I./ MỞ ĐẦU Thơng qua việc giải tốn phát triển tư độc lập, sáng tạo học sinh, rèn ý chí vượt qua khó khăn Đứng trước tốn, học sinh phải có vốn kiến thức bản, vững mặt lý thuyết Có thủ pháp thuộc dạng tốn đó, từ tìm cho đường giải tốn nhanh Để học sinh có điều trước hết phải xuất phát từ người thầy, người thầy phải đầu tư soạn theo chuyên đề dạng toán cách bản, sâu rộng, giúp học sinh : - Nhìn nhận từ toán cụ thể thấy toán khái quát - Từ phương pháp giải khái quát thấy cách giải tốn cụ thể - Nhìn thấy liên quan toán với - Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết vào giải toán Với lao động nghiêm túc tơi xin trình bày phần nhỏ kinh nghiệm soạn nhằm giúp học sinh rèn kỹ giải dạng tốn vận dụng tính chất tỷ lệ thức dãy tỷ số đại số II./ NỘI DUNG CHỌN ĐỀ TÀI Lý thuyết Tỷ lệ thức đẳng thức hai tỷ số * Tính chất tỷ lệ thức: Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức a c = b d a c = suy a.d = b.c b d Tính chất 2: Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ cho ta tỷ lệ thức: a c a b d c d b = , = , = , = b d c d b a c a Tính chất 3: Từ tỷ lệ thức a c a b d c d b = suy tỷ lệ thức: = , = , = b d c d b a c a * Tính chất dãy tỷ lệ thức nhau: Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức a c a c a a+c a −c = suy tỷ lệ thức sau: = = , (b ≠ ± d) b d b b+d b−d i Tính chất 2: b = d = j suy tỷ lệ thức sau: a c+c+i a −c+i = = , (b, d, j ≠ 0) b b+d + j b−d + j Tính chất 3: a, b,c tỷ lệ với 3, 5, tức ta có: a b c = = Thực tế năm trước chưa trọng việc rèn kỹ theo đề tài học sinh gặp nhiều sai sót q trình giải tốn Ví dụ em hay sai trình bày lời giải , nhầm lẫn dấu “=” với dấu “=>” Ví dụ: x y x y = (⇒) = em lại dung dấu sai d 5.3 7.3 Hãy tìm x, y, z biết Giải: x y z = = x – z = x y z x−z x = = (⇒) = = = ⇒ x = 5.7 S 5−4 Ở em dùng dấu suy sai Hay biến đổi tỷ lệ thức chậm chạp Hiện sai sót gặp Các em giải dạng tốn tương đối thành thạo tơi phân chia thành dạng toán nhỏ Toán chứng minh đẳng thức Tốn tìm x, y, z, Toán đố Toán lập tỷ lệ thức Áp dụng chứng minh bất đẳng thức Qua việc giải tập đa dạng áp dụng tính chất tỷ lệ thức em nắm chắn tính chất tỷ lệ thức Biến đổi từ tỷ lệ thức tỷ lệ thức linh hoạt III./ BÀI TẬP CỤ THỂ A Loại toán chứng minh đẳng thức Bài Chứng minh : Nếu a c a+b c+d = ≠ = với a, b, c, d ≠ b d a −b c −d Giáo viên hỏi: Muốn chứng minh trước hết xác định