Chuyên đề 1: dãy các số nguyên phân số viết theo quy luật = = = = = = = = = = = = &*&*& = = = = = = = = = = = = = (1). Dãy 1: Sử dụng công thức tổng quát na 1 a 1 n)a.(a n + = + - - - Chứng minh - - - naanaa a naa na naa ana naa n + = + + + = + + = + 11 ).().().( )( ).( Bài 1.1 : Tính a) 2009.2006 3 14.11 3 11.8 3 8.5 3 ++++=A b) 406.402 1 18.14 1 14.10 1 10.6 1 ++++=B c) 507.502 10 22.17 10 17.12 10 12.7 10 ++++=C d) 258.253 4 23.18 4 18.13 4 13.8 4 ++++=D Bài 1.2 : Tính: a) 509.252 1 19.7 1 7.9 1 9.2 1 ++++=A b) 405.802 1 17.26 1 13.18 1 9.10 1 ++++=B c) 405.401 3 304.301 2 13.9 3 10.7 2 9.5 3 7.4 2 +++=C Bài 1.3 : Tìm số tự nhiên x, thoả mãn: a) 8 5 120 1 21 1 15 1 10 1 2008 = x b) 45 29 45.41 4 17.13 4 13.9 4 9.5 47 =+++++ x c) 93 15 )32)(12( 1 9.7 1 7.5 1 5.3 1 = ++ ++++ xx Bài 1.4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có: a) 46)23)(13( 1 11.8 1 8.5 1 5.2 1 + = + ++++ n n nn b) 34 5 )34)(14( 5 15.11 5 11.7 5 7.3 5 + = + ++++ n n nn Bài 1.5 : Chứng minh rằng với mọi 2; nNn ta có: 15 1 )45)(15( 3 24.19 3 19.14 3 14.9 3 < + ++++ nn Bài 1.6 : Cho 403.399 4 23.19 4 19.15 4 +++=A chứng minh: 80 16 81 16 << A Bài 1.7 : Cho dãy số : ; 25.18 2 ; 18.11 2 ; 11.4 2 a) Tìm số hạng tổng quát của dãy b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy. Tính S. Bài 1.8 : Cho 2222 9 1 4 1 3 1 2 1 ++++=A . Chứng minh 9 8 5 2 << A Bài 1.9 : Cho 2222 2007 2 7 2 5 2 3 2 ++++=A . Chứng minh: 2008 1003 <A http://kinhhoa.violet.vn 1 ∗ Bµi 1.10 : Cho 2222 2006 1 8 1 6 1 4 1 ++++=B . Chøng minh: 2007 334 <B ∗ Bµi 1.11 : Cho 222 409 1 9 1 5 1 +++=S . Chøng minh: 12 1 <S ∗ Bµi 1.12 : Cho 2222 305 9 17 9 11 9 5 9 ++++=A . Chøng minh: 4 3 <A ∗ Bµi 1.13 : Cho 2 201 202.200 49 48 25 24 9 8 ++++=B . Chøng minh: 75,99>B ∗ Bµi 1.14 : Cho 1764 1766 25 27 16 18 9 11 ++++=A . Chøng minh: 21 20 40 43 20 40 << A ∗ Bµi 1.15 : Cho 100.98 99 6.4 5 5.3 4 4.2 3 3.1 2 22222 +++++=B . T×m phÇn nguyªn cña B. ∗ Bµi 1.16 : Cho 2500 2499 16 15 9 8 4 3 ++++=C . Chøng minh C > 48 ∗ Bµi 1.17 : Cho 59 321 1 4321 1 321 1 ++++ ++ +++ + ++ =M . Chøng minh 3 2 <M ∗ Bµi1.18 : Cho 100.99 101.98 5.4 6.3 4.3 5.2 3.2 4.1 ++++=N . Chøng minh 97 < N < 98. • Më réng víi tÝch nhiÒu thõa sè: )2)(( 1 )( 1 )2)(( 2 nananaananaa n ++ − + = ++ Chøng minh: )2)(( 1 )( 1 )2)(()2)(( 2 )2)(( )2( )2)(( 2 nananaananaa a nanaa na nanaa ana nanaa n ++ − + = ++ − ++ + = ++ −+ = ++ )3)(2)(( 1 )2)(( 1 )3)(2)(( 3 nananananaanananaa n +++ − ++ = +++ ∗ Bµi 1.19 : TÝnh 39.38.37 2 4.3.2 2 3.2.1 2 +++=S ∗ Bµi 1.20 : Cho 20.19.18 1 4.3.2 1 3.2.1 1 +++=A . Chøng minh 4 1 <A ∗ Bµi 1.21 : Cho 29.27.25 36 7.5.3 36 5.3.1 36 +++=B . Chøng minh B < 3 ∗ Bµi 1.22 : Cho 308.305.302 5 14.11.8 5 11.8.5 5 +++=C . Chøng minh 48 1 <C ∗ Bµi 1.23 : Chøng minh víi mäi n ∈ N; n > 1 ta cã: 4 11 4 1 3 1 2 1 3333 <++++= n A http://kinhhoa.violet.vn 2 ∗ Bµi 1.24 : TÝnh 30.29.28.27 1 5.4.3.2 1 4.3.2.1 1 +++=M ∗ Bµi 1.25 : TÝnh 100.99 1 6.5 1 4.3 1 2.1 1 100 1 52 1 51 1 ++++ +++ =P Bµi 1.26: TÝnh: 2007.2005 1004.1002 )12)(12( )1)(1( 9.7 5.3 7.5 4.2 5.3 3.1 ++ +− +− ++++= nn nn Q Bµi 1. 27: TÝnh: 2007.2005 2006 5.3 4 4.2 3 3.1 2 2222 ++++=R Bµi 1.28: Cho 12005 2 12005 2 12005 2 12005 2 12005 2 20052 2 2006 2 1 2 3 2 2 + ++ + ++ + + + + + = + n n S So s¸nh S víi 1002 1  Hướng dẫn: 1k m2 1k m 1k m 1k m2 )1k)(1k( mmkmmk 1k m 1k m 22 − − − = + ⇒ − = +− +−+ = + − − Áp dụng vào bài toán với m ∈ {2; 2 , …., 2 } và k ∈ { 2005, 2005 , … 2006 2 2005 } ta có: 12005 2 12005 2 12005 2 2 2 − − − = + 12005 2 12005 2 12005 2 2 2 3 2 2 2 2 − − − = + ……………… (2). D·y 2: D·y luü thõa       n a 1 víi n tù nhiªn. Bµi 2.1: TÝnh : 10032 2 1 2 1 2 1 2 1 ++++=A Bµi 2.2: TÝnh: 10099432 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 −++−+−=B Bµi 2.3: TÝnh: 9953 2 1 2 1 2 1 2 1 ++++=C http://kinhhoa.violet.vn 3 Bài 2.4: Tính: 581074 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ++=D Bài 2.5: Cho n n A 3 13 27 26 9 8 3 2 ++++= . Chứng minh 2 1 > nA Bài 2.6: Cho 98 98 3 13 27 28 9 10 3 4 + ++++=B . Chứng minh B < 100. Bài 2.7: Cho 9932 4 5 4 5 4 5 4 5 ++++=C . Chứng minh: 3 5 <C Bài 2.8: Cho 22222222 10.9 19 4.3 7 3.2 5 2.1 3 ++++=D . Chứng minh: D < 1. Bài 2.9: Cho 10032 3 100 3 3 3 2 3 1 ++++=E . Chứng minh: 4 3 <E Bài 2.10: Cho n n F 3 13 3 10 3 7 3 4 32 + ++++= với n N * . Chứng minh: 4 11 <F Bài 2.11: Cho 10032 3 302 3 11 3 8 3 5 ++++=G . Chứng minh: 2 1 3 9 5 2 << G Bài 2.12: Cho 10032 3 601 3 19 3 13 3 7 ++++=H . Chứng minh: 5 9 7 3 << H Bài 2.13: Cho 10032 3 605 3 23 3 17 3 11 ++++=I . Chứng minh: I < 7 Bài 2.14: Cho 10132 3 904 3 22 3 13 3 4 ++++=K . Chứng minh: 4 17 <K Bài 2.15: Cho 10032 3 403 3 15 3 11 3 7 ++++=L . Chứng minh: L < 4,5. (3). Dãy 3: Dãy dạng tích các phân số viết theo quy luật: Bài 3.1: Tính: 2500 2499 25 24 . 16 15 . 9 8 =A . Bài 3.2: Cho dãy số: , 35 1 1, 24 1 1, 15 1 1, 8 1 1, 3 1 1 a) Tìm số hạng tổng quát của dãy. b) Tính tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy. Bài 3.3: Tính: = 780 1 1 15 1 1 10 1 1 6 1 1 3 1 1B . http://kinhhoa.violet.vn 4 Bµi 3.4: Cho 200 199 6 5 . 