Đang tải... (xem toàn văn)
BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 20142015 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 20142015 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 20142015 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 20142015 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 20142015
BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 ĐỀ SỐ Câu1 a Phân tích đa thức sau thừa số: x4 + ( x + ) ( x + 3) ( x + ) ( x + ) − 24 b Giải phương trình: x − 30x + 31x − 30 = a b c a2 b2 c2 + + = Chứng minh rằng: c Cho + + =0 b+c c+a a+b b+c c+a a+b 10 − x x A= + + :x − + Câu2 Cho biểu thức: ÷ ÷ x+2 x −4 2−x x+2 a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết |x| = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị ngun Câu Cho hình vuông ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ AD a Chứng minh: DE = CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: b Cho a, b dơng a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 Câu Câu (6 điểm) 1 + + ≥9 a b c HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Đáp án 4 a x + = x + 4x + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) Điểm (2 điểm) BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP b x − 30x + 31x − 30 = x − x + ( x − ) ( x + ) = (*) Vì x2 - x + = (x - )2 + > ∀x (*) (x - 5)(x + 6) = x − = x = ⇔ x + = x = − a b c + + =1 c Nhân vế của: b+c c+a a+b với a + b + c; rút gọn ⇒ đpcm 10 − x x + + Biểu thức: A = ÷: x − + x + ÷ x −4 2−x x+2 −1 a Rút gọn kq: A = x−2 1 −1 b x = ⇒ x = x = 2 ( Câu (6 điểm) ) 4 A = c A < ⇔ x > −1 ∈ Z ⇒ x ∈ { 1;3} d A ∈ Z ⇔ x−2 ⇒A= (2 điểm) (2 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) HV + GT + KL (1 điểm) Câu (6 điểm) AE = FM = DF a Chứng minh: ⇒ ∆AED = ∆DFC ⇒ đpcm b DE, BF, CM ba đường cao ∆EFC ⇒ đpcm c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a khơng đổi ⇒ ME + MF = a không đổi ⇒ S AEMF = ME.MF lớn ⇔ ME = MF (AEMF hình vng) (2 điểm) (2 điểm) (1 điểm) BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP ⇒ M trung điểm BD b c 1 a = 1+ a + a a c 1 a Từ: a + b + c = ⇒ = + + b b b a b 1 = 1+ + c c c Câu 4: (2 điểm) 1 a b a c b c + + = + + ÷+ + ÷+ + ÷ a b c b a c a c b ≥3+2+2+2=9 Dấu xảy ⇔ a = b = c = b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 (a+ b) – ab = (a – 1).(b – 1) = a = hc b = Víi a = => b2000 = b2001 => b = hc b = (lo¹i) Víi b = => a2000 = a2001 => a = a = (loại) Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 = (1 điểm) ⇒ ĐỀ THI SỐ Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : +x x2 −x x −3 x A =( − − ):( ) −x x −4 + x x −x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = (1 điểm) BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 Cho b) a b c x y z x2 y z + + = + + = Chứng minh : + + = x y z a b c a b c Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài a 2 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1) Bài 2: a Điểm 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 0,5 5,0 3,0 ĐKXĐ : 2 − x ≠ x ≠ x − ≠ ⇔ x ≠ ±2 2 + x ≠ x − 3x ≠ x ≠ 2 x − x ≠ A=( + x x2 2− x x − 3x (2 + x) + x − (2 − x) x (2 − x) − − ):( )= = − x x − + x x − x3 (2 − x)(2 + x) x ( x − 3) 1,0 1,0 x2 + 8x x (2 − x ) = (2 − x )(2 + x) x − = 0,5 x( x + 