tốn cho ta điều gì? Bắt chứng minh điều gì? Giải: Với a, b, c, d ≠ ta có: a c a c a +b c+d = ⇒ +1 = +1 ⇒ = b d b d b d a+b b = (1) c+d d ⇒ a c a −b c −d a −b b = ⇒ = ⇒ = (2) b d b d c−d d Từ (1) (2) => Bài 2: Nếu a +b a −b a+b c+d = ⇒ = (ĐPCM) c+d c−d a −b c −d a c = thì: b d a, 5a + 3b 5c + 3d = 5a − 3b 5c − 3d b, a + 3ab 7c + 3cd = 11a − 8b 11c − 8d Giải: - Nhận xét điều phải chứng minh? - Làm để xuất 5a, 5c, 3b, 3d? - Bài gợi ý cho giải 2? a Từ b a c a b 5a 3b 5a 5c 5a + 3b 5c + 3d = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = (đpcm) b d c d 5c 3d 3b 3d 5a − 3b 5c − 3d a c a b a b ab 7a 8b 3ab 11a = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = = = b d c d c d cd 7c 8d 3cd 11c 7a + 3ab 11a − 8b = (đpcm) 7c + 3cd 11c − 8d Bài 3: CMR: Nếu a = bc a+b c+a = điều đảo lại có hay khơng? a −b c −a a c b a Giải: + Ta có: a = bc ⇒ = ⇒ a +b a −b a +b c +a ⇒ = c+a c−a a −b c −a + Điều đảo lại đúng, thật vậy: a+b c+a = ⇒ ( a + b) ( c − a) = ( a − b) ( c + a ) a −b c −a 2 Ta có: ac − a − bc − ab = ac + a − bc − ab ⇒ 2bc = a ⇒ a = bc a c ac a + c = CMR = Bài 4: Cho b d bd b + d Giải: a c ac a c a + c ac a + c = ⇒ = = = ⇒ = (đpcm) b d bd b d b +d2 bd b + d a c a + b4  a −b  = Bài 5: CMR: Nếu =  ÷ b d c−d  c +d Giải: a c a b a −b a4  a − b  ⇒ = Ta có: = ⇒ = = ÷ ( 1) b d c d c−d c c−d  a b a b a + b4 Từ = ⇒ = = 4 ( ) c d c d c +d a + b4  a−b  Từ (1) (2) ⇒  ÷ = 4 (đpcm) c−d  c +d Bài 6: CMR Nếu a + c = 2b (1) 2bd = c(b+d) (2) đk: b; d≠0 a c = b d Giải: Ta có: a + c = 2b ⇒ ( a + c ) d = 2bd ( 3) Từ (3) (2) ⇒ ⇒ c ( b + d ) = ( a + c) d ⇒ cb + cd = ad + cd a c = (đpcm) b d Bài 7: Cho a, b, c, d số khác nhau, khác không thỏa mãn điều kiện: b = ac; c = bd b3 + c3 + d ≠ CM: a + b3 + c a = b3 + c + d d a b b c Giải: + Ta có b = ac ⇒ = ( 1) b c c d + Ta có c = bd ⇒ = ( ) + Từ (1) (2) ta có a b c a b3 c3 a + b3 + c = = ⇒ = = 3= 3 ( 3) b c d b c d b + c + d3 a b c a3 a b c a = ( 4) Mặt khác: = = ⇒ = b c d b bcd d Từ (3) (4) ⇒ a3 + b3 + c3 a = b3 + c + d d Bài 8: CMR: Nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) (1) Trong a ; b ; c số khác khác thì: y−z z−x x− y = = ( ∗) a ( b − c) b ( c − a) c ( a − b) Giải: Vì a; b; c ≠0 nên chia các số (1) cho abc ta có: a ( y+z ) b( z + x) c ( x + y) y+z z + x x + y = = ⇒ = = ( 2) abc abc abc bc ac ab ? Nhìn vào (*) ta thấy mẫu thức cần có ab – ac ? Ta biến đổi nào? Từ (2) ⇒ y+z ( x + y ) − ( z + x ) ( y + z ) − ( x + y ) ( z + x ) − ( y + z ) = = = bc ab − ac bc − ab ac − bc y-z z-x x-y = = a ( b − c ) b ( c − a ) c ( a − b ) (đpcm) Bài 9: Cho bz-cy cx-az ay-bx = = ( 1) a b c CMR: x y z = = a b c Giải: Nhân thêm tử mẫu (1) với a b; c Từ (1) ta có: bz-cy abz-acy bcx-baz cay-cbx abz-acy+bcx-baz+cay-cbx = = = = =0 a a2 b2 c2 a + b2 + c2 ⇒ bz-cy = ⇒ bz = cy ⇒ x y = c b ⇒ ay-bx = ⇒ ay = bx ⇒ x a Từ (2) (3) ⇒ = Bài 10 Biết ( 2) x y = ( 3) a b y z = (đpcm) b c a b' b c' + = ' + = a' b b c CMR: abc + a’b’c’ = Giải: Từ a b' + = ⇒ ab + a ' b ' = 1( 1) a' b Nhân hai vế (1) với c ta có: abc + a’b’c = a’bc (3) b c' Ta có: ' + = ⇒ bc + b ' c ' = b ' c(2) b c Nhân hai vế (2) với a’ ta có: a’bc + a’b’c’ = a’b’c (4) Cộng hai vế (3) (4) ta có: abc + a’b’c + a’bc + a’b’c’ = a’bc +a’b’c => abc + a’b’c = (đpcm) B Tốn tìm x, y, z Bài 11 Tìm x, y, z biết: x y z = = x + y − = 186 15 20 28 Giải: Giả thiết cho x + y − = 186 Làm để sử dụng hiệu giả thiết trên? Từ x y z 2x y z x + y − z 186 = = = = = = = =3 15 20 28 30 60 28 30 + 60 − 28 62  x = 3.15 = 45  y= 3.20 = 60  z = 3.28 = 84 Bài 12 Tìm x, y, z cho: x y y z = = x + y − z = 372 Giải: Nhận xét có giống nhau? Đưa dạng cách nào? Đưa tử số có số chia Ta có: x y x y = ⇒ = (chia hai vế cho 5) 15 20 y z y z = ⇒ = (chia hai vế cho 4) 20 28 ⇒ x y z = = 15 20 28 Tương tự học sinh tự giải tiếp: x = 90; y = 120; z = 168 Bài 13 Tìm x, y, z biết x y y z = = x + y + z = 98 Giải: Hãy nêu phương pháp giải (tìm GCNN (3;5)=?) Học sinh nên tự giải (tương tự em gặp) ĐS: x = 20; y = 30; z = 42 Bài 14 Tìm x, y, z biết 2x = 3y = 5z (1) x + y –z = 95 (*) x Cách 1: Từ 2x = 3y ⇒ = 3y = 5z ⇒ y y z = Đưa cách giải giống ba trên: cách dài dịng Cách 2: + Nếu có tỷ lệ x, y, z tương ứng ta giải (*) + Làm để (1) cho ta (*) + chia hai vế (1) cho BCNN (2;3;5) = 30 2x = 3y = 5z ⇒ 2x y 5z x y z x+ y−z 95 = = = = = = = =5 30 30 30 15 10 15 + 10 − 19 => x = 75, y = 50, z = 30 Bài 15 Tìm x, y, z biết: x = y = z ( 1) x – y = 15 Giải: Hãy nêu cách giải (tương tự 11) BCNN(1 ;2 ;3) = Chia vế (1) cho ta có x y z x − y 15 = = = = =5 12 12 − => x = 2.15 = 60; y = 5.9 = 45; z = 8.5 = 40 Bài 16 Tìm x, y, z biết: a x −1 y − z − = = ( 1) 2x + 3y –z = 50 b 2x y 4z = = ( ) x + y +z = 49 Giải: a Với giả thiết phần a ta co cách giải tương tự nào? (bài 