tập) - Cách trình bày phép tính khai phương phép biến đổi biểu thức chứa thức bậc hai phân biệt rạch ròi ( Tên gọi mục Đ3 Đ4 Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM chuyển ý giới thiệu phép biến đổi sau nêu tính chất phép khai phương thể điều đó) - Cách thức trình bày kiến thức, rèn luyện kỹ SGK ý để HS tham gia chủ động nhiều thông qua hệ thống câu hỏi ?n có phần học Điểm khó kiến thức so với khả tiếp thu học sinh : - Nội dung kiến thức phong phú, xuất dày đặc chương với số tiết không nhiều nên số kiến thức giới thiệu để làm sở để hình thành kỹ tính toán, biến đổi Thậm chí số kiến thức nêu dạng tên gọi mà không giải thích (như biểu thức chứa bậc hai, điều kiện xác định thức bậc hai, phương pháp rút gọn yêu cầu rút gọn ) - Tên gọi (thuật ngữ toán học) nhiều dễ nhầm lẫn, tạo nguy khó hiểu khái niệm (chẳng hạn bậc hai, bậc hai số học, khai phương, biểu thức lấy căn, nhân bậc hai, khử mẫu, trục thức ) C SAI LẦM VÀ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHI GIẢI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI Học sinh hiểu sai bậc hai số dương a bậc hai số học số dương a VD1: Giải tập (sgk - 6) Tìm bậc hai số học 169 suy bậc hai chúng + Cách giải sai: Ta có: 169 = 13 ⇒ số 169 có bậc hai viết 169 = 13 169 = -13 (!) + Cách giải đúng: Căn bậc hai số học 169 là: 169 = 13, bậc hai 169 là: 169 = 13; - 169 = - 13 - Nguyên nhân: Học sinh hiểu sai bậc hai số dương a bậc hai số học số dương a, từ không phân biệt hai vấn đề - Biện pháp khắc phục: + GV cần phải cho HS nắm được: Với số dương a, số a gọi bậc hai số học a, số gọi bậc hai số học 0; Số dương a có hai bậc hai hai số đối nhau: số dương kí hiệu a số âm kí hiệu - a Số có bậc hai số + Khi nói đến a ta phải có: a ≥ a ≥ 0, nghóa a âm Vì không viết : Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Số 169 có hai bậc hai 169 = 13 169 = - 13 VD2: Tìm bậc hai 16 Rõ ràng học sinh dễ dàng tìm số 16 có hai bậc hai hai số đối - VD3 : Tính 16 Học sinh đến giải sai sau : 16 = - có nghóa 16 = ± Như học sinh tính số 16 có hai bậc hai hai số đối : 16 =4 16 = -4 - Nguyên nhân: việc tìm bậc hai bậc hai số học nhầm lẫn với + Cách giải : 16 = ( giải thích thêm > 42 = 16) Trong toán sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích - Biện pháp khắc phục: GV khác việc tìm bậc hai CBHSH số không âm Số dương a có hai bậc hai hai số đối nhau: số dương kí hiệu a số âm kí hiệu - a Số có bậc hai số Với số a ≥ a ≥ 0, nghóa a âm VD4: So sánh 15 + Cách giải sai: < 15 (vì < 15) + Cách giải là: 16 > 15 nên 16 > 15 Vậy = 16 > 15 - Nguyên nhân: Học sinh nên so sánh chúng theo hình thức theo định nghóa số 15 bậc hai số học 15 đem so sánh với số số có hai bậc hai số học -2 với suy