2) x(2 − x) 4x2 = (2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 0,25 4x Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ A = 0,25 x −3 b 1,0 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > ⇔ ⇔ x−3> ⇔ x > 3(TMDKXD ) 4x2 >0 x −3 Vậy với x > A > c x − = x−7 = ⇔ x − = −4 x = 11(TMDKXD ) ⇔ x = 3( KTMDKXD ) Với x = 11 A = 121 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25 Bài a 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = ⇔ (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = ⇔ 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x − 1) ≥ 0;( y − 3) ≥ 0;( z + 1) ≥ Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b Từ : Ta có : a b c ayz+bxz+cxy + + =0 ⇔ =0 x y z xyz ⇔ ayz + bxz + cxy = x y z x y z + + = ⇔ ( + + )2 = a b c a b c 2 x y z xy xz yz ⇔ + + + 2( + + ) = a b c ab ac bc 2 x y z cxy + bxz + ayz ⇔ + + +2 =1 a b c abc x2 y2 z ⇔ + + = 1(dfcm) a b c Bài 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 6,0 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 H C B 0,25 F O E A D K a Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF Chứng minh : ∆BEO = ∆DFO( g − c − g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b · · Ta có: · ABC = · ADC ⇒ HBC = KDC Chứng minh : ∆CBH : ∆CDK ( g − g ) ⇒ b, CH CK = ⇒ CH CD = CK CB CB CD AF AK = ⇒ AD AK = AF AC AD AC Chứng minh : ∆CFD : ∆AHC ( g − g ) CF AH ⇒ = CD AC CF AH = ⇒ AB AH = CF AC Mà : CD = AB ⇒ AB AC ⇒ Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) §Ị thi SỐ Cho 0,5 1,75 0,25 Chứng minh : ∆AFD : ∆AKC ( g g ) Câu : (2 điểm) 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 P= a − 4a − a + a − 7a + 14a − 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 a) Rót gän P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu : (2 điểm) a) Chứng minh r»ng nÕu tỉng cđa hai sè nguyªn chia hÕt cho tổng lập phơng chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu : (2 điểm) a) Giải phơng trình : 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chøng minh r»ng : A= a b c + + b+ca a+cb a+bc Câu : (3 điểm) Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm cña BC Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC lần lợt D E Chøng minh : a) BD.CE= BC b) DM,EM lần lợt tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu : (1 điểm) Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dơng số đo diện tích số đo chu vi đáp án đề thi học sinh giỏi Câu : (2 đ) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 -7a2 + 14a - =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) a =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nêu ĐKXĐ : a 1; a 2; a ≠ 0,25 a +1 a−2 0,25 Rót gän P= b) (0,5®) P= a−2+3 ; ta thÊy P nguyên a-2 ớc 3, = 1+ a2 a2 mà Ư(3)= { 1;1;3;3} 0,25 Từ tìm ®ỵc a∈ { − 1;3;5} 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 Câu : (2đ) a)(1đ) Gọi số phải tìm lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 0,25 Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) [(a + 2ab + b ) − 3ab] = =(a+b) [(a + b) − 3ab] 0,5 V× a+b chia hÕt cho nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho ; Do vËy (a+b) [(a + b) − 3ab] chia hÕt cho 0,25 b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 Ta thÊy (x2+5x)2 ≥ nên