11) ( x − 1) ( y − ) z − x − + y − − z + = = = 4+9−4 Từ (1) ta có: ( x + y − z ) + −2 − + = 50 − = = 9 x −1 = ⇒ x = 11 y−2 = ⇒ x = 17 z −3 = ⇒ x = 23 b ? Nêu cách giải phần b? (tương tự 15) Chia vế cho BCNN (2;3;4) = 12 2x y 4z 2x 3y 4z = = ⇒ = = 3.12 4.12 5.12 x y z x+ y+z 49 ⇒ = = = = =1 18 10 15 18 + 16 + 15 49 => x = 18; y = 16; z = 15 Bài 17 Tìm x; y; z biết rằng: a x y = xy = 54 (2) b x y = x + y = (x, y > 0) Giải: ? Làm để xuất xy mà sử dụng giả thiết x y x x y x x xy 54 = ( 1) ⇒ = ⇒ = = =9 2 6 a 2 x = 4.9 = ( 2.3) = ( ) = ( −6 ) ⇒ x = ±6 Thay vào (2) ta có: x = ⇒ y = 54 =9 x = −6 ⇒ y = 54 = −9 −6 x y x2 y2 x2 − y = ⇒ = = = = 25 25 − 16 b 25 ⇒ x2 = ⇒x=± ⇒ y2 = ⇒x=± Bài 18 Tìm số a1, a2, …a9 biết: a −9 a1 − a − = = = a1 + a + + a = 90 8 Giải : a1 − ( a1 + a + + a ) − ( + + + ) 90 − 45 = = =1 9 + + + 45 Từ dễ dàng suy a1; a2; … Bài 19 Tìm x; y; z biết: a y + z +1 x + z + x + y − = = = ( 1) x y z x+ y+z Giải: Theo tính chất dãy tỷ số ta có từ (1) y + z +1 y + z +1+ x + z + + x + y − 2( x + y + z ) = = x x+ y+z x+ y+z = ⇒ x + y + z = 0,5 x+ y+z y + z +1 = ⇒ y + z +1 = 2x ⇒ x + y + z +1 = 2x + x x ⇒ 1,5 = x ⇒ x = x+z+2 = ⇒ x + y + z + = 3y Nếu a + y + z ≠ : y ⇒ 2,5 = y ⇒ y = x+ y −3 = ⇒ x + y + z − = 3z z 5 ⇒ − = 3z ⇒ z = − ⇒ b Tương tự em tự giải phần b Tìm x, y, z biết: x y z = = = x+ y+ z y + z +1 x + z +1 x + y − Nếu x + y + z ≠ => x + y + z = 0,5 2 ĐS : x = ; y = ; z = − Nếu x + y + z = => x = y = z = Bài 20 Tìm x biết rằng: 1+ y 1+ y 1+ y = = 18 24 6x Giải: 1+ y 1+ y +1+ y + 8y 1+ y + y = = ⇒ = 24 18 + x 18 + x 24 18 + x 1+ y 24 1+ y 24 ⇒ = ⇒ = = 24 18 + x ( + y ) 18 + x ⇒ 18 + x = 24.2 ⇒ ( + x ) = 6.4.2 ⇒ 3+ x = ⇒ x = Bài 21 Tìm x, y,z biết rằng: x y z = = xyz = 810 Giải: x y z x x x x y z xyz = = ⇒ × × = × × = 2 2 30 x3  x  810 ⇒ ÷ = = 27 ⇒ = 27 10 2 ⇒ x = 8.27 = 23.33 = ( 2.3) ⇒x=6 x y 3.6 = ⇒y= =9 mà z = 15 Bài 22 Tìm số x1, x2, …xn-1, xn biết rằng: x x x1 x2 = = × ×= n −1 = n x1 + x2 + × ×+ xn = c × × a1 a2 an −1 an ( a1 ≠ 0, , an ≠ 0; a1 + a2 + + an ≠ ) Giải: x x x + x + + xn x1 x2 c = = × ×= n −1 = n = × = a1 a2 an −1 an a1 + a2 + + an a1 + a2 + + an xi = c.ai a1 + a2 + + an đó: i = 1, 2,…, n Bài 23 Tìm số x; y; z ЄQ biết rằng: ( x + y ) : ( − z ) : ( y + z ) : ( + y ) = :1: : Giải: Ta có: 10 x+ y 5− z y + z 9+ y = = = = k (1) ( x + y) + ( − z) + ( y + z) + ( + y) = x + y − +1+ + x + y − = k ⇒ ⇒k +4= x+ y  x + y = 3k ⇒ + k = 3k ⇒ = 2k ⇒ k = Từ (1) ⇒ 5− z = k ⇒ z = 5− k = 5− = + y = 5k ⇒ y = 5k − = 10 − = x + y = 3k ⇒ x = 3k − y = − = x =  ⇒ y =1 z =  Bài 24 Tổng luỹ thừa bậc ba số -1009 Biết tỷ số số thứ số thứ ; số thứ số thứ Tìm số đó? Giải: Ta có: x + y + z = −1009 x x y x y = ⇒ = ⇒ = y 3 x x z x y z = ⇒ = ⇒ = = z 9 ⇒ x = 4k , y = 6k , z = 9k x + y + z = ( 4k ) + ( 6k ) + ( 9k ) = 64k + 216k + 729k = 1009k = −1009 3 ⇒ k = −1 ⇒ k = −1 ⇒ x = −1.4 = −4 ⇒ y = −1.6 = −6 ⇒ z = −1.9 = −9 C./ TOÁN ĐỐ (ngoài dạng đơn giản sgk giáo viên soạn bổ sung thêm) 11 Bài 25 Có đội A; B; C có tất 130 người trồng Biết số người đội A; B; C trồng theo thứ tự 2; 3; Biết số đội trồng Hỏi đội có người trồng cây? Giải: + Gọi số người trồng đội A; B; C là: x; y; z (người), đk: x; y; z ЄN* + Theo ta có: x.2 = y.3 = 4.z (1) x + y+ z =130 BCNN (2;3;4) = 12 x.2 y.3 4.z x y z x + y + z 130 = = ⇒ = = = = = 10 12 12 12 6 + + 13 x = 60; y = 10; z = 30 Trả lời: Đội A; B; C có số người trồng theo thứ tự 60; 40; 30 ĐS: 60; 40; 30 Bài 26 Trường có lớp 7, biết có số học sinh lớp 7A số học sinh 7B 4 số học sinh 7C Lớp 7C có số học sinh tổng số học sinh lớp 57 bạn Tính số học sinh lớp? Giải: Gọi số học sinh 7A; 7B; 7C x; y; z (em), x; y; z ≠0 Theo ta có: x = y = z ( 1) x + y + z = 57 Chia (1) cho BCNN (3;4;5) = 12 ⇒ x y z x+ y−z 57 = = = = 18 16 15 18 + 16 − 15 19 => x = 54; y = 18; z =45 Trả lời: số học sinh lớp 7A; 7B; 7C là: 54; 18; 45 ĐS: 54; 18; 45 Bài 27 Tìm ba số nguyên dương biết BCNN chúng 3150 tỷ số số thứ với số thứ 10 , số thứ với số thứ ba 12 Giải: Gọi ba số nguyên dương là: x; y; z Theo ta có: BCNN (x;y;z) = 3150 x x 10 x y x z = ; = ⇒ = ; = y z 10 x y z ⇒ = = =k 10 18 ⇒ x = 10k = 2.5.k ⇒ y = 18.k = 32.2.k ⇒ z = 7.k BCNN (x;y;z)=3150 = 2.32.5.7  k=5  x=50; y = 90; z = 35 Vậy số nguyên dương x = 50; y = 90; z = 35 E./ TÍNH CHẤT CỦA TỶ LỆ THỨC ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Tính chất 1: (Bài 3/33 GK Đ7) Cho số hữu tỷ CM: a c với b> 0; d >0 b d a c < ⇔ ad < bc b d Giải: a c  <  db cd < ⇒ ad < bc + Có b d ⇒ bd db b > 0; d >   + Có: ad < bc  ad bc a c < ⇒ < ⇒ b > 0; d >  bd db b d Tính chất 2: Nếu b > 0; d > từ a c a a+c c < ⇒ < < b d b b+d d (Bài 5/33 GK Đ7) Giải: a c  <  + b d  ⇒ ad < bc(1) thêm vào vế (1) với ab ta có: b > 0; d >   ⇒ ad + ab < bc + ab a( b + d) < c( b + d ) ⇒ a a+c < ( 2) b b+d 13 + Thêm vào hai vế (1) dc ta có: ( 1) ⇒ ad + dc < bc + dc ⇒ d ( a + c) < c ( b + d ) ⇒ a+c c < ( 3) b+d d + Từ (2) (3) ta có: Từ a c a a+c c < ⇒ < < (đpcm) b d b b+d d Tính chất 3: a; b; c số dương nên a, Nếu a a a+c < < b b b+c b, Nếu a a a+c > > b b b+c Bài 30 Cho a; b; c; d > CMR: < a b c d + + + ( 1) (do d>0) a+b+c+d a+b+c Mặt khác: a a > ( 2) a+b+c a+b+c+d + Từ (1) (2) ta có: a a a+d < < ( 3) a+b+c+d a+b+c a+b+c+d Tương tự ta có: b b b+a < < ( 4) a+b+c+d b+c+d a+b+c+d c c c+b < < ( 5) a+b+c+d c+d +a c+d +a +b d d d +c < < ( 6) d+a+b+c d + a + b a + b + c + d Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo vế được: 1< a b c d + + + < (đpcm) a +b+c b+c+d c+d +a d +a +b 14 Bài 31 Cho a c a ab + cd c < b; d > CMR: < < b d b b + d2 d Giải: Ta có a c a.b c.d ab cd < b; d > nên < ⇒ < b d b.b d.d b d Theo tính chất (2) ta có: ab ab + cd cd a ab + cd c < < 2⇒ < < (đpcm) 2 b b +d d b b +d2 d Qua viƯc híng dÉn häc sinh vËn dơng kiÕn thức giải tập cách nhanh ngắn Ngời thầy giáo cần giúp học sinh định hớng kiến thức cần dùng, phơng pháp dùng để giải dạng toán cụ thể Để khắc sâu kiến thức ngời thầy cần chọn tập mang tính chất tính phát triển kiến thức khía cạnh Qua giúp học sinh vừa nắm đợc kiến thức , vừa phát triển đợc t duy, sáng tạo linh hoạt làm bài, tạo hứng thú yêu thích môn học Trên hớng giúp học sinh lớp chuyên s©u vỊ kiÕn thøc tØ lƯ thóc, tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng cđa tỉ KHTN trêng THCS Liên Khê Trờng đà vận dụng trình giảng dạy đà thu đợc số kết định, mong đợc góp ý, bổ sung cho chuyên đề đợc hoàn thiện hơn, chuyên đề đợc vận dụng rộng rÃi hơn! Xin chân thành cảm ơn! Liên Khê ngày 10 tháng năm 2007 Ngời viết Nguyễn Hữu Chức 15 ... trồng theo thứ tự 60; 40; 30 ĐS: 60; 40; 30 Bài 26 Trường có lớp 7, biết có số học sinh lớp 7A số học sinh 7B 4 số học sinh 7C Lớp 7C có số học sinh tổng số học sinh lớp 57 bạn Tính số học sinh lớp? ... số học sinh lớp? Giải: Gọi số học sinh 7A; 7B; 7C x; y; z (em), x; y; z ≠0 Theo ta có: x = y = z ( 1) x + y + z = 57 Chia (1) cho BCNN (3;4;5) = 12 ⇒ x y z x+ y−z 57 = = = = 18 16 15 18 + 16 −... = = 18 16 15 18 + 16 − 15 19 => x = 54; y = 18; z =45 Trả lời: số học sinh lớp 7A; 7B; 7C là: 54; 18; 45 ĐS: 54; 18; 45 Bài 27 Tìm ba số nguyên dương biết BCNN chúng 3150 tỷ số số thứ với số