nghó học sinh đưa lời giải sai sau : < 15 (vì hai bậc hai nhỏ 15 ) Tất nhiên sai học sinh em hiểu nhầm sau học song mà sau học thêm loạt khái niệm hệ thức học sinh không ý đến vấn đề quan trọng Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - Biện pháp khắc phục: Ở giáo viên cần nhấn mạnh ta so sánh hai bậc hai số học! Ta phải viết chúng dạng CBHSH sau so sánh số dấu -VD5: Tính 81 81 = = + HS giaûi: + Cách giải là: 81 = - Nguyên nhân: Ở học sinh nhầm tưởng bậc hai có tính chất rút gọn giống phân số để đưa phân số chưa tối giản trở thành phân số tối giản - Biện pháp khắc phục: GV cho HS thấy bậc hai tính chất rút gọn phân số Khắc sâu định nghóa CBHSH cho HS:  x≥0 a =x⇔ x = a Sai lầm HS không ý đến điều kiện để biểu thức có bậc hai, A có nghóa; quy tắc nhân bậc hai, chia bậc hai VD1: Có HS viết: −3 −27 = ( −3) ( −27 ) = 81 = + Vì ( −3) ( −27 ) = 81 = nên + Vì (!) ( −3) ( −27 ) = −3 −27 −50 −50 = = 25 = −2 −2 VD2: Giải tập sau: Tính + Cách giải sai: (!) − 11 ( − 11 = −9 + − = − − + ( ) −50 −50 = −2 −2 −50 = 25 = neân −2 ) = − −  = − = − (!)   VD3: Bài tập 1.29 (Sách nâng cao ĐS – trang 18) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + x + Cách giaûi sai: Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Ở HS thường không tìm điều kiện để x xác định mà vội vàng 1  tìm giá trị nhỏ A cách dựa vào x + x =  x + ÷ − mà biến 2  đổi 1 1  A= x+ x = x + ÷ − ≥− 2 4  1 −1 ⇔ x + =0⇔ x= ⇒ A = − 4 1 Vaäy A = − ⇔ x = − 4 + Cách giải đúng: x xác định x ≥ Do đó: A = x + x ≥ ⇒ A = ⇔ x = - Nguyên nhân: Khi làm HS chưa nắm vững không ý điều kiện để A tồn HS chưa nắm rõ quy tắc nhân bậc hai,chia hai bậc hai - Biện pháp khắc phục: Khi dạy phần GV cần khắc sâu cho HS điều kiện để biểu thức có bậc hai, điều kiện để A xác định, điều a a = kiện để có: a b = ab ; b b Sai lầm HS chưa hiểu định nghóa giá trị tuyệt đối số VD1: Rút gọn biểu thức sau: A = a − 5a ( Với a < ) + Cách giải sai; A = a − 5a = a − 5a = 2a − 5a = −3a ( với a < ) (!) + Cách giải là: A = a − 5a = a − 5a = −2a − 5a = −7a ( với a < ) VD2: Tìm x, biết : 4(1 − x )2 - = + Cách giải sai : 4(1 − x )2 - = ⇔ (1 − x )2 = ⇔ 2(1 - x) = ⇔ 1- x = ⇔ x = - Như theo lời giải bị nghiệm + Cách giải đúng: 4(1 − x )2 - = ⇔ (1 − x )2 = ⇔ − x = Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH Trang 10 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Ta phải giải hai phương trình sau : 1) 1- x = ⇔ x = -2 2) 1- x = -3 ⇔ x = Vậy ta tìm hai giá trị x x1= -2 x2= - Nguyên nhân: HS chưa hiểu rõ số âm số đối số mà HS hiểu a b Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH Trang 11 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Ta có : a − 2ab + b = b − 2ab + a hay ( a − b ) = ( b − a ) Lấy bậc hai hai vế ta được: ( a − b) = ( b − a) (1) Do đó: a − b = b − a Từ : 2a = 2b ⇒ a = b Vậy hai số HS sai lầm chỗ : Sau lấy bậc hai hai vế đẳng thức (1) phải kết quả: a − b = b − a có a - b = b- a - Nguyên nhân: HS chưa nắm vững đẳng thức tuyệt đối số âm VD4: Tìm x cho B có giá trị 16 A2 = A , giá trị B = 16 x + 16 - x + + x + + x + với x ≥ -1 + Cách giải sai : B = x + -3 x + + x − + x − B = x +1 16 = x + ⇔ = x + ⇔ 42 = ( x + )2 hay 16 = ( x + 1) ⇔ 16 = | x+ 1| Nên ta phải giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + ⇔ x = 15 2) 16 = -(x+1) ⇔ x = - 17 - Cách giải đúng: B = x + -3 x + + x − + x − (x ≥ -1) B = x +1 16 = x + ⇔ = x + (do x ≥ -1) ⇔ 16 = x + Suy x = 15 - Nguyên nhân : Với cách giải ta hai giá trị x x1= 15 x2=-17 có giá trị x1 = 15 thoả mãn, giá trị x 2= -17 không Đâu nguyên nhân sai lầm ? Chính áp dụng rập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện cho toán, với x ≥ -1 biểu thức tồn nên không cần đưa biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.! - Biện pháp khắc phục: Qua tập đơn giản số cụ thể giúp cho học sinh nắm vững ý sau : Một cách tổng quát, với A biểu thức ta có A2 = | A|, có nghóa : Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH Trang 12 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM A2 = A A ≥ ( tức A lấy giá trị không âm ); A2 = -A A < ( tức A lấy giá trị âm ) Những khó khăn thường gặp HS tính giá trị thức, mà biểu thức dấu viết dạng bình phương biểu thức Chẳng hạn: Tính 11 − Để giải vấn đề HS vận dụng đẳng thức biến đổi biểu thức 11 − − dạng bình phương lập phương biểu thức Trong đẳng thức : ( A ± B ) = A2 ± AB + B Học sinh thường nắm chưa vững nên dễ mắc sai lầm giải tập dạng VD1: Ở tập 15c ( SBT toán - tập – trang ) ( Chứng minh : − ( ) HS dễ dàng biến đổi − ) = 23 − = 16 − + = 23 − Nhưng ngược lại em gặp khó khăn (nếu nắm không vững đẳng thức khả tính toán ) VD2: Ở tập 15d (SBT toán - tập – trang ) Chứng minh 23 + − = Neáu HS không vận dụng tập 15c để giải mà em lại viết 23 + dạng bình phương biểu thức để tính 23 + điều khó! Để tính nhanh không nhầm lẫn GV hướng dẫn HS số dạng biến đổi sau: - Đối với biểu thức có dạng: x ± a b với a,b ≥ x = a + b x ± a b = - Đối với biểu thức có dạng: x ± 2a b với a,b ≥ vaø x = a2 + b ( ( a± b x ± 2a b = a ± b ) ) Áp dụng: Bài 1: Tính 12 − 35 = 12 − = Nguyễn Văn Thuận ( 7− ) = 7− = 7− THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH Trang 13 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Bài 2: Tính ( 2− 7) 11 − = 11 − 2.2 = = 2− = −2 Bài 3: Tính 46 − = 46 − 2.3 5.1 = (3 ) −1 = −1 = −1 Baøi 4: Bài 15d ( SBT toán - tập – trang ) Chứng minh: 23 + − = Ta có : Vế trái: 23 + − = 23 + 2.4 − = ( 4+ 7) − = 