P=(x2+5x)2-36 -36 Do Min P=-36 (x2+5x)2=0 Từ ta tìm đợc x=0 x=-5 Min P=-36 Câu : (2đ) a) (1đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; §KX§ : x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6; x ≠ Phơng trình trở thành : 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 1 1 + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 18 1 − = x + x + 18 0,25 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ tìm đợc x=-13; x=2; b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 0,25 y+z x+z x+ y ; ;b = ;c = 2 y+z x+z x+ y 1 y x x z y z + + = ( + ) + ( + ) + ( + ) Thay vào ta đợc A= 2x 2y 2z 2 x y z x z y Tõ ®ã suy A ≥ (2 + + 2) hay A ≥ Tõ ®ã suy a= Câu : (3 đ) a) (1đ) Trong tam gi¸c BDM ta cã : D1 = 120 M Vì M =600 nên ta cã y A x E ˆ ˆ : M = 120 − M D B 2 M C 0,5 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 ˆ ˆ Suy D1 = M Chøng minh ∆ BMD ∾ ∆CEM (1) Suy 0,5 BD CM , từ BD.CE=BM.CM = BM CE Vì BM=CM= BC , nên ta có b) (1đ) Từ (1) suy BD.CE= BC 0,5 BD MD mà BM=CM nên ta có = CM EM BD MD = BM EM Chøng minh ∆BMD ∾ ∆MED ˆ ˆ Tõ ®ã suy D1 = D2 , ®ã DM tia phân giác góc BDE Chứng minh tơng tự ta có EM tia phân giác góc CED c) (1đ) Gọi H, I, K hình chiÕu cđa M trªn AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK TÝnh chu vi tam gi¸c 2AH; Kết luận Câu : (1đ) Gọi cạnh tam giác vuông x , y , z ; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dơng ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) Tõ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta đợc : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 Từ ta tìm đợc giá trị x , y , z lµ : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) ĐỀ THI SỐ Câu1( đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( a + 1) ( a + 3) ( a + ) ( a + ) + 15 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 Câu 2( đ): Với giá trị a b đa thức: ( x − a ) ( x − 10 ) + phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên Câu 3( đ): tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x − 3x3 + ax + b chia hết cho đa thức B( x) = x − 3x + Câu 4( đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy Chứng minh rằngtứ giác ADHE hình vuông Câu 5( đ): Chứng minh P= Câu 2đ 1 1 + + + + Bài 2(3 điểm):Giải phơng trình: a) 0,5 15 x −1 =12 + ÷ x +3x − x + 3x −3 28 0,5 mµ 0,5 0,5 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 b) c) 148 − x 169 − x 186 − x 199 − x + + + = 10 25 23 21 19 x −2 +3 = Bµi 3( điểm): Giải toán cách lập phơng trình: Một ngời xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu ngời tăng vận tốc thêm km/h đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB vận tốc dự định ngời Bài (7 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD Trên đờng chéo BD lấy ®iĨm P, gäi M lµ ®iĨm ®èi xøng cđa ®iĨm C qua P a) Tứ giác AMDB hình gì? b) Gọi E F lần lợt hình chiếu điểm M lên AB, AD Chứng minh EF//AC ba điểm E, F, P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P PD = d) Giả sử CP BD CP = 2,4 cm, Tính cạnh hình chữ nhật ABCD PB 16 Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010 b) Cho x, y, z số lớn Chøng minh r»ng: 1 + ≥ +x2 + y + xy иp ¸n biểu điểm Bài 1: Phân tích: 4x2 12x + = (2x – 1)(2x – 5) 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x) 