4 3 . 2 1 =C . Chøng minh: 201 1 2 <C Bµi 3.5: Cho 100 99 6 5 . 4 3 . 2 1 =D . Chøng minh: 10 1 15 1 << D Bµi 3.6: TÝnh:       +       +       +       += 1 99 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 E Bµi 3.7: TÝnh:       −       −       −       −= 1 100 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 F . Bµi 3.8: TÝnh: 2222 30 899 4 15 . 3 8 . 2 3 =G . Bµi 3.9: TÝnh: 64 31 . 62 30 10 4 . 8 3 . 6 2 . 4 1 =H . Bµi 3.10: TÝnh: 1000 001 100000001.10001.101 /12   sc n I − = Bµi 3.11: Cho       −       −       −       −= 1 100 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 2222 K . So s¸nh K víi 2 1− Bµi 3.12: So s¸nh       −       −       −       −= 20 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1L víi 21 1 Bµi 3.13: So s¸nh       −       −       −       −= 100 1 1 16 1 1 9 1 1 4 1 1M víi 19 11 Bµi 3.14: TÝnh: 51.49 50 5.3 4 . 4.2 3 . 3.1 2 2222 =N Bµi 3.15: TÝnh       −       −       −       −= 7 10 1 7 3 1 7 2 1 7 1 1P . Bµi 3.16: TÝnh:       −       −       −       −= 2007 2 1 7 2 1 5 2 1 3 2 1Q Bµi 3.17: TÝnh:       −       −       −       −= 99 1 2 1 7 1 2 1 5 1 2 1 3 1 2 1 T Bµi 3.18: So s¸nh: 40 23.22.21 39 7.5.3.1 =U vµ 12 1 20 − =V Bµi 3.19: Cho       +       +       +       += 101.99 1 1 5.3 1 1 4.2 1 1 3.1 1 1V . Chøng minh V < 2. Bµi 3.20: Cho 199 200 5 6 . 3 4 . 1 2 =S . Chøng minh: 400201 2 << S http://kinhhoa.violet.vn 5 Bài 3.21: Cho 210 208 12 10 . 9 7 . 6 4 . 3 1 =A . Chứng minh: 25 1 <A Bài 3.22: Tính: 101.100 100 4.3 3 . 3.2 2 . 2.1 1 2222 =B Bài 3.23: Tính: + + + + + + + + = 1999 1000 1 3 1000 1 2 1000 1 1 1000 1 1000 1999 1 3 1999 1 2 1999 1 1 1999 1 C Bài 3.24: Tính: = 2 )12( 1 1 25 4 1 9 4 1 1 4 1 n D , với n N, 1n Bài 3.25: Cho ++++ ++ + = n E 321 1 1 321 1 1 21 1 1 và n n F 2+ = với n N * . Tính F E Bài 3.26: Cho + + + + += 1024 2 1 1 256 1 1 16 1 1 4 1 1 2 1 1G và 2047 2 1 =H Tính: G + H. Bài 3.27: Cho n nn I 2 22 2 2)12)(12( 65536 2257.255 . 256 217.15 . 16 25.3 . 4 23.1 ++++++ = với n N. Chứng minh: 3 4 <I Bài 3.28: Cho dãy số: ; 3 1 1; 3 1 1; 3 1 1; 3 1 1; 3 1 1 16842 a) Tìm số hạng tổng quát của dãy. b) Gọi A là tích của 11 số hạng đầu tiên của dãy. Chứng minh A23 1 là số tự nhiên. c) Tìm chữ số tận cùng của A B 23 3 = Bài 3.29: Cho n nn A 2 22 42 6 23 6 97 . 6 13 . 6 5 + = và 12 1 6 1 + = n B với n N a) Chứng minh : B A M = là số tự nhiên b) Tìm n để M là số nguyên tố. http://kinhhoa.violet.vn 6 Bµi 3.30: Cho n n A 2 2 42 3 16 3 1297 . 