4+ − = 4+ − = Sai lầm HS chưa nắm vững phép biến đổi biểu thức chứa bậc hai - VD1: Giải tập 58c ( SGK toán - tập1 – trang 32 ) Rút gọn biểu thức sau: 20 − 45 + 18 + 72 +Cách giải sai: 20 − 45 + 18 + 72 = 4.5 − 9.5 + 2.9 + 36.2 = − + + = − + 15 = 14 + Cách giải là: 20 − 45 + 18 + 72 = 4.5 − 9.5 + 2.9 + 36.2 = − + + = 15 − - Nguyeân nhân: Sai lầm chỗ HS chưa nắm vững công thức biến đổi: x A + y B − z A + m = ( x − z ) A + y B + m ( A,B ∈ Q+ ; x,y,z,m ∈ R ) - Biện pháp khắc phục: Khi dạy phần tổng thức đồng dạng, GV nhấn mạnh để HS khắc sâu mà tránh sai sót Lạm dụng định nghóa bậc hai số học số a ≥ giải toán bậc ba : - VD: Giải tập 3c (SBT ĐS9 – trang 19) Giải phương trình: x − + = x (2) Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH Trang 14 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM + Cách gaûi sai: x −1 +1 = x ⇔ x −1 = x −1  x −1 ≥  x ≥ ⇔ ⇔  x − = ( x − 1) ( x − 1) x − x =   x ≥  x ≥    x = 0(loai) ⇔ ⇔   x ( x − 1) ( x − ) =   x =  x =  ( ) Vậy phương trình (2) có nghiệm x1=1; x2=2 + Cách giải đúng: (!) x − + = x ⇔ x − = x − ⇔ ( x − 1) = x − ⇔ ( x − 1) − ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( x − x ) = ⇔ x ( x − 1) ( x − ) = ⇔ x = hoaëc x = hoaëc x = Vậy phương trình cho có nghieäm: x1 = 0; x2 = 1; x3 = - Nguyên nhân: + HS lạm dụng định nghóa bậc hai số học số a ≥ x ≥  a=x⇔ x = a =a   + HS chưa nắm vững định nghóa bậc ba số a - Biện pháp khắc phục: Khi giảng phần GV cần cho HS nắm định bậc ba số a, đồng thời lưu ý HS hiểu rõ bậc hai số a ≥ ; bậc hai số học số a ≥ bậc ba số a ( ) Những sai lầm HS đưa thừa số dấu căn, đưa thừa số vào dấu căn, sử dụng định nghóa bậc hai số học để giải phương trình - VD1: Bài tập Rút gọn: A = 32 x + ( −5 ) x − 4x ( với x ≥ ) +Cách giải sai : A = 32 x + ( −5 ) x − x = x − x − x = −4 x + Cách giải : Với x ≥ Ta có: Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH Trang 15 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM A = 32 x + ( −5 ) x − 4x = x + −5 x − x = x + x − x = x - VD2: Bài 3b ( SBT toán – trang 27 ) −3 + −48 x Rút gọn biểu thức: M = x x +Cách giải sai : −3 −3 x M = 2x + −48 x = + −3 x x x = −3x + −3 x = −3 x (!) + Cách giải đúng: −3 M = 2x + −48 x Điều kiện để M xác định là: x < x −3 ( − x ) Khi đó: M = −2 + 16.( −3) x = −2 −3 x + −3 x = −3 x x - VD3: Bài tập ( Sách nâng cao toán - tập 1- trang 11 ) Giải phương trình : 14 − x = x − (*) + Cách giải sai : (*) ⇔ ( x − ) = 14 − x ⇔ x − 3x − 10 = ⇔ ( x − x ) + ( x − 10 ) = x = ⇔ ( x − 5) ( x + ) = ⇔   x = −2 Vậy phương trình (*) có hai nghieäm x1 = ; x2 = -2 (!) + Cách giải : x − ≥ x ≥  ⇔ (*) ⇔  ( x − ) = 14 − x  x − x + = 14 − x   x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ( x − x ) + ( x − 10 ) = ( x − ) ( x + ) =  x ≥  ⇔  x = ⇔ x =   x = −2  Vậy phương trình cho có nghiệm: x = - VD4: giải tập sau: Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH Trang 16 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Rút gọn biểu thức: M = y − xy − −y x y - Cách giải sai: M= = y − xy − −y x− y y − x = y x = y xy − y − y x −1− y y x = y x = −1 y ( x− y y y )− x y (!) + Cách giải : Đk để M xác định: xy ≥ ; y ≠ Ta xét hai trường hợp: * x ≤ 0; y < M= y − xy − −y = 1− x − y x = y y − xy = y − xy − −y y− x − y )− x x = 1− y y * x ≥ ; y>0 M= x y y− x y − − x = y x = −1 + y ( y − y y x − y x y x = −1 y Vậy: x ≤ ; y0 M = −1 y - Nguyên nhân: HS năm chưa vững quy tắc A2 B = A B với B ≥ , điều kiện để thừa số đưa vào dấu bậc hai, điều kiện để A tồn tại, định nghóa bậc hai số học, quy tắc khai phương thương - Biện pháp khắc phục:Khi dạy GV cần cho HS nắm vững: + A2 B = A B với B ≥  A2 B vo 'i A ≥ 0; B ≥  A B = + − A2 B vo 'i A < 0; B ≥  + A tồn A ≥ x ≥  + a≥0, a = x⇔  x =  ( a) + Neáu A ≥ , B > Nguyễn Văn Thuận A = B =a A B THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH Trang 17 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Khi trục thức mẩu, khai phương tích, khai phương thương HS thường mắc phải số sai lầm: VD1: Bài tập 32b ( SGK toán - tập – trang 19 ) Tính 1, 44.1, 21 − 1, 44.0, + Cách giải sai: 1, 44.1, 21 − 1, 44.0, = 1, 44.1, 21 − 1, 44.0, = = 1, 2.1,1 − 1, 2.0, = 1,32 − 0, 24 = 1, 08 (!) + Cách giải đúng: 1, 44.1, 21 − 1, 44.0, = 1, 44 ( 1, 21 − 0, ) = 1, 44.0,81 = 1, 2.0,9 = 1, 08 VD2: Giải tập sau: 625 16 Tính: a 81.256 ; b + Cách giải sai: a 81.256 = 16 = = 12 b (!) 625 25 5 = = = 16 2 (!) + Cách giải đúng: a 81.256 = 81 256 = 9.16 = 144 b 625 625 25 = = 16 16 VD3: Khi giải toán trục thức mẫu + Cách giải sai : a 5+2 + 15 + = = 3 b −1 −1 −1 = = = −1 −1 −1 hoaëc hoaëc hoaëc hoaëc Nguyễn Văn Thuận ( = −1 ( ( ) ( = −1 ) ) ( ) +1 )( −1 ( ( ( ) ) +1 ) +1 )( = = ( +1 )= +1 ( +1 ) = 2( +1 ) ( ) − 25 − ( + 1) ( + 1) = = = −2 ( + 1) −1 −1 − 1( + 1) ( − 1) ( − 1) −1 = = = −1 − ( − 1) ( + 1) −1 +1 )= +1 +1 12 THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH Trang 18 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM c 5 7 = = = + 7 + 2.7 + 17 hoaëc = +3 d ( ( −3 )( +3 ) −3 = ) ( ( − ) ) = 5( −3 −4 ) = −5 ( −3 ) a = a +3 a a = = a +3 a +3 a −3 hoaëc −3 ( )( ) a ( a) − 32 a 2a − = - Cách giải đúng: a ( ) + 5+2 15 + = = 3 ( ) b c 2 = −1 ( ( = ( )= +1 +1 ) ( + 1) − ( − 3) ( − 3) = = + ( + ) ( − 3) ( ) − ( − 3) 10 − 15 = = −1 28 − d ) +1 19 ( ) ( 2 a a −3 a a −3 a = = 2 a +3 a +3 a −3 a − 32 ( = ( a a −3 4a − )( ) = 4a − ) ( ) ) a 4a − 9 (với a ≥ a ≠ ) - Nguyên nhân: + Hs chưa biết biến đổi biểu thức dấu bậc