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 4x2 + 4x – = (2x -1)(2x + 3) §iỊu kiƯn: −3 x ≠ ;x ≠ ;x ≠ ;x ≠ ;x ≠ 2 2x − 2x − −1 b) x = ⇔ x = hc x = 2 1 +) x = ⇒… P = 2 −1 +) x = ⇒ …P = 2 2x − c) P = = 1+ x −5 x −5 Ta cã: ∈ Z a) Rót gän P = 0,5® 0,5® 2® 1® 29 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 VËy P ∈ Z Z x x Ư(2) Mà ¦(2) = { -2; -1; 1; 2} x – = -2 ⇒ x = (TM§K) x – = -1 ⇒ x = (KTM§K) x – = ⇒ x = (TM§K) x – = ⇒ x = (TM§K) KL: x ∈ {3; 6; 7} P nhận giá trị nguyên 2 x −3 d) P = = 1+ 2x − x −5 Ta cã: > §Ĩ P > 1đ 0,25đ >0 x5>0 x>5 x−5 Víi x > th× P > Bµi 2: a) 0,25 15 x −1 =12 + ÷ x +3x − x + 3x −3 ⇔ 15 x − = 12 + x + ( x − 1) ( x + ) ( x − 1) ÷ §K: x ≠ −4; x ≠ ÷ 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 12(x -1) + 12(x + 4) ⇔ … 3x.(x ⇔ + 4) = 3x ⇔ = hc x + = +) 3x = => x = (TM§K) +) x + = => x = -4 (KTMĐK) S = { 0} b) 0,5đ 148 x 169 − x 186 − x 199 − x + + + = 10 25 23 21 19 1® 148 − x 169 − x 186 − x 199 − x − ÷+ − ÷+ − ÷+ − 4÷= 25 23 21 19 ⇔ 1 1 (123 ⇔ – x) + + + ÷= 25 23 21 19 1 1 Do + + + ÷> 25 23 21 19 Nªn 123 – x = => x = 123 S = {123} c) 1® x −2 +3 = 30 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 Ta cã: nªn x − ≥ 0∀x => x−2 +3 >0 x − +3 = x +3 PT đợc viết dới dạng: x2 +3= ⇔−2 = – x ⇔ −2 = x +) x - = => x = +) x - = -2 => x = S = {0;4} Bài 3(2 đ) Gọi khoảng cách A B x (km) (x > 0) Vận tốc dự định ngời đ xe gắn máy là: x 3x = (km / h) 10 3 (3h20’ = 1® 0,25® ( h) ) 0,25đ Vận tốc ngời xe gắn máy tăng lên km/h là: 3x + ( km / h ) 10 0,25đ Theo đề ta có phơng trình: 3x + ữ.3 = x 10 0,5® x ⇔=150 VËy khoảng cách A B 150 (km) 3.150 Vận tốc dự định là: = 45 ( km / h ) 10 Bài 4(7đ) Vẽ hình, ghi GT, KL ®óng D 0,5® 0,25® 0,5® C P M F I E A O B a) Gọi O giao điểm đờng chéo hình chữ nhật ABCD PO đờng trung bình tsm giác CAM AM//PO tứ giác AMDB hình thang b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) 31 1® BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NM HC 2014-2015 Tam giác AOB cân O nên góc OBA = góc OAB Gọi I giao điểm đờng chéo hình chữ nhật AEMF tam giác AIE cân I nên góc IAE = gãc IEA Tõ chøng minh trªn : cã gãc FEA = góc OAB, EF//AC (1) 1đ Mặt khác IP đờng trung bình tam giác MAC nên IP // AC (2) Tõ (1) vµ (2) suy ba điểm E, F, P thẳng hàng 1đ c) MAF : ∆DBA ( g − g ) nªn d) NÕu MF AD không đổi = FA AB PD PB PD th× = = = k ⇒ PD = 9k , PB = 16k PB 16 16 NÕu CP ⊥ BD th× ∆CBD : ∆DCP ( g − g ) ⇒ ®ã CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) BD = (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 ®ã BC = (cm) CD = (cm) CP PB = PD CP 1đ 0,5d 0,5đ 0,5đ Bài 5: a) Ta có: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) V× 20092008 + = (2009 + 1)(20092007 - …) = 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1) 20112010 - = ( 2011 – 1)(20112009 + …) = 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm b) (1®) 1® 1 (1) + ≥ +x2 + y + xy 1 1 ⇔ − − ÷+ ÷≥ + x + xy + y + xy ⇔ x ( y − x) ( + x2 ) ( + xy ) + y ( x − y) ( + y ) ( + xy ) ( y − x ) ( xy − 1) ⇔ ( + x2 ) ( + y ) ( + xy ) ≥0 ≥ ( 2) V× x ≥ 1; y ≥ => xy ≥ => xy − ≥ => B§T (2) => BĐT (1) (dấu = xảy x = y) ĐỀ SỐ 19 32 1® BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A MB biết A = 10x2 – 7x – B = 2x – c) Cho x + y = x y ≠ Chứng minh 2( x − y) x y − + 2 =0 y −1 x −1 x y + 3 Bài 2: (3đ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 x+1 x+ x+3 x+ x+5 x+6 b) 2008 + 2007 + 2006 = 2005 + 2004 + 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh ∆ EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Híng dẫn chấm biểu điểm Bi 1: (3 im) a) ( 0,75đ) b) (0,75đ) Xét A B x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 10x −7x −5 = =5x +4 + (0,25đ) 2x −3 2x −3 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) ∈ Z ⇒ M( 2x – 3) 2x − Mà Ư(7) = { −1;1; −7;7} ⇒ x = 5; - 2; ; A MB Với x ∈ Z A MB (0,25đ) (0,25đ) x y x −x−y +y − = (y3 − 1)(x − 1) y −1 x −1 ( x − y ) − (x − y) c) (1,5đ) Biến đổi ( x + y = ⇒ y - 1= -x x - 1= - y) (0,25đ) xy(y + y + 1)(x + x + 1) ( x − y ) ( x + y ) ( x + y ) − (x − y) = (0,25đ) xy(x y + y x + y + yx + xy + y + x + x + 1) = = = = ( x − y ) (x + y − 1) xy x y + xy(x + y) + x + y + xy + ( x − y ) (x − x + y − y) xy x y + (x + y)2 + ( x − y ) [ x(− y) + y(−x) ] xy(x y + 3) 2 = = (0,25đ) ( x − y ) [ x(x − 1) + y(y − 1) ] xy(x y + 3) ( x − y ) (−2xy) (0,25đ) (0,25đ) xy(x y + 3) 33 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 = −2(x − y) x y2 + Suy điều cần chứng minh (0,25đ) Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = ⇔ y2 + 6y - 2y -12 = ⇔ (y + 6)(y - 2) = ⇔ y = - 6; y = * x2 + x = - vơ nghiệm x2 + x + > với x * x2 + x = ⇔ x2 + x - = ⇔ x2 + 2x - x - = ⇔ x(x + 2) – (x + 2) = ⇔ (x + 2)(x - 1) = ⇔ x = - 2; x = Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 b) (1,75đ) ⇔ (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) x +1 x + x + x + x + x + x+1 x+ x+3 x+4 x+5 x+6 ⇔( + + = + + + 1) + ( + 1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ⇔ x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + − − − =0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,25đ) ⇔ ( x + 2009)( 1 1 1 + + − − − ) = (0,5đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Vì 1 1 < < ; ; 2008 2005 2007 2004 1 < 2006 2003 1 1 1 Do : 2008 + 2007 + 2006 − 2005 − 2004 − 2003 < (0,25đ) Vậy x + 2009 = ⇔ x = -2009 E I Bài 3: (2 điểm) B C a) (1đ) Chứng minh ∆ EDF vng cân Ta có ∆ ADE = ∆ CDF (c.g.c) ⇒ ∆ EDF cân D O ˆ ˆ Mặt khác: ∆ ADE = ∆ CDF (c.g.c) ⇒ E1 = F2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Mà E1 + E + F1 = 900 ⇒ F2 + E + F1 = 900 A D ⇒ EDF = 900 Vậy ∆ EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vng ⇒ CO trung trực BD 2 F Mà ∆ EDF vuông cân ⇒ DI = EF B Tương tự BI = EF ⇒ DI = BI ⇒ I thuộc dường trung trực DB ⇒ I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng D Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) A 34 C E BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 Áp dụng định lý Pitago với ∆ ADE vng A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 = 2(x – a a a ≥ ) + 2 2 (0,25đ) Ta có DE nhỏ ⇔ DE2 nhỏ ⇔ x = ⇔ BD = AE = (0,25đ) a ⇔ D, E trung điểm AB, AC a (0,25đ) (0,25đ) b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 1 1 2 2 2 AB AB AB2 AB AB AB2 ≤ = – (AD – AD + )+ = – (AD – ) + 2 4 8 2 AB AB Vậy SBDEC = SABC – SADE ≥ – = AB2 không đổi 8 Do SBDEC = AB2 D, E trung điểm AB, AC Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) ĐỀ S 20 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2x2 