3 37 . 3 7 + =       +       +       +       +       += n B 2 842 3 1 1 3 1 1. 3 1 1 3 1 1 3 1 1 víi n ∈ N a) Chøng minh : 5A – 2B lµ sè tù nhiªn. b) Chøng minh víi mäi sè tù nhiªn n kh¸c 0 th× 5A – 2B chia hÕt cho 45. Bµi 3.31: Cho n nn A 2 22 42 3 23 3 97 . 3 13 . 3 5 + = .( víi n ∈ N ) Chøng minh: A < 3. (4). TÝnh hîp lÝ c¸c biÓu thøc cã néi dung phøc t¹p: Bµi 4.1: TÝnh: 99.98 4.33.22.1 )98 321( )321()21(1 ++++ +++++++++++ = A Bµi 4.2: TÝnh: 99.98 4.33.22.1 1.98 96.397.298.1 ++++ ++++ = B Bµi 4.3: TÝnh: 400.29 9 1 104.3 1 103.2 1 102.1 1 400.10 1 1 302.3 1 301.2 1 300.1 1 ++++ ++++ =C Bµi 4.4: TÝnh: 100 99 4 3 3 2 2 1 100 1 3 1 2 1 1100 ++++       ++++− = D Bµi 4.5: TÝnh: 100.99 1 6.5 1 4.3 1 2.1 1 100 1 53 1 52 1 51 1 ++++ ++++ =E Bµi 4.6: TÝnh 121 16 11 16 16 121 15 11 15 15 : 27 8 9 8 3 8 8 27 5 9 5 3 5 5 +− +− −+− −+− =F Bµi 4.7: TÝnh 25 2 32,0 4 1 1. 5 1 1:2,1 56 43 4: 4 1 2 7 3 5 2 1 2: 5 1 15 2 3 +       −       −       + =G http://kinhhoa.violet.vn 7 Bµi 4.8: TÝnh 500 1 55 1 50 1 45 1 100 92 11 3 10 2 9 1 92 : 100 1 4 1 3 1 2 1 1 99 2 98 97 3 98 2 99 1 ++++ −−−−− ++++ +++++ =H Bµi 4.9: TÝnh 2941 5 41 5 29 5 5 2941 4 41 4 29 4 4 : 1943 3 43 3 19 3 3 1943 2 43 2 19 2 2 −+− −+− −+− −+− =I Bµi 4.10: TÝnh 91 7 169 7 13 7 7 91 3 169 3 13 3 3 : 85 4 289 4 7 4 4 85 12 289 12 7 12 12 +++ +++ −−− −−− =K Bµi 4.11: TÝnh 20.1516.1212.98.64.3 10.58.46.34.22.1 ++++ ++++ =L Bµi 4.12: TÝnh 5 2 :5,0.6,0 17 2 2. 4 1 2 9 5 5 7 4 : 25 2 08,1 25 1 64,0 25,1. 5 3 1:6,1 +       −       − + −       =M Bµi 4.13: TÝnh 43 11 8: 1517 38 6 1591 94 11 5 1 8       −=N Bµi 4.14: TÝnh       −+= 37.13.11.7.3 4 222222 5 111111 5 .10101P Bµi 4.15: TÝnh 1.99 1 3.97 1 95.5 1 97.3 1 99.1 1 99 1 7 1 5 1 3 1 1 +++++ +++++ =Q Bµi 4.16: TÝnh 1 199 2 198 197 3 198 2 199 1 200 1 4 1 3 1 2 1 +++++ ++++ =R http://kinhhoa.violet.vn 8 . 55 1 50 1 45 1 100 92 11 3 10 2 9 1 92 : 100 1 4 1 3 1 2 1 1 99 2 98 97 3 98 2 99 1 ++++ −−−−− ++++ +++++ =H Bµi 4 .9: TÝnh 294 1 5 41 5 29 5 5 294 1 4 41 4 29 4 4 : 194 3 3 43 3 19 3 3 194 3 2 43 2 19 2 2 −+− −+− −+− −+− =I Bµi. + + + + + + + + = 199 9 1000 1 3 1000 1 2 1000 1 1 1000 1 1000 199 9 1 3 199 9 1 2 199 9 1 1 199 9 1 C Bài 3.24: Tính: = 2 )12( 1 1 25 4 1 9 4 1 1 4 1 n D , với.       −+= 37.13.11.7.3 4 222222 5 111111 5 .10101P Bµi 4.15: TÝnh 1 .99 1 3 .97 1 95 .5 1 97 .3 1 99 .1 1 99 1 7 1 5 1 3 1 1 +++++ +++++ =Q Bµi 4.16: TÝnh 1 199 2 198 197 3 198 2 199 1 200 1 4 1 3 1 2 1 +++++ ++++ =R http://kinhhoa.violet.vn 8