hai thành dạng tích để khai phương mà ngộ nhận sử dụng “ A + B = A + B ” tương tự A.B = A B ( với A ≥ B ≥ ) để tính + HS hiểu mơ hồ quy tắc khai phương tích, khai phương thương + HS kiến thức lớp đẳng thức tính chất phân thức Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH Trang 19 SAÙNG KIẾN KINH NGHIỆM + HS chưa hiểu rõ quy tắc trục thức bậc hai mẫu hai biểu thức liên hợp nhau, hai biểu thức liên quan đến 2 đẳng thức: A − B = ( A − B ) ( A + B ) - Biện pháp khắc phục: + GV cần nhấn mạnh làm rõ quy tắc khai phương tích , khai phương thương lưu ý HS không ngộ nhận sử dụng A + B = A + B tương tự A.B = A B ( với A ≥ B ≥ ) + Khi cần thiết GV cố lại kiến thức có liên quan.Chẳng hạn đẳng thức, tính chất phân thức + Nhấn mạnh hai biểu thức liên hợp + Cần khắc sâu công thức: A A B = , với B > B B ( ) C A mB C , với A ≥ vaø A ≠ B = A− B A±B C C = A± B ( Am B A− B ) , với A ≥ 0, B ≥ A ≠ B 10 Sai lầm kỹ biến đổi : Trong học sinh thực phép tính em có bỏ qua dấu số chiều bất đẳng thức dẫn đến giải toán bị sai DV1 : Tìm x, bieát : (4- 17 ).2 x < (4 − 17 ) - Cách giải sai : (4- 17 ).2 x < (4 − 17 ) ⇔ 2x < ( chia hai vế cho 4- 17 ) ⇔ x < - Caùch giải : Vì = 16 < 17 nên - 17 < 0, ta có (4- 17 ).2 x < (4 − 17 ) ⇔ 2x > ⇔ x > -Nguyeân nhân: Nhìn qua thấy học sinh giải vấn đề Học sinh nhìn thấy toán thấy toán không khó nên chủ quan không để ý đến dấu bất đẳng thức : “Khi nhân chia hai vế bất đẳng thức với số âm bất đẳng thức đổi chiều” Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH Trang 20 SAÙNG KIẾN KINH NGHIỆM - Biện pháp khắc phục: Chỉ sai chỗ học sinh bỏ qua việc so sánh 17 bỏ qua biểu thức - 17 số âm, dẫn tới lời giải sai x2 − VD2: Rút gọn biểu thức : - Cách giải sai : x2 − x+ = x+ ( x − )( x + ) x+ = x - - Cách giải : Biểu thức phân thức, để phân thức tồn cần phải có x + ≠ hay x ≠ - Khi ta có x2 − x+ ( x − )( x + ) = = x - (với x ≠ - ) x+ -Nguyên nhân: Rõ ràng x =- x + x −3 x+ 3 = 0, biểu thức không tồn Mặc dù kết giải học sinh không sai, sai lúc giải lập luận, biểu thức không tồn có kết VD3: Rút gọn M, tìm giá trị nhỏ M  M=   a− a  a +1 : với a >  a − 1 a − a + 1 + - Cách giải sai :  M=   a− a  1+ a  a +1  a +1  : =   a ( a − 1)  : ( a − 1) a − 1 a − a +   +  + a  ( a − 1)  M=   a ( a − 1)  a +1   a −1 M= a Ta coù M = a −1 = a a a - a = 1- a , ta nhận thấy M < a >0 Do M = a = - Cách giải :  M=   a− a +  a +1 : có a >  a − 1 a − a + 1 a - ≠ hay a > a ≠ Với điều kiện trên, ta có : Nguyễn Văn Thuận THCS TANG BAT HO - HOAI AN - BINH DINH Trang 21 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM  + a  ( a − 1)  M=   a ( a − 1)  a +1   M= a −1 a Khi ta nhận thấy M < a > Nếu M = 0, a = (mâu thuẫn với điều kiện) Vậy < M < 1, 0< a