5x Bài 2: Tìm đa thức A, biÕt r»ng: x − 16 A = x x2 + Bài 3: Cho phân thức: 5x + 2x + 2x a) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định b) Tìm giá trị x để giá trị phân thức x+2 Bài 4: a) Giải phơng trình : x x = x( x 2) b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + Bài 5: Giải toán sau cách lập phơng trình: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ sản xuất đợc 57 sản phẩm Do đà hoàn thành trớc kế hoạch ngày vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm thực ngày Bài 6: Cho ABC vuông A, cã AB = 15 cm, AC = 20 cm KỴ ®êng cao AH vµ trung tuyÕn AM a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA 35 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diÖn tích AHM ? Biểu điểm - Đáp án Đáp án Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 ®iĨm) b) 2x2 – 5x – = 2x2 + 2x – 7x – = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) = (x + 1)(2x 7) (1 điểm) Bài 2: Tìm A (1 ®iÓm) A= BiÓu ®iÓm x(4 x − 16 x[(2 x) − x(2 x − 4)(2 x + 4) x.2( x − 2).2( x + 2) = = = = 4( x − 2) = x − x( x + 2) x( x + 2) x + 2x x + 2x Bµi 3: (2 ®iĨm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) ≠ ⇔ 2x ≠ vµ x + ≠ ⇔ x ≠ vµ x ≠ -1 b) Rót gän: (1 ®iĨm) 5x + 5( x + 1) = = (0,5 ®iĨm) 2 x + x x ( x + 1) x 5 (0,25 ®iĨm) = ⇔ = 2x x = 2x 5 Vì thoả mÃn điều kiện hai tam giác nên x = 2 Bài 4: a) Điều kiện xác định: x ≠ 0; x ≠ x(x + 2) - (x - 2) = ⇔ x2 + 2x – x +2 = 2; - Gi¶i: x( x − 2) x( x 2) x= (loại) x = - VËy S = { − 1} b) ⇔ x2 – < x2 + 4x + ⇔ x2 – x2 – 4x < + ⇔ - 4x < 16 ⇔ x> - (0,25 ®iĨm) Vậy nghiệm phơng trình x > - Bài 5: Gọi số ngày tổ dự định sản xuất : x ngày Điều kiện: x nguyên dơng x > Vậy số ngày tổ đà thực là: x- (ngày) - Số sản phẩm làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm) - Số sản phẩm thực là: 57 (x-1) (sản phẩm) Theo đề ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13 ⇔ 57x – 57 – 50x = 13 ⇔ 7x = 70 x = 10 (thoả mÃn điều kiện) Vậy: số ngày dự định sản xuất 10 ngày Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phẩm) Bài 6: a) Xét ABC HBA, có: 36 1đ 1® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 1® BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung ⇒ ∆ ABC ~ ∆ HBA ( góc góc) b) áp dụng pitago vuông ABC ta cã : BC = AB + AC = 15 + 20 = 625 = 25 (cm) ABC ~ HBA nên 1đ 1® 1® AB AC BC 15 20 25 = = hay = = HB HA BA HB HA 15 20.05 = 12 (cm) 25 15.15 BH = = (cm) 25 ⇒ AH = 1® HC = BC – BH = 25 – = 16 (cm) BC 25 − BH = − = 3,5(cm) 2 1 SAHM = AH HM = 12 3,5 = 21 (cm2) 2 c) HM = BM – BH = - Vẽ hình: 1đ A 1đ B H M C ĐỀ SỐ 21 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x − 17 x − 21 x + + + =4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 + + = x y z yz xz xy + + Tính giá trị biểu thức: A = x + yz y + 2xz z + xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) HA' HB' HC' + + Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM 37 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 (AB + BC + CA ) ≥ c) Chứng minh rằng: AA'2 + BB'2 + CC'2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI • Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = ⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = ⇔ (2x – 8)(2x – 4) = ⇔ (2x – 23)(2x –22) = ⇔ 2x –23 = 2x –22 = ⇔ 2x = 23 2x = 22 ⇔ x = 3; x = ( điểm ) ( điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) • Bài 2(1,5 điểm): xy + yz + xz 1 + + =0⇒ = ⇒ xy + yz + xz = ⇒ yz = –xy–xz x y z xyz x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) Do đó: A = yz xz xy + + ( x − y)( x − z ) ( y − x )( y − z ) ( z − x )(z − y) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) Tính A = ( 0,5 điểm ) • Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d ∈ N, ≤ a , b, c, d ≤ 9, a ≠ (0,25điểm) Ta có: abcd = k với k, m ∈ N, 31 < k < m < 100 (a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m (0,25điểm) abcd = k ⇔ ⇔ abcd + 1353 = m Do đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) m+k = 123 m+k = 41 ⇒ m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 ⇔ k = 56 k= Kết luận abcd = 3136 • Bài (4 điểm): 38 (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 Vẽ hình HA'.BC S HBC HA' = = a) ; S ABC AA' AA'.BC (0,25điểm) (0,25điểm) S HAB HC' S HAC HB' = = ; S ABC CC' S ABC BB' HA' HB' HC' SHBC S HAB S HAC + + = + + =1 AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC Tương tự: (0,25điểm) (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = (0,5điểm ) IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC (0,5điểm ) = = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm ) ⇒ BI AN.CM = BN.IC.AM c)Vẽ Cx ⊥ CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) ≤ BC + CD - Xét điểm B, C, D ta có: BD (0,25điểm) 2 - ∆ BAD vuông A nên: AB +AD = BD ⇒ AB2 + AD2 ≤ (BC+CD)2 (0,25điểm) 2 AB + 4CC’ ≤ (BC+AC) 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) 2 2 -Chứng minh : 4(AA’ + BB’ + CC’ ) ≤ (AB+BC+AC) (AB + BC + CA ) ⇔ ≥4 (0,25điểm) AA'2 + BB'2 + CC'2 (Đẳng thức xảy ⇔ = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ = AC =BC BC AB ⇔ABC u) Đề S 22 Câu 1: (5điểm) a, Tìm số tự nhiên n để: A=n3-n2+n-1 số nguyên tố b, B = n + 3n +2 2n + 6n Có giá trị số nguyên c, Câu 2: (5điểm) n +2 D= n5-n+2 số phơng Chứng minh : (n 2) a, a b c + + = biÕt abc=1 ab + a + bc + b + ac + c + b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 39 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 a2 b2 c2 c b a + + ≥ + + b2 c2 a2 b a c c, Câu 3: (5điểm) a, Giải phơng tr×nh sau: x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 2-y2+2x-4y-10=0 với x,ynguyên dơng c, x Câu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), giao điểm hai đờng chéo.Qua kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA E,cắt BCtại F a, Chứng minh :Diện tích tam gi¸c AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC b Chøng minh: 1 + = AB CD EF c, Gọi Klà điểm thuộc OE Nêu cách dựng đờng thẳng qua Kvà chia đôi diện tích tam giác DEF Câu Nội dung giải a, (1điểm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) Để A số nguyên tố n-1=1 n=2 A=5 n +2 B có giá trị nguyên n2+2 Câu n2+2 ớc tự nhiên (5điểm) n2+2=1 giá trị thoả mÃn 2+2=2 Hoặc n n=0 Với n=0 B có giá trị nguyên c, (2điểm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) [ ( n − 4) + 5] +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1) (n+1)+2 Mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 (tich 5số tự nhiên liên tiếp) Vµ n(n-1)(n+1 5 VËy D chia d Do số D có tận 7nên D số phơng Vậy giá trị n để D số phơng b, (2điểm) B=n2+3n- a b c + + = ab + a + bc + b + ac + c + ac abc c + + abc + ac + c abc + abc + ac ac + c + ac abc c abc + ac + = + + = =1 + ac + c c + + ac ac + c + abc + ac + §iÓ m 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 a, (1®iĨm) 40 0,5 0,5 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 b, (2®iĨm) a+b+c=0 ⇒ a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc) ⇒ a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) Vì Câu (5điểm) a+b+c=0 a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) Mặt khác 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) Vì a+b+c=0 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) 4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 Từ (1)và(2) a c, (2điểm) x=y áp dụng bất đẳng thøc: x2+y2 ≥ 2xy DÊu b»ng a2 b2 a b a + ≥ = ; b c c b c 2 c b c b b + ≥ = 2 a c a a c a2 c2 a c c + ≥ = ; b a b b a 0.5 0.5 0.5 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5 Cộng vế ba bất đẳng thức trªn ta cã: a b2 c2 a c b 2( + + ) ≥ 2( + + ) ⇒ b c a c b a 2 a b c a c b + + 2≥ + + b c a c b a x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82 x − 214 x − 132 x − 54 ⇔ ( − 1) + ( − 2) + ( − 3) = 86 84 82 x − 300 x − 300 x − 300 ⇔ + + =0 86 84 82 1 ⇔ (x-300) + + = ⇔ x-300=0 ⇔ x=300 VËy S = { 300} 86 84 82 a, (2điểm) Câu b, (2®iĨm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 2-16x+1)(8x2-2x)=9 ⇔ (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 (5®iĨm) ⇔ (64x §Ỉt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 ⇔ k2=72,25 ⇔ k=± 8,5 Với k=8,5 tacó phơng trình: 64x2-16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0; −1 x= ; x = Víi k=- 8,5 Ta có phơng trình: 64x2-16x+9=0 (8x-1)2+8=0 vô nghiệm − 1 2 VËy S = , c, (1®iĨm) x2-y2+2x-4y-10 = ⇔ (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0 (x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên dơng Nên x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 x-y-1=1 x=3 ; y=1 Phơng trình có nghiệm dơng (x,y)=(3;1) 41 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 a,(1điểm) Vì AB//CD S DAB=S CBA A (cùng đáy đờng cao) S DAB SAOB = S CBA- SAOB Hay SAOD = SBOC E B O K I N 0,5 F M D EO 0,5 C AO Câu b, (2điểm) Vì EO//DC DC = AC Mặt khác AB//DC (5điểm) 0,5 AB AO AB AO AB AO EO AB 1,0 = ⇒ = ⇒ = ⇒ = DC OC AB + BC AO + OC AB + BC AC DC AB + DC EF AB AB + DC 1 0,5 ⇒ = ⇒ = ⇒ + = DC AB + DC AB.DC EF DC AB EF c, (2®iĨm) +Dùng trung tun EM ,+ Dựng EN//MK (N DF) +Kẻ đ- 1,0 ờng thẳng KN đờng thẳng phải dựng Chứng minh: SEDM=S EMF(1).Gọi giao EM KN I SIKE=SIMN (cma) (2) Tõ (1) vµ(2) ⇒ SDEKN=SKFN http://123doc.org/users/home/user_control_doc.php?s=0&use_id=1695450 Gmail: songuyenduonggmail.com 42 1,0 ...BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP b x − 30x + 31x − 30 = x − x + ( x − ) ( x +... ⇔ ME = MF (AEMF hình vng) (2 điểm) (2 điểm) (1 điểm) BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP ⇒ M trung điểm BD b c 1 a = 1+ a + a a c 1... rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM 37 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 (AB + BC + CA ) ≥ c) Chứng minh rằng: AA''2 + BB''2 + CC''2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI • Bài 1(3 điểm): a) Tính